精品解析：云南省曲靖市师宗县平高学校2025届高三上学期10月月考数学试卷

师宗平高学校2024年秋季学期10月月考高三 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列部分. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，得． 故选：D 2. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】令，求得，代入函数解析式，即可求解. 令，可得. 【详解】由题意，函数，令，解得， 令，可得. 故选：D. 3. 已知向量，，若∥，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出和的坐标，再由∥列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为∥ 所以 解得. 故选：C. 4. 已知则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对数函数的性质和特殊值比较法判断，，的大小. 【详解】因为，，所以， ，所以， 所以， 故选：B. 5. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 的最大值为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由且，所以，所以公差，所以时，时，逐项分析判断即可得解. 【详解】由 且， 所以，故B正确； 所以公差， 数列为递减数列，A错误； 由，，， 所以，， 时，， 的最大值为，故C错误； ，故D错误. 故选：B 6. 在中，若，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简即得解. 【详解】因为 ， 所以在中，，即一定是直角三角形． 故选：B 7. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 8. 已知，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用导数分别求得函数和的单调性及最小值和，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 又由函数在上单调递增，所以函数， 因为函数，，使得成立， 可得，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的共轭复数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可得到其共轭复数，再一一判断即可. 【详解】对于AD，因为， 所以，则，故A正确，D正确； 对于B，的虚部为，故B错误； 对于C，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确. 故选：ACD 10. 已知是函数的一个零点.则（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递减区间为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：代入运算求解即可；对于B：整理可得，结合正弦函数的有界性分析求解；对于C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解；对于D：结合选项B中的值域分析判断. 【详解】由题意可得：， 因为，解得，故A正确； 则， 因为，则， 所以函数的值域为，故B错误； 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故C正确； 由选项B可知：当，即时，， 所以不等式的解集不为空集，故D错误； 故选：AC. 11. 已知等差数列的前n项和为，，，，的前n项和为则下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. C. 数列是公比为4的等比数列 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】因为为等差数列，，，可得，从而可得A正确； 根据等差数列的求和公式，可得，从而可得B正确； 由题意可得，，从而可得C错误； 根据等比数列的求和公式可得D错误. 【详解】解：因为为等差数列，，， 所以公差，故A正确； 所以， 所以，故B正确； 又因为， ， 所以数列是公比为16的等比数列，故C错误； 因为数列是公比为16的等比数列，且， 所以，故D错误. 故选：AB. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正项等比数列中，若，，依次成等差数列，则的公比为______. 【答案】 【解析】 【分析】 正项等比数列的公比设为，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比． 【详解】正项等比数列的公比设为，， ，，依次成等差数列，可得， 即有， 化为，解得舍去）， 则的公比为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查等比数列基本量的运算，解答的关键是利用等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，解得即可； 13. 在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线性质定理可得，设，由余弦定理可得关于m的方程，求得m的值，可得答案. 【详解】由题意是的角平分线，， 由角平分线的性质知：， 设， 因为，则，则, 所以，整理得，解得或（舍）. 所以,. 故答案为： 14. 函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】转化为函数与直线的图象有2个交点，画出函数的图象，分、、讨论，结合图象可得答案. 【详解】有2个不相等的实数根，即函数与直线的图象有2个交点， 当时，函数与直线的图象有2个交点，符合题意； 当时，由是函数与直线的图象的1个交点， 只需函数与直线有1个交点即可， 当直线与函数相切时， 设切点为，可得，且，， 可得， 因为与的图象只有1个交点， 可得是的解， 所以时直线与的图象有2个交点，符合题意； 当时，由，可得， 要使与的图象有2个交点， 只需在只有一解即可， 可得，解得. 综上所述，实数a的取值范围是或. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为函数与直线的图象交点个数问题，考查了学生的抽象思维能力. 四、解答题：本小题共5小题，共77分． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在的值域； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据周期求出，由求出，再由求出，即可得解； （2）根据的范围求出的范围，再结合余弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，结合余弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由题意可得， 可得，解得， 而，可得，，又， 可得， 又，可得，解得， 所以； 【小问2详解】 当，可得， 所以， 所以， 即函数在的值域为； 【小问3详解】 由，可得， 可得，， 可得，， 所以不等式的解集为，． 16. 设数列的前n项和满足且成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系可知是等比数列，再求出首项，可得通项公式； （2）利用错位相减法可求答案. 【小问1详解】 当时，，，两式相减可得， 因为成等差数列，所以，即， 解得，所以是首项为2，公比为2的等比数列； 所以. 【小问2详解】 ，， ， 两式相减可得 ， 所以. 17. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围． 【答案】（1）； （2）选择①：周长的取值范围是．选择②：周长的取值范围是.选择③：周长的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及已知有，应用差角余弦公式化简求得，即可确定A的大小. （2）根据所选的条件，应用正余弦定理、三角恒等变换及基本不等式、三角函数的范围求周长的取值范围． 【小问1详解】 在中，由得：，又， ，即， ，又， ． 【小问2详解】 选择①：因为，则，得， 由余弦定理得， 即的周长， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即的周长的取值范围是． 选择②：，因为，， 由正弦定理得，， 即的周长， 因为，则，故， 所以，即的周长的取值范围是． 选择③：．因为，， 由正弦定理得， 即的周长 ， 因为，所以，则， 即的周长的取值范围是. 18. 已知函数. （1）求； （2）若方程在区间上有且仅有3个解，求实数的取值范围； （3）从以下两个条件中选择一个，求的解析式. ①若函数在上的值域为； ②函数在上的最大值与最小值差为3. 【答案】（1） （2）或； （3）选择①，或 选择②， 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，从而得解； （2）根据题意，，可得，再由则，且，可确定实数的取值范围； （3）选择①，根据题意可得，又，，分和两种情况求解； 选择②，分析可知在上的最大值与最小值差为，由三角函数图象变换可知在上先增后减，最大值为1，故，可解. 【小问1详解】 根据题意，， 即，则，又，所以； 【小问2详解】 根据题意，在区间上有且仅有3个解， 即，在区间上有且仅有3个解， 所以，即，又，所以， 由于， 则，且， 根据正弦函数的图象性质， 可知或， 所以或； 【小问3详解】 因为， 选择①，当时，， 根据题意，，所以， 所以，， 因为函数在上的值域为，即， 根据正弦函数的图象性质，可知， 当时，，此时，符合题意， 所以， 当时，，此时，符合题意， 所以， 综上，或； 选择②，由函数在上的最大值与最小值差为3， 即在上的最大值与最小值差为， 又因为，可由向左平移后再伸缩得到， 所以在上先增后减，最大值为1， 故，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：将方程的解，转化为的解；将函数的值域问题，转化为的值域问题. 19. 已知函数，其中为实常数． （1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围； （2）证明：当时，； （3）若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：当时，，则 由，即， 设，可得 所以在上单调递减，所以， 所以. （3） 证明：由， 令，可得， ， ， ， 各式叠加得：. 【解析】 【分析】（1）根题意求得，得到在上单调递增，结合，即可求解； （2）根据题意转化为证明，设，利用导数求得函数的单调性，结合，即可求解； （3）根据，令，得到，结合叠加法，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，函数，则 即在上单调递增，所以， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 师宗平高学校2024年秋季学期10月月考高三 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列部分. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 0 3. 已知向量，，若∥，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 的最大值为 D. 6. 在中，若，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 8. 已知，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的共轭复数为 10. 已知是函数的一个零点.则（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递减区间为 D. 不等式的解集为 11. 已知等差数列的前n项和为，，，，的前n项和为则下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. C. 数列是公比为4的等比数列 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正项等比数列中，若，，依次成等差数列，则的公比为______. 13. 在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 __________. 14. 函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在的值域； （3）求不等式的解集． 16. 设数列的前n项和满足且成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求． 17. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围． 18. 已知函数. （1）求； （2）若方程在区间上有且仅有3个解，求实数的取值范围； （3）从以下两个条件中选择一个，求的解析式. ①若函数在上的值域为； ②函数在上的最大值与最小值差为3. 19. 已知函数，其中为实常数． （1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围； （2）证明：当时，； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $