精品解析：天津市滨海新区塘沽五校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中五校联考 九年级数学学科试卷 注意事项：本试卷满分120分，考试时间100分钟．试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，请在规定位置填写好个人信息．答题时，答案要填写在“答题纸”规定位置上，不在规定位置答题无效，答案答在试卷上无效．祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 客观题（共36分） 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程： 正确的变形为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 方程的两个实数根的和与积分别是（ ） A. ，6 B. ，6 C. 4， D. ，6 5. 某超市进行促销活动，第一天营业额为万，第二、三两天营业额的增长率相同，第三天营业额为万，设每天增长率为，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排28场比赛，则为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 把抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 把图形 绕点顺时针旋转度后，得到的图形是( ) A. B. C. D. 9. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，将绕点B逆时针旋转至处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则为（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法正确的个数是（ ） ①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为 ③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ） A. 1秒 B. 4秒 C. 6秒 D. 1秒或4秒 第Ⅱ卷 主观题（共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸上的横线处） 13. 时钟上的时针不停地旋转，从上午9时到上午11时，时针旋转的角度是_______． 14. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 15. 抛物线与x轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是直线＝_____． 16. 若抛物线的顶点在轴上，则_______． 17. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共7个小题，19题，20题每题8分，21-25题每题10分，共66分） 19. 解方程：（用合适方法解一元二次方程） （1）； （2）． 20. 如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． （1）请写出旋转中心及旋转角的度数； （2）若，求的度数和的长． 21. 如图，为美化庭院，某小区要利用一面墙（墙足够长），用30米长的篱笆围成一个矩形绿地，设矩形的两邻边长分别为x米和y米，且 （1）请直接写出y与x之间的函数关系式 （2）根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须是100平方米，求矩形的两条边长各为多少米？ 22. 已知，y与x的部分对应值如下表： x … －2 －1 0 2 … y … －3 －4 －3 5 … （1）求二次函数的表达式； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标； （3）直接写出不等式的解集． 23. 春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元． （1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利________元，可售出棉衣________件（用含x的代数式表示） （2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值． （3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？ 24. 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）如图2，直接填空点坐标为_______，点坐标为________．该抛物线的函数解析式为__________． （2）当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） （3）当水面上升米时，水面宽度减少多少米？（保留根号） 25. 如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ． （1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中五校联考 九年级数学学科试卷 注意事项：本试卷满分120分，考试时间100分钟．试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，请在规定位置填写好个人信息．答题时，答案要填写在“答题纸”规定位置上，不在规定位置答题无效，答案答在试卷上无效．祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 客观题（共36分） 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握定义含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为2，系数不为0的整式方程是解题关键． 【详解】解：．是分式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．还有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．还有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 用配方法解方程： 正确的变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据其配方法步骤解题即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加上25， 得． ∴ 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况． 【详解】解：∵， 而， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 方程的两个实数根的和与积分别是（ ） A. ，6 B. ，6 C. 4， D. ，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意得：方程即方程的两个实数根的和与积分别是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，是方程的两个实数根，则． 5. 某超市进行促销活动，第一天营业额为万，第二、三两天营业额的增长率相同，第三天营业额为万，设每天增长率为，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每天增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每天增长率为， 由题意得，， 故选：． 6. 某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排28场比赛，则为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． 设计划组织x支球队参加，根据计划安排28场比赛列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：计划组织支球队参加，每两个球队之间都要比赛一场， 则需比较场， 根据题意可知：， 整理得：， 解得：，（舍去） 则计划组织8支球队参加， 故选：C 7. 把抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移3个单位长度则抛物线变成， 再将抛物线向上平移2个单位长度，则抛物线变成， 故选：B． 8. 把图形 绕点顺时针旋转度后，得到的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】旋转的要素是旋转方向，旋转中心，旋转角，据此即可解决问题． 【详解】解：根据观察，图形绕点0顺时针旋转90度得到图形. 故选D. 【点睛】本题主要考查了旋转的要素，是需要熟记的内容． 9. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：D． 10. 如图，，将绕点B逆时针旋转至处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据旋转的性质，得出∠CBD=∠ABE，BD=BE；其次结合图形，由等量代换，得∠EBD=∠ABC；最后根据等腰三角形的性质，得出∠BED=∠BDE，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点， ∴∠CBD=∠ABE，BD=BE， ∵∠ABC=∠CBD+∠ABD，∠EBD=∠ABE +∠ABD，∠ABC=70°， ∴∠EBD=∠ABC=70°， ∵BD=BE， ∴∠BED=∠BDE=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．解题的关键是根据旋转的性质得出旋转前后的对应角、对应边分别相等，利用等腰三角形的性质得出“等边对等角”，再结合三角形内角和定理，即可得解． 11. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法正确的个数是（ ） ①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为 ③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到①②正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故③错误；根据 ，得到抛物线开口向下，可判断④正确；即可求解． 【详解】解：根据表格中信息，得： 当 时， ，当时 ， ， ∴点，在抛物线上，故①②正确； 根据表格中信息，得： 当 时， ， 当 时，， ∴抛物线的对称轴为 ，故③错误； ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确； 所以正确的有①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ） A. 1秒 B. 4秒 C. 6秒 D. 1秒或4秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：A． 第Ⅱ卷 主观题（共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸上的横线处） 13. 时钟上的时针不停地旋转，从上午9时到上午11时，时针旋转的角度是_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查旋转的相关知识，钟面角，根据时针12小时转一周为，每小时对应的角度为，从而可以推出时针从上午9时到上午11时旋转的角度． 【详解】解：∵周角为，时针12小时转一周， ∴每小时对应的角度为： ∵时针从上午9时到上午11时走了2个小时， ∴时针旋转的角度是：． 故答案为：． 14. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 15. 抛物线与x轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是直线＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴的公共点的坐标是 ∴这条抛物线的对称轴是直线， 故答案为：2. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 16. 若抛物线的顶点在轴上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据抛物线的顶点在轴上，可得出抛物线与x轴的交点只有一个， 则根据代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得：， 故答案为∶ 17. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、， ∴对称轴直线为： ∴顶点C的坐标为， 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：， ∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值． 设的解析式为， 则， 解得： ∴的解析式为：， 当时，则， 则点P的坐标为 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，19题，20题每题8分，21-25题每题10分，共66分） 19. 解方程：（用合适方法解一元二次方程） （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）移项，把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 20. 如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． （1）请写出旋转中心及旋转角的度数； （2）若，求的度数和的长． 【答案】（1）旋转中心为点，旋转角的度数为； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； 【小问2详解】 经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 21. 如图，为美化庭院，某小区要利用一面墙（墙足够长），用30米长的篱笆围成一个矩形绿地，设矩形的两邻边长分别为x米和y米，且 （1）请直接写出y与x之间的函数关系式 （2）根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须是100平方米，求矩形的两条边长各为多少米？ 【答案】（1） （2）矩形两边长为5米和20米 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的运用，一元二次方程的运用． （1）根据矩形的周长公式建立等量关系，然后将y表示出来就可以了． （2）根据矩形的面积公式建立方程，再解答这个方程求出符合题意的x的值，根据第（1）问的结论即可得出y的值． 【小问1详解】 解：由题意得：， ； 【小问2详解】 解：， ，即， ，， 即， ， ，， 答：矩形两边长为5米和20米． 22. 已知，y与x的部分对应值如下表： x … －2 －1 0 2 … y … －3 －4 －3 5 … （1）求二次函数的表达式； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）(－3，0)，(1，0)；（3）x＞0或x＜－2 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法计算即可； （2）求出时x的值，即可得解； （3）根据表格得出时x的值，在根据二次函数的性质即可得出解集； 【详解】（1）依题意有：将(－2，－3)，(－1，－4)，(0，－3)代入 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）令时，则有：， 解得：，， ∴该函数图象与x轴两个交点的坐标分别是(－3，0)，(1，0)； （3）由表格可知， ，即的解为或0， ∵，抛物线开口向上， ∴不等式的解集是：x＞0或x＜－2． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线于坐标轴的交点，二次函数与不等式，准确计算是解题的关键． 23. 春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元． （1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利________元，可售出棉衣________件（用含x的代数式表示） （2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值． （3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2） （3）当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列代数式： （1）用50减去降价的钱数即可求出现在的利润，根据每件棉衣每下降1元，则可多售出2件即可求出可售出棉衣的数量； （2）根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出方程求解即可； （3）设所获利润为W，根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利元，可售出棉衣件， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要尽快清仓， ∴； 【小问3详解】 解：设所获利润为W， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值， ∴当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元． 24. 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）如图2，直接填空点坐标为_______，点坐标为________．该抛物线的函数解析式为__________． （2）当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） （3）当水面上升米时，水面宽度减少多少米？（保留根号） 【答案】（1），，． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意可得点，，设该抛物线的函数解析式为，再把点代入，即可求解； （2）根据题意可得水面下降米，到处时，点的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解； （3）根据题意可得当水面上升米时，水位线对应的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为， 当拱顶高水面米时，水面宽米． 点，， 把点代入得：， 解得：， 该抛物线的函数解析式为； 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：水面下降米，到处， 点的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时水面宽度为米， 水面宽度增加米； 【小问3详解】 解：当水面上升米时，水位线对应的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时水面宽度为米， 水面宽度减少米． 25. 如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ． （1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ． 【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)； （2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16； （3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)． 【解析】 【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A、B的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标， 由点B、C的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC的解析式， 假设存在， 设点P的坐标为（x,），过点P作PD//y轴， 交直线BC于点D，则点D的坐标为（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3） 设点M的坐标为（m,），则点N的坐标为（m,），进而可得出MN，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ． 【详解】（1）抛物线的对称轴是直线， ，解得：， 抛物线的解析式为． 当时，， 解得：，， 点的坐标为，点的坐标为． （2） 当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将、代入， ，解得：， 直线的解析式为． 假设存在， 设点的坐标为，过点作轴， 交直线于点，则点的坐标为，如图所示 ． ， ． ， 当时，的面积最大， 最大面积是 16 ． ， 存在点，使的面积最大， 最大面积是 16 ． （3） 设点的坐标为，则点的坐标为， ． 又， ． 当时， 有， 解得：，， 点的坐标为或； 当或时， 有， 解得：，， 点的坐标为，或，． 综上所述：点的坐标为，、、或，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式； （3） 根据MN的长度， 找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $