精品解析：广东省惠州市惠阳区第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

惠阳区第一中学九年级2024-2025学年数学第二次拓展训练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 已知α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β的值是（ ） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣3 3. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象可能是 A. B. C. D. 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标为 6. 如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相割 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( ) A. B. C. D. 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将△绕点逆时针旋转得到△，若点在线段的延长线上，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（  ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点B的坐标是，则__________． 12. 若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是_____． 13. 若m是方程的一个实数根，则代数式的值为________． 14. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2． 15. 如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______． 三、简答题（每小题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 （1）请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标． （2）求的面积？ 18. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 四、简答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． （注：图甲、图乙、图丙在答题纸上） 20. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 21. 掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 五、简答题（第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过，，． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标． 23. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳区第一中学九年级2024-2025学年数学第二次拓展训练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可. 【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误. 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是正确判断的关键． 2. 已知α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β的值是（ ） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理计算即可． 【详解】即：∵α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根， ∴α+β==-1， 故选：C． 【点睛】本题考查了韦达定理，掌握知识点是解题关键． 3. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：B． 4. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由二次函数图象可知a＞0，－c＜0，∴a＞0，c＞0． 根据一次函数图象与系数的关系： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． ∴由函数的，，故它的图象经过第一、二、三象限．故选A． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点式的性质．根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随的增大而减小． 【详解】解：由得抛物线开口向下，故选项A说法错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B说法正确，符合题意； 当时，y随的增大而减小，故选项C说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：B． 6. 如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相割 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理逆定理的应用，熟练掌握切线的判定，是解题的关键．先证明为直角三角形，，得出，即可证明与相切． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵A是上一点， ∴与相切． 故选：B． 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案． 【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC， 根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°， 根据圆周角定理可知∠D=∠AOC， 因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°， 解得：∠AOC=120°， 因此∠ADC=60°． 故选：C． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用． 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理等知识，判断出的长，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，将△绕点逆时针旋转得到△，若点在线段的延长线上，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，根据旋转的性质，得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，即可． 【详解】解：由旋转可知：，为旋转角， ∵点在线段的延长线上，， ∴， ∴； ∴旋转角的度数为； 故选D． 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（  ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵﹣=﹣2， ∴b=4a，ab＞0， ∴①错误，④正确， ∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点， ∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4， ∴②⑤正确， ∵当x=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0， ∴③错误， 故正确的有②④⑤． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点B的坐标是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称问题及有理数的乘方运算，数轴关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由点关于原点对称的点B的坐标是，可知：， ∴； 故答案为． 12. 若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是， 故答案为：． 13. 若m是方程的一个实数根，则代数式的值为________． 【答案】2024 【解析】 【分析】由m是方程的一个实数根，可得，进而可得，然后整体代入所求的式子当中求值即可． 本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ， ， ． 故答案为：2024 14. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2． 【答案】> 【解析】 【详解】由二次函数的图象知，抛物线开口向上，对称轴为x=1 ∵ ∴y随x的增大而增大 ∴ > 15. 如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据对称性可得，再设点B的坐标，并代入二次函数关系式求出坐标，即可得出答案． 【详解】∵正方形和抛物线都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ∴， ∴． 设点B的坐标为， ∵点B在二次函数的图象上， ∴， 解得，(舍)， ∴点B的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，二次函数图像的性质，求阴影部分的面积，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积． 三、简答题（每小题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵ ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 （1）请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标． （2）求的面积？ 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定、、三点关于原点成中心对称的对称点，再连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 【点睛】本题主要考查了作图——中心对称变换，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 18. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ； （2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）略 （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 四、简答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． （注：图甲、图乙、图丙在答题纸上） 【答案】 如图： 【解析】 【分析】可以从特殊四边形着手考虑，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 【详解】略 20. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1） 证明：与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2）的半径为3；的长为6 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平方，从而可得，进而可证，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设的半径为r， 在中，， ， ， ， ， 由（1）得， ， 在中，， ， 解得． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． 21. 掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 【答案】（1） （2）该男生在此项考试中得优秀 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 五、简答题（第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过，，． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）N点坐标为或或或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的性质等知识，难度较大，解题关键是综合运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题． （1）利用待定系数法解二次函数解析式即可； （2）利用待定系数法解得直线的函数解析式为，过P点作轴交于点Q，设，则，可得，利用二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线，分别作出图形求解即可． 【小问1详解】 解：将，，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 过P点作轴交于点Q， 设，则， ， ， 当时，的面积最大，此时； 【小问3详解】 设，， 当为平行四边形的对角线时，，， 解得，（舍）或，， ； 当为平行四边形的对角线时，，， 解得，或，， 或； 当为平行四边形的对角线时，，， 解得，（舍）或，， ； 综上所述：N点坐标为或或或． 23. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $