精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期适应性月考（三）（11月）数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2 若，则（ ） A B. C. D. 3. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（ ） A. B. 4 C. 8 D. 或4 5. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6. 设，是定义在上的两个函数，若对，，，恒成立，下列四个命题中正确的是（ ） A. 和可以为有相同最小正周期的周期函数 B. 和可以均为偶函数 C. 若和均为奇函数，则当时， D. 和可以均为增函数 7. 已知，为单位向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 2 C. 9 D. 8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点作的切线，交准线于点，交轴于点，下列说法正确的有（ ） A. B. 直线QB与也相切 C. D. 若，则 11. 记函数图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（ ） A 若，，可作1条切线 B. 若，，可作0条切线 C. 若，，可作3条切线 D. 若，，可作2条切线 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__________． 13. 双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线左支上一点，满足且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为__________． 14. 数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则__________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 小李和小张关注到习近平总书记今年4月在重庆考察时强调：“奋力打造新时代西部大开发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆创业．他们投入5万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 销售额y（万元） 1.4 1.6 2.2 2.4 3 3.9 5.1 （1）求样本的相关系数（精确到0.01）； （2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）． 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：为等比数列； （2）已知，为的前项和，求． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A的值； （2）若为锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围． 18. 已知，求证： （1）； （2）； （3）． 19. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A与集合B的补集，再由图可知图中阴影部分表示. 【详解】由可得，解得，所以， 因为，所以， 图中阴影部分表示的集合为. 故选：D. 2. 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由，利用诱导公式得到，进而得到，再利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：B 3. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可得解． 【详解】设“甲独立地破解出谜题”为事件，“乙独立地破解出谜题”为事件， ， 故，， 所以， 即谜题没被破解的概率为． 故选：C． 4. 已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（ ） A. B. 4 C. 8 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列求出可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 若成等比数列，则， 即，解得，， 当时，， 当时，，此时不能构成等比数列，故舍去， 所以, 故选：B. 5. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点，即可求出，设的中点为，则，根据数量积的几何意义得到，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线，即，令，解得， 所以直线恒过点，又， 所以当时，弦的长度取得最小值，即， 设的中点为，则， 所以.    故选：C 6. 设，是定义在上的两个函数，若对，，，恒成立，下列四个命题中正确的是（ ） A. 和可以为有相同最小正周期的周期函数 B. 和可以均为偶函数 C. 若和均为奇函数，则当时， D. 和可以均为增函数 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递减，由周期函数不满足在上单调递减，即可判断A，由偶函数不满足在上单调递减，即可判断B，由条件可得当时，即可判断C，取，，即可判断D. 【详解】令， 因为对，，，恒成立， 即，所以在上单调递减， 对于A，若和为有相同最小正周期的周期函数，则也为周期函数， 与在上单调递减矛盾，故A错误； 对于B，若和均为偶函数， 则， 即为偶函数，与在上单调递减矛盾，故B错误； 对于C，若和均为奇函数， 则， 即为奇函数，且，在上单调递减， 则当时，，即，故C错误； 对于D，取，，满足在上单调递减， 且为上增函数，故D正确； 故选：D 7. 已知，为单位向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积的运算可得，从而得，于是利用平面向量的坐标运算设，结合坐标运算确定的轨迹，根据模长的坐标公式转化为两点距离，根据轨迹方程的特点求得最值即可. 【详解】因为，为单位向量，且， 所以，则， 所以，因为，则， 则不妨设， 因为，所以， 即点的轨迹为圆，且圆心为，半径为， 又， 设点，则， 根据点与圆的位置关系可得， 故的最小值为. 故选：A. 8. 已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 2 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据，由，结合基本不等式求解. 【详解】解：因为正实数x，y满足， 所以， 即， 因为， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以，解得， 所以的最大值为9， 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用纯虚数的概念判断A；根据复数的几何意义判断B；根据共轭复数的概念判断C；根据复数模的公式判断D. 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D错误. 故选：BC. 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点作的切线，交准线于点，交轴于点，下列说法正确的有（ ） A. B. 直线QB与也相切 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据过A点切线与轴交点坐标判断A，根据过B点切线与轴交点坐标判断B，根据斜率之积判断C，在等腰三角形中得出，解出A点坐标判断D. 【详解】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 不妨设点在第一象限，且，如图， 因为，所以， 则有点处的切线方程为：，即， 令，于是，则，选项A正确； 同理有点B处的切线方程为：，交轴于， 当时直线才是抛物线的切线，否则直线不是抛物线C的切线，故B错误； 点B处的切线方程为：， 设直线的方程为：，由可得， 所以， 点B处的切线方程为：，该切线与准线的交点的纵坐标为，同理，所以直线也是抛物线C的切线， 所以，所以，故C正确； 由A可知，为等腰三角形，且，于是， 则，又，解得，则，选项D正确， 故选：ACD 11. 记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，可作1条切线 B. 若，，可作0条切线 C. 若，，可作3条切线 D. 若，，可作2条切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数形结合得到在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在，而若在下方，上方若，则两切点都在上，若，则两切点都在上，对，根据对称性也有类似结论. 【详解】曲线如图实线部分，不妨补全下方图象， 显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对而言，在时不可作切线，在时不可作切线，而在其“凹面”能作条切线， 因此在区域内和都不可作切线， 因为在处切线为， 所以又可分为三个区域，在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在， 而若在下方，上方， 若，则两切点都在上， 若，则两切点都在上， 对，根据对称性也有类似结论， 回到题目中，可分为如图的个区域，区域不可作切线， 由于区域和在的“凹面”，故在段必不可作切线， 由于区域在上方，区域在下方， 所以在上区域可作条切线，区域可作条切线， 根据对称性，区域和区域在的“凹面”， 所以在必不可作切线，区域在下方，区域在上方， 所以在上，区域可作条切线，区域不可作切线， 同理，区域在，的“凸面”，又在上侧，上侧， 所以在可作条切线，在可作条切线， 所以区域可作条切线，由对称性知区域仅在作条切线， 最后，区域在可作条切线，在可作条切线， 对于A选项，因为，， 所以区域内可作一条切线，而区域可作条切线，故A错误； 对于B选项，因为，， 所以在区域，可作条切线，故B正确； 对于C选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故C正确； 对于D选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题关键在于灵活运用数形结合的方法并得出普适性结论. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可. 【详解】 故答案为： 13. 双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线左支上一点，满足且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、焦点三角形等知识求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得①， 由于且直线的斜率为2， 所以②， 由①②得，所以， 所以. 故答案为： 14. 数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则__________． 【答案】2024 【解析】 【分析】根据数列的特点,每个数等于它前面两个数的和,移项得:,使用累加法求得,然后将中的2倍展成和的形式（如)即可求解. 【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，， 由,得, 所以，，，...， 将这个式子左右两边分别相加可得: 所以. 所以 , 所以. 故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 小李和小张关注到习近平总书记今年4月在重庆考察时强调：“奋力打造新时代西部大开发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆创业．他们投入5万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 销售额y（万元） 1.4 1.6 2.2 2.4 3 3.9 5.1 （1）求样本的相关系数（精确到0.01）； （2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）． 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，． 【答案】（1）0.96 （2），万元 【解析】 【分析】（1）由题意，求出，，代入公式计算即可得到求样本的相关系数； （2）由题意，求出所以，，进而求得，得到回归方程，再代入计算即可 【小问1详解】 由题意，得， ， 所以， 所以样本的相关系数约为0.96． 【小问2详解】 因为，， 所以， 又，， 所以， 所以回归方程为， 当时，， 所以预测第8天的销售额为万元． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：为等比数列； （2）已知，为的前项和，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再利用等比数列的定义证明； （2）由（1）得到，从而得到，然后利用分组求和求解. 【小问1详解】 证明：由， 得， 又， 所以是以为公比，1为首项的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可得， 即， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以， ， 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A的值； （2）若为锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式求解； （2）由的面积为求得，再利用正弦定理得到，，从而求解. 【小问1详解】 解：因为， 由A，B，C为的内角知，，， 由正弦定理可得：， 即， 即， 所以，可得． 【小问2详解】 ， 由正弦定理知：， ，， 为锐角三角形，则， 令， ， 因为， 所以，， ． 18. 已知，求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，根据导数判断的单调性即可证明； （2）令，求导，利用（1）的结论，对进行放缩，从而确定的符号，判断的单调性即可证明； （3）令，求导求导，利用（2）的结论，对进行放缩，从而确定的符号，判断的单调性即可证明. 【小问1详解】 令，则， 所以在单调递减，故，即； 【小问2详解】 令， 则 由（1）知， ， 则在单调递增，故，即； 【小问3详解】 令， 则， 由（2）知：，所以， 则， 所以在单调递增，故，即. 19. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 或1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定、，即可求解 （2）①根据直线与椭圆相切于第一象限内的点，求出，再根据，设出的方程，表示出、的坐标，得到的斜率，由此可求；②根据已知条件与平行关系确定，由平行四边形确定，再结合，得，分两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意，从而，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①由消得（*）， 由，得， 此时方程（*）可化为：， 解得：（由条件可知：k，m异号）， 设，则，， 即，所以， 因为，所以可设直线， 由消得， 当时，方程有两个不相等的实根， 设，，则，， 因A，C两点关于原点对称，所以，所以，， 所以． ②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 于是， 由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形， 则还需，即， 由①可知：，所以． 又，， 所以， 由可得：， 又，所以，即， 当时，； 当时，． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件， 建立有关参变量的等量关系， 强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$