精品解析： 湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

2024—2025学年度上学期2022级 11月月考数学试卷 命题人：张群武 审题人：叶世安 考试时间：2024年11月26日 考试时间120分钟 试卷满分150 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先解对数不等式得出集合B，再根据交集定义求解. 【详解】因为，所以, 所以，共3个元素. 故选：C． 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念和运算法则计算可得. 【详解】由题意，因为，所以， 故选：B. 3. 等比数列的各项均为正数，若，，则（ ） A. 588 B. 448 C. 896 D. 224 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列基本量运算结合各项为正得出公比为2，再应用通项公式计算即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数且，所以，可得或（舍） . 故选：B． 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出结果. 【详解】设设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以，解得. 故选：B. 5. 已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、讨论，根据没有零点求出的范围可得答案. 【详解】时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 则. 故选：D． 6. 已知为第一象限角，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出的值，再通过正余弦化切将所给关系式化简，代入即可. 【详解】因为为第一象限角，且，则 ，解得，因为， 解得，又. 故选：C 7. 已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设梯形的高为h，根据旋转体的特征及锥体与柱体的表面积公式结合导数计算最值即可. 【详解】根据题意可设梯形的高为， 易知该几何体为圆柱体挖掉两个相同的锥体， 欲使表面积最大，则下底长要大于1，即， 则该几何体侧面积为，两个锥体的侧面积均为， 所以该几何体表面积， 设， 记，令，此时， 又定义域内单调递减， 所以时，时， 即，则. 故选：A 8. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法结合三角函数图象的列出限制条件可得答案. 【详解】令, 则等价于有两个根， 由于时，有唯一个根, 而时，有两个根； ∴函数在区间恰有2个零点， 等价于与有一个公共点，如图， 则且，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由偶函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据，结合倍角公式可得选项C正确；当时，函数可化为，根据正弦型函数的性质可得选项D错误. 【详解】因为定义域为，，所以，为偶函数，选项A正确． 因为， 的最小正周期不为选项，B错误． ，选项C正确． ，，， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减，选项D错误． 故选：AC. 10. 记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得，然后由得出的可能情形，再计算和． 【详解】∵是等比数列，∴， ∴， 又，， ∴分别为或或或， 或. 故选：BD． 11. 如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ） A. 存在，使得 B. 当时，存在，使得平面 C. 当，时，四面体的体积为 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，用反证法判定.对于B，运用面面平行得到线面平行.对于C,通过条件，分析出体积之间的关系，运用等体积发计算即可.对于D，运用向量法，结合垂直的数量积为0计算即可. 【详解】对于A，，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A错． 对于B，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对． 对于D，如图建系，，，， ，，，， ∴，∴，D对． 对于C,时，，时，到平面的距离是到平面距离的.，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C对， 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】将点A代入抛物线方程，求得，然后利用两点式写出直线的方程，然后求出与准线交点的坐标，再利用两点距离公式求得结果. 【详解】 如图，点在抛物线上，所以，解得， 易得的焦点为，所以直线的方程为， 即，联立方程有，解得 所以点坐标为，所以， 故答案为： 13. 已知数列是单调递增数列，其前项和为（，为常数），写出一个有序数对________，使得数列是等差数列． 【答案】.(答案不唯一) 【解析】 【分析】取，，则，所以，由等差数列的定义可证明为等差数列. 【详解】取，，则，所以， 则， 所以数列是公差为的等差数列． 即可以是． 故答案为：.(答案不唯一) 14. 定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数对称中心定义判断函数对称中心，再应用对称中心性质分组求和计算即可. 【详解】关于对称，则 ∴，则关于对称， ， ∴，则． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； 【答案】（1）当时，单调递减；当时，单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，由的正负确定单调性； （2）对分类讨论，时易得，时，由导数证明时，，然后由不等式的性质证明不等式成立，时，时，由不等式的性质证明不等式在时不可能恒成立，从而得出参数范围． 【小问1详解】 时，，，令 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 对恒成立 时，不等式为，时恒成立，满足题意； 先设，则， 时，，在上单调递减，所以，即， 因为，， 所以时，，即， 时，只要，则，，， 因此不可能恒成立，不合题意． 综上，． 16. 如图，在中，角A，，所对的边分别为，，，已知. （1）求A； （2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，根据余弦定理计算即可； （2）由正弦定理解得出相应边长，由面面垂直得出线面垂直，由此建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【小问1详解】 ,结合正弦定理，，化简得. 由余弦定理得，，故； 【小问2详解】 设，， 在中，由得， 解得.① 在中，.② 由①、②得. ，，从而. 二面角为直二面角，， 平面平面，平面， 平面 建立如图所示的空间直角坐标系， 易知，，，， ，，. 设平面的法向量，则有，即 令，解得. ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知，数列前项和为，且满足；数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由； （3）求使得不等式成立的的最大值． 【答案】（1） （2）存在， （3）4 【解析】 【分析】（1）根据作差得到，结合等比数列的定义计算可得； （2）假设存在实数，使得数列是等差数列，根据等差数列的定义作差得到，即可求出； （3）结合（2）可得的通项公式，即可得到，令，利用作差法说明单调性，即可求出的最大值. 【小问1详解】 因为①，②， ②-①得，∴，而，∴， ∴成首项为，公比为的等比数列，∴． 【小问2详解】 假设存在实数，使得数列是等差数列， ∴ 为常数， ∴，解得， ∴存在使成等差数列，且公差为． 【小问3详解】 由（2）知，∴， 解法一：∴不等式，即， 令，则（或使用作商法得）， ∴在上单调递减，注意到，， ∴时，，∴． 解法二：∴不等式，即，当时，不等式显然成立， 令， 则（或者通过导数说明单调递减），则单调递减， 所以，∴； 解法三：∴不等式，即，当时，不等式显然成立， 当时，，不合题意； ∴． 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. （1）求C的方程； （2）若，求面积的最大值； （3）记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2） （3） 若直线l的斜率不存在，设，，， 可得，可得， 这与相矛盾，不合题意； 可知直线l的斜率存在，设直线，，， 可得， 整理可得， 则， 且，则，可得，解得， 设以MN为直径的圆过定点， 则，， 可得， 则， 整理可得， 则， 可得， 注意到上式对任意的k均成立，则，解得， 所以以MN为直径的圆过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据离心率公式及关系式即可求解； （2）设直线，，，联立方程，则，由韦达定理结合可得，可得，解得，由面积公式可得，令，利用换元法可得，由对勾函数的性质即可求解. （3）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在来讨论，结合题意可得斜率一定存在，斜率存在时，设直线，，，由，可求得，设以MN为直径的圆过定点，则，可得，由即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 若，可知直线l的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 可得，， 因为，则，， 由，可得， 则， 整理可得， 则， 且，则，可得， 解得，且满足， 可知直线过定点， 则面积 ， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则， 所以当，时，面积取到最大值. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线过定点问题处理方法： （1）参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. （3）关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线）,然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解. 19. 一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辐角.我们规定在范围内的辐角称为辐角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. （1）写出一次操作后所有可能的复数； （2）当，记的取值为X，求X的分布列； （3）求为实数的概率. 【答案】（1）1，i，，，， （2）X的分布列为 X 1 2 3 4 P （3）【解析】 【分析】（1）根据题意，直接得到结果； （2）根据题意，由条件可得X的取值为1，，2，3，，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列； （3）根据题意，由条件可得或，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在次操作中，分别设得到i，的次数为，的次数为，的次数为，即可得到，然后得到与之间的关系，即可得到结果. 【小问1详解】 一次操作后可能的复数为：1，i，，，，， 【小问2详解】 一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，1，，，2，2 由，故X的取值为1，，2，3，，4 ，，. ，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 【小问3详解】若为实数，则或. 而1，i，，，，的辅角主值分别是0，，0，，，， 设在n次操作中，得到i，的次数为，得到的次数为，得到的次数为， 于是， 从而，即 因此，所有的概率即为是3的倍数的概率，下面研究与之间的关系. （ⅰ）是3的倍数，且第次操作得到的复数是1，i，，（概率为）； （ⅱ）被3除余1，且第次操作得到的复数是（概率为）； （ⅲ）被3除余2，且第次操作得到的复数是（概率为）； 因此由全概率公式可以得到： 变形得，其中，故 【点睛】关键点睛：本题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列的综合应用，难度较大，结合数列的递推关系式从而得到与之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期2022级 11月月考数学试卷 命题人：张群武 审题人：叶世安 考试时间：2024年11月26日 考试时间120分钟 试卷满分150 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列的各项均为正数，若，，则（ ） A. 588 B. 448 C. 896 D. 224 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 已知为第一象限角，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 7. 已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 10. 记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 11. 如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ） A. 存在，使得 B. 当时，存在，使得平面 C. 当，时，四面体的体积为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为______. 13. 已知数列是单调递增数列，其前项和为（，为常数），写出一个有序数对________，使得数列是等差数列． 14. 定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； 16. 如图，在中，角A，，所对的边分别为，，，已知. （1）求A； （2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知，数列前项和为，且满足；数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由； （3）求使得不等式成立的的最大值． 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. （1）求C的方程； （2）若，求面积的最大值； （3）记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 19. 一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辐角.我们规定在范围内的辐角称为辐角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. （1）写出一次操作后所有可能的复数； （2）当，记的取值为X，求X的分布列； （3）求为实数的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $