精品解析：广东省茂名市博雅中学2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

2024－2025学年度第一学期阶段性诊断 初三数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形，逐项进行判断即可． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 2. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形是菱形，然后根据正方形的判定即可得． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵与不一定垂直， ∴与也不一定垂直， ∴四边形一定是菱形，不一定是正方形， 故选：C． 3. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是 试验总次数 频率 A. 掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是 C. 在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀” D. 将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的知识，熟练应用根据频率估计概率是解题的关键．根据图中信息得出，实验结果在附近波动，即其概率，判断各项中的概率即可． 【详解】．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，故不符合题意； ．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5的概率为，故不符合题意； ．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”的概率为，故符合题意； ．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为，故不符合题意； 故选：． 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． 【详解】解：A、AB∥DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有三个角是90°的四边形是矩形，属于中考常考题型． 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选A． 6. 如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质求面积以及利用算术平方根的非负性解题，先由得出，因为菱形的两条对角线的长分别为a和b，所以菱形的面积等于，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵菱形的两条对角线的长分别为1和5 ∴ 故选：D 7. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，多边形的周长等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质得到，（），（），，根据勾股定理得到（），根据多边形的周长即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， （）， （）， ， 在中，根据勾股定理，可得： （）， 菱形的周长 （）， 故选：． 8. 某超市一月份的营业额为20万元，已知第一季度的总营业额共100万元，如果营业额平均每月的增长率为x，那么由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由该超市一月份的营业额及平均每月增长率，可得出该超市二、三月份的营业额，再根据该超市第一季度的总营业额共100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵该超市一月份的营业额为20万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵第一季度的总营业额共100万元， ∴， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，已知，，那么下列比例式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，先证明，，四边形是四边形，以及由平行线分线段成比例定理得到，进而可得，，，，据此可得答案． 【详解】解：，， ，，四边形是四边形，， ，，， ，，，． 故选：C． 10. 如图，矩形中，对角线，相交于点，，，，交于点，交于点，延长交于点，则下列结论：；四边形是菱形；；，其中结论正确的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定得出是等边三角形，进而判断正确；根据证明与全等，进而判断正确；根据全等三角形的性质判断正确，根据勾股定理和含角的直角三角形的性质即可判断． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形，故正确； ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∴由勾股定理得：，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定定理，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些性质是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知（x，y，z均不为0），求________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质；设，则，代入所求式子中即可求解． 【详解】解：设，则， ∴； 故答案为：． 12. 已知，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．熟练掌握若，是方程的两个根，则，是解题的关键．由题意知，，，再把展开，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 13. 参加会议的人两两彼此握手，一共握了55次手，那么一共有______人参加会议． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设一共有人参加会议，根据握手定理列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设一共有人参加会议，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：一共有人参加会议． 故答案为：11． 14. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种， ∴小灯泡发光的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键． 15. 如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 【答案】或2 【解析】 【分析】设经过秒两三角形相似，分别表示出、的长度，再分①与边是对应边，②与边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边、的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 【详解】解：设经过秒后和相似． 则，， ，， ， ①与边是对应边，则， 即， 解得， ②与边是对应边，则， 即， 解得． 综上所述，经过秒或2秒后和相似． 故答案为：或2． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 则， ，； 【小问2详解】 解： ，，， 则， ， 即， 17. 如图，在菱形中，过点B作于点E，点F在边上，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后结合得到，证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出四边形是矩形． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形是矩形． 【点睛】此题考查了菱形的性质和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和矩形的判定定理． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）在y轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为； （2）写出面积= ；面积= ． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求： （2）4；1 【解析】 【分析】本题主要考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及相似三角形的性质． （1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得； （2）先求出的面积，再利用相似三角形的性质得出两个三角形的面积比求解可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象可得， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 故答案为：4；1． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】（1），， 补全图形如图所示； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）首先由条形图与扇形图可求得；由打篮球的人数有人，占的百分比为，可得总人数；计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图； （2）用乘以样本中喜欢篮球的百分比可估计出该校最喜爱打篮球的人数； （3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：， 抽查的总人数为：； 喜欢乒乓球的人数为：(人)． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵ ∴该校约有名学生喜爱打篮球． 故答案为：． 【小问3详解】 列表如下： 女1 女2 女3 男 女1 女2，女1 女3，女1 男，女1 女2 女1，女2 女3，女2 男，女2 女3 女1，女3 女2，女3 男，女3 男 女1，男 女2，男 女3，男 ∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种． ∴抽到一男一女学生的概率是． 20. 已知：如图，在中，D是边上的一点，的平分线交于点E，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质； （1）根据和外角可得，再由平分得到，即可求得； （2）可证明，即可解题． 【小问1详解】 解：， ， ∵， ， ， 平分， ， ， 【小问2详解】 ∵，， ， ， ， ， ． 21. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应定位元 【解析】 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 22. 综合与实践 主题 如何在矩形中折出黄金矩形 探究背景 宽与长之比为的矩形叫“黄金矩形”，两个兴趣小组开启数学探究之旅，探究如何在宽，长足够长的矩形纸片中折出黄金矩形． 探究过程 小组一： 步骤1：如图（1），将纸片折叠，使得与重合，折痕为；展开． 步骤2：如图（2），将纸片折叠，使得与重合，折痕为；展开． 步骤3：如图（3），先折出折痕，再将矩形沿过点F的直线折叠，使得的对应边落在直线上；展开． 步骤4：如图（4），过点G折出矩形；展开． （1）图（3）中________，________． （2）请写出图（4）中的黄金矩形． _____________________________________________________ 小组二：我们小组的折叠步骤1、步骤2和第一小组相同，接下来的步骤不同． 步骤3：如图（5），先折出折痕，再将纸片沿过点E的直线折叠，使得点A的对应点G落在上，展开． 步骤4：如图（6），将纸片沿过点B的直线折叠，使得的对应边落在上，点G与上的点H对应；展开． 步骤5：如图（7），过点H折出矩形；展开． （3）请写出图（7）中黄金矩形． ________________________________________________ 评价 （4）证明：请任取一个研究过程中得到的图形，并证明其为黄金矩形． 【答案】（1），；（2）四边形，四边形；（3）四边形；（4）见解析 【解析】 【分析】（1）由图（1）知，四边形是正方形，且边长为2，由图（2）知，，在中由勾股定理即可求得的长，由求得； （2）由，则，得四边形是黄金矩形；同理得四边形也是黄金矩形； （3）由折叠知，，，则四边形是黄金矩形； （4）选取一个证明即可． 【详解】解：（1）由图（1）知，四边形是正方形，且边长为2， 由图（2）知，， 在中，由勾股定理得， 由折叠知，， ∴； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴四边形是黄金矩形； ∵， ∴， ∴， ∴四边形也是黄金矩形； 故答案为：四边形，四边形； （3）由折叠知，，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴四边形； 故答案：四边形； （4）证明：选取四边形； 理由：由题意可得，， 四边形为正方形， ， 分别为、的中点， ， ， ， ， ； 四边形为黄金矩形（选取四边形、 四边形也行） 【点睛】本题考查了折叠的性质，黄金分割，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，正确识图是解题的关键． 23. 在矩形中，，，P是直线上一动点，连接． （1）如图，当点P在边上，且时，求的长度； （2）连接，过点A，D分别作，，与交于点E，连接．当取得最小值时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）以、为邻边作平行四边形，当平行四边形是菱形时，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）四边形是正方形，理由见解析 （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）先求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）先证明四边形是平行四边形得到；当时，取得最小值，则四边形是菱形．再证明四边形是矩形，则，然后根据等腰三角形的性质证得，，则，进而可得结论； （3）分当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，两种情况，利用勾股定理和菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，根据勾股定理可得； 【小问2详解】 解：四边形是正方形； 理由：如图，设与交于点O， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，取得最小值，即， ∴四边形是菱形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 同理可得， ∴， ∴菱形是正方形； 【小问3详解】 解：的长度为或． 如图1，当点P在点B的左侧时， ∵平行四边形是菱形， ∴，， 根据勾股定理可得， ∴； 如图2，当点P在点B的右侧时，，，根据勾股定理可得， ∴． 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形、矩形和菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期阶段性诊断 初三数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 3. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是 试验总次数 频率 A. 掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是 C. 在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀” D. 将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 6. 如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 7. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 8. 某超市一月份的营业额为20万元，已知第一季度的总营业额共100万元，如果营业额平均每月的增长率为x，那么由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，，那么下列比例式中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，对角线，相交于点，，，，交于点，交于点，延长交于点，则下列结论：；四边形是菱形；；，其中结论正确的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知（x，y，z均不为0），求________． 12. 已知，是方程的两个根，则________． 13. 参加会议的人两两彼此握手，一共握了55次手，那么一共有______人参加会议． 14. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________． 15. 如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，在菱形中，过点B作于点E，点F在边上，，求证：四边形是矩形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）在y轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为； （2）写出面积= ；面积= ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 20. 已知：如图，在中，D是边上的一点，的平分线交于点E，且．求证： （1）； （2）． 21. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 22. 综合与实践 主题 如何在矩形中折出黄金矩形 探究背景 宽与长之比为的矩形叫“黄金矩形”，两个兴趣小组开启数学探究之旅，探究如何在宽，长足够长的矩形纸片中折出黄金矩形． 探究过程 小组一： 步骤1：如图（1），将纸片折叠，使得与重合，折痕为；展开． 步骤2：如图（2），将纸片折叠，使得与重合，折痕为；展开． 步骤3：如图（3），先折出折痕，再将矩形沿过点F的直线折叠，使得的对应边落在直线上；展开． 步骤4：如图（4），过点G折出矩形；展开． （1）图（3）中________，________． （2）请写出图（4）中的黄金矩形． _____________________________________________________ 小组二：我们小组的折叠步骤1、步骤2和第一小组相同，接下来的步骤不同． 步骤3：如图（5），先折出折痕，再将纸片沿过点E的直线折叠，使得点A的对应点G落在上，展开． 步骤4：如图（6），将纸片沿过点B的直线折叠，使得的对应边落在上，点G与上的点H对应；展开． 步骤5：如图（7），过点H折出矩形；展开． （3）请写出图（7）中黄金矩形． ________________________________________________ 评价 （4）证明：请任取一个研究过程中得到的图形，并证明其为黄金矩形． 23. 在矩形中，，，P是直线上一动点，连接． （1）如图，当点P在边上，且时，求的长度； （2）连接，过点A，D分别作，，与交于点E，连接．当取得最小值时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）以、为邻边作平行四边形，当平行四边形是菱形时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $