专题8 6.4比较线段的短十大题型归类训练（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学提优专题训练及试卷测试(人教版）

专题8 6.4比较线段的短十大题型归类训练（解析版） 【人教版】 【题型 1 线段中点的有关计算】 1 【题型 2 线段的和差】 2 【题型 3 线段的数量关系】 3 【题型 4 简单线段的长短比较】 3 【题型 5 两点间的距离】 4 【题型 6 线段 n 等分点的有关计算】 5 【题型 7 与线段的长短比较有关的应用】 6 【题型 8 线段中的动点问题】 8 【题型 9 尺规作线段】 8 【题型 10 线段中的对折问题】 9 【题型 1 线段中点的有关计算】 【例1】（2021秋•红花岗区期末）已知线段AB＝12cm，点C为直线AB上一点，且AC＝4cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为（　　） A．8cm B．6cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm 【分析】根据题意分两种情况，①如图1，由AB＝12，AC＝4，可得BC＝AB﹣AC的长度，由线段的中点的性质可得，CD，即可得出AD＝AC+CD的长度；②如图2，由AB＝12，AC＝4，可得BC＝AB+AC，根据线段中点的性质可得，CD，即可得出AD＝CD﹣AC的长度． 【解答】解：①如图1， ∵AB＝12，AC＝4， ∴BC＝AB﹣AC＝12﹣4＝8， ∵点D为线段BC的中点， ∴CD4， ∴AD＝AC+CD＝4+4＝8； ②如图2， AB＝12，AC＝4， ∴BC＝AB+AC＝12+4＝16， ∵点D为线段BC的中点， ∴CD8， ∴AD＝CD﹣AC＝8﹣4＝4； ∴AD的长为8或4． 故选：C． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键． 【变式1-1】（2021秋•宁化县期中）如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且AD+BE＝8，AE+BD＝12，则CB的长为 　5　． 【分析】由线段和差关系可求DE，AB，由中点的性质可求解． 【解答】解：∵AD+BE+DE＝AB，AE+BD﹣DE＝AB， ∴8+DE＝AB，12﹣DE＝AB， ∴DE＝2，AB＝10， ∵C是AB的中点， ∴CBAB＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了两点间的距离的求法，以及中点的性质和应用，要熟练掌握． 【变式1-2】（2023秋•全椒县期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝10cm，且，D，E分别为线段AC，AB的中点，求线段DE的长． 【分析】根据线段中点定义即可求解． 【解答】解：∵AC＝10cm，， ∴，AB＝AC+CB＝10+6＝16cm， ∵D，E分别为线段AC，AB的中点， ∴，， ∴DE＝DC+CB﹣BE＝5+6﹣8＝3cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用中点的定义． 【题型 2 线段的和差】 【例2】（2024秋•西城区期中）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；⃯⃯连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M15N15＝　　． 【分析】根据中点的定义进行计算即可》 【解答】解：∵AM和AN的中点M1、N1，即AM1AM，AN1AN， ∴M1N1＝AM1﹣AN1（AM﹣AN）MN， 同理可得，M2N2M1N1MN， M3N3M2N2MN， M4N4M3N3MN， … M15N15M14N14MN， ∴M1N1+M2N2+…+M15N15 ＝（）MN ＝（1）MN ＝（1）×10 10 ． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． 【变式2-1】（2023秋•惠城区期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②若AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CN．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可． 【解答】解：如图，∵M、N分别是线段AD、BC的中点， ∴，， ∵AD＝BM， ∴AD＝MD+BD， ∴， ∴AD＝2BD， ∴AD+BD＝2BD+BD＝3BD，即AB＝3BD，故①符合题意； ∵AC＝BD， ∴AD＝BC， ∴， ∴AM＝BN，故②符合题意； ∵AC﹣BD＝AD﹣CD﹣BD＝AD﹣（CD+BD）＝AD﹣BC， ∴AC﹣BD＝2MD﹣2CN＝2（MC+CD﹣CD﹣DN）＝2（MC﹣DN）， 故③符合题意； ∵2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD， ∴2MN＝2（MD﹣CD）+2CN＝2（MD+CN﹣CD）， ∵，， ∴ ＝AD﹣CD+BC﹣CD ＝AC+BD ＝AB﹣CD， 故④不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键． 【变式2-2】（2020秋•奉化区期末）两根木条，一根长10cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（　　） A．1cm B．11cm C．1cm 或11cm D．2cm或11cm 【分析】设较长的木条为AB，较短的木条为BC，根据中点定义求出BM、BN的长度，然后分两种情况：①BC不在AB上时，MN＝BM+BN，②BC在AB上时，MN＝BM﹣BN，分别代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：如图，设较长的木条为AB＝12cm，较短的木条为BC＝10cm， ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴BM＝6cm，BN＝5cm， ①如图1，BC不在AB上时，MN＝BM+BN＝6+5＝11cm， ②如图2，BC在AB上时，MN＝BM﹣BN＝6﹣5＝1cm， 综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm 或11cm， 故选：C． 【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 【变式2-3】（2023秋•梁园区月考）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝10cm，BD＝2cm，求AC的长． 【分析】先根据点B为CD的中点，BD＝2cm，求出线段CD的长，再根据AC＝AD﹣CD即可得出结论． 【解答】解：∵点B为CD的中点，BD＝2cm， ∴CD＝2BD＝4cm， ∵AD＝10cm， ∴AC＝AD﹣CD＝10﹣4＝6（cm）． 【点评】本题考查了线段的和差，中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段间的关系，数形结合． 【题型 3 线段的数量关系】 【例3】（2023春•岳麓区期中）已知B、C在线段AD上． （1）如图，图中共有 　6　条线段： （2）如图，若AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1，且BC＝18，求AD的长度． 【分析】（1）根据线段的定义可求出线段的数量； （2）设AD＝x，表示出AB、AC，根据BC＝18列方程求解即可． 【解答】解：（1）图中线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条； （2）设AD＝x， 因为AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1， 所以，． 因为AC﹣AB＝BC，BC＝18， 所以， 解得x＝35， 所以AD＝35． 【点评】本题考查了线段的定义，线段的和差，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． 【变式3-1】（2021秋•沿河县期末）已知点M是线段AB上一点，若AMAB，点N是直线AB上的一动点，且AN﹣BN＝MN，则的值（　　） A． B． C．1或 D．或2 【分析】分两种情况：当点N在线段AB上，当点N在线段AB的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当点N在线段AB上，如图： ∵AN﹣BN＝MN，AN﹣AM＝MN， ∴BN＝AM， ∵AMAB， ∴BNAB， ∴MN＝AB﹣AM﹣BNAB， ∴； 当点N在线段AB的延长线上，如图： ∵AN﹣BN＝MN，AN﹣BN＝AB， ∴AB＝MN， ∴1， 综上所述：的值为1或， 故选：C． 【点评】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 【变式3-2】（2024秋•望城区期末）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（　　） A．BD+AC＝2BC﹣CD B．AB﹣CD＝AC﹣BD C．2CD＝2AD﹣AB D．CD＝AC﹣DB 【分析】根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD、BD、AD进行和、差转化，即可发现错误选项． 【解答】解：∵C是线段AB的中点， ∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC， ∴CD＝BC﹣BDAB﹣BD＝AC﹣BD，故D正确； ∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD，故A正确； ∵CD＝AD﹣AC， ∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB，故C正确； ∴选项A、B、C均正确． 而答案B中，AB﹣CD＝AC+BD； ∴答案B错误符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的长度计算，熟练进行线段的和、差、倍、分计算是解决本题的关键． 【变式3-3】（2022秋•下城区月考）如图1，AB是一条拉直的细绳，C，D两点在AB上，且AC：BC＝2：3，AD：BD＝3：7．则 （1）CD：AD＝　1：3　； （2）若将点C固定，将AC折向BC，使得AC落在BC上（如图2），再从点D处剪断，使细绳分成三段，分成的三段细绳的长度由小到大之比为 　2：3：5　． 【分析】（1）由AC：BC＝2：3，AD：BD＝3：7，得到ACAB，ADAB，再表示出CD长即可； （2）设细绳分成的三段分别是m，n，l，由条件分别表示出三条线段的长，即可求解， 【解答】解：（1）∵AC：BC＝2：3，AD：BD＝3：7， ∴ACAB，ADAB， ∴CD＝AC﹣ADAB， ∴CD：ADAB：（AB）＝1：3， 故答案为：1：3． （2）设细绳分成的三段分别是m，n，l，m＝2CD，n＝AD，l＝BC﹣CD， ∴m＝2CDAB，nAB，l＝BC﹣CDAB， ∴m＜n＜l， ∴m：n：lAB：（AB）：（AB）＝2：3：5， 故答案为：2：3：5． 【点评】本题考查求线段长的比，关键是由线段的和，差，倍，分，表示出有关的线段． 【题型 4 简单线段的长短比较】 【例4】如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段ABCDEFG， ②为折线段AIG， ③为折线段AJHG．三条路的长依次为a、b、c，则（　　） A．a＞b＞c B．a＝b＞c C．a＞c＞b D．a＝b＜c 【分析】根据平移的性质，两点间线段距离最短，认真观察图形，可知①②都是相当于走直角线，故①②相等，③走的是两点间的线段，最短． 【解答】解：观察图形，可知： ①②相等，③最短， a、b、c的大小关系是：a＝b＞c． 故选：B． 【点评】本题考查线段长短的度量、比较，要求学生充分利用两点间线段距离最近． 【变式4-1】（多选）13．如图，在三角形ABC中，下列比较线段AB和AC长短的方法中可行的有（　　） A．凭感觉估计 B．用直尺度量出AB和AC的长度 C．用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置 D．沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置 【分析】本题是一道有关比较线段的长短的题目；比较线段的长短，要科学，考虑度量、重叠法分析． 【解答】解：A、凭感觉估计，不科学，故不符合题意； B、用直尺度量出AB和AC的长度，方法可行；故符合题意； C、用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置，方法可行；故符合题意； D、沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置，方法可行；故符合题意； 故选：BCD． 【点评】本题考查了线段大小的比较方法；熟练掌握比较线段的长短的方法是解题的关键． 【变式4-2】（2022秋•楚雄市期末）如图，B，C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点， （1）图中以C为端点的线段共有 　5　条； （2）若AB＝CD， ①比较线段的长短：AC 　＝　BD；AN 　＝　DM（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AD＝21，AB：BC＝2：3，求MN的长度． 【分析】（1）除C点外还有5个端点，即以C为端点的线段有5条； （2）①根据题意有，，即有AB+BC＝CD+BC，AM＝MB＝CN＝ND，即有AC＝BD，AD﹣ND＝AD﹣AM，问题随之得解；②设AB＝2x，BC＝3x，则CD＝2x，依题意，得2x+3x+2x＝21，即可得AB＝6，BC＝9，CD＝6，根据①：，，即可求解． 【解答】解：（1）∵除C点外还有5个端点， ∴以C为端点的线段有5条， 故答案为：5； （2）①∵M是AB的中点，N是CD的中点， ∴，， ∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC，AM＝MB＝CN＝ND， ∴AC＝BD，AD﹣ND＝AD﹣AM， ∴AN＝DM， 故答案为：＝，＝； ②设AB＝2x，BC＝3x，则CD＝2x， 依题意，得2x+3x+2x＝21， 解得x＝3， 故AB＝6，BC＝9，CD＝6， ∵根据①：，， ∴MN＝BM+BC+CN＝3+9+3＝15． 【点评】本题考查了有关线段中点的计算，一元一次方程的应用等知识，理清各线段的关系，是解答本题的关键． 【变式4-3】（2020秋•重庆期末）画图题． 如图，已知三点A、B、C． ①画直线AB； ②射线AC； ③线段BC； ④在线段BC上取点D； ⑤延长BC到E，使CE＝CD． 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“＞”号连接起来即可． 【解答】解：（1）如图所示：（答案不唯一） 【点评】本题考查了直线、射线、线段，解决此类题目的关键是熟悉对几何语言转化为图形语言能力的训练． 【题型 5 两点间的距离】 【例5】（2022秋•桥西区期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（　　） A．19cm B．20cm C．21cm D．22cm 【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根据PQ＝2，线段MN的长度是一个正整数，可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 图中所有线段长度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN＝（MP+PQ+QN）+（MQ+PN）+MN＝MN+MN+PQ+MN＝3MN+PQ， ∴所有线段长度和为长度为3的倍数多2， ∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为20． 故选：B． 【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式5-1】（2023秋•青山湖区期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为 　6或10或16　． 【分析】由于没有图形，故A，B，C，D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可． 【解答】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图： ∵AB＝8，BC＝3，CD＝5， ∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3﹣5＝6， II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图： ∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3+5＝16， III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图： ∴AD＝AB﹣BC﹣CD＝8﹣3﹣5＝0，点A、D重合，不合题意， IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图： ∴AD＝AB﹣BC+CD＝8﹣3+5＝10，点A、D重合，不合题意， 综上所述：AD的长为6或10或16 故答案为：6或10或16． 【点评】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到AD的长度． 【变式5-2】（2022秋•大连期末）如图，A、B、C、D、E是直线l上的点，线段AB＝12cm，点D、E分别是线段AC、BC的中点． （1）求线段DE的长； （2）若BC＝4cm，点O在直线AB上，AO＝5cm，求线段OE的长； （3）若BC＝mcm，点O在直线AB上，AO＝ncm，请直接写出线段OE的长 　（n+12）或（12）或（n﹣12）　cm．（用含m、n的式子表示） 【分析】（1）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； （2）根据线段的和差关系即可得到结论； （3）根据线段的和差关系即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点D、E分别是线段AC、BC的中点， ∴DC＝ADAC，BE＝CEBC， ∴DE＝DC+CEACBCAB12＝6cm； （2）由（1）知，BE＝CEBC＝3cm， 当点O在点A的左边时， OE＝OA+AE＝OA+AB﹣BE＝5+12﹣2＝15cm； 当点O在点A的右侧时， OE＝AE﹣OA＝AB﹣BE﹣OA＝12﹣2﹣5＝5cm； （3）∵BC＝m cm， ∴BE＝CEBC， 当点O在点A的左边时， OE＝OA+AE＝OA+AB﹣BE＝（n+12）cm； 当点O在点A的右侧在E的左侧时，OE＝OA﹣AE＝OA﹣AB+BE＝（n﹣12）cm， 当点O在E的右侧时，OE＝OA﹣AE＝OA+AB﹣BE＝（n+12）cm，， 综上所述，线段OE的长为（n+12）或（12）或（n﹣12）cm； 故答案为：（n+12）或（12）或（n﹣12）． 【点评】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【题型 6 线段 n 等分点的有关计算】 【变式6-1】（2023秋•杭州期末）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，点P是AB的四等分点，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中的一段长为30cm，则这条绳子的原长为　40或80或120或240　cm． 【分析】分APPB、PBAP这两种情况，结合图形就所得三段绳子其中一段长度为30cm，再分类讨论求解可得． 【解答】解：①如图1，当APPB时，此时剪开的三段分别为AP、PP′、A′P′， 若AP＝A′P′＝30cm，则PB＝P′B＝3PA＝90cm，此时AA′＝AP+PP′+A′P′＝30+180+30＝240（cm）； 若PP′＝30cm，则PB＝P′B＝15cm，AP＝A′P′PB＝5cm，此时AA′＝5+30+5＝40（cm）； ②如图2，当PBAP时，此时剪开的三段分别为AP、PP′、A′P′， 若AP＝A′P′＝30cm，则PB＝P′BAP＝10cm，此时AA′＝AP+PP′+A′P′＝30+20+30＝80（cm）； 若PP′＝30cm，则PB＝P′B＝15cm，AP＝A′P′＝3PB＝45cm，此时AA′＝AP+PP′+A′P′＝45+30+45＝120（cm）； 综上，这条绳子的原长为40或80或120或240cm， 故答案为：40或80或120或240． 【点评】本题主要考查两点间的距离公式，熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【变式6-2】（2021秋•大理市期末）如图，B、C两点把线段AD分成2：3：4的三部分，点E是线段AD的中点． （1）图中共有 　10　条线段； （2）若BE＝5，请你求出EC的长． 【分析】（1）把图中的线段分别列举出来即可得出答案； （2）根据按比例分配和线段中点的性质，可得AD的长，再根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：（1）图中的线段有AB，AE，AC，AD，BE，BC，BD，EC，ED，CD共10条； 故答案为：10； （2）∵B、C两点把线段AD分成2：3：4的三部分， ∴ABADAD，CDAD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝EDAD， ∴BE＝AE﹣ABADADAD＝5， ∴AD＝18， ∴EC＝ED﹣CD＝9﹣8＝1， 答：EC的长为1． 【点评】本题考查了线段和两点的间的距离，利用按比例分配得出AD的长是解题关键． 【变式6-3】（2022春•松北区期末）如图，线段AB和线段CD的公共部分是线段BD，点E、F分别是AB、CD的中点，若BF：DE＝5：2，BC﹣EF＝3，AE＝6，则AC的长为 　26　． 【分析】根据BC﹣EF＝3减去公共长得出CF﹣BE＝3，利用点E、F分别是AB、CD的中点得出DF＝CF＝9，利用比值条件求出DB长，AB+CD﹣BD即可． 【解答】解：∵BC﹣EF＝3，BC，EF有一段公共边BF， ∴CF﹣BE＝3， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴BE＝AE＝6， ∴DF＝CF＝3+BE＝3+6＝9， ∵BF＝9﹣DB，DE＝6﹣DB，BF：DE＝5：2， ∴， ∴DB＝4， ∴AC＝AB+CD﹣DB＝6×2+9×2﹣4＝26． 故答案为：26． 【点评】本题考查线段长度的计算，利用比值条件求出DB长是关键． 【变式6-4】（2023秋•宛城区月考）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M、N分别是AC、BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． （1）根据题意，小明求得MN＝　6　； （2）小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，点C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长． ②如图2，M、N分别是AC，BC的一个三等分点，且，，则MN＝　　． 【分析】（1）先求出BC＝AB﹣AC＝4，再根据线段中点的定义得到CM＝4，CN＝2，则MN＝CM+CN＝6； （2）①根据线段中点的定义得到，则； ②先求出，则． 【解答】解：（1）∵AB＝12，AC＝8， ∴BC＝AB﹣AC＝4， ∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴， ∴MN＝CM+CN＝6， 故答案为：6； （2）①∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比较线段的长短，两点间的距离，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 【题型 7 与线段的长短比较有关的应用】 【例7】（2020秋•江阴市期中）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2…A7，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（　　） ①车站的位置设在C点好于B点； ②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样； ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处． A．①③ B．③④ C．②③ D．② 【分析】可结合题意及图，直接对四个选项本身进行分析，确定对错． 【解答】解：①通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确； ②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果一样，故原来的结论错误； ③工厂到车站的距离是线段的长，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误． 故选：A． 【点评】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算． 【变式7-1】（2023•雨花区自主招生）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　） A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间 【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米）， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米）， ④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500， ⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短． 【变式7-2】（2023•海曙区开学）一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k＝1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼　150　米处． 【分析】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案． 【解答】解：假设车站距离1号楼x米， 则总距离S＝|x|+2|x﹣50|+3|x﹣100|+4|x﹣150|+5|x﹣200|， ①当0≤x≤50时，S＝2000﹣13x，最小值为1350； ②当50≤x≤100时，S＝1800﹣9x，最小值为900； ②当100≤x≤150时，S＝1200﹣3x，最小值为750（此时x＝150）； 当150≤x≤200时，S＝5x，最小值为750（此时x＝150）． ∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米． 故答案为：150． 【点评】本题考查比较线段长短的知识，难度中等，与实际结合较紧，解答本题的关键是设出位置后运用分段讨论的思想进行解答． 【变式7-】先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线的流水线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形． 如图①，如果直线上有2台机床（A1和A2），很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离．而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的．因此P放在A2处是最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置． 问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？ （2）根据问题（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣617|的最小值． 【分析】（1）由于不确定n的取值，故需分情况进行讨论；由题意可得需分n为偶数和n为奇数两种情况，接下来分情况试着讨论求解P应设的位置即可； （2）根据绝对值的几何意义，找到1和617正中间的点，即可求出|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值，至此问题即可迎刃而解． 【解答】解：（1）当n为偶数时，P应设在第台和（1）台之间的任何地方；当n为奇数时，P应设在第台的位置． （2）根据绝对值的几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣617|的最小值，就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…617各点的距离之和最小， 根据问题（1）的结论，可得当x＝309时，原式的值最小，最小值是308+307+…+1+1+2+…+308＝95172． 【点评】本题考查了图形的变化规律，分类讨论是解题的关键． 【题型 8 线段中的动点问题】 【例8】（2022秋•天山区期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB＝14厘米，点C在线段AB上，且BC＝3厘米．点P、点Q是直线AB上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过 　3或1或9　秒时线段PQ的长为6厘米． 【分析】然后分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段PQ的长为6厘米即可． 【解答】解：（1）点P、Q都向右运动时， （6﹣3）÷（2﹣1） ＝3÷1 ＝3（秒）． （2）点P、Q都向左运动时， （6+3）÷（2﹣1） ＝9÷1 ＝9（秒）． （3）点P向左运动，点Q向右运动时， （6﹣3）÷（2+1） ＝3÷3 ＝1（秒）． （4）点P向右运动，点Q向左运动时， （6+3）÷（2+1） ＝9÷3 ＝3（秒）． ∴经过3或1或9秒时线段PQ的长为6厘米． 故答案为：3或1或9． 【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握． 【变式8-1】（2022秋•安化县期末）已知点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C，D两点分别从点M，B出发，以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动． （1）若AB＝10cm，当点C，D运动了2s时，点C，D的位置如图①所示，求AC+MD的值； （2）若点C，D在没有运动到点A和点M时，总有MD＝3AC，试说明此时有； （3）如图②，若，点N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案； （2）根据图形即可直接解答； （3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解． 【解答】解：（1）当点C，D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝6cm． ∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm， ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2（cm） （2）∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3cm/s， ∴当运动时间为t s时，BD＝3tcm，CM＝tcm． 又∵MD＝3AC， ∴BD+MD＝3t+3AC＝3（t+AC）cm， 即BM＝3AM， ∴， （3）当点N在线段AB上时，如图所示： ∵AN﹣BN＝MN，且AN﹣AM＝MN， ∴， ∴， 即， 当点N在线段AB的延长线上时，如图所示： ∵AN﹣BN＝MN，AN﹣BN＝AB， ∴MN＝AB，即． 综上所述，的值为或1． 【点评】本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，解题的关键是细心阅读题目，理清题意后再解答． 【变式8-2】（2022秋•新抚区期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动． （1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s． ①若2cm＜AP＜14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP：PB； （2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度． 【分析】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD． ②利用中点的性质求解． （2）将AP用其它线段表示即可． 【解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）． ∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）． 故答案为：12； ②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t， 则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t， ∴AP：PB＝2t：4t＝1：2． 故答案为：1：2； （2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t， ∴BD＝3PC， ∵PD＝3AC． ∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP． ∴APAB（cm）． 【点评】本题考查求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键． 【变式8-3】（2020秋•十堰期末）如图，已知线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t＞0），点M为AP的中点． （1）若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB＝2AM？ （2）若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点． ①当N为PB的中点时，求线段MN的长度； ②当PN＝2NB时，是否存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点．如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据PB＝2AM建立关于t的方程，解方程即可； （2）①分点P在B点左侧和点P在B点或B点右侧两种情况讨论求解； ②分N是PM的中点，M是NP的中点，P是MN的中点三种情况讨论求解． 【解答】解：（1）∵M是线段AP的中点， ∴AMAP＝t， PB＝AB﹣AP＝24﹣2t． ∵PB＝2AM， ∴24﹣2t＝2t， 解得t＝6． （2）①点P在B点左侧．∵M是线段AP的中点， ∴PMAP＝t， ∵N是线段BP的中点， ∴PNBP（24﹣2t）＝12﹣t． ∴MN＝t+12﹣t＝12． ②点P在B点或B点右侧． ∵M是线段AP的中点， ∴PMAP＝t， ∵N是线段BP的中点， ∴PNBP（2t﹣24）＝t﹣12． ∴MN＝t﹣（t﹣12）＝12． （3）①0＜t≤12 由题意得：PM＝t，PN（24﹣2t），PM＝PN，t（24﹣2t），t． ②12＜t≤48 由题意得：PM＝t，PN （2t﹣24），PM＝2PN，t＝2 （2t﹣24），t． ③t＞48 由题意得：PM＝t，PN （2t﹣24），PN＝2PM， （2t﹣24）＝2t，t＝﹣24（不成立）． 答：当t时，P是MN的中点；当t时，N是MP的中点． 【点评】本题是动点问题，解题时首先要画出图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解． 【题型 9 尺规作线段】 【例9】（2022秋•海沧区期末）如图，点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AB＝6． （1）尺规作图：延长线段AB，并在延长线上作一点D，使得BD+BC＝AB；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若CM＝2AC，求线段AD的长度． 【分析】（1）延长线段AB，在延长线上截取BD＝AC即可； （2）根据中点的定义求出AM＝3，再根据CM＝2AC求出AC＝1，结合BD＝AC即可求解． 【解答】解：（1）∵AC+BC＝AB， ∴若BD+BC＝AB，则BD＝AC， 以点B为圆心，AC长为半径作弧，与线段AB的延长线的交点即为点D，如图所示： ； （2）∵点M是线段AB的中点，AB＝6， ∴， ∵CM＝2AC， ∴， 由（1）知BD＝AC， ∴AD＝AB+BD＝AB+AC＝6+1＝7． 【点评】本题考查尺规作图﹣复杂作图，中点的定义，线段的和差关系等，解题的关键是熟练掌握上述知识点． 【变式9-1】（2022秋•秦都区期末）如图，B，C两点在射线AM上，AC＞BC，用圆规在射线BM上作一点D，使得BD＝AC﹣BC．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】先以点B为圆心，AC长为半径画弧与BM交于一点；再以该点为圆心，BC长为半径画弧与BM交于D点． 【解答】解：如图所示，点D即为所作： ． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图、两点间的距离、线段的和差计算，熟知相关知识点是解答本题的关键． 【变式9-2】（2022秋•沂水县期末）如图，将一段长为30厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处． （1）如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，展开拉直后如图3，求MN的长； （2）若点A'落在B'的左侧，且A′B′＝10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度； （3）若点A'落在B'的右侧，且A′B′＝10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度． 【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，进而根据MN＝MO+ON即可求解； （2）先根据题意画出图形，根据线段中点的性质，得出，，根据MN＝AB﹣（AM+BN）即可求解； （3）先根据题意画出图形，同（2）的方法即可求解． 【解答】解：（1）∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处， ∴，， ∴； （2） ∵AB＝30cm，A′B′＝10cm， ∴AA'+BB'＝AB﹣A'B'＝30﹣10＝20（cm）． 根据题意得，M、N分别为AA'、BB'的中点， ∵，， ∴， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝30﹣10＝20cm； （3）当点A'落在点B'的右侧时， ∵AA'+BB'＝AB+A'B'＝40cm， ∴． ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝30﹣20＝10cm． 【点评】本题考查了线段的和差，线段的中点的性质，数形结合是解题的关键． 【题型 10 线段中的对折问题】 【例10】（2022秋•桥西区期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A﹣C﹣B，若该折线A﹣C﹣B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”． （1）若AC＝BC，点D与 　点C　重合（填 A、B、C）； （2）若E为线段AC中点，EC＝5cm，CD＝2cm，则BC的长为 　6cm或14cm　． 【分析】（1）根据线段的和差即可得到结论； （2）分两种情况：点D在线段AC上和点D在线段BC上，根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）当AC＝BC时，点D与点C重合； 故答案为：点C； （2）①当点D在线段AC上， ∵E为线段AC中点，EC＝5cm， ∴AC＝2CE＝10cm， ∵CD＝2cm， ∴AD＝AC﹣CD＝8cm， ∵BD＝AD＝8cm， ∴BC＝8﹣2＝6（cm）； ②当点D在线段BC上， ∵E为线段AC中点，EC＝5cm， ∴AC＝2CE＝10cm， ∵CD＝2cm， ∴折线A﹣C﹣D＝AC+CD＝12cm， ∵BD＝AC+CD＝12cm， ∴BC＝12+2＝14cm， 所以BC＝6cm或14cm， 故答案为：6cm或14cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确理解新概念“折中点”是解题的关键． 【变式10-1】（2022秋•阜平县期末）如图1，线段OP表示一条拉直的绳子，A，B两点在线段OP上，OP＝a，OA：AP＝3：7，B为OA的中点．固定点A，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上（如图2所示）． （1）若a＝10． ①绳子折叠前，AB的长为 　　； ②绳子折叠后，OP的长为 　4　； （2）若从如图2所示的点B及与点B重叠处一起剪开，使得绳子分成三段，三段绳子由小到大的长度比为 　3：6：11　． 【分析】（1）①根据题意可得OA＝3，根据线段中点的性质即可求解； ②根据线段差的关系即可求解； （2）根据OA，AP，OB，BP的比例关系，绳子长为a，结合（1）求出对应的线段长度即可解得． 【解答】解：（1）①∵OA：AP＝3：7，B为OA的中点．OP＝10， ∴OA＝3，， 故答案为：． ②∵折叠，则OP＝10﹣2OA＝10﹣6＝4， 故答案为：4． （2）根据（1）可得图2中的， 剪开后的三段分别长为OB，2AB，BP， ∴，，， ∴三段绳子由小到大的长度比为． 故答案为：3：6：11． 【点评】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键． 【变式10-2】（2020秋•平阳县期末）学校举行叠被子比赛，最后成品要求如图1所示．图2是被子的平面图（长方形ABCD），被子的长度AD＝200cm，宽度AB＝150cm，具体折法如下：首先把被子平铺分成五份（图2），将长方形NBCK向上翻折作为中间层，再将长方形AEHD向下翻折作为上层，折叠时需要考虑被子的厚度和平整性（AE＝FM＝NBMN），接着按照如图3方式折叠，最终折成如图1所示．折完后被子高度是24厘米，假设被子的厚度是均匀的，且不考虑折叠中间缝隙，则未折叠时被子的厚度为 　2　cm，图3中长方形FMQP的面积为 　　cm2． 【分析】由题图2折了三层，题图3折了四层，折完共3×4＝12层，由此24÷12＝2cm，所以未折时被子厚2cm，在图3中，AB相当于折完后被子高，即AB＝24cm，所以PC＝DEAB＝12cm，且AC＝BD，EG＝PF，可得AC+BD+EG+PF＝2AC+2PF＝200﹣AB﹣PC﹣DE＝152，所以AC+PF＝76，由折叠可知AC＝PF+6，建立方程可得PF的长，在题图2中，MN是两层被子厚度，所以MN＝4cm，同理EF＝6cm，利用AE+EF+MF+MN+BN＝150，求得MF的值，即可得出矩形面积． 【解答】解：∵题图2折了三层，题图3折了四层，折完共3×4＝12层， ∴24÷12＝2cm， ∴未折时被子厚2cm， 如图3，AB相当于折完后被子高，即AB＝24cm， ∴PC＝DEAB＝12cm，且AC＝BD，EG＝PF， ∴AC+BD+EG+PF＝2AC+2PF＝200﹣AB﹣PC﹣DE＝152， ∴AC+PF＝76， 折叠后可知AC＝PF+6， ∴2PF+6＝76，即PF＝35， 在题图2中，MN是两层被子厚度， ∴MN＝4cm，同理EF＝6cm， ∴AE+EF+MF+MN+BN＝MF+6+MF+4+MF﹣MN＝3MF+8＝150， ∴MF， ∴S35（cm2）． 故答案为：2；． 【点评】本题主要考查线段的和差问题，将图2与图3放在一起理解题意是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 6.4比较线段的短十大题型归类训练（原卷版） 【人教版】 【题型 1 线段中点的有关计算】 1 【题型 2 线段的和差】 2 【题型 3 线段的数量关系】 3 【题型 4 简单线段的长短比较】 3 【题型 5 两点间的距离】 4 【题型 6 线段 n 等分点的有关计算】 5 【题型 7 与线段的长短比较有关的应用】 6 【题型 8 线段中的动点问题】 8 【题型 9 尺规作线段】 8 【题型 10 线段中的对折问题】 9 【题型 1 线段中点的有关计算】 【例1】（2021秋•红花岗区期末）已知线段AB＝12cm，点C为直线AB上一点，且AC＝4cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为（　　） A．8cm B．6cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm 【变式1-1】（2021秋•宁化县期中）如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且AD+BE＝8，AE+BD＝12，则CB的长为 　 　． 【变式1-2】（2023秋•全椒县期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝10cm，且，D，E分别为线段AC，AB的中点，求线段DE的长． 【题型 2 线段的和差】 【例2】（2024秋•西城区期中）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；⃯⃯连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M15N15＝　 ． 【变式2-1】（2023秋•惠城区期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②若AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CN．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式2-2】（2020秋•奉化区期末）两根木条，一根长10cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（　　） A．1cm B．11cm C．1cm 或11cm D．2cm或11cm 【变式2-3】（2023秋•梁园区月考）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝10cm，BD＝2cm，求AC的长． 【题型 3 线段的数量关系】 【例3】（2023春•岳麓区期中）已知B、C在线段AD上． （1）如图，图中共有 　6　条线段： （2）如图，若AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1，且BC＝18，求AD的长度． 【变式3-1】（2021秋•沿河县期末）已知点M是线段AB上一点，若AMAB，点N是直线AB上的一动点，且AN﹣BN＝MN，则的值（　　） A． B． C．1或 D．或2 【变式3-2】（2024秋•望城区期末）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（　　） A．BD+AC＝2BC﹣CD B．AB﹣CD＝AC﹣BD C．2CD＝2AD﹣AB D．CD＝AC﹣DB 【变式3-3】（2022秋•下城区月考）如图1，AB是一条拉直的细绳，C，D两点在AB上，且AC：BC＝2：3，AD：BD＝3：7．则 （1）CD：AD＝　 　； （2）若将点C固定，将AC折向BC，使得AC落在BC上（如图2），再从点D处剪断，使细绳分成三段，分成的三段细绳的长度由小到大之比为 　 　． 【题型 4 简单线段的长短比较】 【例4】如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段ABCDEFG，②为折线段AIG，③为折线段AJHG．三条路的长依次为a、b、c，则（　　） A．a＞b＞c B．a＝b＞c C．a＞c＞b D．a＝b＜c 【变式4-1】（多选）13．如图，在三角形ABC中，下列比较线段AB和AC长短的方法中可行的有（　　） A． 凭感觉估计 B．用直尺度量出AB和AC的长度 C．用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置 D．沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置 【变式4-2】（2022秋•楚雄市期末）如图，B，C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点， （1）图中以C为端点的线段共有 　 　条； （2）若AB＝CD， ①比较线段的长短：AC 　 BD；AN 　 　DM（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AD＝21，AB：BC＝2：3，求MN的长度． 【变式4-3】（2020秋•重庆期末）画图题． 如图，已知三点A、B、C． ①画直线AB；②射线AC；③线段BC；④在线段BC上取点D；⑤延长BC到E，使CE＝CD． 【题型 5 两点间的距离】 【例5】（2022秋•桥西区期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（　　） A．19cm B．20cm C．21cm D．22cm 【变式5-1】（2023秋•青山湖区期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为 　 　． 【变式5-2】（2022秋•大连期末）如图，A、B、C、D、E是直线l上的点，线段AB＝12cm，点D、E分别是线段AC、BC的中点． （1）求线段DE的长； （2）若BC＝4cm，点O在直线AB上，AO＝5cm，求线段OE的长； （3）若BC＝mcm，点O在直线AB上，AO＝ncm，请直接写出线段OE的长 　cm．（用含m、n的式子表示） 【题型 6 线段 n 等分点的有关计算】 【变式6-1】（2023秋•杭州期末）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，点P是AB的四等分点，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中的一段长为30cm，则这条绳子的原长为　 　cm． 【变式6-2】（2021秋•大理市期末）如图，B、C两点把线段AD分成2：3：4的三部分，点E是线段AD的中点． （1）图中共有 　 条线段；（2）若BE＝5，请你求出EC的长． 【变式6-3】（2022春•松北区期末）如图，线段AB和线段CD的公共部分是线段BD，点E、F分别是AB、CD的中点，若BF：DE＝5：2，BC﹣EF＝3，AE＝6，则AC的长为 　 ． 【变式6-4】（2023秋•宛城区月考）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M、N分别是AC、BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． （1）根据题意，小明求得MN＝　 　； （2）小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，点C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长． ②如图2，M、N分别是AC，BC的一个三等分点，且，，则MN＝　 ． 【题型 7 与线段的长短比较有关的应用】 【例7】（2020秋•江阴市期中）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2…A7，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（　　） ①车站的位置设在C点好于B点； ②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样； ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处． A．①③ B．③④ C．②③ D．② 【变式7-1】（2023•雨花区自主招生）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　） A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间 【变式7-2】（2023•海曙区开学）一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k＝1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼　 米处． 【变式7-】先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线的流水线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形． 如图①，如果直线上有2台机床（A1和A2），很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离．而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的．因此P放在A2处是最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置． 问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？ （2）根据问题（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣617|的最小值． 【题型 8 线段中的动点问题】 【例8】（2022秋•天山区期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB＝14厘米，点C在线段AB上，且BC＝3厘米．点P、点Q是直线AB上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过 　 　秒时线段PQ的长为6厘米． 【变式8-1】（2022秋•安化县期末）已知点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C，D两点分别从点M，B出发，以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动． （1）若AB＝10cm，当点C，D运动了2s时，点C，D的位置如图①所示，求AC+MD的值； （2）若点C，D在没有运动到点A和点M时，总有MD＝3AC，试说明此时有； （3）如图②，若，点N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【变式8-2】（2022秋•新抚区期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动． （1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s． ①若2cm＜AP＜14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP：PB； （2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度． 【变式8-3】（2020秋•十堰期末）如图，已知线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t＞0），点M为AP的中点． （1）若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB＝2AM？ （2）若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点． ①当N为PB的中点时，求线段MN的长度； ②当PN＝2NB时，是否存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点．如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 【题型 9 尺规作线段】 【例9】（2022秋•海沧区期末）如图，点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AB＝6． （1）尺规作图：延长线段AB，并在延长线上作一点D，使得BD+BC＝AB；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若CM＝2AC，求线段AD的长度． 【变式9-1】（2022秋•秦都区期末）如图，B，C两点在射线AM上，AC＞BC，用圆规在射线BM上作一点D，使得BD＝AC﹣BC．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式9-2】（2022秋•沂水县期末）如图，将一段长为30厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处． （1）如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，展开拉直后如图3，求MN的长； （2）若点A'落在B'的左侧，且A′B′＝10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度； （3）若点A'落在B'的右侧，且A′B′＝10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度． 【题型 10 线段中的对折问题】 【例10】（2022秋•桥西区期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A﹣C﹣B，若该折线A﹣C﹣B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”． （1）若AC＝BC，点D与 　 　重合（填 A、B、C）； （2）若E为线段AC中点，EC＝5cm，CD＝2cm，则BC的长为 　 ． 【变式10-1】（2022秋•阜平县期末）如图1，线段OP表示一条拉直的绳子，A，B两点在线段OP上，OP＝a，OA：AP＝3：7，B为OA的中点．固定点A，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上（如图2所示）． （1）若a＝10． ①绳子折叠前，AB的长为 　 ；②绳子折叠后，OP的长为 　 　； （2）若从如图2所示的点B及与点B重叠处一起剪开，使得绳子分成三段，三段绳子由小到大的长度比为 　 　． 【变式10-2】（2020秋•平阳县期末）学校举行叠被子比赛，最后成品要求如图1所示．图2是被子的平面图（长方形ABCD），被子的长度AD＝200cm，宽度AB＝150cm，具体折法如下：首先把被子平铺分成五份（图2），将长方形NBCK向上翻折作为中间层，再将长方形AEHD向下翻折作为上层，折叠时需要考虑被子的厚度和平整性（AE＝FM＝NBMN），接着按照如图3方式折叠，最终折成如图1所示．折完后被子高度是24厘米，假设被子的厚度是均匀的，且不考虑折叠中间缝隙，则未折叠时被子的厚度为 　2　cm，图3中长方形FMQP的面积为 　 cm2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$