专题10 角【十一大题型】分类训练（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学提优专题训练及试卷测试(人教版）

角【十一大题型】分类训练（解析版） 【题型 1 角的相关概念辨析】 1 【题型 2 角的单位换算】 2 【题型 3 钟表上有关角的计算】 3 【题型 4 与方向角有关的计算】 3 【题型 5 角的计数问题】 4 【题型 6 角的比较】 5 【题型 7 与角平分线相关的角的运算】 6 【题型 8 与角 n 等分线相关的角的运算】 8 【题型 9 在三角板中的角的运算】 10 【题型 10 余角和补角的计算】 11 【题型 11 同（等）角的余角和补角相等的运用】 12 【题型 1 角的相关概念辨析】 【典例1】观察图形，解答下列问题： （1）写出能用一个字母表示的角； （2）写出以B为顶点的角； （3）图中共有几个角（小于平角）？ 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【解答】解：（1）能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C； （2）以B为顶点的角有3个：∠ABE，∠ABC，∠EBC； （3）图中小于平角的角有9个：∠A，∠C，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠ADE，∠CDE，∠ADB，∠BDC． 故答案为：∠A，∠C；∠ABE，∠ABC，∠EBC；9个． 【点评】本题考查了角的概念．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种： 1、角+3个大写英文字母； 2、角+1个大写英文字母； 3、角+小写希腊字母； 4、角+阿拉伯数字． 【变式1-1】（2022秋•港南区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形 【分析】根据角的动态定义解答：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边． 【解答】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误； B、根据A可得B错误； C、角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确； D、据C可得D错误． 故选：C． 【点评】此题考查了角的动态定义，此类问题还经常考查角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边． 【变式1-2】如图，回答下列问题： （1）∠ECG和∠C是不是同一个角？ （2）∠OGF和∠DGB是不是同一个角？ （3）∠DOF和∠EOG是不是同一个角？ （4）∠ABC和∠BCA是不是同一个角？ （5）图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 【分析】通常用三个字母及符号“∠”来表示，如∠ACB；还可以用一个数字或字母表示一个角，如∠1；在不引起混淆的情况下，也可以用角的顶点来表示这个角，如∠C；接下来根据角的表示方法结合题中的各个角分别判断各个小题． 【解答】解：（1）∠ECG和∠C的顶点都是C，角的两边都是射线CA、CB，因此是同一个角； （2）∠OGF和∠DGB的顶点都是G，角的两边都是射线GD、GB，因此是同一个角； （3）∠DOF和∠EOG的两边不是相同的射线，因此不是同一个角； （4）∠ABC和∠BCA的顶点不同，因此不是同一个角； （5）图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是∠A，∠B，∠C． 【点评】本题考查角的概念，掌握角的表示方法是解题的关键． 【变式1-3】如图． （1）用不同的方法表示图中以D为顶点的角； （2）写出以B为顶点的角的边； （3）画出DA′，使∠ADA′成平角，写出它的边． 【分析】根据角的概念可以得出（1）和（2）的解，（3）平角为180°，知需A、D、A′三点在一条直线上即可． 【解答】解：（1）∠ADB或∠1或∠D； （2）以B为顶点的角为∠CBD（或∠B或∠2），边是BD，BC； （3）如图，DA′是射线DA的反向延长线， 则∠AD′A成平角，∠ADA′的边是DA，DA′． 【点评】本题考查角的概念，熟练掌握角的表示方法和角的概念． 【题型 2 角的单位换算】 【典例2】关于度、分、秒的换算． （1）56°18'用度表示； （2）12°32'24''用度表示； （3）12.31°用度、分、秒表示． 【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵1°＝60′， ∴18′＝0.3°， ∴56°18′＝56.3°； （2）∵1′＝60″， ∴24″＝0.4′， ∵1°＝60′， ∴32.4′＝0.54°， ∴12°32′24″＝12.54°； （3）∵1°＝60′， ∴0.31°＝18.6′， ∵1′＝60″， ∴0.6′＝36″， ∴12.31°＝12°18′36″． 【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 【变式2-1】（2024•灞桥区四模）比较大小：60°25'　＞　60.25°（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】根据度、分、秒的换算方法将60.25°换算成60°15′即可． 【解答】解：∵60.25°＝60°15′，而60°25'＞60°15′， ∴60°25'＞60.25°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算方法以及单位之间的进率是正确解答的前提． 【变式2-2】计算下列各式： （1）34°25′×2+35°42′； （2）72°34′÷2+18°33′×4； （3）40°26′+30°30′30″÷6； （4）13°53′×3﹣32°5′31″． 【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （3）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （4）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）原式＝68°50′+35°42′ ＝103°92′ ＝104°32′； （2）原式＝36°17′﹣72°132′ ＝36°17′﹣74°12′ ＝﹣37°55′； （3）原式＝40°26′+5°5′5″ ＝45°31′5″； （4）原式＝39°159′﹣32°5′31″ ＝41°39′﹣32°5′31″ ＝9°33′29″． 【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 【变式2-3】（2024秋•鄞州区期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再比较即可，也可把∠A和∠B的度数化成度，再进行比较． 【解答】解：∵∠C＝30.25°＝30°+0.25° 0.25°＝0.25×60′＝15′， ∴∠C＝30°15′， ∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″， ∴∠A＞∠B＞∠C． 故选：D． 【点评】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，主要考查学生能否正确进行度分秒之间的换算． 【题型 3 钟表上有关角的计算】 【例3】（2023秋•中江期末）实验中学上午10：10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 【分析】根据时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：4×30°﹣10×0.5° ＝120°﹣5° ＝115°， 故选：C． 【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°是解题的关键． 【变式3-1】（2022秋•惠山区期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：　6点分或6点分　．（结果形如6点分） 【分析】设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，根据时针与分针的角度差为100°，分时针与分针重合前以及重合后分别列出方程即可求解． 【解答】解：设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，时针每分钟转，分针每分钟转6°，六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°， 依题意得：分时针与分针重合前，0.5m+180﹣6m＝100， 解得：， 分时针与分针重合后，6m﹣（0.5m+180）＝100， 解得：， 故答案为：6点分或6点分． 【点评】本题考查了钟面角的计算，一元一次方程的应用，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【题型 4 与方向角有关的计算】 【例4】（2021秋•集贤县期末）根据描述标出每个同学家的位置 （1）小红家在学校东偏北30°方向150米处． （2）学校在小平家北偏西45°方向200米处． （3）小华家在学校南偏西60°方向100米处． （4）小刚家在学校西偏北30°方向150米处． 【分析】（1）利用方向角的定义即可解答； （2）利用方向角的定义即可解答； （3）利用方向角的定义即可解答； （4）利用方向角的定义即可解答． 【解答】解：（1）如图所示， （2）如图所示， （3）如图所示， （4） 如图所示， 【点评】本题考查了用坐标表示地理位置，正确掌握方向角的定义是解题的关键． 【变式4-1】（2023秋•唐河县期末）从海岛A点观察海上两艘轮船B、C．轮船B在点A的北偏东60°25′方向；轮船C在点A的南偏东15°37′方向，则∠BAC＝　103°58′　． 【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可求解． 【解答】 解：BAC＝180°﹣60°25′﹣15°37′＝103°58′． 故答案为：103°58′． 【点评】本题考查角度的计算，关键是掌握方向角的概念． 【变式4-2】（2022秋•船营区期末）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西30°方向走到点C，则∠BAC的度数是 　140°　． 【分析】∠BAC等于三个角的和，求出各角的度数，相加即可． 【解答】解：由题意，可知：∠BAF＝20°， ∠CAE＝30°， ∵∠CAE＝30°， ∴∠BAC＝∠CAE+∠EAF+∠BAF ＝30°+90°+20° ＝140°， 故答案为：140°． 【点评】本题主要考查方向角，解决此题时，能准确找到方向角是解题的关键． 【变式4-3】（2024秋•广西期末）如图，货轮甲从港口O出发，沿东偏南60°的方向航行20海里后到达A处．（已知四个圆圈的半径（由小到大）分别是5海里，10海里，15海里，20海里．） （1）写出在港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离； （2）已知灯塔D在港口O的南偏西30°方向上，且与灯塔B相距35海里，在图中标出灯塔D的位置． （3）货轮乙从港口O出发，沿正东方向航行15海里到达P处后，需把航行方向调整到与货轮甲的航行方向一致，此时货轮乙应向左（或右）转多少度？并画出货轮乙航行线路示意图． 【分析】（1）根据图中的位置一一解答即可． （2）根据已知条件画出点D的位置即可． （3）货轮乙应向右转60°，航行线路如图所示． 【解答】 解：（1）灯塔B的方向是东偏北60°， 灯塔C的方向是正北方向， 灯塔B与港口O相距离20海里， 灯塔C与港口O相距离10海里． （2）灯塔D的位置如图所示． （3）货轮乙应向右转60°， 航行线路如图所示． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计，方向角等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型 5 角的计数问题】 【例5】解答下列各题． （1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表： ∠AOB内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 　3　 　6　 　10　 　15　 （2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示上面的结论． （3）若∠AOB内有射线条数是2024，则角的总个数为多少？ 【分析】（1）（2）若∠AOB内射线的条数是n，可构成（n+1）（n+2）个角，依据规律回答即可； （3）将n＝2024代入计算即可． 【解答】解：（1）填表如下： ∠AOB内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 3 6 10 15 （2）若∠AOB内射线的条数是n，角的总个数（n+1）（n+2）； （3）当n＝2024时， （n+1）（n+2） 2025×2026 ＝2051325．即角的总个数为2051325． 【点评】本题主要考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成n（n﹣1）个角． 【变式5-1】（2024秋•肇州县期中）如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】在5条射线中，选取任意一条射线，它和剩余的4条射线都可以组成锐角，所以由它组成的锐角有5﹣1＝4（个），每条射线都可以组成4个锐角，共组成5×4＝20（个）锐角，但是这20个角每个角都计算了2遍，所以再除以2，得到总的锐角的个数为10． 【解答】解：∵组成一个角需要2条射线， ∴选取任意一条射线，由它组成的锐角有5﹣1＝4（个）， 则5条射线可以组成的锐角共10（个）． 故选：C． 【点评】本题考查角的数量，掌握角的数量的计算方法是解题的关键． 【变式5-2】如图所示，在∠AOB的内部，以O为顶点引出1条射线（如图①所示），此时图中共有3个角，如果从点O引出2，3，4，…，n条射线，那么能构成角的总个数又为多少？请填表回答角的总个数. ∠AOB内部射线的条数 1 2 3 … n 角的总个数 3 　6　 　10　 … 　（n+2）（n+1）　 【分析】根据基本图形，寻找角的个数变化的规律，即每增加一条射线，增加了多少角，找出角的个数与射线条数之间的数量关系． 【解答】解：在∠AOB的内部引一条射线，图中共有1+2＝3个角； 若引两条射线，图中共有1+2+3＝6个角； 若引三条射线，图中共有1+2+3+4＝10个角； … 若引n条射线，图中共有1+2+3+…+（n+1）（n+2）（n+1）个角； 故答案为：6，10，（n+2）（n+1）． 【点评】本题是找规律题，总结出在一个角的内部引n条射线共有 （n+2）（n+1）个角是解题的关键． 【变式5-3】（2020秋•高淳区期末）在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA、OB可组成的角的个数是（　　） A．595 B．406 C．35 D．666 【分析】根据角的定义以及角的个数与角内部射线的条数之间的关系进行计算即可． 【解答】解：将∠AOB分成10等份，在∠AOB内部有9条射线； 将∠AOB分成12等份，在∠AOB内部有11条射线； 将∠AOB分成15等份，在∠AOB内部有14条射线； 而将∠AOB分成10等份与12等份，共重合1条射线，将∠AOB分成10等份与15等份，共重合4条射线，将∠AOB分成12等份与15等份，共重合2条射线， 所以三种方法分∠AOB，在∠AOB内部一共有9+11+14﹣1﹣4﹣2＝27条射线，因此一共构成角的个数为28+27+26+…+3+2+1＝406， 故选：B． 【点评】本题考查角的概念，理解角的定义，掌握角的个数与角内部射线的条数之间的关系是正确解答的前提． 【题型 6 角的比较】 【例6】（2021秋•襄都区期中）已知∠α与∠β都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若∠α的另一条边恰好落在∠β的内部，则（　　） A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．不能比较∠α与∠β的大小 【分析】如果两个角的顶点重合，且有一边重合，如果另两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；再结合“若∠α的另一条边恰好落在∠β的内部”即可比较出∠α与∠β的大小． 【解答】解：∵∠α与∠β的一条边重合，且∠α的另一条边恰好落在∠β的内部， ∴∠α＜∠β． 故选：A． 【点评】本题考查角的大小比较，熟练掌握比较角大小的方法是解题关键． 【变式6-1】（2022秋•南岸区期末）如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且∠AOP＝90°．用尺规完成作图： （1）在射线OB上截取OD，使OD＝OC；在射线OP上取一点E，使OE＝2OC，连接CE，DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论； （2）在射线OP上取一点Q（不同于点O，E），连接CQ，DQ；比较∠CED与∠CQD的大小，并直接写出结论． 【分析】（1）根据题意可画出图形，由垂直平分线性质可得CE＝DE； （2）分两种情况画出图形，直接可比较∠CED与∠CQD的大小． 【解答】解：（1）如图： 由CO＝DO，∠AOP＝90°知，直线PO是线段CD的垂直平分线， ∴CE＝DE； （2）如图： 当Q在E下方的射线OP上时，∠CED＜∠CQD， 当Q'在E上方的射线OP上时，∠CED＞∠CQ'D． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，涉及线段的垂直平分线性质及应用，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 【变式6-2】（2022秋•佛山期末）学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较．C、D为一个量角器在AB上方边缘上的两个动点，连接CO、DO． （1）当C，D两点运动到如图1所示的位置时，请你直接由量角器读出∠COB＝　45　°，∠DOA＝　60　°； （2）若OD从OA出发以每秒8°的速度向终边OB运动，同时OC从OB出发，以每秒10°的速度向终边OA运动，运动时间为t，当CO⊥DO时，运动时间t是多少？ （3）如图2，过点O作AB的垂线与量角器的边缘交于点E，若∠COD＝60°，OF是∠COE的平分线，OD从OA出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，∠DOE与∠COF的数量关系． 【分析】（1）观察量角器上的读数，即可得到问题的答案； （2）分两种情况，一是OC与OD相遇前CO⊥DO，可列方程8t+10t+90＝180；二是OC与OD相遇后CO⊥DO，可列方程8t+10t﹣90＝180，解方程求出相应的t值即可； （3）设∠AOD＝α，分三种情况，一是当0°≤α≤30°时，可推导出α＝90°﹣∠DOE＝30°﹣2∠COF，则∠COF∠DOE﹣30°；二是当30°＜α≤90°时，可推导出α＝90°﹣∠DOE＝2∠COF+30°，则∠COF＝30°∠DOE；三是90°＜α≤120°时，可推导出α＝90°+∠DOE＝2∠COF+30°，则∠COF＝30°∠DOE． 【解答】解：（1）观察量角器可知，∠COB＝45°，∠DOA＝60°， 故答案为：45，60． （2）在OC与OD相遇前CO⊥DO，则8t+10t+90＝180， 解得t＝5； 在OC与OD相遇后CO⊥DO，则8t+10t﹣90＝180， 解得t＝15， 答：当CO⊥DO时，运动时间t是5秒或15秒． （3）设∠AOD＝α， 当0°≤α≤30°时，α＝90°﹣∠DOE， ∵∠COF（90°﹣60°﹣α）， ∴α＝30°﹣2∠COF， ∴90°﹣∠DOE＝30°﹣2∠COF， ∴∠COF∠DOE﹣30°； 当30°＜α≤90°时，α＝90°﹣∠DOE， ∵∠COF（60°+α﹣90°）， ∴α＝2∠COF+30°， ∴90°﹣∠DOE＝2∠COF+30°， ∴∠COF＝30°∠DOE； 当90°＜α≤120°时，α＝90°+∠DOE， ∵∠COF（60°+α﹣90°）， ∴α＝2∠COF+30°， ∴90°+∠DOE＝2∠COF+30°， ∴∠COF＝30°∠DOE， 综上所述，当0°≤α≤30°时，∠COF∠DOE﹣30°；当30°＜α≤90°时，∠COF＝30°∠DOE；当90°＜α≤120°时，∠COF＝30°∠DOE． 【点评】此题重点考查角度的计算、垂直的定义、角平分线的定义、角的大小比较等知识，正确地用代数式表示∠DOE、∠COF是解题的关键． 【题型 7 与角平分线相关的角的运算】 【例7】（2023秋•昌图县期末）探究题 已知O为直线AD上的一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE． （1）如图1，若∠DOE＝54°，则∠AOC＝　36°　，∠COF＝　27°　； （2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，射线OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF与∠DOE之间的数量关系，并说明理由； （3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE，求2∠COF+∠DOE的度数． 【分析】（1）利用角的加减，角平分线定义计算； （2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系； （3）由图③和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到2∠COF+∠DOE的度数． 【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠DOE＝54°， ∴∠AOC＝180°﹣90°﹣54°＝36°， ∴∠AOE＝90°+36°＝126°， 又∵射线OF平分∠AOE， ∴∠FOE∠AOE126°＝63°， ∴∠COF＝90°﹣∠FOE＝90°﹣63°＝27°； 故答案为：36°，27°； （2）∠COF∠DOE；理由如下： ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF∠AOE， ∵∠COE＝90°， ∴∠AOC＝90°﹣∠AOE， ∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝90°﹣∠AOE∠AOE＝90°∠AOE， ∵∠AOE＝180°﹣∠DOE， ∴∠COF＝90°（180°﹣∠DOE）∠DOE， 即∠COF∠DOE； （3）∵∠COE＝90°， ∴∠AOE+∠COD＝180°﹣90°＝90°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF， ∴2∠COF+∠DOE ＝2（∠COE+∠EOF）+∠COE+∠COD ＝2∠COE+2∠EOF+∠COE+∠COD ＝3∠COE+2∠EOF+∠COD ＝3∠COE+∠AOE+∠COD ＝3×90°+90° ＝360°． 【点评】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件． 【变式7-1】（2023秋•新余期末）如图，点O为直线AB上一点，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，若∠AOE＝10°，那么∠BOF＝　35°　． 【分析】因为∠COD＝90°，所以∠AOC+∠BOD＝90°，又因OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，所以∠AOE+∠BOF＝45°，已知∠AOE＝10°，可得∠BOF的度数． 【解答】解：∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE∠AOC，∠BOF∠BOD， ∴∠AOE+∠BOF＝45°， ∵∠AOE＝10°， ∴∠BOF＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题考查了补角和余角、角平分线，关键是掌握余角、补角以及角平分线的定义． 【题型 8 与角 n 等分线相关的角的运算】 【例8】（2023秋•合肥期末）探索新知： 如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）一个角的平分线 　是　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　α或α或α　．（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”． 【分析】（1）根据定分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据定分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据定分线定义得到方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意，一个角的平分线是这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”） 故答案为：是． （2）∵∠MPN＝α， ∴∠MPQα或α或α． 故答案为：α或α或α． （3）①15t＝6060， 解得t＝6； ②15t＝2×60， 解得t＝8； ③15t＝60+2×60， 解得t＝12． 故当t为6秒或8秒或12秒时，射线PM是∠QPN的“巧分线”． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，新定义问题，解题时要能熟练掌握阅读理解能力及知识的迁移能力是关键． 【变式8-1】（2022秋•东至县期末）已知：O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE． （1）如图1，若∠COF＝34°，则∠BOE＝　68°　；若∠COF＝m°，则∠BOE＝　2m°　；∠BOE与∠COF的数量关系为 　∠BOE＝2∠COF　． （2）在图2中，若∠COF＝75°，在∠BOE内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF（∠BOE﹣∠BOD）？若存在，请求出∠BOD，若不存在，请说明理由． （3）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，直接写出∠BOE与∠COF的数量关系． 【分析】（1）由直角三角形的性质求得∠EOF的度数，再OF平分∠AOE，求得∠AOE的度数，从而求得∠BOE的度数；若∠COF＝m°，则∠EOF＝90°﹣m°，由角平分线的定义求得∠AOE＝180°﹣2m°，从而求得∠BOE的度数，进而求得∠BOE＝2∠COF； （2）由∠COF＝75°，∠COE＝90°，求得∠EOF的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOF的度数，再由平角的定义求得∠BOE的度数，再代入求解即可； （3）设∠BOE＝α，则∠BOC＝90°﹣α，∠AOE＝180°﹣α，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠COF＝34°，∠COE＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝112°， ∴∠BOE＝180°﹣112°＝68°； ∵∠COF＝m°，∠COE＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣m°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝180°﹣2m°， ∴∠BOE＝180°﹣（180°﹣2m°）＝2m°； ∴∠BOE＝2∠COF， 故答案为：68°，2m°，∠BOE＝2∠COF； （2）存在，理由如下： ∵∠COE＝90°，∠COF＝75°， ∴∠EOF＝15°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠EOF＝15°， ∴∠BOE＝180°﹣30°＝150°， ∵， ∴， ∴∠BOD＝15°； （3）∵∠COE＝90°， 设∠BOE＝α，则∠BOC＝90°﹣α，∠AOE＝180°﹣α， ∵OF平分∠AOE， ∴， ∴， 即2∠COF+∠BOE＝360°． 【点评】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键． 【变式8-2】（2022春•北碚区期中）如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角） （1）角的三等分线 　是　这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； （2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数； （3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的t值． 【分析】（1）根据幸运线定义即可求解； （2）分3种情况，根据幸福线定义得到方程求解即可； （3）分当0＜t≤4时和4＜t＜9时2种情况，根据幸福线定义得到方程求解即可． 【解答】解：（1）一个角的三等分线是这个角的“幸福线”； 故答案为：是； （2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x， 由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°， ②设∠AOC＝x，则∠BOC＝3x， 由题意得，x+3x＝45°，解得x＝11.25°， ③设∠AOC＝x，∠AOC＝3∠BOC时，∠BOCx， 则xx＝45°， 解得x＝33.75°； ④设∠AOC＝x，∠AOB＝3∠BOC，∠BOCx， 则xx＝45°， 解得x＝30°； 综上所述：∠AOC的度数为15°或11.25°或30°或33.75°； （3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t， 若射线OA是∠MON的“幸福线”， ∠AON∠MON，即60﹣15t（60+5t），解得t； ∠AON∠MON，即60﹣15t（60+5t），解得t； ∠AON∠MON，即60﹣15t（60+5t），解得t； ∠AOM＝3∠AON，即20t＝3（60﹣15t），解得t； 当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60， 若射线ON是∠AOM的“幸福线”， ∠AON∠MOA，即15t﹣6020t，解得t； ∠AON∠MOA，即15t﹣6020t，解得t＝36（舍）； ∠AON∠MOA，即15t﹣6020t，t不存在． ∠MON＝3∠AON，即60+5t＝3（15t﹣60），解得t＝6， 综上，t的值是或或或或或6． 【点评】本题考查了旋转的性质，幸福线定义，一元一次方程的应用，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸福线”的定义是解题的关键． 【变式8-3】（2022秋•凤阳县期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． （1）若OC平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）小明说：当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由； （3）若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直，请直接写出∠AOC所有可能的值． 【分析】（1）根据角平分线得到∠AOC＝∠BOC＝60°，再根据三等分线可得∠MOC和∠NOC的度数，最后利用∠MON＝∠MOC+∠NOC可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可； （3）分OA⊥ON和OM⊥OB两种情况，再利用角的和差计算即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， ∴∠MOC∠AOC＝40°，∠NOC∠BOC＝40°， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+40°＝80°； （2）小明是说法正确， ∵∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC（∠AOC+∠BOC）∠AOB120°＝80°； （3）①当OA⊥ON时， ∵∠AOB＝120°，OA⊥ON， ∴∠BON＝∠AOB﹣∠AON＝120°﹣90°＝30°， ∵ON是∠BOC的三等分线， ∴∠BOC＝3∠BON＝90°， ∴∠AOC＝120°﹣90°＝30°； ②当OM⊥OB时， ∵∠AOB＝120°，OM⊥OB， ∴∠AOM＝∠AOB﹣∠BOM＝120°﹣90°＝30°， ∵OM是∠AOC的三等分线， ∴∠AOC＝3∠AOM＝90°． 综上，∠AOC的度数是30°或90°． 【点评】本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义与角的和差的解题关键，（3）中注意要分类讨论． 【变式8-4】（2023秋•抚州期中）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为 　或或9x　． 【分析】分三角情况讨论，因为射线OP是∠MON的三等分线，则OP把∠MON分成1：2的两部分，推出∠MON＝3∠MOP或，又因为射线OQ是∠MOP的三等分线，则OQ把∠MOP分成1：2的两部分，得出∠MOP＝3∠MOQ或，因为∠MOQ＝x，则∠MOP＝3∠MOQ＝3x或． 【解答】解：如图， ∵射线OP是∠MON的三等分线， ∴OP把∠MON分成1：2的两部分， ∴∠MON＝3∠MOP或， ∵射线OQ是∠MOP的三等分线， ∴OQ把∠MOP分成1：2的两部分， ∴∠MOP＝3∠MOQ或， ∵∠MOQ＝x， ∴∠MOP＝3∠MOQ＝3x或， 当∠MOP＝3x时，∠MON＝3∠MOP＝9x或， 当时，或， 故答案为：或或9x． 【点评】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【题型 9 在三角板中的角的运算】 【例9】（2023秋•管城区期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是（　　） A．20° B．80° C．100° D．150° 【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【解答】解：（1）当OD与AC边的夹角为40°时， ①当OD在AC下方时， ∵∠CAD＝40°，∠DAE＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣40°＝50°； ∵∠BAC＝30°， ∴∠BAE＝30°+50°＝80°， ②当OD在AC上方时， ∵∠CAD＝40°，∠DAE＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠BAE＝30°+40°+90°＝160°； （2）当OE与AC边的夹角为40°时， ①当OE在AC下方时， ∵∠CAE＝40°，∠BAC＝30°， ∴∠BAE＝40°﹣30°＝10°， ∴∠BAD＝10°+90°＝100°， ②当OE在AC上方时， ∵∠CAE＝40°，∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝90°﹣40°﹣30°＝20°， 综上：另一条直角边与AB边的夹角可能是80°，160°，20°，100°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握三角板的各个角度，以及正确画出图形，具有分类讨论的思想． 【变式9-1】（2023春•牟平区期末）如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP＝70°，将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（∠MON＝90°）在直线AB的上方．设∠BOM＝n°（0＜n＜90）． （1）当n＝32时，求∠PON的大小； （2）若0＜n＜70时，求∠AON﹣∠POM的值． 【分析】（1）利用角的计算求得∠POM的度数，继而求得∠PON的度数； （2）利用角的计算表示出∠POM，然后表示出∠AON，最后代入∠AON﹣∠POM中计算即可． 【解答】解：（1）∵∠BOM＝32°，∠BOP＝70°， ∴∠POM＝∠BOP﹣∠BOM＝70°﹣32°＝38°， ∵∠MON＝90°， ∴∠PON＝90°﹣38°＝52°； （2）∵∠BOM＝n°，∠BOP＝70°， ∴∠POM＝∠BOP﹣∠BOM＝70°﹣n°， ∵∠MON＝90°， ∴∠AON+∠BOM＝90°， ∴∠AON＝90°﹣n°， ∴∠AON﹣∠POM＝90°﹣n°﹣（70°﹣n°）＝20°． 【点评】本题考查余角和补角，角的计算，（2）中利用含n的代数式分别表示出∠POM，∠AON是解题的关键． 32．（2022秋•辉县市期末）（1）探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，乐乐同学只利用一副三角板能画出来的角是 　①④　（填序号）； （2）在探究过程中他发现：如图1，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止．在此过程中，若旋转时间为t秒，请用t表达下列角度．∠AOE＝　5t　°．∠BOC＝　135°﹣5t　°． （3）在此过程中，是否存在一个时间t（秒），使∠BOC＝3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来； （2）根据旋转角度＝旋转速度乘以旋转时间以及角的和差即可得出答案； （3）当OA在∠DOE内时和OA在∠DOE外部时，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵15°＝45°﹣30°， ∴25°、35°和65°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出； 故选①④； （2）∠AOE＝5t°，∠BOC＝180°﹣∠AOE﹣45°＝135°﹣5t°； （3）存在时间t，使∠BOC＝3∠AOD，理由如下： 由题意得：∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠DOE＝180°﹣∠COD＝120°， ①当OA在∠DOE内时，如图所示， ∴∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝120°﹣5t°， ∵∠BOC＝3∠AOD， ∴135°﹣5t°＝3（120°﹣5t°）， 解得t＝22.5， ∵22.5×5°＜120°， ∴t＝22.5符合题意； ②当OA在∠DOE外部时，如图2﹣2．所示 ∴∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝5t°﹣120°， ∵∠BOC＝3∠AOD， ∴135°﹣5t°＝3（5t°﹣120°）， 解得t＝24.75， ∵24.75×5°＞120°， ∴t＝24.75符合题意； ∴当t＝22.5或t＝24.75时，∠BOC＝3∠AOD． 【点评】本题考查了三角形综合，角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意列出方程是解题的关键． 【变式9-2】（2022秋•邓州市期末）综合与实践： 在一次数学综合实践课上，王老师提出了这样一个问题． 将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON，然后提出问题：求∠MON的度数．明明与同桌丽丽讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，探索思路】 将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON，OD，OB在同一条直线上，按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等． （1）直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为 　135°　，图3中∠MON的度数为 　135°　； （2）【特例启发，解答题目】 猜想在图1所示的一般情况下∠MON的度数，并说明理由； （3）【核心素养，方法总结】 你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了 　A　数学思想． A．由特殊到一般 B．方程思想 C．分类讨论 D．逆向思考 （4）【拓展结论，设计新题】 若将王老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON”改为“分别作出射线OM，ON，使∠AOM∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD，于是得到结论； （3）根据明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想； （4）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD，于是得到结论． 【解答】解：（1）图2中，， 图3中，∠MDN135°； 故答案为：135°；135°； （2）图1中，∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°， ∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线， ∴∠MOC+∠NOD， ∴∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD＝45°+90°＝135°； （3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想， 故答案为：A． （4）∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°， ∵， ∴∠MOC∠AOC，∴∠MOC+∠NOD， ∴∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD＝18°+90°＝108°； ∴∠MON＝108°． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键． 【题型 10 余角和补角的计算】 【例10】（2022秋•黄埔区期中）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC． （1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角； （2）若∠BOC＝68°，求∠COD和∠EOC的度数； （3）∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？ 【分析】（1）根据互为补角的和等于180°找出即可； （2）根据角平分线的定义求出∠COD的度数即可，先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答； （3）根据角平分线的定义表示出∠COD与∠EOC，然后整理即可得解． 【解答】解：（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE，∠COE； （2）∵OD平分∠BOC，∠BOC＝68°， ∴∠COD∠BOC68°＝34°， ∵∠BOC＝68°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣68°＝112°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠EOC∠AOC112°＝56°； （3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， ∴∠COD∠BOC，∠EOC∠AOC， ∴∠COD+∠EOC（∠BOC+∠AOC）180°＝90°， ∴∠COD与∠EOC互余． 【点评】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键． 【变式10-1】（2021春•杨浦区期末）一个锐角的补角与它的余角的度数差是 　90　度． 【分析】先设这个锐角为x度，根据余角和补角的定义列出式子计算即可． 【解答】解：设这个锐角为x度， 则其补角为（180﹣x）度，余角为（90﹣x）度， 所以其补角与余角的度数差是（180﹣x）﹣（90﹣x）＝90度， 故答案为：90． 【点评】本题考查了有关余角和补角的定义，解题关键在于熟记这些定义． 【变式10-2】（2023秋•舒城县期末）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3＝90°﹣∠1 C．∠3＝180°﹣∠1 D．∠3＝90°+∠1 【分析】根据余角和补角的性质得出∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝180°，然后即可得出∠1与∠3的关系． 【解答】解：∵∠1与∠2互余， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠2与∠3互补， ∴∠2+∠3＝180°， 即∠2＝180°﹣∠3， ∴∠1+180°﹣∠3＝90°， 即∠3＝90°+∠1， 故选：D． 【点评】本题考查了余角和补角，熟知余角和补角的性质是解题的关键． 【变式10-3】（2023秋•商水县期末）如图，O为直线AB上一点，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠EOG＝90°；②∠DOE与∠BOF互补；③∠AOC﹣∠BOD＝90°；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 　①③④　． 【分析】设∠BOD＝2α，则∠BOC＝90°﹣2α，∠AOC＝90°+2α，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案． 【解答】解：设∠BOD＝2α， ∵∠COD＝90°， ∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣2α， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α， ∵OF平分∠BOD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC， ∴，，， ∴∠EOG＝∠EOC+∠COG＝45°+α+45°﹣α＝90°，故①正确，符合题意； ∴∠DOE+∠BOF＝∠COD+∠COE+∠BOF＝90°+45°+α+α＝135°+2α， ∵α度数未知， ∴∠DOE与∠BOF不一定互补，故②错误，不符合题意； ∴∠AOC﹣∠BOD＝90°+2α﹣2α＝90°，故③正确，符合题意； ∵∠DOG＝∠BOD+∠BOG＝2α+45°﹣α＝45°+α，∠AOC＝90°+2α， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有：①③④， 故答案为：①③④． 【点评】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【题型 11 同（等）角的余角和补角相等的运用】 【例11】（2022秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90°，图中与∠BOC互补的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据互为余角的定义以及对顶角的定义可得∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，再根据互为补角的定义以及等量代换可得答案． 【解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°， ∴∠AOC＝∠EOF， 又∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF， ∵∠BOC+∠AOC＝180°，即∠BOC与∠AOC互为补角， ∴∠BOC互补的角有：∠AOC，∠BOD，∠EOF共3个， 故选：C． 【点评】本题考查互为余角、互为补角、对顶角，掌握互为余角、互为补角以及对顶角的定义是正确解答的前提． 【变式11-1】（2022春•单县期末）如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD＝2：11，则∠AOB＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【分析】由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD知∠AOB＝∠COD，设∠AOB＝2α，则∠AOD＝11α，故∠AOB+∠BOC＝9α＝90°，解得α，从而可求解． 【解答】解：∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°， ∴∠AOB＝∠COD， 设∠AOB＝2α， ∵∠AOB：∠AOD＝2：11， ∴∠AOB+∠BOC＝9α＝90°， 解得α＝10°， ∴∠AOB＝20°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键． 【变式11-2】（2023春•桥西区期中）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°． （1）直接写出图中一组相等的锐角； （2）设∠DOC＝α，∠AOB＝β，求β与α之间的关系式； （3）请在备用图中，仅利用三角板画出∠MPN，使∠MPN＝∠EPF．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得到答案； （2）结合角的特点进行计算即可； （3）以PF为直角的一边作∠MPF，再以EP为直角的一边作∠EPN，∠MPN即为所求作． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠DOC+∠AOD＝90°，∠DOC+∠BOC＝90°， ∴∠AOD＝∠BOC； （2）设∠DOC＝α，∠AOB＝β，则β＝∠AOD+α+∠COB， ∴β+α＝∠AOD+α+∠COB+α， ∴β+α＝∠AOC+∠BOD＝180°， ∴β＝180°﹣α； （3）如图所示，∠MPN即为所求． ∵EPN，， ∴∠EPN+∠EPM＝∠MPF+∠EPM， ∴∠MPN＝∠EPF． 【点评】本题考查了角的和差计算，同角的余角相等，作图﹣复杂作图，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式11-3】（2022秋•达川区期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论： ①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°． 其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．0个 【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确； 由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断，②确； 由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确； 由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD， 而∠COE＝∠BOE， ∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确； ∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确； ∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD， 而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确； ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF＝∠DOF， 而∠AOE＝∠DOE， ∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线， ∵∠COE＝∠BOE， ∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了角度的计算：1周角＝60°，1平角＝180°，等角的余角相等．也考查了角平分线的定义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 角【十一大题型】分类训练（原卷版） 【题型 1 角的相关概念辨析】 1 【题型 2 角的单位换算】 2 【题型 3 钟表上有关角的计算】 3 【题型 4 与方向角有关的计算】 3 【题型 5 角的计数问题】 4 【题型 6 角的比较】 5 【题型 7 与角平分线相关的角的运算】 6 【题型 8 与角 n 等分线相关的角的运算】 8 【题型 9 在三角板中的角的运算】 10 【题型 10 余角和补角的计算】 11 【题型 11 同（等）角的余角和补角相等的运用】 12 【题型 1 角的相关概念辨析】 【典例1】观察图形，解答下列问题： （1）写出能用一个字母表示的角；（2）写出以B为顶点的角；（3）图中共有几个角（小于平角）？ 【变式1-1】（2022秋•港南区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形 【变式1-2】如图，回答下列问题： （1）∠ECG和∠C是不是同一个角？（2）∠OGF和∠DGB是不是同一个角？ （3）∠DOF和∠EOG是不是同一个角？（4）∠ABC和∠BCA是不是同一个角？ （5）图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 【变式1-3】如图． （1）用不同的方法表示图中以D为顶点的角； （2）写出以B为顶点的角的边； （3）画出DA′，使∠ADA′成平角，写出它的边． 【题型 2 角的单位换算】 【典例2】关于度、分、秒的换算． （1）56°18'用度表示； （2）12°32'24''用度表示； （3）12.31°用度、分、秒表示． 【变式2-1】（2024•灞桥区四模）比较大小：60°25'　 　60.25°（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【变式2-2】计算下列各式： （1）34°25′×2+35°42′； （2）72°34′÷2+18°33′×4； （3）40°26′+30°30′30″÷6； （4）13°53′×3﹣32°5′31″． 【变式2-3】（2024秋•鄞州区期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 【题型 3 钟表上有关角的计算】 【例3】（2023秋•中江期末）实验中学上午10：10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 【变式3-1】（2022秋•惠山区期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：　 ．（结果形如6点分） 【题型 4 与方向角有关的计算】 【例4】（2021秋•集贤县期末）根据描述标出每个同学家的位置 （1）小红家在学校东偏北30°方向150米处．（2）学校在小平家北偏西45°方向200米处． （3）小华家在学校南偏西60°方向100米处．（4）小刚家在学校西偏北30°方向150米处． 【变式4-1】（2023秋•唐河县期末）从海岛A点观察海上两艘轮船B、C．轮船B在点A的北偏东60°25′方向；轮船C在点A的南偏东15°37′方向，则∠BAC＝　 　． 【变式4-2】（2022秋•船营区期末）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西30°方向走到点C，则∠BAC的度数是 　 　． 【变式4-3】（2024秋•广西期末）如图，货轮甲从港口O出发，沿东偏南60°的方向航行20海里后到达A处．（已知四个圆圈的半径（由小到大）分别是5海里，10海里，15海里，20海里．） （1）写出在港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离； （2）已知灯塔D在港口O的南偏西30°方向上，且与灯塔B相距35海里，在图中标出灯塔D的位置． （3）货轮乙从港口O出发，沿正东方向航行15海里到达P处后，需把航行方向调整到与货轮甲的航行方向一致，此时货轮乙应向左（或右）转多少度？并画出货轮乙航行线路示意图． 【题型 5 角的计数问题】 【例5】解答下列各题． （1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表： ∠AOB内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示上面的结论． （3）若∠AOB内有射线条数是2024，则角的总个数为多少？ 【变式5-1】（2024秋•肇州县期中）如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式5-2】如图所示，在∠AOB的内部，以O为顶点引出1条射线（如图①所示），此时图中共有3个角，如果从点O引出2，3，4，…，n条射线，那么能构成角的总个数又为多少？请填表回答角的总个数. ∠AOB内部射线的条数 1 2 3 … n 角的总个数 3 　 　 　 　 … 　 　 【变式5-3】（2020秋•高淳区期末）在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA、OB可组成的角的个数是（　　） A．595 B．406 C．35 D．666 【题型 6 角的比较】 【例6】（2021秋•襄都区期中）已知∠α与∠β都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若∠α的另一条边恰好落在∠β的内部，则（　　） A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．不能比较∠α与∠β的大小 【变式6-1】（2022秋•南岸区期末）如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且∠AOP＝90°．用尺规完成作图： （1）在射线OB上截取OD，使OD＝OC；在射线OP上取一点E，使OE＝2OC，连接CE，DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论； （2）在射线OP上取一点Q（不同于点O，E），连接CQ，DQ；比较∠CED与∠CQD的大小，并直接写出结论． 【变式6-2】（2022秋•佛山期末）学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较．C、D为一个量角器在AB上方边缘上的两个动点，连接CO、DO． （1）当C，D两点运动到如图1所示的位置时，请你直接由量角器读出∠COB＝　 　°，∠DOA＝　 　°； （2）若OD从OA出发以每秒8°的速度向终边OB运动，同时OC从OB出发，以每秒10°的速度向终边OA运动，运动时间为t，当CO⊥DO时，运动时间t是多少？ （3）如图2，过点O作AB的垂线与量角器的边缘交于点E，若∠COD＝60°，OF是∠COE的平分线，OD从OA出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，∠DOE与∠COF的数量关系． 【题型 7 与角平分线相关的角的运算】 【例7】（2023秋•昌图县期末）探究题 已知O为直线AD上的一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE． （1）如图1，若∠DOE＝54°，则∠AOC＝　 　，∠COF＝　 　； （2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，射线OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF与∠DOE之间的数量关系，并说明理由； （3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE，求2∠COF+∠DOE的度数． 【变式7-1】（2023秋•新余期末）如图，点O为直线AB上一点，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，若∠AOE＝10°，那么∠BOF＝　 　． 【题型 8 与角 n 等分线相关的角的运算】 【例8】（2023秋•合肥期末）探索新知： 如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）一个角的平分线 　 　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　 　．（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”． 【变式8-1】（2022秋•东至县期末）已知：O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE． （1）如图1，若∠COF＝34°，则∠BOE＝　 　；若∠COF＝m°，则∠BOE＝　 　；∠BOE与∠COF的数量关系为 　 　． （2）在图2中，若∠COF＝75°，在∠BOE内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF（∠BOE﹣∠BOD）？若存在，请求出∠BOD，若不存在，请说明理由． （3）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，直接写出∠BOE与∠COF的数量关系． 【变式8-2】（2022春•北碚区期中）如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角） （1）角的三等分线 　 　这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； （2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数； （3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的t值． 【变式8-3】（2022秋•凤阳县期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． （1）若OC平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）小明说：当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由； （3）若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直，请直接写出∠AOC所有可能的值． 【变式8-4】（2023秋•抚州期中）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为 　 ． 【题型 9 在三角板中的角的运算】 【例9】（2023秋•管城区期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是（　　） A．20° B．80° C．100° D．150° 【变式9-1】（2023春•牟平区期末）如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP＝70°，将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（∠MON＝90°）在直线AB的上方．设∠BOM＝n°（0＜n＜90）． （1）当n＝32时，求∠PON的大小；（2）若0＜n＜70时，求∠AON﹣∠POM的值． 32．（2022秋•辉县市期末）（1）探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，乐乐同学只利用一副三角板能画出来的角是 　 　（填序号）； （2）在探究过程中他发现：如图1，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止．在此过程中，若旋转时间为t秒，请用t表达下列角度．∠AOE＝　 　°．∠BOC＝　 　°． （3）在此过程中，是否存在一个时间t（秒），使∠BOC＝3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】（2022秋•邓州市期末）综合与实践： 在一次数学综合实践课上，王老师提出了这样一个问题． 将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON，然后提出问题：求∠MON的度数．明明与同桌丽丽讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，探索思路】 将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON，OD，OB在同一条直线上，按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等． （1）直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为 　 　，图3中∠MON的度数为 　 °　； （2）【特例启发，解答题目】 猜想在图1所示的一般情况下∠MON的度数，并说明理由； （3）【核心素养，方法总结】 你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了 　 　数学思想． A．由特殊到一般 B．方程思想 C．分类讨论 D．逆向思考 （4）【拓展结论，设计新题】 若将王老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON”改为“分别作出射线OM，ON，使∠AOM∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数． 【题型 10 余角和补角的计算】 【例10】（2022秋•黄埔区期中）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC． （1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角； （2）若∠BOC＝68°，求∠COD和∠EOC的度数； （3）∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？ 【变式10-1】（2021春•杨浦区期末）一个锐角的补角与它的余角的度数差是 　 　度． 【变式10-2】（2023秋•舒城县期末）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3＝90°﹣∠1 C．∠3＝180°﹣∠1 D．∠3＝90°+∠1 【变式10-3】（2023秋•商水县期末）如图，O为直线AB上一点，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠EOG＝90°；②∠DOE与∠BOF互补；③∠AOC﹣∠BOD＝90°；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 　 　． 【题型 11 同（等）角的余角和补角相等的运用】 【例11】（2022秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90°，图中与∠BOC互补的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-1】（2022春•单县期末）如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD＝2：11，则∠AOB＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【变式11-2】（2023春•桥西区期中）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°． （1）直接写出图中一组相等的锐角； （2）设∠DOC＝α，∠AOB＝β，求β与α之间的关系式； （3）请在备用图中，仅利用三角板画出∠MPN，使∠MPN＝∠EPF．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式11-3】（2022秋•达川区期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论： ①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°． 其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．0个 1 学科网（北京）股份有限公司 $$