专题02 不等式与复数（7大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题02 不等式与复数 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 6 05 核心精讲·题型突破 13 题型一：基本不等式二元式 13 题型二：和式与积式 16 题型三：柯西不等式二元式 20 题型四：齐次化与不等式最值 24 题型五：复数的四则运算 27 题型六：复数的几何意义 31 重难点突破：不等式与复数新定义问题 35 有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档.. 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 基本不等式 掌握基本不等式的应用 2024年北京卷第9题，5分 2023年上海卷第6题，4分 2022年上海卷第14题，5分 2022年新高考II卷第12题，5分 2021年上海卷第16题，5分 2023年天津卷第13题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2025年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！ 复数的四则运算 熟练掌握并灵活应用复数四则运算法则 2024年新高考甲卷第1题，5分 2023年新高考I卷第2题，5分 2023年新高考甲卷第2题，5分 2023年新高考乙卷第1题，5分 2022年新高考II卷第2题，5分 复数的几何意义 理解复数的几何意义，能直观应用 2023年新高考II卷第1题，5分 2023年上海卷第11题，5分 2022年新高考乙卷第2题，5分 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 4、对复数几何意义的理解及应用 （1）复数，复平面上的点及向量相互联系，即；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2024年北京高考数学真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得. 故选：C. 3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【解析】由，则. 故选：A 4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】若，则. 故选：C. 5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C. 6．（2024年上海市1月春考数学试题）已知，的最小值为 ． 【答案】12 【解析】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 7．（2024年天津高考数学真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 8．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 9．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C. 10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 则. 故选：B. 11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等， 得,即 故选: 13．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【解析】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） ， [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 16．（2021年浙江省高考数学试题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 17．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 18．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型一：基本不等式二元式 【典例1-1】[新考法]（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 【典例1-2】（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由可得，因，则， 于是 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为. 故选：D. 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 不等式可变形为：或，其中． 【变式1-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 【答案】C 【解析】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C 【变式1-2】[新考法]（2024·广西柳州·一模）设函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 若，则对任意的，， 则当时，，不合乎题意； 若时，当时，，，此时，，不合乎题意； 若，则当时，，，此时，，不合乎题意. 所以，，此时，，则， 当时，，，此时，； 当时，，，此时，. 所以，对任意的，，合乎题意， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 1．（多选题）（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】当且仅当时取等号，B选项错误； ∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确； ∵，∴，∴，D选项正确. 故选：ACD. 2．（多选题）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为,当且仅当时等号成立，所以，A正确； 因为，所以，所以，B错误； 因为，当且仅当时等号成立，所以，C错误； 由整理，得，当且仅当时等号成立， 所以，D正确． 故选：AD． 3．[新考法]设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为， 令，得， ①当时，满足题意，； ②当时，，由，得， 要使任意，恒成立，则， 所以； ③当时，，由，得， 要使任意，恒成立，则， 所以； 综上，，即. 又，， 当且仅当时，取最小值. 所以的最小值为. 故选：A. 题型二：和式与积式 【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 故选：D． 【典例2-2】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 已知式 目标式 方法选取 和式 积式 基本不等式 积式 和式 基本不等式 和式 和式 柯西不等式 积式 积式 柯西不等式 【变式2-1】（2024·四川绵阳·一模）已知，且满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．6 D．9 【答案】D 【解析】， ， ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 【变式2-2】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式2-3】（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，即，当且仅当时等号成立， 所以，故A错误； 对于B，由，得， 即，则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 又，所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BCD. 1．（多选题）设正实数，满足，则下列说法中正确的有（    ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ACD 【解析】对于A,,则,计算可得,当且仅当时，取得最大值为.故A正确； 对于B,，当且仅当,即,有最小值4，故B错误； 对于C,，解得,当且仅当,有最大值为，故C正确； 对于D，由于，则，当且仅当,有最小值为，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选题）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，即，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确； 故选：BCD． 3．（多选题）已知正实数满足，则（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为1 C．的最大值为2 D．的最小值为1 【答案】AC 【解析】由，可得，令，，所以，， 对于A，则，当时，取最大值为2，故A正确 对于B， 当时，的最大值为1，故B错误； 对于C、D，由B可得，由，则，故C正确，D错误. 故选：AC 4．（多选题）（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BC 【解析】正实数a，b满足，， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 题型三：柯西不等式二元式 【典例3-1】[新考法]（多选题）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 【典例3-2】（多选题）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 设，，，，有 当且仅当时等号成立． 【变式3-1】存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】3 【解析】解:由柯西不等式可知 由能成立. 故答案为：3. 【变式3-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 1．已知，，是正实数，且，则的最小值为 . 【答案】10 【解析】由柯西不等式可得， 所以，即， 当且仅当即也即时取得等号， 故答案为： 2．[新考法]设角、均为锐角，则的范围是 ． 【答案】 【解析】因为角、均为锐角，所以的范围均为， 所以， 所以 因为， 所以， ， 当且仅当时取等， 令，，， 所以 . 则的范围是：. 故答案为： 3．已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由柯西不等式 而，所以时等号成立， 故答案为：. 题型四：齐次化与不等式最值 【典例4-1】[新考法]若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【解析】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【典例4-2】设，则的最大值为 . 【答案】 【解析】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。 【变式4-1】已知，，，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】∵，，，∴，且， 则 令 ， 原式 ， 当且仅当，即取等号，故的最小值为. 故答案为： 【变式4-2】已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为正实数a，b，满足，所以， 当且仅当时，等号成立； 由正实数a，b，满足，可得， 所以 ， 而，当且仅当 ，即 时取等号， ， 当且仅当时，即时取等号 故答案为：； 1．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 2．[新考法]已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，故有最小值. 故选：D. 3．（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】又，所以， 所以， 当且仅当，即，或取等号， 所以或. 故选：D 题型五：复数的四则运算 【典例5-1】若复数满足，则（   ） A．5 B．25 C．125 D．625 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，即， 所以. 故选：B 【典例5-2】若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若复数满足， 则. 故选：D. 1、复数运算 （1） （2） ， 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 【变式5-1】[新考法]（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 故， 因为，所以， 故选：B 【变式5-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）复数满足若，则=（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 所以. 故选：D 【变式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（    ）个. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：设，则的实部为且虚部不为， ， 则，， 因为，故，即， 则有，解得或或， 当时，，则，舍去； 当时，，即，则，舍去； 当时，，则， 故，即，共有两个. 综上所述，这样的复数共有两个. 法二：设的辐角为，， 表示将复数在复平面内逆时针旋转， 由几何图形的对称性：与在复平面内应关于轴对称， 则解得：或或或， 易知：时，，舍去， 故，故有两个不同的复数满足题意. 故选：B. 1．（2024·湖北·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】由， 则， 所以. 故选：B. 2．[新考法]（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数满足，且是的共轭复数，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，因为，故，因为为虚数，故，故A正确； 对B，由可得，故，故B正确； 对C，当时，，此时成立， 当时，，此时成立，故C正确； 对D，，因为，， 故，故D错误. 故选：D 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设方程的根为， 代入方程，,整理得， 故，则， 不妨令，， 对于A：因为，即，故A错误； 对于B：，故B错误. 对于C:, ， 因此，,故C错误. 对于D：,故D正确. 故选:D. 4．[新考法]（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（    ） A．1012 B．1011 C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， 所以，① 因为，所以，， 所以化简①可得， 所以虚部为， 故选：D. 题型六：复数的几何意义 【典例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【解析】设， 因为， 所以， 其几何意义为任意一点到点于的距离和为， 又点和之间的距离小于，符合椭圆定义， 所以复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆. 故选：C. 【典例6-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， 所以在复平面内对应点的坐标为. 故选：A 复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 【变式6-1】已知复数，其中且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】复数，其中且， 复数在复平面内对应的点，在直线上， 的几何意义是点到点的距离， 其最小值为点到直线的距离，最小值为. 故选：D 【变式6-2】已知复数，复数满足，则（    ） A． B．复数在复平面内所对应的点的坐标是 C． D．复数在复平面内所对应的点为，则 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，又，A错误； 对应的点的坐标为，B错误； 由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上， 又，因此，C正确； 对应的点的坐标为，因此，D错误， 故选：C． 【变式6-3】设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据题意，不妨设，， 若在复平面内对应的点位于第一象限，则， 则， 所以的实部，虚部，故对应点在第二象限， 所以“在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第二象限”； 若在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知， 所以且，可得，所以在复平面内对应的点位于第一象限， 所以“在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第一象限”； 由上可知，属于充要条件， 故选：C. 1．（2024·山西太原·一模）复平面内复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【解析】设， 因为，所以，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：，如图， 又， 所以表示圆C上的动点到定点的距离， 所以为， 故选：B． 2．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第二象限 C． D． 【答案】C 【解析】由可知，则逆时针旋转后相应点为， 所以，即，其虚部为，故A错误； ，其对应的点在第三象限，故B错误； ，故C正确； ， 则，故D错误. 故选：C 3．（多选题）（2024·广西·模拟预测）复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（    ） A．若，则点Z在圆上 B．若，则点Z在椭圆上 C．若，则点Z在双曲线上 D．若，则点Z在抛物线上 【答案】BD 【解析】表示点与之间的距离， 表示点与之间的距离，记，， 对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误； 或由，整理得，所以点在，故A错误； 对于B，由得，这符合椭圆定义，故B正确； 对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误； 对于D，若，则，整理得，点在抛物线，故D正确． 故选：BD． 重难点突破：不等式与复数新定义问题 【典例7-1】定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由已知可得， 即. 因为，所以， 则 ， 当且仅当时等号成立,故， 故选：D. 【典例7-2】（多选题）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，， 复数在复平面的对应的点为, 所以点Z在以为圆心、以r为半径的圆上或圆内. 对于选项A，B，由复数的几何意义可得表示点Z与的距离， 又点到点的距离为， 所以的最大值为，A正确， 的最小值为，B正确， 对于C，过点作以 为圆心，为半径的圆的切线，设切点为， 设，则或， 所以，所以，所以C错误. 对于D，设，有（其中是z的辐角的主值）， 由于，所以，所以D正确. 故选：ABD. 面对不等式新定义问题，首要步骤是准确理解题目中给出的新定义，把握其本质含义。接着，运用不等式的基本性质，如传递性、可加性、可乘性等，对不等式进行化简。同时，注意结合新定义的特点，灵活运用数学变换和逻辑推理，将复杂不等式转化为熟悉的形式。 复数新定义问题，需深入理解复数概念及其几何意义，熟练运用四则运算，结合题目新定义，灵活运用复数的模、辐角、共轭等性质进行推理计算，注意复数运算的特殊性，确保解题步骤逻辑清晰、严谨无误。两类问题均需注重方法选择和逻辑推导。 【变式7-1】（多选题）（2024·山西·模拟预测）数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位，和，而且它们有如下关系：．四元数一般可表示为，其中为实数．定义两个四元数：，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：．关于四元数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，且，则 【答案】AD 【解析】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：设，由两个四元数之间的乘法定义得， ，故B错误； 对于C：设， 则 当，有， 所以与不一定相等，故C错误； 对于D：设， 因为， 所以，解得， 所以，故D正确， 故选：AD． 【变式7-2】（2024·青海西宁·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又， 所以，当且仅当，即时取等号， 故选：C 【变式7-3】定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中x，y均为正实数，则a的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】当且仅当，即时等号成立， 当，即时，，此时的最大值为1； 当，即时，， 综上所述，的最大值为1. 故选：C 1．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且）,称．若且,称．共余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设复数，若，因为，则无解， 所以，将代入，可得， ，即， 所以，解得，所以， 又因为， 设，所以， 所以， 所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，从而最大，故B错误； 若，，则， 所以当，或， 时，则，C正确； 若，此时，则，A正确； 若，此时，则，D正确； 故选：ACD. 2．（多选题）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A错误； B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确； C：若为虚数，且，设，则， 所以，所以，故C正确； D：设， 根据复数的新定义有， 所以，且， 所以， 所以是， 所以，故D正确； 故选：BCD. 3．（多选题）（2024·新疆·模拟预测）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】因为，且， 对于选项A：因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为，可得，即 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6，故C错误； 对于选项D：，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 40 / 40 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式与复数 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 6 05 核心精讲·题型突破 8 题型一：基本不等式二元式 8 题型二：和式与积式 9 题型三：柯西不等式二元式 10 题型四：齐次化与不等式最值 11 题型五：复数的四则运算 12 题型六：复数的几何意义 14 重难点突破：不等式与复数新定义问题 15 有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档.. 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 基本不等式 掌握基本不等式的应用 2024年北京卷第9题，5分 2023年上海卷第6题，4分 2022年上海卷第14题，5分 2022年新高考II卷第12题，5分 2021年上海卷第16题，5分 2023年天津卷第13题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2025年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！ 复数的四则运算 熟练掌握并灵活应用复数四则运算法则 2024年新高考甲卷第1题，5分 2023年新高考I卷第2题，5分 2023年新高考甲卷第2题，5分 2023年新高考乙卷第1题，5分 2022年新高考II卷第2题，5分 复数的几何意义 理解复数的几何意义，能直观应用 2023年新高考II卷第1题，5分 2023年上海卷第11题，5分 2022年新高考乙卷第2题，5分 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 4、对复数几何意义的理解及应用 （1）复数，复平面上的点及向量相互联系，即；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024年北京高考数学真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024年上海市1月春考数学试题）已知，的最小值为 ． 7．（2024年天津高考数学真题）是虚数单位，复数 ． 8．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 9．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）（    ） A． B．1 C． D． 10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 16．（2021年浙江省高考数学试题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 18．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ． 题型一：基本不等式二元式 【典例1-1】[新考法]（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【典例1-2】（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 不等式可变形为：或，其中． 【变式1-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 【变式1-2】[新考法]（2024·广西柳州·一模）设函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 1．（多选题）（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（多选题）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．[新考法]设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二：和式与积式 【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 已知式 目标式 方法选取 和式 积式 基本不等式 积式 和式 基本不等式 和式 和式 柯西不等式 积式 积式 柯西不等式 【变式2-1】（2024·四川绵阳·一模）已知，且满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．6 D．9 【变式2-2】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（多选题）设正实数，满足，则下列说法中正确的有（    ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最大值 D．有最小值 2．（多选题）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知正实数满足，则（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为1 C．的最大值为2 D．的最小值为1 4．（多选题）（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 题型三：柯西不等式二元式 【典例3-1】[新考法]（多选题）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例3-2】（多选题）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 设，，，，有 当且仅当时等号成立． 【变式3-1】存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【变式3-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 1．已知，，是正实数，且，则的最小值为 . 2．[新考法]设角、均为锐角，则的范围是 ． 3．已知正实数满足，则的最小值为 ． 题型四：齐次化与不等式最值 【典例4-1】[新考法]若正实数，满足，则的最小值是 . 【典例4-2】设，则的最大值为 . 关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。 【变式4-1】已知，，，则的最小值为 . 【变式4-2】已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ． 1．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 2．[新考法]已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 题型五：复数的四则运算 【典例5-1】若复数满足，则（   ） A．5 B．25 C．125 D．625 【典例5-2】若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 1、复数运算 （1） （2） ， 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 【变式5-1】[新考法]（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）复数满足若，则=（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（    ）个. A． B． C． D． 1．（2024·湖北·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A．3 B． C．4 D．5 2．[新考法]（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数满足，且是的共轭复数，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（    ） A． B． C． D． 4．[新考法]（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（    ） A．1012 B．1011 C． D． 题型六：复数的几何意义 【典例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【典例6-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 【变式6-1】已知复数，其中且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【变式6-2】已知复数，复数满足，则（    ） A． B．复数在复平面内所对应的点的坐标是 C． D．复数在复平面内所对应的点为，则 【变式6-3】设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2024·山西太原·一模）复平面内复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 2．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第二象限 C． D． 3．（多选题）（2024·广西·模拟预测）复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（    ） A．若，则点Z在圆上 B．若，则点Z在椭圆上 C．若，则点Z在双曲线上 D．若，则点Z在抛物线上 重难点突破：不等式与复数新定义问题 【典例7-1】定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．9 【典例7-2】（多选题）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 面对不等式新定义问题，首要步骤是准确理解题目中给出的新定义，把握其本质含义。接着，运用不等式的基本性质，如传递性、可加性、可乘性等，对不等式进行化简。同时，注意结合新定义的特点，灵活运用数学变换和逻辑推理，将复杂不等式转化为熟悉的形式。 复数新定义问题，需深入理解复数概念及其几何意义，熟练运用四则运算，结合题目新定义，灵活运用复数的模、辐角、共轭等性质进行推理计算，注意复数运算的特殊性，确保解题步骤逻辑清晰、严谨无误。两类问题均需注重方法选择和逻辑推导。 【变式7-1】（多选题）（2024·山西·模拟预测）数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位，和，而且它们有如下关系：．四元数一般可表示为，其中为实数．定义两个四元数：，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：．关于四元数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，且，则 【变式7-2】（2024·青海西宁·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中x，y均为正实数，则a的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 1．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且）,称．若且,称．共余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 3．（多选题）（2024·新疆·模拟预测）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 / 17 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$