专题02 不等式与复数（7大题型）（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题02 不等式与复数 目录 01 模拟基础练 2 题型一：基本不等式二元式 2 题型二：和式与积式 3 题型三：柯西不等式二元式 5 题型四：齐次化与不等式最值 6 题型五：复数的四则运算 8 题型六：复数的几何意义 9 重难点突破：不等式与复数新定义问题 10 02 重难创新练 12 题型一：基本不等式二元式 1．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，，设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在为增函数， 故，故D成立， 故选：ACD. 2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】因为，，两边同时除以，得到， 当且仅当即取“=”. 则，当且仅当取“=”. 两边取自然对数，则，当且仅当取“=”. 故的最小值为. 故选：D. 3．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 【答案】A 【解析】，，又，且， ， 当且仅当，解得时等号成立，故的最小值为13. 故选：A 题型二：和式与积式 4．（多选题）已知，为正实数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确， 故选：AD. 5．（多选题）（2024·广东佛山·一模）已知，，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为36 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18，故A正确； 对于B，由，当且仅当且时等号成立， 显然不能同时成立，取不到等号，故B错误； 对于C，由于，所以有， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 则的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 6．（多选题）（2024·广东肇庆·一模）设正实数m，n满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最大值为2 D．的最小值是4 【答案】AC 【解析】对于A选项，，故，故A正确； 对于B选项，因为， 所以，故B错误； 对于C选项，因为，当且仅当，即，时，等号成立，故C正确； 对于D选项，因为， 所以， 故当，时，有最小值，故D错误. 故选：AC. 题型三：柯西不等式二元式 7．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】令， 又，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 8． 的最大值为，则复数的模为 【答案】 【解析】 ， 令，，则， 原条件转化为的最大值是， 由柯西不等式，，当且仅当时取等号， 所以的最大值是，则有， 所以复数的模为， 故答案为：. 9．若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由柯西不等式得：， 即，（当且仅当时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 题型四：齐次化与不等式最值 10．（2024·高三·浙江金华·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 则， 若，则，； 若，可得， 设，可设， 即为， 若，可得，成立； 若，则，即， 解得， 即有z的最小值为，此时，成立． 故答案为． 11．已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 令，，则，， ， 当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值． 故选：B 12．已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 【答案】B 【解析】∵， 令， ∵，，则，当且仅当，即时等号成立， 故，可得， 又∵在上单调递增，则， ∴，即S的最大值是. 故选：B. 题型五：复数的四则运算 13．（2024·浙江·二模）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，所以, 所以, 所以, 所以. 故选：C. 14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得， ，即， 当，时，， ， 当，时，， ， 综上，. 故选：D. 15．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以其对应点为， 关于直线对称的点为，则， 所以， 故选：C． 题型六：复数的几何意义 16．（2024·湖北·模拟预测）若复数满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为，所以，即， 所以， 所以对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A 17．复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 因为直线和直线的交点为，所以，所以. 故选：C. 18．（2024·陕西榆林·模拟预测）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】， 若，则，∴复数z可能在第一象限； 若，无解，即复数z不可能在第二象限，故应选B； 若，则，∴复数z可能在第三象限； 若，则，∴复数z可能在第四象限． 故选：B. 重难点突破：不等式与复数新定义问题 19．正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，可得， 因为，则， 因为 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：D. 20．定义：表示数集中最小数，例如．已知，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由题可得，，所以， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C 21．（多选题）（2024·河北沧州·一模）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复平面内，复数对应的点在直线上，则最小值为 【答案】BCD 【解析】根据已知条件表示模长为，在复平面位于轴上方的复数， 所以并不是一个圆，A错误； 若，则方程为一个实数，所以无解，B正确； 若为虚数，且，设，则，，， 所以，C正确； 复数对应的点在直线上，则最小值为： 点到直线的距离，所以最小值为：，D 正确. 故选：BCD 1．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】B 【解析】由题可知， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：B. 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以． 故选：C． 3．（2024·北京·模拟预测）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由，可得， 所以， 故， 故选：C 4．（2024·四川宜宾·一模）如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点对应的复数分别为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知：,所以, 故选：A 5．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（     ）. A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段 【答案】D 【解析】表示点，故 ， ，由此可知表示：，在直线上， 又，所以表示一条线段. 故选：D. 6．（2024·浙江温州·一模）若，则复数对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【解析】根据复数几何意义知道，对应的点为，在第四象限. 故选：D. 7．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，且，所以， 设，， 函数在区间单调递减，所以函数的最小值为. 故选：D 8．（2024·河北·模拟预测）已知非负实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为，可得，即， 又因为非负实数，所以，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：B． 9．（2024·福建·模拟预测）在中，点是边上一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【解析】在中，点是边上一点，，则，，. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 10．（2024·山西·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为－16 【答案】AD 【解析】选项A：存在，使得与同时成立，则， （提示：只有当时，才有） 解得或，所以，故A正确． 选项B：若，则或，又，故B错误． 选项C：，当且仅当时等号成立，又，所以，故C错误． 选项D：因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故D正确． 故选：AD. 12．（多选题）（2024·江西新余·模拟预测）已知，为的共轭复数，则下列条件可判定的是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】已知，设，则， 对于A，若，即，得，即， 所以，有，A选项正确； 对于B，若，则有，得，有，B选项正确； 对于C，若，即，有，得， 其中当时，，C选项错误； 对于D，若，有，即， 若，则得，有；若，则，，有，D选项正确. 故选：ABD. 13．（多选题）（2024·宁夏吴忠·一模）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设， 因为为方程的根，且，则， 所以，即， 解得或， 所以，则； ，所以，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 14．（多选题）（2024·山东·模拟预测）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】因为，，， 对于A：，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：，当且仅当，时等号成立，故B正确； 对于C：， 又，， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D：， 设，则， 所以当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以， 所以的最小值为，当且仅当、时取等号，故D正确. 故选：BCD 15．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 16．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 17．（2024·新疆喀什·三模）已知函数和（）有相同的最大值．则的最小值为 ． 【答案】e 【解析】，， 当时，，最大值为0， 又，所以当时，， 由得，与题设矛盾； 当时，令得，，即， 当时，，当时，， 当时， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值，没有最大值，不符合题意； 当时， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， . 与有相同的最大值， ，又， ，当且仅当，即时取等号. 即的最小值为. 故答案为： . 18．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 【答案】 【解析】由于， 则 所以，，即. 故答案为：. 19．（2024·浙江杭州·一模）已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则 ， .（写出满足条件的一组和） 【答案】 【解析】设， 则， ， 由， 整理得，即， 所以， 可取， 所以. 故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可） 20．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若为正整数，则，其中为虚数单位，已知复数， 则 ，的实部为 ． 【答案】 / 【解析】因为复数， 所以由棣莫弗定理可得， ， 所以. 所以， 所以的实部为. 故答案为：①985；②. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 21 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式与复数 目录 01 模拟基础练 2 题型一：基本不等式二元式 2 题型二：和式与积式 2 题型三：柯西不等式二元式 3 题型四：齐次化与不等式最值 3 题型五：复数的四则运算 3 题型六：复数的几何意义 4 重难点突破：不等式与复数新定义问题 4 02 重难创新练 5 题型一：基本不等式二元式 1．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 题型二：和式与积式 4．（多选题）已知，为正实数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 5．（多选题）（2024·广东佛山·一模）已知，，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为36 C．的最小值为 D．的最小值为 6．（多选题）（2024·广东肇庆·一模）设正实数m，n满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最大值为2 D．的最小值是4 题型三：柯西不等式二元式 7．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 8． 的最大值为，则复数的模为 9．若，则的最小值为 ． 题型四：齐次化与不等式最值 10．（2024·高三·浙江金华·期末）已知，则的最小值为 ． 11．已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 题型五：复数的四则运算 13．（2024·浙江·二模）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D． 14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（    ） A．1 B． C． D． 15．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 题型六：复数的几何意义 16．（2024·湖北·模拟预测）若复数满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 18．（2024·陕西榆林·模拟预测）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 重难点突破：不等式与复数新定义问题 19．正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．定义：表示数集中最小数，例如．已知，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 21．（多选题）（2024·河北沧州·一模）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复平面内，复数对应的点在直线上，则最小值为 1．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·模拟预测）若，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024·四川宜宾·一模）如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点对应的复数分别为，则（   ）    A． B． C． D． 5．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（     ）. A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段 6．（2024·浙江温州·一模）若，则复数对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 7．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 8．（2024·河北·模拟预测）已知非负实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 9．（2024·福建·模拟预测）在中，点是边上一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 10．（2024·山西·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为－16 12．（多选题）（2024·江西新余·模拟预测）已知，为的共轭复数，则下列条件可判定的是：（     ）. A． B． C． D． 13．（多选题）（2024·宁夏吴忠·一模）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2024·山东·模拟预测）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 15．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 16．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 17．（2024·新疆喀什·三模）已知函数和（）有相同的最大值．则的最小值为 ． 18．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 19．（2024·浙江杭州·一模）已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则 ， .（写出满足条件的一组和） 20．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若为正整数，则，其中为虚数单位，已知复数， 则 ，的实部为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 / 7 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$