专题01 集合与常用逻辑用语（5大易错点+典例分析+避错攻略+举一反三+易错通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）

专题01 集合与常用逻辑用语 目 录 题型一：集合 易错点01　忽视集合中元素的互异性 易错点02　未弄清集合的代表元素 易错点03　遗忘空集 题型二 常用逻辑用语 易错点04　判断充分性必要性位置颠倒 易错点05　由命题的真假求参数的取值范围 试卷第2页，共27页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 题型一：集合 易错点01：忽视集合中元素的互异性 典例 （24-25高三上·云南·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性. 【详解】因为，所以，由， 所以或，解得或或1， 经检验集合中元素的互异性，把或舍去，所以. 故选：A. 【易错剖析】 本题易忽略集合元素的互异性而错选D. 【避错攻略】 类型1 集合与元素关系的判断 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足. 类型2 根据元素与集合以及集合间关系求参数 第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值； 第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验； 第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）. 易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用： (1)确定性：判断对象能否构成集合的依据． (2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验． (3)无序性：常用于判断集合相等． 1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知集合.若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 3．（2024·四川攀枝花·二模）已知集合，若，则实数a组成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 7．已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 9．（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 10．（多选）（23-24高三上·福建宁德·期中）设集合，，且，则的值可以为（    ） A． B．3 C．0 D．1 11．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 易错点02：未弄清集合的代表元素 典例 （2024·湖南衡阳·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解. 【详解】为函数的值域， 令或，， 为函数的定义域， 即，因为，所以函数定义域为， 故， 故选：D. 【易错剖析】 本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A表示的是函数的值域，而集合B表示的是函数的定义域而出错. 【避错攻略】 在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法： 方法1列举法 列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。 【具体步骤】 第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围； 第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合； 第三步：定结果。 方法二：赋值法 高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项. 【具体步骤】 第一步：辨差异，分析各选项,辨别各选项的差异； 第二步：定特殊，根据选项的差异,选定一些特殊的元素； 第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项； 第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。 易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定要注意全集的性质，不要想当然的认为是R. 1.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．[1，4] 2.（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知集合，，则（   ） A．A B．B C． D． 3.（24-25高三上·山东·期中）集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江温州·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东肇庆·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 5．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 6.（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设，，则（ ） A． B． C． D． 7.（24-25高三上·山东济宁·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 易错点03：遗忘空集 典例 （24-25高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【详解】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 【易错剖析】 因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对的讨论而错选C.. 【避错攻略】 1.当已知求参数时，一定要分析集合为空集的情况； 2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析； 【具体步骤】 第一步：化简，化简所给集合； 第二步：画图，用数轴表示所给集合； 第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式(组)； 第四步：求解，解出不等式(组的解； 第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到. 3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析. 易错提醒：已知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入检验的方法加以区分，避免出错. 1.集合，，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2.设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合，. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 1．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 4．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 6．已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知集合，若，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）已知集合，，若，则m的取值范围是 ． 9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知集合，若，则m的取值范围是 . 10．（24-25高三上·河南·开学考试）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 11．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 题型二：常用逻辑用语 易错点04：判断充分性必要性位置颠倒 典例 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解 命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选：D 【易错剖析】 本题易混淆A是B的充分条件和A的充分条件是B的区别而出错. 【避错攻略】 1掌握充分、必要条件的概念及类型 (1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果pq，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件； (3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件； (4)如果qp，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件； (5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件. 【解读】 （1） p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的． （2） “p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同． （3）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”，要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 2.灵活运用判断充分、必要条件的方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断； (2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它们之间的关系. (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分不必要条件；若p⊇q,则p是q的必要不充分条件；若p＝q,则p是q的充要条件,尤其对于数的集合,可以利用小范围的数一定在大范围中,即小⇒大,会给我们的解答带来意想不到的惊喜． (4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可． 易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析. 1.已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设.下列选项中，的充要条件是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·山东德州·期中）已知：，：，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易错点05：由命题真假求参数范围 典例 （24-25高三上·福建龙岩·期中）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】存在性命题为假等价于“”为真，应用参变分离求解即可. 【详解】解：因为命题“”为假命题 等价于“”为真命题， 所以， 所以只需. 设， 则在上单增，所以. 所以，即. 故选：A 【易错剖析】 对全称量词和存在量词理解不到位，不能在恒成立和有解之间进行合理的转化而出错. 【避错攻略】 1.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤: 第一步：先判断命题是恒成立问题还是有解（存在）问题; 第二步：转化为函数的最值问题或方程解的问题; 第三步：求解参数的取值范围. 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 易错提醒：写出命题的否定，然后再根据否命题的真假求参数，是等价转化思想在解题过程中的运用，可以有效避免命题为假不易判断的问题. 1.（23-24高三下·广东·开学考试）已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·河南·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·江西·阶段练习）命题“，使（且）成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建·阶段练习）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知命题p：．若p是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题与命题至少有一个是真命题，求实数的取值范围. $$专题01 集合与常用逻辑用语 目 录 题型一：集合 易错点01　忽视集合中元素的互异性 易错点02　未弄清集合的代表元素 易错点03　遗忘空集 题型二 常用逻辑用语 易错点04　判断充分性必要性位置颠倒 易错点05　由命题的真假求参数的取值范围 试卷第2页，共27页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 题型一：集合 易错点01：忽视集合中元素的互异性 典例 （24-25高三上·云南·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性. 【详解】因为，所以，由， 所以或，解得或或1， 经检验集合中元素的互异性，把或舍去，所以. 故选：A. 【易错剖析】 本题易忽略集合元素的互异性而错选D. 【避错攻略】 类型1 集合与元素关系的判断 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足. 类型2 根据元素与集合以及集合间关系求参数 第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值； 第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验； 第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）. 易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用： (1)确定性：判断对象能否构成集合的依据． (2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验． (3)无序性：常用于判断集合相等． 1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知集合.若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的基本运算及集合中元素的互异性可确定选项. 【详解】由及集合中元素的互异性可得或，故实数的取值集合为. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案. 【详解】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4， 故选：C． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可. 【详解】因为中恰有三个元素，所以或或， 结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或. 故选：D． 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可. 【详解】依题意，，若，解得（时不满足集合的互异性，舍去）， 若，解得（时不满足集合的互异性，舍去）， 综上所述，或. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 3．（2024·四川攀枝花·二模）已知集合，若，则实数a组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分和两种情况运算求解，注意集合的互异性. 【详解】，则有或，解得 或或， 实数a组成的集合为. 故选：D 4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先确定集合中可能的元素，根据两集合中元素的和求出的值，再根据集合中元素的互异性取值. 【详解】集合中的元素可能为：，， 因为，. 若，则，，则，元素和不为12； 若，则，，则，元素和不为12； 当时，，因为中所有的元素和为12， 所以，解得或（舍去）. 综上：. 故选：A 5．已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解. 【详解】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 故选：B. 6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】得到，分和两种情况，求出，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 7．已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分情况讨论并判断即可. 【详解】由题意： 当时，，此时集合，不成立； 当时，，时不成立，时，集合，成立； 当时，集合，成立； 当时，或，时集合，不成立，时集合，成立； 当时，，时集合，不成立，时集合，成立； 当时，或，时集合，不成立，时不成立； 故， 故选：B. 8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数. 【详解】由题意得，，又集合， 若，则，此时， 则，故子集个数为； 若，则，此时显然集合不成立，舍去； 若，，同理舍去. 综上得：时，子集个数为4个； 故选：B. 9．（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则， 解得，可知BD符合题意， 故选：BD. 10．（多选）（23-24高三上·福建宁德·期中）设集合，，且，则的值可以为（    ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】AC 【分析】由子集的概念解出，并注意验证集合间元素是否满足互异性. 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 当时，符合题意. 当时，也符合题意. 故选：AC. 11．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【答案】 【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解. 【详解】由题意可知：且， 当，则；当，则；当，则； 若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去； 若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去； 若且，则，故，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：. 易错点02：未弄清集合的代表元素 典例 （2024·湖南衡阳·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解. 【详解】为函数的值域， 令或，， 为函数的定义域， 即，因为，所以函数定义域为， 故， 故选：D. 【易错剖析】 本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A表示的是函数的值域，而集合B表示的是函数的定义域而出错. 【避错攻略】 在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法： 方法1列举法 列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。 【具体步骤】 第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围； 第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合； 第三步：定结果。 方法二：赋值法 高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项. 【具体步骤】 第一步：辨差异，分析各选项,辨别各选项的差异； 第二步：定特殊，根据选项的差异,选定一些特殊的元素； 第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项； 第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。 易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定要注意全集的性质，不要想当然的认为是R. 1.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．[1，4] 【答案】A 【分析】先化简集合，再利用交集定义即可求得. 【详解】 故 故选：A 2.（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知集合，，则（   ） A．A B．B C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知集合表示点集，而集合A表示数集，即可根据交集的定义求解. 【详解】由可得, 故， 故选：C 3.（24-25高三上·山东·期中）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集定义可得答案. 【详解】因为，， 所以，. 故选：D. 1．（2024·浙江温州·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 2．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，然后利用补集的定义即可求解 【详解】根据题意，集合， 因为，所以. 故选：B 3．（2024·广东肇庆·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式可得，再由交集运算可得结果. 【详解】由不等式，得，所以， 又，可得. 故选：A 4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】C 【分析】根据集合的元素类型，列方程组求解集即可得元素个数. 【详解】因为集合，， 则联立，解得或， 故，集合中有2个元素. 5．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果. 【详解】或， ，所以， 故选：C 6.（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立集合A与集合B的方程组，解方程组可得答案. 【详解】根据题意知联立集合A与集合B方程组得， 解之可得或，所以. 故选：A 7.（24-25高三上·山东济宁·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合，再求出集合，最后根据集合的运算法则计算可得. 【详解】由可得，解得或， 所以， 又，则，所以， 所以，所以. 故选：D. 易错点03：遗忘空集 典例 （24-25高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【详解】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 【易错剖析】 因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对的讨论而错选C.. 【避错攻略】 1.当已知求参数时，一定要分析集合为空集的情况； 2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析； 【具体步骤】 第一步：化简，化简所给集合； 第二步：画图，用数轴表示所给集合； 第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式(组)； 第四步：求解，解出不等式(组的解； 第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到. 3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析. 易错提醒：已知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入检验的方法加以区分，避免出错. 1.集合，，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先求出集合，依题意可得，再分、、三种情况讨论 因为，，所以，又 当，则，当，即，解得，当，即，解得，综上可得实数a的取值集合为，故选：D 2.设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合是否为空集进行分类讨论可求的范围 当时，，则，即 当时，若，则或 解得或，综上，实数的取值范围为 故选：D 3.（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合，. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分和两种情况进行讨论，结合，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，分和两种情况进行讨论，结合，列出不等式，即可求解； 【详解】（1）解：由集合，且 因为，可分和两种情况进行讨论： 当时，可得，解得，此时满足； 当，因为，则满足或，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由集合，且, 因为，可分和两种情况进行讨论： 当时，可得，解得，此时满足； 当，因为，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 1．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解. 【详解】集合，若， 则若，则满足题意； 若，且，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故选： 2．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式化简集合B，再利用集合的包含关系求解即得. 【详解】显然，由，得， 当时，即，解得，满足，则； 当时，则，解得； 所以. 故选：C 3．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 4．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先化解集合，又，即可得到或，解得即可. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，显然， 因为，所以或， 解得或， 即实数的取值范围为或. 故选：A 5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 6．已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果. 【详解】由，知，因为，， 若，则方程无解，所以； 若，，则， 因为，所以，则； 故实数取值集合为. 故选：D. 7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知集合，若，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围. 【详解】由得，. 由得，， ∴或， ∴，解得. 故选：A. 8．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）已知集合，，若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解绝对值不等式可得集合A，由得，讨论B为空集和不为空集情况，解相应不等式，即得答案. 【详解】解，即，即， 由，得; 当时，即，符合题意； 当时，需满足，解得， 综合可得， 故答案为： 9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知集合，若，则m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】化简集合,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解. 【详解】 因为 所以或 解得：或 故答案为：或 10．（24-25高三上·河南·开学考试）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出集合，根据集合的包含关系列不等式组求解可得. 【详解】因为，所以， 当时，，不满足题意； 当时，由解得， 依题意有，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 11．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 题型二：常用逻辑用语 易错点04：判断充分性必要性位置颠倒 典例 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解 命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选：D 【易错剖析】 本题易混淆A是B的充分条件和A的充分条件是B的区别而出错. 【避错攻略】 1掌握充分、必要条件的概念及类型 (1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果pq，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件； (3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件； (4)如果qp，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件； (5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件. 【解读】 （1） p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的． （2） “p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同． （3）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”，要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 2.灵活运用判断充分、必要条件的方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断； (2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它们之间的关系. (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分不必要条件；若p⊇q,则p是q的必要不充分条件；若p＝q,则p是q的充要条件,尤其对于数的集合,可以利用小范围的数一定在大范围中,即小⇒大,会给我们的解答带来意想不到的惊喜． (4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可． 易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析. 1.已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先分离参数求出的取值范围，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，由题设命题为真，即在上恒成立，所以，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集， 故选：A 2.（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论是否为0，当时，显然无解，故，用表示出方程的解，令结果大于0，求得的取值范围. 【详解】当即时，，，所以； 当即时，，. 故选：C. 3.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】设不等式的解集为，， 因为不等式成立的充分条件是，，所以， 所以，所以. 由，所以. 由可得. 故选：D 1．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断． 【详解】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意. 对于B，由，得，所以，可推出，符合题意. 对于C，，可得，不符合题意. 对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意. 故选：B． 2．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可． 【详解】对于A，若，，当时，成立， 所以“，”“”，A不满足条件； 对于B，，，则，即， 所以“，”“”， 若，则，不妨取，，，则， 所以“，”“”， 所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件； 对于C，若，则，使得，即， 即“”“，”， 所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件； 对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立， 所以“，”“”，D不满足条件. 故选：B. 3．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，当时，由，得，B不是； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出当直线与圆有公共点时的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 若直线与圆有公共点，则，解得， 因为，，， 所以，直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是为. 故选：B. 5．（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案． 【详解】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面垂直的性质定理与判定定理可得结论. 【详解】因为，所以，当时，由线面垂直的性质定理可知； 只有当且时才能得到. 所以的必要不充分条件是. 故选：. 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质、结合对数函数、幂函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】对于A， ，不能推出，如，反之 ，则有 ， 即是的既不充分也不必要条件，A错误； 对于B，由，得，即， 不能推出 ，反之，则， 因此是的必要不充分条件，B正确； 对于C，，是的充分必要条件，C错误； 对于D，由，得，反之不能推出， 因此是的充分不必要条件，D错误. 故选：B. 8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设.下列选项中，的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分和，利用基本不等式，求出的取值范围，即可求出结果. 【详解】令， 当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，，当且仅当，即时，取等号， 所以或，当且仅当时取等号，故的充要条件是且， 故选：D. 9．（24-25高三上·山东德州·期中）已知：，：，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可. 【详解】由可得，解之得或， 设：，对应， ：，其解集对应， 则是的充分不必要条件等价于A是B的真子集，所以. 故选：A 10．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件转化为，即可求解. 【详解】由于的一个充分不必要条件是，故是的充分不必要条件， 故，故， 故选：D 11．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，确定集合，通过讨论的范围，确定集合，根据题意推出集合是集合的真子集，由此列出不等式组，即可求得答案． 【详解】由题可知，， 若，则， 若时，则. 因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立， 当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且， 综上所述：. 故选：B. 易错点05：由命题真假求参数范围 典例 （24-25高三上·福建龙岩·期中）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】存在性命题为假等价于“”为真，应用参变分离求解即可. 【详解】解：因为命题“”为假命题 等价于“”为真命题， 所以， 所以只需. 设， 则在上单增，所以. 所以，即. 故选：A 【易错剖析】 对全称量词和存在量词理解不到位，不能在恒成立和有解之间进行合理的转化而出错. 【避错攻略】 1.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤: 第一步：先判断命题是恒成立问题还是有解（存在）问题; 第二步：转化为函数的最值问题或方程解的问题; 第三步：求解参数的取值范围. 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 易错提醒：写出命题的否定，然后再根据否命题的真假求参数，是等价转化思想在解题过程中的运用，可以有效避免命题为假不易判断的问题. 1.（23-24高三下·广东·开学考试）已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题以及特称命题的真假，结合二次函数的最值以及一元二次方程的判别式，即可求得答案. 【详解】由题意知，为假命题， 则，为真命题， 当时，的图象的对称轴为， 此时其最大值为，则； 又，为真命题， 即，即得， 综合可得的取值范围为， 故选：A 2.（24-25高三上·河南·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果. 【详解】由题意，命题“”是假命题， 等价于其否定“”是真命题， 令，则对恒成立， 即，需满足， 而，，当且仅当，即时取等号. 所以，即. 故选：A. 3.（24-25高三上·江西·阶段练习）命题“，使（且）成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到“，都有成立”为真命题，且，利用与的图像关于对称，转化为，即，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】由命题“，使成立”是假命题， 可得命题“，都有成立”为真命题，显然， 如图所示，因为与的图象关于对称， 可得转化为，两边取以为底的对数，可得，所以， 令，可得， 当，，单调递增；当，，单调递减， 所以，所以，解得. 故选：B. 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设命题“”为真命题，可得，由此可得，再求其补集可得结论. 【详解】若命题“”是真命题， 则， 又因为， 所以， 所以若命题“”是假命题，则实数的取值范围是． 故选：B. 2．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解. 【详解】因为命题“”为真命题，所以． 令与在上均为增函数， 故为增函数，当时，有最小值，即， 故选：A． 3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案. 【详解】恒成立， 当时，，满足要求， 当时，需满足，解得， 故为真命题，需满足， ，，则，解得， 故为真命题，需满足， 综上，的取值范围为 故选：D 4．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可. 【详解】命题“，”是假命题， 则“，”是真命题， 所以有解， 所以， 又， 因为，所以， 即. 故选：B. 5．（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原命题为假命题，所以命题的否定为真命题，从而，恒成立.分离常数，结合对勾函数的单调性求最值即可. 【详解】原命题为假命题，则否定为真命题，即，恒成立， ，令，则，， 所以， 根据对勾函数的性质知在上单调递增，所以当时，， ∴. 故选：A. 6．（24-25高三上·福建·阶段练习）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式成立的存在性问题转化为函数的最值问题，得到的取值范围，再由充分不必要条件的定义得到结果. 【详解】因为“，”，所以，所以． 结合选项及充分不必要条件知“”是“”的充分不必要条件． 故选：D． 7．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知命题p：．若p是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是真命题列不等式，分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】若是假命题，则是真命题，即恒成立， 则，， 由于，当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D． 8．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题与命题至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出即可，由函数单调性求出，故，解不等式得到答案； （2）求出为真命题时的，进而分为真命题，为假命题或为假命题，为真命题，或，都为真命题三种情况，求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立， 只需， 其中在上单调递增，当故， 所以，解得，所以的取值范围； （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则，其中， 而，故当时，， 所以，故； 因为，至少有一个为真， 所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题，或，都为真命题 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 若，都为真命题，则，所以 综上，， 所以的取值范围为. $$