专题04 指数函数、对数函数和幂函数（6大易错点+典例分析+避错攻略+举一反三+易错通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）

专题04 指数函数、对数函数及幂函数 目 录 题型一：指数运算及指数函数 易错点01　对根式性质理解不到位出错 易错点02　忽略底数对指数函数性质的影响 题型二 对数运算及对数函数 易错点03　忽视对数式成立的条件而出错 易错点04　判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 易错点05　利用换元法求值域遗忘范围 题型三 幂函数 易错点06　错判幂函数的性质 试卷第2页，共27页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 题型一：指数运算及指数函数 易错点01：对根式性质理解不到位出错 典例 （24-25高三·全国·专题）下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据根式的运算，逐一判断即可. 【详解】49的平方根是，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误． 故选:A． 【易错剖析】 本题容易混淆根式的性质和分数指数幂的运算律而认为，成立而误选C. 【避错攻略】 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到: （1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时, 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 易错提醒：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同； (2) 分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变． 1．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京延庆·期末）的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）（多选）若代数式有意义，则 ． 8．（2023高三·全国·专题练习）（多选）的值为 ． 易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响 典例 （2024·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可． 【详解】因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 故选：A． 【易错剖析】 本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解. 【避错攻略】 1 指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. 2底数对指数函数图像与性质的影响 （1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. ①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 易错提醒：当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1的大小关系. 1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数且在上的最小值与最大值的和为3，则函数在上的最大值是 . 2．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间上的最小值是，则的值是 . 1．函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 3．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 5．（23-24高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值； 7．（2024高三下·全国·专题练习）函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值. 8．（21-22高一上·河北·阶段练习）已知函数且. (1)若，求的值； (2)若在上的最大值为，求的值. 9．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 题型二 对数运算及对数函数 易错点03：忽略对数式成立的条件而出错 典例 （24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 由函数在上单调递减， 则，可得，解得， 故答案为：. 【易错剖析】 本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错. 【避错攻略】 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 易错提醒：基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解. 1．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）已知，求的值； 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）若，则实数x的取值范围是 ． 3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2025·广东·模拟预测）若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·模拟预测）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是 ． 8．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程的解是 . 9．（24-25高三上·河南·期中）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)求满足的x的取值范围. 易错点04：判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 典例（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数，令，即，解得或， 所以的定义域为， 又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：C 【易错剖析】 本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函 数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识. 【避错攻略】 1.复合型函数单调性规律 若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 2.复合型函数单调性判断步骤 第一步：求函数的定义域 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 第四步：利用结论同增异减判断. 易错提醒：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单调性的影响；（2）树立定义域优先的思想. 1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为 ． 1．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数，下列说法错误的是（  ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．的图象关于原点对称 D．在上单调递增 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·海南·模拟预测）已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）（多选）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 7．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 8．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)证明：是周期函数； (2)求的单调递增区间. 9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 易错点05：求解指对复合函数值域忽略新元范围 典例 （24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 又，，故， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D. 【易错剖析】 本题在换元后容易因忽略新元的取值范围而出错. 【避错攻略】 1.指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 2.对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。 （2）形如（，且）的函数的值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 易错提醒：再用换元法求指数、对数型复合函数的值域、最值问题时，一定要注意新元的范围，以免因范围变大而出错. 1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 3．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 1．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 . 5．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 ． 6．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设函数，，则函数的值域是 ． 8．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当时，函数的值域为 . 9．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 题型三 幂函数 易错点06：错判幂函数的性质 典例 （24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 【答案】ABD 【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称， 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 【易错剖析】 对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视.. 【避错攻略】 1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 2.幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 易错提醒：幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言. 1．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 2．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 3．（2025高三上·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 1．（24-25高三上·上海·期中）下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江·期中）幂函数（）的大致图像是（    ） A．       B．   C．   D．   6．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．不等式的解集为 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 8．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 10．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数（）在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数的取值范围． $$专题04 指数函数、对数函数及幂函数 目 录 题型一：指数运算及指数函数 易错点01　对根式性质理解不到位出错 易错点02　忽略底数对指数函数性质的影响 题型二 对数运算及对数函数 易错点03　忽视对数式成立的条件而出错 易错点04　判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 易错点05　利用换元法求值域遗忘范围 题型三 幂函数 易错点05　错判幂函数的性质 试卷第2页，共27页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 题型一：指数运算及指数函数 易错点01：对根式性质理解不到位出错 典例 （24-25高三·全国·专题）下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据根式的运算，逐一判断即可. 【详解】49的平方根是，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误． 故选:A． 【易错剖析】 本题容易混淆根式的性质和分数指数幂的运算律而认为，成立而误选C. 【避错攻略】 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到: （1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时, 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 易错提醒：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同； (2) 分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变． 1．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可. 【详解】由，，可知， . 故选：B 2．（2025高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【答案】D 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，，即可求解. 【详解】当为奇数时，； 当为偶数时，. 故选：D 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案. 【详解】对于A选项：，，故A错误； 对于B选项：，故B错误； 对于C选项：，故C正确； 对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误. 故选：C 1．（23-24高一上·北京延庆·期末）的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的运算求得正确答案. 【详解】. 故选：C 2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解. 【详解】将写成分数指数幂的形式为. 故选：B. 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数指数幂、根式的运算法则计算可得答案． 【详解】对于A选项，，故A错误； 对于B选项， ，故B错误； 对于C选项，当时，，当时，，故C错误； 对于D选项，，故D正确． 故选：D． 4．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 5．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BD 【分析】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当为偶数时，，故不一定成立，故A错误； 对B：，故，故B正确； 对C：显然不成立，如当时，左边为，右边为，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：BD. 6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】运用根式性质，指数幂性质和对数性质化简计算即可. 【详解】，故A错误. 指数幂性质，知道，B正确； 对数运算性质，知道，C错误； 换底公式逆用，知道,D正确. 故选：BD. 7．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）（多选）若代数式有意义，则 ． 【答案】1 【分析】由二次根式有意义得到的取值范围，化简所求代数值，由的取值范围去掉绝对值符号即可得到解. 【详解】由题意可知：，∴ ∴ 故答案为：1 8．（2023高三·全国·专题练习）（多选）的值为 ． 【答案】 【分析】利用根式的性质进行化简求值即可. 【详解】. 故答案为：. 易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响 典例 （2024·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可． 【详解】因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 故选：A． 【易错剖析】 本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解. 【避错攻略】 1 指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. 2底数对指数函数图像与性质的影响 （1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. ①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 易错提醒：当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1的大小关系. 1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数且在上的最小值与最大值的和为3，则函数在上的最大值是 . 【答案】 【分析】对指数函数的底数进行分情况讨论求出值，代入所求函数，判断单调性即得其最大值. 【详解】当时，在上为增函数， 则，解得； 当时，在上为减函数， 则，解得（舍去）； 于是函数，显然在上为增函数， 故当 时，. 故答案为：. 2．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由且，得为单调递减函数， 由复合函数单调性法则得， 又，解得． 故选：C． 3．函数在区间上的最小值是，则的值是 . 【答案】或 【详解】令，则，其对称轴为， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得. 综上，所以或. 故答案为：或 1．函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】按照与1的大小进行分类讨论，求出函数在上的最值，从而可得的值. 【详解】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数. ∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为， ∴，解得，符合题意. ②当时，函数在上是增函数，在上是减函数. ∵， ∴函数的最大值为，而，， 当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解； 当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意. 综上所述，实数的值为或. 故选：D 3．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解. 【详解】由题意，不妨令，；，， ①当时，在上单调递减， 在上单调递减，易知在上的值域为， 又因为存在最小值，只需，解得，， 又由，从而； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 又因为存在最小值，故， 即，解得，，这与矛盾； ③当时，，易知的值域为，显然无最小值； ④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 5．（23-24高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分和两种情况，根据题意列方程求解即可. 【详解】当时，单调递减， 所以，，即，解得（负根已舍弃）； 当时，单调递增， 所以，，即，解得（不符合条件的根已舍弃）. 综上，实数的值为或. 故选：BD 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值； 【答案】或. 【详解】根据给定条件，利用指数函数的单调性分类求解即得. 【分析】当时，函数在上单调递减，，因此； 当时，函数在上单调递增，，因此， 所以实数的值为或2. 7．（2024高三下·全国·专题练习）函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值. 【答案】3或 【分析】令，讨论或，求出t的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】∵ 令，则， 则，其对称轴为. 该二次函数在上是增函数. ①若，由，得， 故当，即时， ，解得(舍去). ②若，由，可得， 故当，即时， . ∴或(舍去). 综上可得或. 8．（21-22高一上·河北·阶段练习）已知函数且. (1)若，求的值； (2)若在上的最大值为，求的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断是奇函数，再由即可求解； （2）讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得的值. 【详解】（1）因为的定义域为关于原点对称， ， 所以为奇函数，故. （2）， 若，则单调递减，单调递增， 可得为减函数， 当时，， 解得：，符合题意； 若，则单调递增，单调递减， 可得为增函数， 当时， 解得：，符合题意， 综上所述：的值为或. 9．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数即可得最小值； （2）换元令，可得恒成立，结合运算求解. 【详解】（1）若，则， 令， 故原式化为， 若时，可知在上单调递增， 可知在上单调递增，可知； 若时，可知在上单调递减， 可知在上单调递减，可知； 综上所述：， 可知当时，取到最小值为1. （2）因为， 设， 由题意得即恒成立，即恒成立， 且，则，解得， 所以实数的取值范围为. 题型二 对数运算及对数函数 易错点03：忽略对数式成立的条件而出错 典例 （24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 由函数在上单调递减， 则，可得，解得， 故答案为：. 【易错剖析】 本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错. 【避错攻略】 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 易错提醒：基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解. 1．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）已知，求的值； 【答案】4 【分析】根据方程可得，并结合对数的定义取舍； 【详解】（1）因为，可得，解得或， 又因为且，可得且， 综上所述：； 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）若，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数单调性及定义域得到不等式，求出x的取值范围. 【详解】，解得， 故实数x的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解两个不等式，分别得到和，根据真包含关系，得到是的充分不必要条件. 【详解】，故，解得， ，解得， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 1．（2025·广东·模拟预测）若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可. 【详解】因为，所以， 故得，化简得， 所以，故，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质化简集合，即可由并集的定义求解. 【详解】由，则，所以， 所以， 故选：C 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数及运算性质可得，，再由基本不等式即可求解. 【详解】，所以，且， 所以，即， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 4．（2024·广东广州·模拟预测）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 由可得，即，所以， 但无法保证，故不一定成立，充分性不满足； 由可得，所以一定成立，故必要性满足； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知为定义在上的奇函数，且为增函数，结合函数性质，对数函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 可知为定义在上的奇函数， 且当，则在内单调递增， 可知在内单调递增，所以在上单调递增， 因为，则， 可得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 6．（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：C 7．（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的性质和单调性求解即可； 【详解】因为，所以函数为减函数， 又， 所以，解得， 故答案为：. 8．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程的解是 . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则计算可得. 【详解】由方程，可得， ，解得. 故答案为： 9．（24-25高三上·河南·期中）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)求满足的x的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）先求出函数的定义域，再结合对数的运算性质及对数函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 则， 即， 则. （2）由（1）知，， 由，解得，即函数的定义域为， 由，， 即， 即， 即， 则，解得， 又，则， 即x的取值范围为. 易错点04：判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 典例（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数，令，即，解得或， 所以的定义域为， 又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：C 【易错剖析】 本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函 数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识. 【避错攻略】 1.复合型函数单调性规律 若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 2.复合型函数单调性判断步骤 第一步：求函数的定义域 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 第四步：利用结论同增异减判断. 易错提醒：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单调性的影响；（2）树立定义域优先的思想. 1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减, 故选：A 2．（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围. 【详解】令， 则，∵，∴在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在单调递减， ∴，则， ∴ 故选：D 3．（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得单调递增区间. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为. 函数在上单调递增，的开口向上，对称轴为， 根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是. 故答案为： 1．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数，下列说法错误的是（  ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．的图象关于原点对称 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质一一判断即可. 【详解】函数，则，即，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 又， 所以的奇函数，则函数图象关于原点对称，故B错误，C正确； 因为，又在上单调递增， 在定义域上单调递增，所以在上单调递增，故D正确. 故选：B 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 充分性，当“”时，函数在上不一定单调递增，故充分性不成立， 必要性，函数在上单调递增，则，故必要性成立， 则“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2024·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性法则即可得解． 【详解】解：由，可得， 则函数的定义域为， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为． 故选：A． 4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案. 【详解】在单调递减，时，, 即, 另外，时，单调递减，在单调递增， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 5．（2024·海南·模拟预测）已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由题意知在上只能是单调递增， 所以在上单调递增，所以 得. 又单调递增，所以. 综上得. 故选：C 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）（多选）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B的正误； 根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B的正误. 【详解】由，则，当时，等号成立，则的定义域为， 为偶函数，故A错误，B正确； 当时，函数且单调递增，函数且单调递增，函数单调递增， 函数在单调递增，故C正确，D错误. 故选：BC. 7．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 8．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)证明：是周期函数； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由辅助角公式可得，利用三角函数周期性即可证明得出结论； （2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果. 【详解】（1）由可得； 易知， 所以， 即可知是以为周期的周期函数 （2）由复合函数单调性可知求得的单调递增区间即可； 易知恒成立，可得函数的定义域为； 因此只需，解得； 即的单调递增区间为. 9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案； （2）令，分和两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得， 即函数的定义域为， ， 因为在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即得的单调递增区间为； （2）由（1）令，则，， 当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去； 当时，函数在上单调递减，， 所以，解得，符合题意，故. 易错点05：求解指对复合函数值域忽略新元范围 典例 （24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 又，，故， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D. 【易错剖析】 本题在换元后容易因忽略新元的取值范围而出错. 【避错攻略】 1.指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 2.对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。 （2）形如（，且）的函数的值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 易错提醒：再用换元法求指数、对数型复合函数的值域、最值问题时，一定要注意新元的范围，以免因范围变大而出错. 1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据函数的解析式可判断A；求出的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据复合函数的单调性可判断CD. 【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，所以， 故函数的值域为，故B正确； 对于CD，因为在R上是减函数， 在上是减函数，在上是增函数， 所以函数在上单调递减，C错误，D正确. 故选：ABD. 2．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 3．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分类讨论可知，只有当且函数的值域包含时满足题意，由此即可列出不等式组求解. 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 1．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先令，解出一元二次不等式，即可求出函数的定义域，从而求出函数的值域，最后求出补集. 【详解】由，即，解得或， 所以函数的定义域为集合，则值域为集合， 所以. 故选：D 2．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据复合函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增，且，所以， 又在上单调递减，且，所以， 即的值域是. 故选：C. 3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】ABD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：ABD 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 . 【答案】2 【分析】先求出函数的定义域，然后利用基本不等式求得内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性求得外层函数的值域，即可解答. 【详解】根据题意得到，，解得，即，则的定义域是． 由于函数. 化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值． 所以，则的最小值是2． 故答案为：2 5．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用换元的思想，将复合函数转换为二次函数，结合求指数函数及对数函数的值域，来求解复合函数的值域问题． 【详解】解：令， 则， 因为， 则，且的对称轴为， 可知， 所以的值域是． 故答案为：． 6．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解． 【详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设函数，，则函数的值域是 ． 【答案】 【分析】首先化解函数的解析式，再判断函数的单调性，再求函数的值域. 【详解】，， 令，设， 设， ， 因为，则，，， 即，， 所以函数在上单调递增，又也为增函数， 所以函数在单调递增，， 所以函数的值域为. 8．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当时，函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，由于，则， 则原函数可化为，， 当时，取最小值，当时，取最大值， 故，即. 故答案为： 9．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）换元法求函数解析式即可； （2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域； （3）分类讨论m的取值范围，再得出函数的定义域. 【详解】（1）令，得， 则， 所以． （2）若，则， 令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4． 因为为减函数，所以， 故的值域为． （3）． 当时，，则的定义域为； 当时，，则的定义域为； 当时，由，得或， 则的定义域为． 综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为． 题型三 幂函数 易错点06：错判幂函数的性质 典例 （24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 【答案】ABD 【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称， 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 【易错剖析】 对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视.. 【避错攻略】 1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 2.幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 易错提醒：幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言. 1．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 2．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 【答案】（不唯一） 【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解. 【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减， 所以可以为偶函数，不妨取， 此时，函数定义域为， 且，故为偶函数， 满足在区间上单调递减. 故答案为：（不唯一） 3．（2025高三上·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【答案】B 【分析】根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案. 【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增， 故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数. 故选：B 1．（24-25高三上·上海·期中）下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数在区间上为减函数； 对于B选项，函数在区间上为减函数； 对于C选项，函数在区间上为增函数； 对于D选项，函数在区间上为减函数. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数的等式与不等式，即可解出的值. 【详解】因为幂函数的图象与轴无交点， 则，解得. 故选：B. 3．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】由题意可知，，又， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合； 当时，若，，A选项符合； 当时，，此时在和上单调递增， B选项符合； 结合选项可知，只有C.选项不可能. 故选：C. 4．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 5．（23-24高一上·浙江·期中）幂函数（）的大致图像是（    ） A．       B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由幂函数的定义域和单调性判断图像形状. 【详解】∵时，为偶数且大于0，∴的定义域为，且在定义域上单调递增． 只有B选项符合条件. 答案：B． 6．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质判断． 【详解】的定义域为，A错误； 的值域为，B正确； 的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，C错误； 不等式，则，解得，D正确. 故选：BD． 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为且在为减函数， 则由， 得或，或, 解得或, 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值. 【详解】因为为幂函数，所以，所以， 当时，，在上单调递增，不符合； 当时，，在上单调递减，符合； 故答案为：. 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）代入点的坐标求解即可； （2）利用幂函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为该函数的图象过点， 所以， 所以，所以或， 又，故. （2）由（1）知，故为上的增函数，又由， 得，解得. 所以满足条件的实数a的取值范围为. 10．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数（）在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，理由见详解 (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 综上所述：，. 函数为奇函数，理由如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （2）由及为奇函数， 可得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. $$