第04讲 二次根式（讲练）（思维导图+10考点+4种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第一章 数与式 第04讲 二次根式 （思维导图+10个考点+4种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 二次根式的相关概念 3 重点考点二 二次根式的性质与化简 4 重点考点三 二次根式的运算 5 题型精研 考向洞悉 6 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：二次根式有意义的条件 6 考点2：二次根式的性质与化简 7 考点3：最简二次根式 7 考点4：二次根式的乘除法 8 考点5：分母有理化 8 考点6：同类二次根式 9 考点7：二次根式的加减法 9 考点8：二次根式的混合运算 9 考点9：二次根式的化简求值 10 考点10：二次根式的应用 11 第二部分：高频题型洞悉 13 题型1：求二次根式中的参数 13 题型2：已知最简二次根式求参数 14 题型3：分母有理化 14 题型4：比较二次根式的大小 15 分层训练 巩固提升 16 基础夯实训练 16 能力拔高训练 18 考点要求 新课标要求 命题预测 二次根式的相关概念 · 了解二次根式、最简二次根式的概念 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的性质与化简 · 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 重点考点一 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 重点考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 重点考点三 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数. 二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并. 另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算. 第一部分：常考考点讲练 考点1：二次根式有意义的条件 【例1】（2024•梁溪区校级模拟）若二次根式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•清江浦区校级模拟）使有意义的的取值范围在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•沭阳县校级三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 【变式3】（2024•扬中市二模）使式子有意义的的取值范围是　　． 考点2：二次根式的性质与化简 【例2】（2024•宿迁三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022•吴中区模拟）实数，在数轴上的对应点如图所示，化简结果为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•海门区一模）用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是 ． 【变式3】．（2021•苏州自主招生）若化简的结果为，则的取值范围是　　． 考点3：最简二次根式 【例3】（2023•梁溪区校级二模）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021•海州区校级一模）下列式子中，为最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022•射阳县校级一模）下列二次根式中是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2017•邳州市校级模拟）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数　　． 考点4：二次根式的乘除法 【例4】（2024•南通）计算的结果是　　 A．9 B．3 C． D． 【变式1】（2024•姑苏区校级二模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•淮安）计算：　　． 【变式3】（2023•海州区校级二模）使得有意义的的取值范围是 　　． 考点5：分母有理化 【例5】（2024•玄武区二模）下列各数中，与的积为有理数的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•秦淮区校级模拟）计算的结果是 　　． 【变式2】（2022•镇江二模）（1）计算：； （2） 化简：． 【变式3】（2021•徐州模拟）计算： （1） ； （2）． 考点6：同类二次根式 【例6】（2024•滨湖区校级一模）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】（2023•广陵区校级四模）下列二次根式中与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2021•江都区校级模拟）下列二次根式中与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•无锡模拟）写一个二次根式，使它与是同类二次根式，这个二次根式可以是 　． 【变式4】（2023•盐都区三模）若最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 考点7：二次根式的加减法 【例7】（2024•工业园区模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•泗阳县模拟）计算：　　． 【变式2】（2023•如东县一模）计算的结果是 　　． 【变式3】（2024•浦口区校级三模）计算的结果是 　　． 考点8：二次根式的混合运算 【例8】（2024•新北区一模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•玄武区一模）计算的结果是 　　． 【变式2】（2024•邗江区校级三模）（1）计算：； （2） 解不等式组：． 【变式3】（2024•惠山区三模）计算： （1） ； （2）． 【变式4】（2024•常熟市模拟）计算：． 考点9：二次根式的化简求值 【例9】（2023•灌云县校级模拟）阅读下面的文字后，回答问题： 小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中时，得出了不同的答案． 小强的解答是：原式； 小芳的解答是：原式． 请你判断，解答正确的是　　 A．小强 B．小芳 C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误 【变式1】（2024•无锡模拟）已知，则代数式的值为 　　． 【变式2】（2023•邳州市一模）（1）先化简，再求值：，其中； （2） 计算． 【变式3】（2022•泗洪县一模）已知：，，求的值． 考点10：二次根式的应用 【例10】（2023•苏州模拟）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为　　 A．50 B．40 C．30 D．20 【变式1】（2023•常州）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的至少为 　　（精确到个位，参考数据：． 【变式2】（2022•海门市校级模拟）如图，四边形和是两个相邻的正方形，其中，，在同一条直线上，点在上，它们的面积分别为27平方米和48平方米，则的长为　　米． 【变式3】（2024•扬中市二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． 请完成下列问题： （1）一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 　　； （2）请由秦九韶公式推导出海伦公式； （3）若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 【变式4】（2023•建湖县校级模拟）阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，　　，　　； （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，，，且，求的值． 第二部分：高频题型洞悉 题型1：求二次根式中的参数 【例1】（20-21九年级下·山西吕梁·阶段练习）已知a，b都是实数，，则ab的值为 ． 【变式1】（2016·广东揭阳·二模）函数y＝中自变量x的取值范围是 【变式2】（2017·辽宁盘锦·中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 题型2：已知最简二次根式求参数 【例2】（2023·江苏扬州·模拟预测）若最简二次根式、是同类二次根式，则 ． 【变式1】（20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【变式2】（2015·广西柳州·二模）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a= 题型3：分母有理化 【例3】（2023·江苏淮安·模拟预测）先化简，再求值：其中． 【变式1】（2020·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中 【变式2】（2023·江苏南京·二模）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（2023·江苏宿迁·模拟预测）先化简，再求代数式的值：，其中a满足方程 题型4：比较二次根式的大小 【例4】（2017·江苏南京·一模）比较大小：2 5（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【变式1】（2018·山东潍坊·模拟预测）（     ） A．1﹣ B．﹣1 C．1+ D．﹣1﹣ 【变式2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【变式3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 基础夯实训练 1．（2023·江苏扬州·三模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（13-14九年级上·广东汕头·阶段练习）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 6．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 7．（2024·江苏连云港·模拟预测）计算的结果是 ． 8．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 9．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 10． （2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中 11．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 12．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证． 证明：∵， ∴（实数的加法法则）， （不等式的基本性质1）． ∴（①）． ∵（②）， ∴． ∴（③）． (2) 已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．） 能力拔高训练 13．（2024·江苏南京·模拟预测）整数满足成立，则为（    ） A． B． C． D．或 14．（2024·江苏宿迁·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查一批手机的防摔能力采用普查 B．为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500 C．“泗阳县今年7月15日12点有雨”是不可能事件 D．与不是同类二次根式 15．（2024·江苏南京·一模）如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（   ） A． B． C． D． 16．（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 17．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 18．（2023·江苏盐城·模拟预测）已知是等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为底边作等腰直角，连接交于点O，当时，线段的长度为= ．    19．（2023·江苏苏州·一模）若表示不超过的最大整数，，则______． 20．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 21．（2023·江苏无锡·二模）如图，中，，，，折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，在点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为 ． 22．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．    23． （2024·江苏常州·模拟预测）计算：． 24．（2023·江苏南通·模拟预测）（1）计算： （2）先将代数式化简，并从中选取合适的整数代入求值． 25．（2023·江苏·中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀． (1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______； (2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率． 26．（2023·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 27．（22-23八年级上·广东深圳·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）； (2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______； (3)如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 第04讲 二次根式 （思维导图+10个考点+4种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 二次根式的相关概念 3 重点考点二 二次根式的性质与化简 4 重点考点三 二次根式的运算 5 题型精研 考向洞悉 6 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：二次根式有意义的条件 6 考点2：二次根式的性质与化简 8 考点3：最简二次根式 9 考点4：二次根式的乘除法 11 考点5：分母有理化 12 考点6：同类二次根式 14 考点7：二次根式的加减法 16 考点8：二次根式的混合运算 17 考点9：二次根式的化简求值 20 考点10：二次根式的应用 21 第二部分：高频题型洞悉 28 题型1：求二次根式中的参数 28 题型2：已知最简二次根式求参数 29 题型3：分母有理化 30 题型4：比较二次根式的大小 32 分层训练 巩固提升 35 基础夯实训练 35 能力拔高训练 40 考点要求 新课标要求 命题预测 二次根式的相关概念 · 了解二次根式、最简二次根式的概念 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的性质与化简 · 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 重点考点一 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 重点考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 重点考点三 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数. 二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并. 另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算. 第一部分：常考考点讲练 考点1：二次根式有意义的条件 【例1】（2024•梁溪区校级模拟）若二次根式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【变式1】（2023•清江浦区校级模拟）使有意义的的取值范围在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，要使有意义，则，据此求出的取值范围，判断出使有意义的的取值范围如何在数轴上表示即可． 【规范解答】解：有意义， ， 解得， 使有意义的的取值范围在数轴上表示为． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数． 【变式2】（2024•沭阳县校级三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 【思路点拨】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【规范解答】解：代数式有意义， ， 解得． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了二次根式有无意义的条件的应用，解题的关键是熟练掌握分式以及二次根式有无意义的条件． 【变式3】（2024•扬中市二模）使式子有意义的的取值范围是　　． 【思路点拨】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解． 【规范解答】解：使式子有意义， 则，即时． 则的取值范围是． 【考点评析】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 考点2：二次根式的性质与化简 【例2】（2024•宿迁三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的性质、合并同类项的方法、完全平方式进行解题即可． 【规范解答】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查二次根式的性质与化简、合并同类项、完全平方式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式1】（2022•吴中区模拟）实数，在数轴上的对应点如图所示，化简结果为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用二次根式的性质，绝对值的意义化简即可． 【规范解答】解：由题意：， ，． ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，实数与数轴，利用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简是解题的关键． 【变式2】（2024•海门区一模）用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是（答案不唯一）　． 【思路点拨】直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案． 【规范解答】解： “”是错误的， 的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【考点评析】此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式3】．（2021•苏州自主招生）若化简的结果为，则的取值范围是　　． 【思路点拨】根据的取值化简绝对值和二次根式的性质分析． 【规范解答】解： ， 则， 即，， 解得． 【考点评析】此题难点不是根据的取值化简绝对值和二次根式，而是由绝对值和二次根式得化简值求的取值范围．所以要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质熟练、灵活掌握． 考点3：最简二次根式 【例3】（2023•梁溪区校级二模）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：．，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； ．是最简二次根式，故本选项符合题意； ．，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； ．，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式． 【变式1】（2021•海州区校级一模）下列式子中，为最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用最简二次根式定义判断即可． 【规范解答】解：、原式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 故选：． 【考点评析】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【变式2】（2022•射阳县校级一模）下列二次根式中是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【规范解答】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，故不是最简二次根式，不符合题意； 、，故不是最简二次根式，不符合题意； 、，故不是最简二次根式，不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断． 【变式3】（2017•邳州市校级模拟）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数　2　． 【思路点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【规范解答】解：二次根式是最简二次根式，则最小的正整数， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 考点4：二次根式的乘除法 【例4】（2024•南通）计算的结果是　　 A．9 B．3 C． D． 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则对所给算式进行计算即可． 【规范解答】解：． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 【变式1】（2024•姑苏区校级二模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； 、选项均根据积的乘方和幂下乘方法则进行计算，然后判断即可； ．根据二次根式的定义和性质进行计算，然后判断即可． 【规范解答】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了整式和二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则和二次根式的性质． 【变式2】（2024•淮安）计算：　2　． 【思路点拨】本题需先对二次根式进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为：2． 【考点评析】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要能根据二次根式的乘法法则，求出正确答案是本题的关键． 【变式3】（2023•海州区校级二模）使得有意义的的取值范围是 　　． 【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 考点5：分母有理化 【例5】（2024•玄武区二模）下列各数中，与的积为有理数的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用二次根式乘法法则判断即可． 【规范解答】解：， 与的积为有理数的是， 故选：． 【考点评析】本题了二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式1】（2024•秦淮区校级模拟）计算的结果是 　0　． 【思路点拨】原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果． 【规范解答】解：原式， 故答案为：0． 【考点评析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（2022•镇江二模）（1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）根据特殊角的锐角三角函数的值、负整数指数幂的意义即可求出答案． （2）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【规范解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【考点评析】本题考查分式的加减运算法则、乘除运算法则、特殊角的锐角三角函数的值、负整数指数幂的意义，本题属于基础题型． 【变式3】（2021•徐州模拟）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据二次根式的性质、特殊角的锐角三角函数的值、零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义． （2）根据分式的减法运算法则即可求出答案． 【规范解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【考点评析】本题考查二次根式的性质、特殊角的锐角三角函数的值、零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义、分式的混合运算法则，本题属于基础题型． 考点6：同类二次根式 【例6】（2024•滨湖区校级一模）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【思路点拨】先化简成最简二次根式，比较被开方数，相同即可． 【规范解答】解：．与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； ．与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； ．与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； ．与，被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【变式1】（2023•广陵区校级四模）下列二次根式中与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：、， 与不是同类二次根式， 故不符合题意； 、， 与不是同类二次根式， 故不符合题意； 、， 与不是同类二次根式， 故不符合题意； 、， 与是同类二次根式， 故符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【变式2】（2021•江都区校级模拟）下列二次根式中与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据同类二次根式的定义进行选择即可． 【规范解答】解：、，与是同类二次根式，故正确； 、，与不是同类二次根式，故错误； 、，与不是同类二次根式，故错误； 、，与不是同类二次根式，故错误； 故选：． 【考点评析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【变式3】（2024•无锡模拟）写一个二次根式，使它与是同类二次根式，这个二次根式可以是 　（答案不唯一）　． 【思路点拨】根据同类二次根式的定义即可求得答案． 【规范解答】解：， 则的同类二次根式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查同类二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式4】（2023•盐都区三模）若最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 【思路点拨】根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【规范解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得 ． 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 考点7：二次根式的加减法 【例7】（2024•工业园区模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】分别根据二次根式的加减法，同底数幂的除法法则，单项式乘多项式的法则对各选项进行解答即可． 【规范解答】解：、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意； 、，原计算错误，不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查的是二次根式的加减法，同底数幂的除法法则，单项式乘多项式的法则，熟知以上知识是解题的关键． 【变式1】（2024•泗阳县模拟）计算：　　． 【思路点拨】原式化简后，合并即可得到结果． 【规范解答】解：原式． 故答案为： 【考点评析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（2023•如东县一模）计算的结果是 　　． 【思路点拨】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键． 【变式3】（2024•浦口区校级三模）计算的结果是 　　． 【思路点拨】先把各个二次根式化成最简形式，然后合并同类二次根式即可． 【规范解答】解：原式 ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式． 考点8：二次根式的混合运算 【例8】（2024•新北区一模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先根据零指数幂，二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可． 【规范解答】解：．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【变式1】（2024•玄武区一模）计算的结果是 　　． 【思路点拨】先算除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【规范解答】解：原式 ； 故答案为：． 【考点评析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【变式2】（2024•邗江区校级三模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式3】（2024•惠山区三模）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先根据平方差公式及完全平方公式分别计算出各数，再合并同类项即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【考点评析】本题考查的是二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【变式4】（2024•常熟市模拟）计算：． 【思路点拨】先化简，然后计算加减法即可． 【规范解答】解： ． 【考点评析】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 考点9：二次根式的化简求值 【例9】（2023•灌云县校级模拟）阅读下面的文字后，回答问题： 小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中时，得出了不同的答案． 小强的解答是：原式； 小芳的解答是：原式． 请你判断，解答正确的是　　 A．小强 B．小芳 C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误 【思路点拨】根据二次根式的性质：，可得答案． 【规范解答】解：原式， 小芳的解答正确， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键． 【变式1】（2024•无锡模拟）已知，则代数式的值为 　　． 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则求出，利用分母有理化求出，代入原式计算得到答案． 【规范解答】解：， ，， ， 则， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【变式2】（2023•邳州市一模）（1）先化简，再求值：，其中； （2）计算． 【思路点拨】（1）先计算分式的混合运算，再将字母的值代入计算； （2）分别计算绝对值，算术平方根，零次幂及代入三角函数值，再计算加减法． 【规范解答】解：（1）原式， 当时， 原式； （2） ． 【考点评析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，掌握分式混合运算法则及零次幂，三角函数值及实数的混合运算法则是解题的关键． 【变式3】（2022•泗洪县一模）已知：，，求的值． 【思路点拨】首先把原式化为，把，代入原式计算即可． 【规范解答】解：原式， 当，时， 原式 ． 【考点评析】本题主要考查了二次根式的化简求值、多项式与多项式相乘，熟练掌握平方差公式及配方法在整式中的应用是解题关键． 考点10：二次根式的应用 【例10】（2023•苏州模拟）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为　　 A．50 B．40 C．30 D．20 【思路点拨】如图，根据题意易知，点为正方形，的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形的边长为，则，以此可得方程，借此方程，再将的值代入即可求解． 【规范解答】解：如图， 根据题意易知，点为正方形，的中心， ，即， ， ， ， ， ， 设正方形的边长为，则， ， 解得：， ， 或， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系列出方程是解题关键． 【变式1】（2023•常州）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的至少为 　74　（精确到个位，参考数据：． 【思路点拨】连接，过点作交的延长线于点，利用勾股定理即可求得答案． 【规范解答】解：如图，连接，过点作交的延长线于点， 则 ，， 在中，， ， ， 故答案为：74． 【考点评析】本题考查了勾股定理和二次根式的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，另外要仔细审题，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式2】（2022•海门市校级模拟）如图，四边形和是两个相邻的正方形，其中，，在同一条直线上，点在上，它们的面积分别为27平方米和48平方米，则的长为　　米． 【思路点拨】由正方形的面积可得出的长，由正方形的面积可得出的长，再由可得出的长． 【规范解答】正方形的面积为27， ． 正方形的面积为48， ． ． 故答案为：． 【考点评析】本题的主要考点是二次根式的化简与合并，将和化成最简二次根式是解本题的关键． 【变式3】（2024•扬中市二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． 请完成下列问题： （1）一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 　12　； （2）请由秦九韶公式推导出海伦公式； （3）若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 【思路点拨】（1）根据阅读材料分别代入即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导； （3）设一边长为 ，三角形的面积为 ，则另一边为，根据三角形的面积公式可解答． 【规范解答】解：（1）设，，， ，； （2） ， ， ， ； （3）设一边长为 ，三角形的面积为 ，则另一边为， ， ， 当时，有最大值为， 此时三边长分别为，，，是等腰三角形． 【考点评析】本题考查了二次根式的应用，平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式，计算量大． 【变式4】（2023•建湖县校级模拟）阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，　　，　　； （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，，，且，求的值． 【思路点拨】（1）把，代入，，计算即可得到结论； （2）根据（1）的结论化简即可； （3）化简后，代入数值计算即可． 【规范解答】解： ， 当，时，； ， 当，时，； 故答案为：；； （2）； 证明： ； （3）当，时， ． 【考点评析】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键 第二部分：高频题型洞悉 题型1：求二次根式中的参数 【例1】（20-21九年级下·山西吕梁·阶段练习）已知a，b都是实数，，则ab的值为 ． 【答案】-1 【思路点拨】先根据二次根式的定义求解a，从而确定出b，代入求解即可． 【规范解答】根据二次根式的定义：，解得：， ∴， 代入原式得：， ∴， 故答案为：-1． 【考点评析】本题考查二次根式的定义，理解被开方数为非负数是解题关键． 【变式1】（2016·广东揭阳·二模）函数y＝中自变量x的取值范围是 【答案】 【思路点拨】二次根式有意义的条件：二次根号内的数为非负数，二次根式才有意义. 【规范解答】由题意得，1−2x≥0， 解得： x≤. 故答案为：x≤. 【考点评析】本题考查二次根式有意义的条件，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次根式有意义的条件，即可完成. 【变式2】（2017·辽宁盘锦·中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x＞． 【规范解答】解：依题意得：2x+3＞0．解得x＞．故答案为x＞． 题型2：已知最简二次根式求参数 【例2】（2023·江苏扬州·模拟预测）若最简二次根式、是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出的值即可． 【规范解答】解：根据题意得， 整理得，， 故答案为：． 【变式1】（20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可列出关于a的等式，解出a即可． 【规范解答】由题意可知， 解得：． 故答案为：1． 【考点评析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式是解题关键． 【变式2】（2015·广西柳州·二模）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a= 【答案】2 【规范解答】解：因为a为正整数，当a=1时,= 不是最简二次根式，当a=2时，= 是最简二次根式，所以二次根式是最简二次根式， 则最小的正整数a为2 故答案为：2． 【考点评析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 题型3：分母有理化 【例3】（2023·江苏淮安·模拟预测）先化简，再求值：其中． 【答案】； 【思路点拨】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则化简再代数求值即可． 【规范解答】解：原式 ， 将代入， 原式 ． 【变式1】（2020·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中 【答案】，当时，原式 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ， 当时， 原式 ． 【变式2】（2023·江苏南京·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路点拨】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ， 当，时，原式． 【变式3】（2023·江苏宿迁·模拟预测）先化简，再求代数式的值：，其中a满足方程 【答案】，时，原式；时，原式 【思路点拨】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再求出方程的解，将方程的解代入求解即可 【规范解答】解：原式 ； ∵， ∴，或， ∴原式， 当时，原式； 当时，原式． 题型4：比较二次根式的大小 【例4】（2017·江苏南京·一模）比较大小：2 5（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】> 【思路点拨】先对根式及整数进行变形，然后比较大小即可确定． 【规范解答】解：∵，， ， ∴． 故答案为：． 【考点评析】题目主要考查二次根式比较大小的方法，熟练掌握比较大小的方法是解题关键． 【变式1】（2018·山东潍坊·模拟预测）（     ） A．1﹣ B．﹣1 C．1+ D．﹣1﹣ 【答案】B 【思路点拨】直接利用绝对值的性质化简即可得出答案． 【规范解答】解： ， ， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查绝对值的代数意义，涉及到实数比较大小，正确掌握去绝对值运算是解题关键． 【变式2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； （3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小． 【规范解答】（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）； （3）；； ， ． 【变式3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是分母有理化： （1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案； （2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵，，且， ∴． 基础夯实训练 1．（2023·江苏扬州·三模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式化简，倒数的定义，由二次根式性质得，由倒数的定义即可求解；理解倒数的定义，掌握是解题的关键． 【规范解答】解：， 的倒数是， 故选：D． 2．（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了求函数自变量的取值范围，涉及二次根式有意义条件：被开方数非负；根据二次根式被开方数非负即可求解． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：； 故选：C． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【规范解答】解：由题意得，， 解得：． 故选：B． 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂，二次根式的加法等知识，根据相关运算定理进行计算判断即可． 【规范解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、与不能合并，不符合题意， 故选：C． 5．（13-14九年级上·广东汕头·阶段练习）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件被开方式大于或等于0列式求解即可得到答案； 【规范解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 6．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解． 【规范解答】解：由二次根式有意义的条件可得：， 解得：， 故答案为：． 7．（2024·江苏连云港·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先进行乘法运算并化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解； 【规范解答】解：原式 故答案为：． 8．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 【答案】2024 【思路点拨】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可． 【规范解答】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 10．（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简括号内分式，再进行乘法运算，最后再代入求值即可． 【规范解答】解：原式 ， 当时，原式． 11．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 【答案】(1)6.6 (2)见解析 【思路点拨】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据新定义的法则进行估算即可． （2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论． 【规范解答】（1）解：由新定义可得： ； （2）解：设，其中． 则． 将两边平方，得． ∵ ， ∴  的值会更接近于0，不妨近似为0． ∴  ． ∴ ， 即． 12．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证． 证明：∵， ∴（实数的加法法则）， （不等式的基本性质1）． ∴（①）． ∵（②）， ∴． ∴（③）． (2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．） 【答案】(1)①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）；②平方差公式；③不等式的基本性质1 (2)见解析 【思路点拨】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题； （2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题． 【规范解答】（1）解：①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）． ②平方差公式． ③不等式的基本性质1． （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 能力拔高训练 13．（2024·江苏南京·模拟预测）整数满足成立，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【思路点拨】本题考查了实数的运算，根据题中的二次根式的运算，有理数的乘方逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：、当时，，， 不成立，不符合题意； 、当时，，， 成立，符合题意； 、当时，无意义，不符合题意； 、当时，，，成立，当时，无意义，不符合题意； 故选：． 14．（2024·江苏宿迁·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查一批手机的防摔能力采用普查 B．为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500 C．“泗阳县今年7月15日12点有雨”是不可能事件 D．与不是同类二次根式 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别、样本容量、同类二次根式的定义等知识点，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．                     根据抽样调查和全面调查的特点以及样本容量的定义逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A. 调查一批手机的防摔能力采用抽样调查，故A选项不符合题意； B. 为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500，故B选项符合题意； C. “泗阳县今年7月15日12点有雨”是随机事件，故C选项不符合题意； D. 与是同类二次根式，故D选项不符合题意． 故选B． 15．（2024·江苏南京·一模）如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据题意，得到，，继而得到， 解答即可． 本题考查了绝对值，实数大小比较，熟练掌握两点间距离越小，两个数越靠近是解题的关键． 【规范解答】根据题意，得到， 因为 所以 所以在之间， 所以 所以数轴上表示数m与的距离小于表示数m与的距离， 即数m与  最接近， 故选A． 16．（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【思路点拨】如图，根据题意易知，点O为正方形的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形ABCD的边长为,则,以此可得方程，解此方程，再将a的值代入即可求解． 【规范解答】解：如图， 根据题意易知，点O为正方形的中心， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设正方形ABCD的边长为,则, ∴，解得：， ∵， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用等知识点，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系并列出方程是解题关键． 17．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了积的乘方逆用，二次根式的乘法运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 18．（2023·江苏盐城·模拟预测）已知是等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为底边作等腰直角，连接交于点O，当时，线段的长度为= ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等腰直角三角形的性质，得出，，，证明，则，得出，所以，即可作答． 【规范解答】解：依题意，如图所示：    ∵是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∵以为底边作等腰直角 ∴ ∴ ∵， 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 19．（2023·江苏苏州·一模）若表示不超过的最大整数，，则______． 【答案】 【思路点拨】先根据零指数幂和分母有理化得到，然后根据表示不超过x的最大整数得到． 【规范解答】解：，那么， ∴，． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了取整计算：表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂． 20．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】2 【思路点拨】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【规范解答】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【考点评析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 21．（2023·江苏无锡·二模）如图，中，，，，折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，在点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为 ． 【答案】 【思路点拨】由折叠知，垂直平分，分析D点的运动路径，分段计算出长度加在一起即可． 【规范解答】解： ①由折叠知，垂直平分， ∴当D与B重合时，此时最小， ∴如图2，作，垂足为G，连接，                设， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ②∵， ∴当最大时，最短， ∴最短， ∴当时，为垂线段，取最小值， ∴如图3，作，垂足为， 设，则， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴E从最近到最远走了； ③当D从点继续向A移动，增加， ∴减小， 当D与A重合时，如图4， 此时， ∴， ∴E从到运动了， ∴点E从，运动到，再运动到，路径长为， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查图形翻折变换，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握图形的翻折变换，勾股定理，直角三角形的性质等知识，是解题的关键． 22．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．    【答案】 【思路点拨】连接，过点B作交的延长线于点H，根据勾股定理的逆定理得到，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：如图，连接，过点B作交的延长线于点H，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【考点评析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．（2024·江苏常州·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方、绝对值的性质、二次根式的性质及特殊角的三角函数值，熟练运用相关知识是解决问题的关键．根据有理数的乘方、绝对值的性质、二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别计算和化简，再进行合并即可． 【规范解答】解：原式 ． 24．（2023·江苏南通·模拟预测）（1）计算： （2）先将代数式化简，并从中选取合适的整数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【思路点拨】（1）先化简二次根式，绝对值和计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可； （2）先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2） ， ∵分式要有意义且分数的分子不能为0， ∴， ∴且且， ∵且x是整数， ∴， ∴原式． 【考点评析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的混合计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 25．（2023·江苏·中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀． (1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______； (2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先判断盒子中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可； （2）根据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， 故和均为无理数， 故盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是． 故答案为：． （2）解：树状图画出所有情况为： 即抽签的组合有种，分别为： 组合情况 运算结果 运算结果是否是无理数 第一种组合 ，，乘法 否 第二种组合 ，，加法 是 第三种组合 ，，乘法 是 第四种组合 ，，加法 是 第五种组合 ，，乘法 否 第六种组合 ，，加法 是 第七种组合 ，，乘法 是 第八种组合 ，，加法 是 第九种组合 ，，乘法 是 第十种组合 ，，加法 是 第十一种组合 ，，乘法； 是 第十二种组合 ，，加法 是 对应的组合运算结果共个，其中运算结果为无理数的有个， 故抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为． 【考点评析】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运算的结果，判断结果是无理数的个数． 26．（2023·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 【答案】(1)①，②，③，④，⑤ (2)见解析 【思路点拨】（1）根据完全平方公式即可得出①；根据二次根式的性质，即可得出②；根据不等式的性质，即可得出③；根据三角形三边之间的关系，即可得出④；根据不等式的性质即可得出⑤； （2）根据题目所给思路，进行推理论证即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据三角形三边之间的关系可得：， ∴， ∴，即； （2）解：①∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则； ②∵， ∴， 则， ， ∵， ∴，则， ∴将左边除以，右边除以得：， 即； ③∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴，即； 【考点评析】本题主要考查了二次根式，三角三边之间的关系，完全平方公式，平方差公式等，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用在代数推理中． 27．（22-23八年级上·广东深圳·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）； (2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______； (3)如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【答案】(1)是 (2) (3)的长为或 【思路点拨】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长． 【规范解答】（1）解：， 此三角形是常态三角形， 故答案为：是； （2）是常态三角形， 设两直角边长为，，斜边长为， ，， ， ， 设，， 则， 此三角形的三边长之比为， 故答案为：； （3）是常态三角形， ， ，， ， （负值已舍）， ， ， 在中，由勾股定理得，． 当时， ∵， ∴， 在中根据勾股定理得：， ∴的长为或． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理以及新定义．正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$