第03讲 整式与因式分解（讲练）（思维导图+5考点+2命题点 6种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第一章 数与式 第03讲 整式与因式分解（3~6分） （思维导图+5考点+2命题点 11种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的相关概念 考点二 整式的相关概念 考点三 整式的运算 考点四 整式化简求值 考点五 因式分解 04题型精研·考向洞悉 命题点一 整式乘法运算 ►题型01 幂的逆运算 ►题型02 整体代入 ►题型03 探求规律 命题点二 因式分解 ►题型01 利用完全平方式求参数 ►题型02 分组分解法因式分解 ►题型03 因式分解的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 代数式的相关概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 2024省卷5题，11题，16题 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 整式的运算 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 整式化简求值 灵活运用多种方法化简代数式 因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 考点一 代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 【例1】．（2024·山东临沂·二模）数学老师给所教的名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了元，则每件礼物的价格可表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-1】．（2023·山东济南·模拟）小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千垙时 C．千时 D．千米/时 【变式1-2】．（2022·山东德州·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四人．问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？设人数为人，则表示物价的代数式（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2022·山东淄博·二模）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 【例2】．（2022·山东日照·中考真题）单项式﹣3ab的系数是（　　） A．3 B．﹣3 C．3a D．﹣3a 【变式2-1】．（2022·山东淄博·二模）下列说法正确的是（    ） A．的系数是－3 B．的次数是3 C．的各项分别为2a，b，1 D．多项式是二次三项式 【变式2-2】．（2023·山东德州·一模）下列整式中，是二次单项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（2022·山东潍坊·三模）下列说法中，正确的是（    ）． A．的系数是，次数是1 B．没有系数，次数是4 C．的系数是，次数是4 D．的系数是，次数是1 考点三 整式的运算 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 【例3】．（2024·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2024·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点四 整式化简求值 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 【例4】．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【变式4-1】．（2022·山东济宁·中考真题）先化简，再求值:(x+1)(x-1)+x(2-x),其中x=． 【变式4-2】．（2023·山东济宁·中考真题）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=． 【变式4-3】．（2022·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中． 考点五 因式分解 【例5】．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【变式5-1】．（2024·山东德州·中考真题）分解因式∶ ． 【变式5-2】．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【变式5-3】．（2023·山东东营·中考真题）因式分解： ． 整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 整式乘法运算 ►题型01 幂的逆运算 【例1】．（2024·山东·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2024·山东聊城·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2023·山东淄博·一模）已知：，，则 ． 【变式1-3】．（2024·山东济宁·二模）已知，，则 ． ►题型02 整体代入 【例2】．（2023·山东·中考真题）已知实数满足，则 ． 【变式2-1】．（2023·山东临沂·二模）已知m是方程式的根，则式子的值为 ． 【变式2-2】．（2023·山东聊城·一模）已知2m－3n=－4，则代数式m(n－4)－n(m－6)的值为 ． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·二模）若，则代数式= ． ►题型03 探究规律 【例3】．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【变式3-1】．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【变式3-2】．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【变式3-3】．（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 命题点二 实数的运算 ►题型01 利用完全平方式求参数 【例1】．（2022·山东临沂·一模）如果多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为 ． 【变式1-1】．（2022·山东日照·二模）已知能变形为，则的值为 ． 【变式1-2】．（2022·山东烟台·一模）若是关于的完全平方式，则 ． 【变式1-3】．（2021·山东聊城·二模）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为 ． ►题型02 分组分解法因式分解 【例2】．（2024·山东烟台·一模）因式分解： . 【变式2-1】．（2023·山东日照·二模）因式分解： ． 【变式2-2】．（2022·山东济宁·一模）分解因式 ． 【变式2-3】．（2023·山东潍坊·一模）分解因式： ． ►题型03 因式分解的应用 【例3】．（2023·山东济宁·二模）若，，则 ． 【变式3-1】．（2023·山东聊城·二模）已知，，则的值为 ． 【变式3-2】．（2022·山东临沂·二模）已知a−3b=2，ab=3，则2a3b−12a2b2+18ab3= ． 【变式3-3】．（2021·山东潍坊·二模）已知x+y＝3，xy＝－2，则代数式x2y+xy2的值为 ． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．下列运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是1 B．单项式的次数是3 C．是四次三项式 D．与是同类项 3．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 4．把如图1的两张大小相同的长方形卡片（长为，宽为）放置在图2中的大长方形中，已知这个大长方形的宽为，长为，若记图2中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 5．下面是某同学的作业题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的个数是（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 6．下列各等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．因式分解的结果为 ． 8．多项式因式分解得，则 ， . 9．已知，，则 ． 10．若是完全平方式，则 ． 三、解答题 11．先化简，后求值：，其中，． 12．化简 (1) (2) 13．分解因式： (1) (2) 14．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 15．探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 能力提升 1．下列代数式中，表示“与的3倍的差”的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（　　） A．是单项式 B．不是单项式 C．的系数为 D．的次数是3 3．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 5．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．6 C． D． 二、填空题 7．因式分解： ． 8．多项式是 次 项式． 9．计算： ． 10．若，则的值为 ． 三、解答题 11．将下列各式分解因式： (1) (2) 12．已知，，求的值． 13．（1）已知，，，为正整数，求的值； （2）已知，，，求的值． 14．先化简后求值： (1)，其中 (2)，其中 15．在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解： （分成两组） （直接提公因式） 我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：已知，求的值； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． $第一章 数与式 第03讲 整式与因式分解（3~6分） （思维导图+5考点+2命题点 11种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的相关概念 考点二 整式的相关概念 考点三 整式的运算 考点四 整式化简求值 考点五 因式分解 04题型精研·考向洞悉 命题点一 整式乘法运算 ►题型01 幂的逆运算 ►题型02 整体代入 ►题型03 探求规律 命题点二 因式分解 ►题型01 利用完全平方式求参数 ►题型02 分组分解法因式分解 ►题型03 因式分解的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 代数式的相关概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 2024省卷5题，11题，16题 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 整式的运算 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 整式化简求值 灵活运用多种方法化简代数式 因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 考点一 代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 【例1】．（2024·山东临沂·二模）数学老师给所教的名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了元，则每件礼物的价格可表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式．理解题意是解题的关键． 由题意知，每件礼物的价格可表示为元，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，每件礼物的价格可表示为元， 故选：A． 【变式1-1】．（2023·山东济南·模拟）小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千垙时 C．千时 D．千米/时 【答案】D 【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解． 【详解】解：依题意，上山所用时间为：，下山所用时间为：， ∴小强上山和下山的平均速度为， 故选：D． 【变式1-2】．（2022·山东德州·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四人．问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？设人数为人，则表示物价的代数式（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据“每人出8钱，会多3钱”或“每人出7钱，又差4钱”列代数式即可． 【详解】由题意得， 物价为： 或 故选：A． 【变式1-3】．（2022·山东淄博·二模）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可． 【详解】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元， ∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元）， 故选：D． 考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 【例2】．（2022·山东日照·中考真题）单项式﹣3ab的系数是（　　） A．3 B．﹣3 C．3a D．﹣3a 【答案】B 【分析】根据单项式系数的定义即可求解． 【详解】解：单项式﹣3ab的系数是﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查单项式，解题关键是单项式的系数是单项式字母前的数字因数． 【变式2-1】．（2022·山东淄博·二模）下列说法正确的是（    ） A．的系数是－3 B．的次数是3 C．的各项分别为2a，b，1 D．多项式是二次三项式 【答案】A 【分析】根据单项式的次数、系数以及多项式的系数、次数的定义解决此题． 【详解】解：A．根据单项式的系数为数字因数，那么﹣3ab2的系数为﹣3，故A符合题意． B．根据单项式的次数为所有字母的指数的和，那么4a3b的次数为4，故B不符合题意． C．根据多项式的定义，2a+b﹣1的各项分别为2a、b、﹣1，故C不符合题意． D．x2﹣1包括x2、﹣1这两项，次数分别为2、0，那么x2﹣1为二次两项式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查单项式的系数，次数的定义以及多项式的项、项数以及次数的定义，熟练掌握单项式的系数，次数的定义以及多项式的项、项数以及次数的定义是解决本题的关键． 【变式2-2】．（2023·山东德州·一模）下列整式中，是二次单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式的定义、单项式次数的定义逐项判断即可得． 【详解】A、是多项式，此项不符题意； B、是二次单项式，此项符合题意； C、是三次单项式，此项不符题意； D、是一次单项式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式，熟记定义是解题关键． 【变式2-3】．（2022·山东潍坊·三模）下列说法中，正确的是（    ）． A．的系数是，次数是1 B．没有系数，次数是4 C．的系数是，次数是4 D．的系数是，次数是1 【答案】D 【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【详解】A、的系数是，次数是2，故此选项错误； B、的系数是1，次数是4，故此选项错误； C、的系数是，次数是3，故此选项错误； D、的系数是，次数是1，故此选项正确． 故选：D． 考点三 整式的运算 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 【例3】．（2024·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】．（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式3-2】．（2024·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算及整式加减，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据幂的运算法则，整式加减运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，该选项错误，不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项正确，符合题意． 故选D． 【变式3-3】．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 考点四 整式化简求值 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 【例4】．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式4-1】．（2022·山东济宁·中考真题）先化简，再求值:(x+1)(x-1)+x(2-x),其中x=． 【答案】；0 【分析】先去括号，再合并同类项，最后将x值代入求解. 【详解】解：原式= = 将x=代入， 原式=0. 【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，单项式乘多项式的运算法则. 【变式4-2】．（2023·山东济宁·中考真题）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=． 【答案】原式=2a2+b2，当a=﹣1，b=时，原式==4． 【详解】试题分析：先根据单项式乘以多项式，完全平方公式化简，再去括号后合并同类项化简，把a与b的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2， 当a=﹣1，b=时，原式=2+2=4． 考点：整式的化简求值. 【变式4-3】．（2022·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中． 【答案】2ab﹣1，=1． 【详解】分析：先计算单项式乘以多项式与和的完全平方，再合并同类项，最后代入计算即可． 详解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a =a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a =2ab﹣1， 当，时， 原式=2（+1）（-1）﹣1 =2﹣1 =1． 考点五 因式分解 【例5】．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握用公式法分解因式、提公因式法分解因式是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-1】．（2024·山东德州·中考真题）分解因式∶ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-2】．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式5-3】．（2023·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】根据因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案． 【详解】解： 故答案为：． 整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 整式乘法运算 ►题型01 幂的逆运算 【例1】．（2024·山东·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的逆运算，将化为，再根据乘法结合律以及同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1-1】．（2024·山东聊城·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方的逆运算，根据幂的乘方和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，据此求解即可． 【详解】解； 故选：A． 【变式1-2】．（2023·山东淄博·一模）已知：，，则 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂除法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用，即可进行解答． 【详解】解：∵，， ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆用，解题的关键是掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【变式1-3】．（2024·山东济宁·二模）已知，，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法的逆运算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则求出，，再根据代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． ►题型02 整体代入 【例2】．（2023·山东·中考真题）已知实数满足，则 ． 【答案】8 【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为8． 【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值． 【变式2-1】．（2023·山东临沂·二模）已知m是方程式的根，则式子的值为 ． 【答案】2020 【分析】由题意可得出，可变形为，．再由，将代入化简得，再将代入求值即可． 【详解】∵m是方程式的根， ∴， ∴，． ， 将代入，得：， 再将代入，得：． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键． 【变式2-2】．（2023·山东聊城·一模）已知2m－3n=－4，则代数式m(n－4)－n(m－6)的值为 ． 【答案】8 【详解】解：∵2m﹣3n=﹣4， ∴原式=mn﹣4m﹣mn+6n =﹣4m+6n =﹣2（2m﹣3n） =﹣2×（﹣4） =8， 故答案为：8． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·二模）若，则代数式= ． 【答案】－1 【分析】直接把整体代入代数式即可求得结果. 【详解】解：由题意得, 故答案为：-1． 考点：代数式求值 ►题型03 探究规律 【例3】．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 【变式3-1】．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 【变式3-2】．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【答案】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 【变式3-3】．（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 【答案】 【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴． 故答案为： 命题点二 实数的运算 ►题型01 利用完全平方式求参数 【例1】．（2022·山东临沂·一模）如果多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为 ． 【答案】±24 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴ ∴m=±24． 故答案为：±24． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 【变式1-1】．（2022·山东日照·二模）已知能变形为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据完全平方公式的结构可知m+1=4，解之即可． 【详解】∵=， ∴=， ∴，即m+1=4， 解得：m=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键． 【变式1-2】．（2022·山东烟台·一模）若是关于的完全平方式，则 ． 【答案】7或-1 【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案． 【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式， ∴2（m-3）=±8， 解得：m=-1或7， 故答案为-1或7． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键． 【变式1-3】．（2021·山东聊城·二模）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为 ． 【答案】或 【详解】由题意得，. ， ， ， 或 . 故答案为：-2或8 ►题型02 分组分解法因式分解 【例2】．（2024·山东烟台·一模）因式分解： . 【答案】 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，可以将后三项分为一组，即可写成平方差的形式，利用平方差公式分解因式．熟练将后三项可组成完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】．（2023·山东日照·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式得到，再利用平方差公式对分解因式即可解答． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式2-2】．（2022·山东济宁·一模）分解因式 ． 【答案】 【分析】前三项一个组合，用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可解答； 【详解】 = =(a+2b+1)(a+2b-1) 故答案为：(a+2b+1)(a+2b-1)． 【变式2-3】．（2023·山东潍坊·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】先根据平方差公式，然后再提公因式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． ►题型03 因式分解的应用 【例3】．（2023·山东济宁·二模）若，，则 ． 【答案】 【分析】先提公因式，进而将已知代数式的值整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3-1】．（2023·山东聊城·二模）已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】根据平方差公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：8 【变式3-2】．（2022·山东临沂·二模）已知a−3b=2，ab=3，则2a3b−12a2b2+18ab3= ． 【答案】24 【分析】先提取公因式2ab，再运用完全平方公式分解，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a−3b=2，ab=3， ∴2a3b−12a2b2+18ab3=2ab(a2−6ab+9b2) =2ab(a−3b)2 =2×3×22 =24． 故答案为：24． 【变式3-3】．（2021·山东潍坊·二模）已知x+y＝3，xy＝－2，则代数式x2y+xy2的值为 ． 【答案】－6 【分析】将原式提取公因式因式分解，然后将条件整体代入计算即可． 【详解】解： ，， ． 故答案为：． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．下列运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式除以单项式、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式除以单项式、幂的乘方及合并同类项可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 2．下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是1 B．单项式的次数是3 C．是四次三项式 D．与是同类项 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的项及其次数的定义，同类项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【详解】解：A、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； B、单项式的次数是3，原说法正确，符合题意； C、是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D、与不是同类项，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求代数式的值，添括号的应用，熟练掌握整体代入的数学思想是解决问题的关键；先求出的值，把化为：，然后整体代入即可求值． 【详解】解： ∴ 故选：A． 4．把如图1的两张大小相同的长方形卡片（长为，宽为）放置在图2中的大长方形中，已知这个大长方形的宽为，长为，若记图2中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减，阴影部分的长为，宽为，据此即可求得答案． 【详解】阴影部分的长为，宽为． 阴影部分的周长． 故选：D． 5．下面是某同学的作业题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的个数是（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算以及幂的运算性质，根据相关运算法则计算出各式的结果后再进行判断即可． 【详解】解：①和不是同类项，不能合并，故①错误； ②与不是同类项，不能合并，故②错误； ③，计算正确，故③符合题意； ④，计算正确，故④符合题意； ⑤，计算错误，故⑤不符合题意； ⑥，计算错误，故⑥不符合题意； ⑦，计算正确，故⑦符合题意； 综上，正确的是③④⑦，共3个， 故选：A． 6．下列各等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记定义并正确理解是解题的关键． 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，据此作答即可． 【详解】A． 等式右边不是整式积的形式，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C． 分母中含有未知数，不是整式乘积形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； D． 是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；用平方差公式“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案：． 8．多项式因式分解得，则 ， . 【答案】 5 2 【分析】根据多项式的乘法法则把计算后与比较即可求解． 【详解】解：， ，， ，． 故答案为：5，2. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解与整式的乘法是互为逆运算是解答本题的关键． 9．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，代入求值，先运用整式的乘法展开，然后整体代入是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10．若是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式的结构特点，掌握在完全平方公式中确定平方项和乘积二倍项是解答本题的关键．根据完全平方公式：，再分析解答即可． 【详解】解： ∵是完全平方式 ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值，原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 【详解】 ， 当，时，原式． 12．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整混合运算法则是解题的关键． （1）先运用单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可； （2）先运用多项式乘以多项、单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）先提公因式，然后再运用完全平方公式继续分解； （2）采用分组分解法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 14．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【答案】(1) (2) (3)25 (4)1 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式求值，完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键． （1）将原式展开，再代入求值； （2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案； （3）直接利用完全平方公式进而求出答案； （4）直接利用（3）中所求，结合完全平方公式求出答案． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2） ； （3）∵ ∴ ∴ ∴； （4） ． 15．探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景； （1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差； （2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可； ②由题意，根据平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 能力提升 1．下列代数式中，表示“与的3倍的差”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式问题，解题的关键是根据差与倍数关系得出代数式．根据差与倍数关系得出代数式解答即可． 【详解】解：“与的3倍的差”即， 故选：B． 2．下列说法中正确的是（　　） A．是单项式 B．不是单项式 C．的系数为 D．的次数是3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式、多项式，根据单个的字母、数字、字母与数字的积是单项式，单项式中数字因数是系数，所有字母的指数的和为单项式的次数，几个单项式的和的形式是多项式，由此即可求解． 【详解】解：A、是多项式，故原选项错误，不符合题意； B、是单项式，故原选项错误，不符合题意； C、的系数是，故原选项错误，不符合题意； D、的次数是，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 3．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项及去括号，熟练掌握合并同类项及去括号是解题的关键；因此此题可根据合并同类项及去括号法则可进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选：D． 4．下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；因此此题可根据平方差公式：进行求解即可． 【详解】解：A、符合平方差公式特征，故不符合题意； B、符合平方差公式特征，故不符合题意； C、符合平方差公式特征，故不符合题意； D、，不符合平方差公式特征，故符合题意； 故选D． 5．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解：选项A，B中的等式不成立； 选项C中，，正确． D选项中，多项式在实数范围内不能因式分解； 故选C． 6．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和整体代入求值.利用因式分解把代数式变形，再代入数值计算即可. 【详解】解：∵，， ∴ . 故选：B. 二、填空题 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．提出公因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 8．多项式是 次 项式． 【答案】 四 四 【分析】本题考查多项式的概念，解题的关键是正确多项式的概念．多项式的组成元素为单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，多项式的次数即为单项式最高次项的次数，进而得出答案． 【详解】解：多项式是四次四项式， 故答案为：四，四． 9．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，正确变形再求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再将代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， 原式． 故答案为：． 三、解答题 11．将下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）先利用平方差公式法进行因式分解，再提公因式即可； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，把要求的式子因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式． 13．（1）已知，，，为正整数，求的值； （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方， （1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可； （2）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：∵，，、为正整数， （2）∵， . 14．先化简后求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)，3 (2)， 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则，完全平方公式，多项式乘以多项式法则，整式的除法法则是解题的关键． （1）运用乘法公式，整式的混合运算法则进行化简，最后代入求值即可； （2）先运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 15．在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解： （分成两组） （直接提公因式） 我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：已知，求的值； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)三角形是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了用分组分解法分解因式，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）利用分组分解法解答即可； （2）利用分组分解法得到，再整体代入即可； （3）利用分组分解法得到，则或，即可得到结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为： （2）， ∵， ∴原式； （3）三角形是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ， ， ∴或， ∴三角形是等腰三角形． $