精品解析：河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟、请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 已知关于的方程，下列说法正确的是（　　） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，． 当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定： ∵， ∴当时，方程有两个相等的实数解， 当且时，方程有两个不相等的实数解． 综上所述，说法C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 2. 在与中，有下列条件：（1）；（2）；（3）；（4），如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似、两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似，即可得能判断的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），继而求得答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， ∴能判断的共有3组． 故选：C． 3. 某市政府为了解决群众看病贵的问题，决定降低药价．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，设这种药品平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．由题意可求出第一次降价后的价格为，进而可求出第二次降价后的价格为，根据第二次降价后的价格为128元，即可列出等式，即可选择． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为， ∴第二次降价后的价格为， ∴可列方程为． 故选A． 4. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转．如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆直行的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确列出表格或画出树状图，表示出所有等可能的情况是解题关键．根据题意画出树状图表示出所有等可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可画树状图如下， 由图可知共有9种等可能的情况，其中一辆左转，一辆直行的情况有2种， ∴经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆直行的概率是． 故选：B． 5. 点都在二次函数的图象上，则的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵二次函数为 ∴对称轴为轴，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∵ ∴ 故选：C． 6. 如图，在中，是的中点，若将绕点逆时针旋转，则旋转前后两个三角形组成的图形是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 正五边形 D. 正三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，菱形的判定，掌握旋转的性质和菱形的判定定理是解题关键．由旋转的性质得出，结合题意可证，即说明旋转前后两个三角形组成的图形是菱形． 【详解】解：如图， 由旋转可知． ∵， ∴， ∴四边形为菱形，即旋转前后两个三角形组成的图形是菱形． 故选B． 7. 如图，利用标杆测量学校宿舍楼的高度．已知标杆的高是，测得，则宿舍楼的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．根据题意可求出，再根据，可证明，即得出，最后代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 由题意可知， ∴， ∴，即， 解得：， ∴宿舍楼的高是． 故选B． 8. 如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（　　） A. 1 B. 1.2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4， ∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4， ∴∠D=90°， 在Rt△ABD中，AD=，AB=4， ∴BD=， ∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE， ∴△ADE∽△BCE， ∵AD：BC=：4=1：5， ∴相似比为1：5， 设AE=x， ∴BE=5x， ∴DE=-5x， ∴CE=28-25x， ∵AC=4， ∴x+28-25x=4， 解得：x=1． 故选：A． 【点睛】题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练． 9. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点，则四边形的面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，反比例函数比例系数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是解题关键．设与x轴交于点A，与y轴交于点B，根据点P坐标可求出，根据反比例函数比例系数k的几何意义可求出，最后根据求解即可． 【详解】解：设与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∵， ∴． ∵过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴． 故选B． 10. 如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理求两点坐标；根据题意作关于轴的对称点，则这束光从点到点所经过的路径的长为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于轴的对称点，则， ∴这束光从点到点所经过的路径的长为 ∵，， ∴， 故选：C． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 已知函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得，n2﹣2＝﹣1且n+1≠0， 整理得，n2＝1且n+1≠0， 解得n＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 12. 在中，的平分线与边交于点，与对角线交于点，点将边分成两部分，则与的面积之比为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定；由平行四边形的性质可知，从而得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：如图所示： 四边形为平行四边形， ． ． 当时 ， 与的面积之比为 当时， 与的面积之比为 故答案为：或． 13. 如图，，，以为边作平行四边形，则经过点的反比例函数的解析式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想是解题关键．设与y轴交于点Q，根据平行四边形的性质可求出，，设经过点的反比例函数解析式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设与y轴交于点Q， ∵，， ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 设经过点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴经过点的反比例函数的解析式是． 故答案为：． 14. 如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A关于的对称点C，连接，则，可证明点C在上，再证明，得到三点共线，根据可得当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点C，连接， 由轴对称的性质可得垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴点C在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：10； 15. 如图，直线和双曲线（）相交于点，过点作垂直于轴，垂足为，轴上的点，，，…，的横坐标是连续整数，过点，，…，分别作轴的垂线，与双曲线（）及直线分别交于点，，…，和点，，…，，则的值为________．（为正整数） 【答案】 【解析】 【分析】由于轴上的点，，，，的横坐标是连续整数，则得到点，再分别表示出，，根据坐标与图形性质计算出，，然后计算． 【详解】解：轴上的点，，，，的横坐标是连续整数， ， 轴， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式． 三、解答题．（本大题8个小题，满分75分） 16. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明： ，， ， ， ， 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2），该方程的另一个根 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及一元二次方程的求解，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）将代入方程即可求得，据此即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得：， 解得， 将代入方程，整理可得：， 即， 解得或， 该方程的另一个根． 17. 已知函数与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，正比例函数和反比例函数的定义．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）由题意可设，，即得出，再将，；，，代入求解即可； （2）将代入（1）所求解析式即可． 【小问1详解】 解：∵与成反比例，与成正比例， ∴可设，． ∵， ∴． ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，． 18. 如图，的直径交于P，P是的中点． （1）求的长； （2）过点作，垂足为，求证：直线是的切线． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，连接， ，P是的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 直线是的切线． 【解析】 【分析】（1）连接，由直径可得，进而得出，再结合线段中点，即可求出的长； （2）连接，由垂直平分线的性质，得到，进而得出，结合垂线的定义，得出，由等边对等角的性质，得到，从而得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， P是的中点， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角，勾股定理，垂直平分线的判定风信子，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，掌握圆的相关性质是解题关键． 19. 如图，已知是坐标原点，M，N的坐标分别为． （1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为； （2）分别写出M、N的对应点P、Q的坐标； （3）求的面积； （4）如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查位似及割补法，熟练掌握位似图形是解题的关键； （1）根据位似比可得出点M、N的对应点P、Q，然后作图即可； （2）由图（1）可直接进行求解； （3）根据图（1）及割补法可进行求解； （4）根据位似的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：； 【小问3详解】 解：由图可得： ； 【小问4详解】 解：根据位似可知： 如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标． 20. 某游乐场部分平面图如图所示，在同一直线上，、E、B在同一直线上，测得处与处的距离为米，处与处的距离为36米，（计算结果保留整数） （1）求入口处到出口处的距离； （2）求海洋球处到出口处的距离． 【答案】（1）入口处到出口处的距离为48米 （2）海洋球处到出口处的距离为69米 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意结合含30度角的直角三角形的性质可得出，，，再根据勾股定理求解即可； （2）由题意结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 答：入口处到出口处的距离为48米； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 答：海洋球处到出口处的距离为69米． 21. 在4张正面分别写有数字，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀． （1）从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于1的概率是多少？ （2）先从中任意抽取一张卡片，以其正面数字作为的值，然后再从剩余的卡片随机抽一张，以其正面的数字作为的值，请用列表法或画树状图法，求点在第三象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）通过列表展示所有12种等可能情况，利用第三象限的点的坐标特点得到点在第三象限的结果数，然后根据概率公式求解； 本题考查了列表法与树状图法，利用列表法和树状图法展示所有可能的结果是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴只有 ∴绝对值不大于1的概率是． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能情况，其中在第三象限的点有，共2个． 所以点在第三象限的概率． 22. 国家鼓励大学生自主创业，王磊在某市政府的扶持下创建了自己的公司，今年受新型冠状病毒的影响，该公司投资生产一种成本为每瓶10元的免洗手酒精消毒凝胶，并投放市场进行销售，销售过程中发现，该产品每天销售量（瓶）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． （1）设该公司每天获得利润为（元），求与之间的函数解析式； （2）如果该公司想要每天获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种免洗手酒精消毒凝胶的销售单价不得高于24元，如果该公司想要每天获得的利润不低于2000元，那么该公司每天的成本最少需要多少元？（成本=成本价销售量） 【答案】（1） （2）销售单价应定为20元或30元 （3）该公司每天的成本最少需要1600元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，理解题意，正确列出函数关系式是解题关键． （1）根据利润=（销售单价-单瓶成本）×销售量解答即可； （2）令（1）所求函数关系式中，求解即可； （3）由题意结合（2）可得出，设该公司每天的成本为P，，最后根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意有：． ∵， ∴， ∴与之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， 答：销售单价应定为20元或30元； 【小问3详解】 解：由（2）可知该公司想要每天获得的利润不低于2000元，则， ∵这种免洗手酒精消毒凝胶的销售单价不得高于24元， ∴． 设该公司每天的成本为P，则， ∵， ∴P随x的增大而减小， ∴当时，P最小，且， 答：该公司每天的成本最少需要1600元． 23. 如图，在中，为斜边上的高，在射线上有一点，连接，作交射线于点． 【问题发现】 （1）如图甲所示，如果，则与的数量关系______（填“>”“<”或“=”）； 【类比探究】 （2）如图乙所示，如果改变中两直角边的比例，使得，则与还存在图甲中的关系吗？说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图丙所示，在中，如果已知，试求的长． 【答案】（1）=； （2）不存在图甲中的关系，理由： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得出，，结合同角的余角相等易证，即得出； （2）由题意可得出，易证，得出，即．又可证，即得出，即； （3）连接，由，可得出．易证，得出，从而可求出．设，则，，分别在中和在中，根据勾股定理列出关于x的等式求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等腰直角三角形． ∵为斜边上的高， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接，如图， 由（2）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则，， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：（舍），， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的应用等知识．解本题的关键是熟练掌握全等、相似三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟、请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 已知关于的方程，下列说法正确的是（　　） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 2. 在与中，有下列条件：（1）；（2）；（3）；（4），如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 3. 某市政府为了解决群众看病贵的问题，决定降低药价．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，设这种药品平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转．如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆直行的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 点都在二次函数的图象上，则的大小（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的中点，若将绕点逆时针旋转，则旋转前后两个三角形组成的图形是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 正五边形 D. 正三角形 7. 如图，利用标杆测量学校宿舍楼的高度．已知标杆的高是，测得，则宿舍楼的高是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（　　） A. 1 B. 1.2 C. 2 D. 3 9. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点，则四边形的面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 10. 如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 已知函数是反比例函数，则的值为__________． 12. 在中，的平分线与边交于点，与对角线交于点，点将边分成两部分，则与的面积之比为____________． 13. 如图，，，以为边作平行四边形，则经过点的反比例函数的解析式是____________． 14. 如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是____________． 15. 如图，直线和双曲线（）相交于点，过点作垂直于轴，垂足为，轴上的点，，，…，的横坐标是连续整数，过点，，…，分别作轴的垂线，与双曲线（）及直线分别交于点，，…，和点，，…，，则的值为________．（为正整数） 三、解答题．（本大题8个小题，满分75分） 16. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． 17. 已知函数与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的值． 18. 如图，的直径交于P，P是的中点． （1）求的长； （2）过点作，垂足为，求证：直线是的切线． 19. 如图，已知是坐标原点，M，N的坐标分别为． （1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为； （2）分别写出M、N的对应点P、Q的坐标； （3）求的面积； （4）如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标． 20. 某游乐场部分平面图如图所示，在同一直线上，、E、B在同一直线上，测得处与处的距离为米，处与处的距离为36米，（计算结果保留整数） （1）求入口处到出口处的距离； （2）求海洋球处到出口处的距离． 21. 在4张正面分别写有数字，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀． （1）从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于1的概率是多少？ （2）先从中任意抽取一张卡片，以其正面数字作为的值，然后再从剩余的卡片随机抽一张，以其正面的数字作为的值，请用列表法或画树状图法，求点在第三象限的概率． 22. 国家鼓励大学生自主创业，王磊在某市政府的扶持下创建了自己的公司，今年受新型冠状病毒的影响，该公司投资生产一种成本为每瓶10元的免洗手酒精消毒凝胶，并投放市场进行销售，销售过程中发现，该产品每天销售量（瓶）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． （1）设该公司每天获得利润为（元），求与之间的函数解析式； （2）如果该公司想要每天获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种免洗手酒精消毒凝胶的销售单价不得高于24元，如果该公司想要每天获得的利润不低于2000元，那么该公司每天的成本最少需要多少元？（成本=成本价销售量） 23. 如图，在中，为斜边上的高，在射线上有一点，连接，作交射线于点． 【问题发现】 （1）如图甲所示，如果，则与的数量关系______（填“>”“<”或“=”）； 【类比探究】 （2）如图乙所示，如果改变中两直角边的比例，使得，则与还存在图甲中的关系吗？说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图丙所示，在中，如果已知，试求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $