专题08 角度中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 1 模型1.旋转中的求值模型 1 模型2.旋转中的定值模型 3 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 4 模型4.旋转中的分类讨论模型 6 8 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·山东济南·期末）已知是的平分线． (1)操作发现：如图①，，①若，则　　 ． ②若，则　　．③若，则　　．（用含的代数式表示） (2)操作探究：将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．(3)如图3，已知，，边、边分别绕着点以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，． 例2．（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，三角板的直角顶点在直线上． (1)如图1，点在直线的同侧，若，则的度数为_____________； (2)如图2，点在直线的同侧，若平分平分，求的度数； (3)如图3，绕点旋转三角板，使点在直线的异侧，当时，求的度数． 模型2.旋转中的定值模型 例1．（2024·江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 例2．（23-24七年级上·广东云浮·期末）如图1，已知，是含角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将三角板按图2位置放置，使一边在的内部，且恰好平分，若，问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将三角板按图3位置放置，此时发现，当在的内部时，绕点O旋转三角板，与的差值不变，请你写出这个差值，即___________°． 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值；(3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级上·江西萍乡·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数； (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 例2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学 (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，．①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时．    例3．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，如图2，为了方便研究，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，且A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O旋转，其中O为该平面内的一个定点．                   图1                          图2                   图3                    图4 (1)如图2，A，O，B三点共线，且，则 °；(2)图3为腿部运动，A，O，B三点始终共线，却不在水平方向上，且．求的值； (3)图4为体侧运动，在运动前A、O、B三点在同一水平线上，，平分且，绕点O顺时针旋转，的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止．①运动停止时，直接写出 °（用小于平角的度数表示）； ②判断运动过程中与的数量关系，并说明理由． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转．(1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 例2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知：如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边和都在直线的上方，且． (1)若图中的三角板从点出发向左匀速运动，同时动点从点出发向右匀速运动，且它们的速度比为，设运动时间为，如图，当时，，此时，三角板的运动速度为 ，点的运动速度为 (2)在（）的条件下，若三角板按原来的速度继续向左匀速运动，而动点按原速也向左运动，再经过多少秒，？(3)如图，过点作射线，使，若三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，当射线停止运动时，三角板也停止运动，直接写出经过多长时间所在的直线平分． 1．（2024·江苏·七年级校考期中）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 4．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 7．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题：如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，射线上有一点，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． (1)当第一次转至与垂直时， ；（用含的代数式表示） (2)当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求的值； (3)如图2，当射线绕点旋转到时，点到达射线上的点处． 此时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，旋转一周停止运动，再经过 秒，与所在直线垂直． 9．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图1，射线上有A、B两点，，．一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3），设点P运动的时间为t秒． (1)的长等于________；当点P到达点B时，等于________； (2)当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直？ 10．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，直角三角板的直角边放在线段上，点与点重合．，，，．现将直角三角板的顶点沿方向向右匀速运动，同时三角板绕点以/秒的速度顺时针匀速旋转．当点到达点时停止运动，此时三角板恰好旋转一周．设直角三角板运动的时间为秒． (1)当时，______°；点运动的速度为______/秒； (2)当点运动到中点时，此时______°；(3)当平分时，求此时的长度． 11．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 12．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数；(2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 13．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．（1）在上述所拼图形中，的度数为_____°． 【问题探究】（2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值． 【拓展延伸】（3）在按照[操作拼图]要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．    14．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数；(2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值；(3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 15．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知：（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究]（2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ；②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考]（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 16．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 17．（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ．(2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 18．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 2 模型1.旋转中的求值模型 2 模型2.旋转中的定值模型 4 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 9 模型4.旋转中的分类讨论模型 14 17 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·山东济南·期末）已知是的平分线． (1)操作发现：如图①，，①若，则　　 ． ②若，则　　．③若，则　　．（用含的代数式表示） (2)操作探究：将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．(3)如图3，已知，，边、边分别绕着点以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，． 【答案】(1)①；②；③(2)成立，见解析(3)秒 【分析】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出，，利用角的差可得结论；（2）如图2，根据平角的定义得：，由角平分线定义得：，根据角的差可得③中的结论还成立；（3）设运动秒后，，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，①，， ，，， 平分，，，故答案为：； ②，， ，，， 平分，，故答案为：； ③， ，，， 平分，， ，故答案为：； （2）③中的结论还成立，理由如下：如图2，，，， 平分，， ，； （3）设运动秒后，． 则有或，解得或， 当其中一边与重合时都停止旋转，不符合题意舍去．运动秒后，． 例2．（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，三角板的直角顶点在直线上． (1)如图1，点在直线的同侧，若，则的度数为_____________； (2)如图2，点在直线的同侧，若平分平分，求的度数； (3)如图3，绕点旋转三角板，使点在直线的异侧，当时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查平角的意义，角平分线有关的计算：（1）根据平角的意义进行计算即可； （2）根据平分线的意义求出，再加上即可得到结论； （3）求得，又，结合，求出，再由平角的意义可得结论 【详解】（1）∵且 ∴；故答案为：； （2）∵是的平分线，是的平分线， ∴∴ ∵∴ ∴ ∴； （3）∵∴ 又，且，∴ ∴，∴ 模型2.旋转中的定值模型 例1．（2024·江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3 【分析】(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数； (2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可. (3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值. 【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD， ∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角； 当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°， ∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案为：4；144°，114°； （2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°， ∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD， ∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t， ∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°， ∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t的值为10s； （3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝， 当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6， ①如图所示，当0＜t＜时，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t ∴＝，（不是定值） ②如图所示，当＜t＜6时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t， ∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t， ∴＝=3，（是定值） 综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时， t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3． 【点睛】此题考察图形中的运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值. 例2．（23-24七年级上·广东云浮·期末）如图1，已知，是含角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将三角板按图2位置放置，使一边在的内部，且恰好平分，若，问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将三角板按图3位置放置，此时发现，当在的内部时，绕点O旋转三角板，与的差值不变，请你写出这个差值，即___________°． 【答案】(1)直线平分，理由见解析 (2)30 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度之间的和差关系，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．（1）根据角平分线的定义得出，根据，得出，结合，即可得出结论； （2）根据图形得出，，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，即直线平分； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：30． 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分．（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：平分， ，故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级上·江西萍乡·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可；（3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线，，； （2）解：，， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线，，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ，，， 综上，度数为 或． 例2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，．①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 【答案】(1)①；；②猜想，理由见解析 (2)①，理由见解析；②3或21 【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系．（）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；（）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，，∴， ∵，∴； ∵，，∴， ∵，∴故答案为：；； ②猜想，理由如下：∵，， ∴，，∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴； ②如图所示，当点G在上方时， ∵，∴，∴由（3）①的结论可知，， ∴，∴；       如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，， ∴；综上所述，t的值为3或21． 例3．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，如图2，为了方便研究，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，且A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O旋转，其中O为该平面内的一个定点．                   图1                          图2                   图3                    图4 (1)如图2，A，O，B三点共线，且，则 °；(2)图3为腿部运动，A，O，B三点始终共线，却不在水平方向上，且．求的值； (3)图4为体侧运动，在运动前A、O、B三点在同一水平线上，，平分且，绕点O顺时针旋转，的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止．①运动停止时，直接写出 °（用小于平角的度数表示）； ②判断运动过程中与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②当时，；当时，，理由见解析 【分析】（1）根据平角及即可得到答案；（2）设，得到，，代入整理即可得到答案；（3）先求出，①运动停止时，即时，旋转的角度为，即可得到答案；②把分成两段分别进行求解即可．此题考查了角的和差相关计算，数形结合和分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）如图3，∵，设， ∴，， ∴，即的值为； （3）如图4，∵，平分， ∴，， 设运动时间为，则，∴， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴，故答案为：； ②当时，；当时，；理由如下： 当点C、O、A三点共线时， ， ∴当时，∴； 当时，∴， 综上可知，当时，；当时，． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转．(1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 【答案】(1)或(2)45或50或110或135或170 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，找到等量关系式是解题的关键． （1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线顺时针旋转、逆时针旋转时；②射线逆时针旋转、顺时针旋转时，根据射线与旋转的角度即可得出答案； （2）分四种情况讨论：①当即时，②当时，③当即时，④当时，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：设旋转时间为x秒，①射线顺时针旋转、逆时针旋转时， 由题意得： ，∴，∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2； ②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时， 由题意得：，∴，∴射线与旋转的速度之比为5：4； 综上，射线与旋转的速度之比为1：2或5：4，故答案为：1：2或5：4； （2）解：①当即时，由题意得：，解得：； ②当时，由题意得：，解得：； ③当即时，由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； ④当时，由题意得：或或， 解得：或135或170； 综上，t的值为45或50或110或135或170． 例2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知：如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边和都在直线的上方，且． (1)若图中的三角板从点出发向左匀速运动，同时动点从点出发向右匀速运动，且它们的速度比为，设运动时间为，如图，当时，，此时，三角板的运动速度为 ，点的运动速度为 (2)在（）的条件下，若三角板按原来的速度继续向左匀速运动，而动点按原速也向左运动，再经过多少秒，？(3)如图，过点作射线，使，若三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，当射线停止运动时，三角板也停止运动，直接写出经过多长时间所在的直线平分． 【答案】(1)，；(2)再经过或秒，；(3)经过或秒，所在的直线平分． 【分析】（）设三角板的运动速度为，点运动速度为，由路程速度时间，列出方程，即可求解；（）由（）可知，分两种情况，即点在点的右侧或者在点在点的左侧，即可求得； （）设经过秒所在的直线平分，则，旋转的角度为，分两种情况：当在上方，在下方时，，即可求得；本题考查了一元一次方程的应用，角的和差的表示，旋转的性质，数形结合思想以及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）设三角板的运动速度为，点运动速度为， ∵时，，∴，解得：， ∴三角板的运动速度为，点运动速度为；故答案为：，； （2）由（）可知，，，设再经过秒，， 点在右侧时，，∴，解得， 点在左侧时，，∴，解得， 综上可知：再经过或秒，； （3）设经过秒所在的直线平分，如图，当在上方，由题意得： ∴，解得：， 如图，在下方时，由题意得： ∴，解得：， 综上可知：经过或秒，所在的直线平分． 1．（2024·江苏·七年级校考期中）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值． 【解析】解：分两种情况： ①如图平分时，，即，解得； ②如图平分时，，即，解得． 综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．故选：． 【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 【答案】/12度 【分析】分两种情况讨论：当点E在直线上方时，当点E在直线下方时，用含x的式子分别表示出和，再由，建立关于x的方程，即可求解． 【详解】解：设， 当点E在直线上方时，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 当点E在直线下方时，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 此时， ∴此情况不存在，舍去； 故答案为： 【点睛】本题考查了角的计算，画出图形，分类讨论思想和方程思想是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为秒， ∵于点， ∴， ∴， ∴. 当与成一条直线时，则， ∴. (秒)， (秒)， ∴秒时停止运动. 当时，， ∴， ∴； 当时，，， ∴. 综上所述，与之间的数量关系为或， 故答案为：或． 4．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，分两种情况：当在外部时，当在内部时，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当在外部时，   ， 由题意可得：， ， ， 平分， ， ； 如图，当在内部时，   ， 由题意可得：， ， ， 平分， ， ； 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 【答案】①②③④ 【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，即， 当，则，故①正确； ，，故②正确； ，若变小，则变大，故③正确； ， ，，故④正确； 综上所述，故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合． 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查了角的和差，线段的和差，旋转的性质， 对于（1），根据旋转可知，，再表示，然后根据的度数，可得答案； 对于（2），设旋转时间是ts，并表示，即可得出，最后代入可得结论； 对于（3），根据题意可得，再根据，可得，然后代入得出答案． 【详解】（1）∵线段分别以每秒，的速度绕点O旋转2s， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）设旋转时间是ts，则， ∵， ∴， 则， ∴； （3）∵M，N两点的速度之比是， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟 【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟． ∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动， ∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，射线上有一点，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． (1)当第一次转至与垂直时， ；（用含的代数式表示） (2)当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求的值； (3)如图2，当射线绕点旋转到时，点到达射线上的点处． 此时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，旋转一周停止运动，再经过 秒，与所在直线垂直． 【答案】(1)(2)或4(3)或或 【分析】（1）由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，时间为3秒，则； （2）由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可； （3）由题意知，分三种情况求解：情况一：如图1，则，，，，由与所在直线垂直，可得，即，计算求解即可；情况二：如图2，同理可得，即，计算求解即可；情况三：如图3，同理可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒）， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， ①当为中点，，即， 解得； ②当为中点，，即， 解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即， 解得 综上，的值为1或4； （3）解：由题意知，分三种情况求解： 情况一：如图1， ∴，， ∴，， ∵与所在直线垂直， ∴，即， 解得，； 情况二：如图2， ∴，， ∴， ∵与所在直线垂直， ∴，即， 解得，； 情况三：如图3， ∴，， ∴，， ∵与所在直线垂直， ∴，即， 解得，， 解得，； 综上所述，再经过或或秒，与所在直线垂直， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转，与线段中点有关的计算，角度计算，互余，一元一次方程的应用．熟练掌握旋转，与线段中点有关的计算，角度计算，互余，一元一次方程的应用是解题的关键． 9．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图1，射线上有A、B两点，，．一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3），设点P运动的时间为t秒． (1)的长等于________；当点P到达点B时，等于________； (2)当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直？ 【答案】(1)24，； (2)点P是线段的中点，理由见解析； (3)25秒或37秒． 【分析】（1）利用，即可得解；用的长度除以点的运动速度，求出时间，求出射线旋转的度数，进而求出的度数即可； （2）求出射线与所在直线第一次重合时，所用的时间，利用点的运动速度乘以时间，求出的长，利用求出的长，比较的大小关系，即可得出结论； （3）分射线旋转和旋转两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 由题意，得：点从点移动到点所需时间为：秒， ∴射线旋转的度数为：， ∴； 故答案为：； （2）点P是线段的中点． 理由如下： 当射线旋转时，射线与所在直线第一次重合时，如图1， ∴射线旋转时间为：秒， ∴． ∴． ∴． ∴当射线与所在直线第一次重合时，点P是线段的中点． （3）点P从点O运动到点B所需时间： 秒 如图，当旋转到或的位置时，， ①当旋转到的位置时 由（1）知， ∴，此时，旋转的度数为：， ∴旋转的时间为：秒， ∴秒； ②当从的位置，再旋转到达时，第二次与垂直，此时旋转的总度数为：， ∴旋转的时间为：秒， ∴秒； 综上：t为25秒或37秒时，所在直线与所在直线垂直． 【点睛】本题考查线段的计算，角度的计算．正确的理解题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 10．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，直角三角板的直角边放在线段上，点与点重合．，，，．现将直角三角板的顶点沿方向向右匀速运动，同时三角板绕点以/秒的速度顺时针匀速旋转．当点到达点时停止运动，此时三角板恰好旋转一周．设直角三角板运动的时间为秒． (1)当时，______°；点运动的速度为______/秒； (2)当点运动到中点时，此时______°；(3)当平分时，求此时的长度． 【答案】(1)，(2)(3)为或． 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义，理解题意是解本题的关键； （1）先求解线段，再求解运动时间，以及C的运动速度； （2）先求解点运动到中点时的运动时间，从而可得答案； （3）分两种情况画出图形，利用角平分线的含义求解运动时间t，再利用线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵三角板恰好旋转一周． ∴， 当时，， ∴点运动的速度为（/秒）． （2）∵，当点运动到中点时， ∴， ∴； （3）如图，当平分时， ∴，， ∴， ∴； 如图，当平分时， ∴， ∴ ∴； 综上：为或． 11．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)90(2)，理由见解析(3)的度数是一个定值，理由见解析 【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．（1）由平角的性质可求解；（2）由补角和余角的性质可求解；（3）由角平分线的定义和平角的性质可求解． 【详解】（1）解： ，；故答案为90； （2）解：，理由如下：，，； （3）解：的度数是一个定值， 理由如下：射线、分别是、的角平分线， ，， ． 12．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数； (2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查三角板中角的运算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）利用角的运算先得到，再利用求解，即可解题； （2）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题； （3）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 由题知，， 当在与之间，   ， ； 当在与之外，     ， ； （3）解：正确，理由如下： ． 13．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．    （1）在上述所拼图形中，的度数为_____°． 【问题探究】（2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值． 【拓展延伸】（3）在按照[操作拼图]要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）75；（2）15秒或秒；（3）9秒或秒或27秒 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、角的和、差、倍、分的计算、角平分线的定义等知识，正确地用代式表示射线OB及射线OD转过的度数是解题的关键． （1）由，，得，于是得到问题的答案； （2）分两种情况讨论，一是在外部，且时，则，于是得，求得；二是在内部，且时，由，得，于是得，求得； （3）分三种情况讨论，列方程求出相应的t值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：75． （2）当在外部，且时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当在内部，且时， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，旋转时间t的值为15秒或秒； （3）存在， 由得， ∴当时，与重合，此时三角板停止旋转， 当平分时，则，    ∴， 解得； 当平分时，则，    ∴， 解得； 当平分时，则：，    ∴， 解得：； 综上所述，或或． 14．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； (2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； (3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 【答案】(1)(2)(3)不存在， 【分析】（1）当旋转角时，则，，，根据角平分线定义得，由此可得的度数； （2）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，则，由此可得的值； （3）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，，由此可得与之间的关系． 此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【详解】（1）解：当旋转角时，则， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：不存在，与之间的关系是：，理由如下： 当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， 即， ， ． 15．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2点分；2点分；②2点6分和2点分，2点分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角． （1）根据1小时分解答即可； （2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解； （4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；②令时针所在直线为，分针所在直线为，分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为． ∴时针每分钟转动，分针每分钟转动， 故答案为：；6； （2）①某个时刻的钟面角α为，可为或，②某个时刻的钟面角α为，可为， 故答案为：①或；②； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4， 则时针转动的角度是，分针转动的角度是， 此时钟面角， ∵， ∴， 故答案为：； （4）①时针恰好与分针重叠：设此时对应的时刻是2点x分，根据题意得， ， 解得，， ∴这一时刻是2点分， 故答案为：2点分； 时针恰好与分针垂直：设此时对应的时刻是2点y分，则有： 或， 解得：或， ∵时为3点整，不合题意，舍去， ∴此时对应的时刻是2点分； ②令时针所在直线为，分针所在直线为，设此时对应的时刻是2点m分，为和角平分线时： ， 解得：； 为和角平分线时： ， 解得：； 为时针，为分针，平分时： ，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 答：当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分． 16．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据角的三等分线的意义进行计算求解； （2）根据角平分线的定义和角的三等分线的意义，分两种情况进行计算求解． 【详解】（1）解：，OC是的一条三等分线，且， ； （2）解：，OC是的一条三等分线，且， ，． ∵OE是的角平分线，OF是∠AOB的角平分线， ∴，， ， ． 设旋转后的角为，旋转的时间为t秒， 如图2-1，当OB是的一条三等分线，且时， ，，，解得(秒)； 如图2-2，当OB是的一条三等分线，且时， ，，， 解得(秒)， 当秒或秒时，射线OB恰好是的一条三等分线． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，理解角平分线、角三等分线的意义是正确解答的前提． 17．（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ．(2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分；(3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 【答案】(1)； (2)运动或秒时，直线平分； (3)或． 【分析】（）利用同角的余角相等即可求解； （）分两种情况平分和平分时，分别计算可得答案； （）分四种情况分别画出图形可得答案； 此题考查了角的计算与角平分线的定义，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分 根据题意得，， 解得； 情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得， 综上，运动或秒时，直线平分； （3）或，理由： ，如图： ，如图： ，如图： ，如图： 综上可知：或． 18．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21 (2)①；②存在，或 【分析】本题考查三角板有关的角度计算，一元一次方程与几何动点问题； （1）画出边平分时图形，根据角度关系求解即可． （2）①画出边平分时图形，根据角度关系求解即可；②画出时图形，根据角度关系求解即可，注意分类讨论． 【详解】（1）如图， ∵平分，， ∴, ∴边旋转的度数为， 解得， 故答案为：； （2）①如图， ∵平分，， ∴, 由题意可得，，， ∵， ∴， 解得； ②时，，， 如图，，相遇之前，，相遇之前，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，不符合题意； 如图，，相遇之前，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，符合题意； 如图，，相遇之后，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，在旋转过程中，存在某一时刻使，或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$