专题08 角度中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 1 模型1.旋转中的求值模型 1 模型2.旋转中的定值模型 3 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 4 模型4.旋转中的分类讨论模型 6 7 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)在图1中，若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，若，试用含的式子表示； (3)继续旋转至图3的位置，若，其他条件不变，试将图形补充完整，则_____(用含的式子表示)． 例2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边、与直线重合，，．(1)求图1中的度数；(2)如图2，三角板固定不动，将三角板由图1所处位置开始绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．当平分时，求满足要求的旋转角度的值． 模型2.旋转中的定值模型 例1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 例2．（2023·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒． (1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分； (3)如图④，当______时，恰好平分； (4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数； (5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．    例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．    例2．（23-24七年级上·天津河北·期末）如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方． (1)在图①中，求和的度数；(2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值；(3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 例3．（23-24七年级·四川南充·校考期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数；(2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·重庆大渡口·阶段练习）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“神奇线”． (1)一个角的平分线 这个角的“神奇线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，．①若射线是的“神奇线”，则的度数为 ； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线是的“神奇线”？ 例2．（23-24七年级上·安徽·期末）李明在“玩转三角尺”活动课上，将一把三角尺的直角顶点放在直线上的点处，如图1所示．（注：） (1)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转一定角度至图2位置时，若，则______． (2)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转，在旋转过程中，当时，求此时的度数．（提示：分情况讨论） 1．（2023·广东·七年级专题练习）一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．    2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，在射线旋转一周的过程中，经过 秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 3．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化， 【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时平分_________；的余角有_________个（本身除外），分别是_________． 【实践探究】（2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线在内部，且请探究： ①的补角有_________个，分别是：__________________．②求的度数 理由如下：（请利用图中的字母和数字完成证明过程） 因为，所以_________，_________． 又因为，所以_________． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 6．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图1，已知绕点在的内部转动，平分，平分．(1)如图2，当与重合时，求的度数；(2)请判断的大小是否随的位置的变化发生改变？并说明理由； (3)当时，求的度数．    7．（2023·重庆八中七年级期末）一副三角板按如图1所示放置，边在直线上，． (1)求图1中的度数；(2)如图2，将三角板绕点O顺时针旋转，转速为，同时将三角板绕点O逆时针旋转，转速为，当旋转到射线上时，两三角板都停止转动．设转动时间为． ①在范围内，当时，求t的值；②如图3，旋转过程中，作的角平分线，当时．直接写出时间的值． 8．（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知，平分． (1)如图①，若，求的度数；(2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由；(3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由． 9．（2023·四川资阳·七年级期末）如图-1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图-2，将图-1中的三角形绕点O逆时针旋转，使一边在的内部，且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由；(2)如图-3，继续将图-2中三角板绕点O逆时针旋转，使得在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)将图-1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？ 10．（2023·山东济南·七年级期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB． (1)∠BOM＝________； (2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小； (3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°． 11．（2024·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角． （1）如图1，已知，，是的内半角，则________； （2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角； （3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．      12．（23-24七年级上·广西贵港·期末）已知分别是和的平分线． (1)如图1，如果重合，且在的内部，则 度； (2)如图2，固定，将图1中的绕点O顺时针旋转（）．与旋转度数有怎样的数量关系？说明理由； (3)如果的位置和大小不变，的边的位置不变，改变的大小；将图1中的绕着O点顺时针旋转（），如图3，请直接写出与旋转度数之间的数量关系： ． 13．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）射线在内部，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转；同时，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转：(1)若，当射线运动了秒，求的值；(2)若射线在内部时，总有，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，过点作射线，且，求的值． 14．（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图，已知，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段、射线运动，速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为；点、同时出发，同时射线绕着点从上以每秒的速度顺时计旋转，设运动时间是． (1)当点在上运动时，__________(用含的代数式表示)； (2)当点在线段上运动时，为何值时，？此时吗？如果是，请说明理由； (3)在射线上是否存在，相距？若存在，请求出的值，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 15．（23-24七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是、的中点． (1)若，则______； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数． 16．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 17．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）【材料阅读】如图，数轴上的点、表示的数分别为、，是线段的中点． （1）点表示的数是___________；（2）若点、分别从点、同时出发，以每秒个单位长度和个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若、Q两点之间的距离为2，求t的值； 【方法迁移】（3）如图，∠，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】（4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为900，进过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°． 18．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）定义：在同一平面内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”． 如图为一量角器的平面示意图，为量角器的中心．作射线，，，并将其所对应的量角器刻度分别记为，，． (1)若射线，，为“共生三线”，且为的角平分线． ①　如图1，，，则______； ②　当，时，则______； ③　当，时，则______； ④　根据以上经验，得______（用含，的代数式表示）． (2)如图3，，．在刻度线所在直线上方区域内，将，，按逆时针方向绕点同时旋转，旋转速度分别为每秒，，，三条射线先后到达刻度线，其中先到达刻度线的两条直线在到达刻度线后立即向反方向原速返回，第三条射线到达180°刻度线时旋转停止，在这个运动过程中，若旋转秒后得到的射线，，为“共生三线”，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 2 模型1.旋转中的求值模型 2 模型2.旋转中的定值模型 4 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 10 模型4.旋转中的分类讨论模型 14 17 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)在图1中，若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，若，试用含的式子表示； (3)继续旋转至图3的位置，若，其他条件不变，试将图形补充完整，则_____(用含的式子表示)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求出，根据角平分线定义求出，即可求出答案； （2）求出和，根据角平分线定义即可求出答案； （3）求出和，根据角平分线定义即可求出答案． 【详解】（1）解：是直角，， ， 平分，； （2）理由如下： 是直角，，， ， 平分 （3）如图，是直角，，， ， ， 平分，故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分析是解题的关键． 例2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边、与直线重合，，． (1)求图1中的度数；(2)如图2，三角板固定不动，将三角板由图1所处位置开始绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．当平分时，求满足要求的旋转角度的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算；（1）根据平角的定义即可得到结论； （2）根据角平分线的定义求出，得出，根据平角求出． 解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，∴当平分时，， ∴， ∴． 模型2.旋转中的定值模型 例1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1)(2)或或(3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）直接根据角之间的关系进行求解即可；（2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可；（3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，，故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，，∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 例2．（2023·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．    (1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分； (3)如图④，当______时，恰好平分； (4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数； (5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不变，，理由见解析； 【分析】（1）如图，由题意可得：，而，， 再证明，而，再建立方程求解即可； （2）如图，证明，，再建立方程求解即可； （3）如图，证明，，同理：，而，可得，从而可得答案； （4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案； （5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案． 【详解】（1）解：如图，由题意可得：，而， ∴，    ∵平分，∴，而，∴，解得：； （2）如图，∵，平分，∴，   ∵，，∴，∴，解得：； （3）如图，∵，恰好平分，∴，， 同理：，而，∴，解得：； （4）如图，∵，，∴，       ∵平分，∴， ∵，，∴， ∵平分，∴， 而， ∴． （5）如图，∵，，∴， ∵平分，∴， ∵，，∴， ∵平分，∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的应用，熟练的画出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键． 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分．（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：平分， ，故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)选择A: ；选择B：∠EOF的度数是或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）．根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； ．分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解：，，， ，分别是和的角平分线， ，，； （2）解：选择题．，分别是和的角平分线， ，， ；故答案为：； 选择题．①射线，只有1个在外面，如图3①，      ． ②射线，个都在外面，如图3②， ． 故的度数是或． 例2．（23-24七年级上·天津河北·期末）如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方． (1)在图①中，求和的度数；(2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值；(3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)，(3) 【分析】本题主要考查角的运算和角平分线的定义：（1）根据，即可求得答案．（2）设当边旋转到时，恰好平分，则，即可求得的值，同理可求得的值．（3）根据，即可求得答案． 【详解】（1）．． （2） 如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：．． 如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：．． （3）由题意可知： ∵， ，得． 例3．（23-24七年级·四川南充·校考期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数；(2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴； （2）解：∵平分，平分，∴， ∴，∵，∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴，∴； ②当时，由题意得， ∴，∴； 综上所述，，． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·重庆大渡口·阶段练习）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“神奇线”． (1)一个角的平分线 这个角的“神奇线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，．①若射线是的“神奇线”，则的度数为 ； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线是的“神奇线”？ 【答案】(1)是(2)①或或；②t为或或 【分析】（1）本题考查角平分线的性质及角的“神奇线”定义，先根据角平分线得到大角等于小角的两倍，结合角的“神奇线”直接判断即可得到答案； （2）本题考查角的“神奇线”，根据角的关系分类讨论列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵一个角的平分线中，大角是小角的2倍，∴角的平分线满足“神奇线”的定义， ∴一个角的平分线是这个角的“神奇线”，故答案为：是； （2）①解：∵，射线是的“神奇线”， 当时，∴，∴， 当时，∴，∴， 当时，∵，∴， 故答案为：或或； ②∵射线是的“神奇线”，∴是的内部，∴在的外部； （Ⅰ）如图，当时，如图所示：∴， ∴，∴； （Ⅱ）如图，当时，如图所示：∴，∴； （Ⅲ）当时，如图所示：∵， ∴，∴； ∴当为或或时，射线是的“神奇线”． 例2．（23-24七年级上·安徽·期末）李明在“玩转三角尺”活动课上，将一把三角尺的直角顶点放在直线上的点处，如图1所示．（注：） (1)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转一定角度至图2位置时，若，则______． (2)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转，在旋转过程中，当时，求此时的度数．（提示：分情况讨论） 【答案】(1)(2)或 【分析】本题考查余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系； （1）根据邻补角的定义即可求解；（2）分两种情况，分别讨论，结合角与角之间的关系即可求解； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：如上图，此时， ，∴，； 如图，此时，，， ，，， 故为或． 1．（2023·广东·七年级专题练习）一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．    【答案】105 【分析】根据角平分线的性质分别求出，的值，计算即可． 【详解】解：如图1：∵，，，       ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， 即，∴； 如图2：∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，即， ∴；∴；故答案为：105． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，在射线旋转一周的过程中，经过 秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【答案】或 【分析】设经过秒时，射线、射线所在的直线互相垂直，将线段，沿线段平移，使点与点重合且，；根据题意，则（为整数）时，，，，等量代换，则，解出，根据旋转一周，求出的取值范围，根据代入，确定的取值，即可． 【详解】如图，所示 设经过秒时，射线、射线所在的直线互相垂直， 将线段，沿线段平移，使点与点重合且，， 当（为整数）时，， ∵， ∴， ∴（为整数）， 解得：， ∵射线旋转一周， ∴， ∴， ∴（为整数）， ∴（为整数）， ∴为，； 当时，；当时，； 综上所述：经过或秒时，射线、射线所在的直线互相垂直． 故答案为：或． 3．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化， 【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时平分_________；的余角有_________个（本身除外），分别是_________． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线在内部，且请探究： ①的补角有_________个，分别是：__________________． ②求的度数 理由如下：（请利用图中的字母和数字完成证明过程） 因为， 所以_________，_________． 又因为， 所以_________． 【答案】（1）；2；和（2）①3；、、；②15；30；120 【分析】（1）根据旋转的定义，余角的定义进行解答即可； （2）①根据补角的定义进行解答即可； ②根据角度之间的数量关系进行解答即可． 【详解】解：（1）∵将绕着顶点O顺时针旋转45， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ∵，， ∴和是的余角，共2个； 故答案为：；2；和． （2）①∵， ∴，，， ∴， ， ， ∴的补角有3个，分别是：、、； ②∵，， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：①3；、、；②15；30；120 【点睛】本题主要考查了旋转，余角、补角、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握余角和补角的定义． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒； ∴运动的时间相同； 设运动时间为秒， 则：， ∵， ∴， 当时：， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 当，在上方时：如图，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 当，在下方时：如图2，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 综上：与之间的数量关系为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 【答案】①②③④ 【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，即， 当，则，故①正确； ，，故②正确； ，若变小，则变大，故③正确； ， ，，故④正确； 综上所述，故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合． 6．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图1，已知绕点在的内部转动，平分，平分．    (1)如图2，当与重合时，求的度数； (2)请判断的大小是否随的位置的变化发生改变？并说明理由；： (3)当时，求的度数． 【答案】(1)(2)不会随的运动而改变大小，理由见解析(3)的度数为或 【分析】（1）如图所示，，与重合，，平分，可求出，根据角平分线的性质可求出的度数，由此即可求解； （2）根据角平分线的性质分别求出的度数，根据即可求解；（3）根据题意分别求出与的关系，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，与OA重合，，平分，    ，平分，， ∵平分，， ． （2）解：不会随的运动而改变大小，理由如下：平分， ， 平分，， ， 不会随的运动而改变大小． （3）解：∵， 由（2）可知，，， 或， ，或， 解得或， 或， ∴的度数为或． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的和差倍分的关系，理解图示，掌握角的和差倍分的计算，角平分线的性质是解题的关键． 7．（2023·重庆八中七年级期末）一副三角板按如图1所示放置，边在直线上，． (1)求图1中的度数；(2)如图2，将三角板绕点O顺时针旋转，转速为，同时将三角板绕点O逆时针旋转，转速为，当旋转到射线上时，两三角板都停止转动．设转动时间为． ①在范围内，当时，求t的值；②如图3，旋转过程中，作的角平分线，当时．直接写出时间的值． 【答案】(1)(2)①2s；②s或s或s． 【分析】（1）利用角的和差关系可得从而可得答案； （2）①先求解重合的时间，再画出图形，结合几何图形与角的和差关系列方程，再解方程即可；②分情况讨论：当时，结合①可得 当时， 当时，利用角的和差关系列方程 解方程即可，当时，如图，当 利用角的和差关系列方程 再解方程即可，当时， 当时，利用角的和差关系列方程，再解方程即可，从而可得答案. (1)解： ， (2)解：① 则重合时的时间为：（s）， 当时， 解得： 所以当旋转2s时， ②当旋转到射线上时，（s）， 当时，结合①可得 当重合时，（s），重合时，（s），如图， 所以当时， 当重合时，（s），如图， 当时， 平分 解得： 当重合时，（s）， 当时，如图， 平分 解得： 不符合题意，舍去，当重合时，（s）， 当 平分 解得： 如图，当再次重合时，（s）， 当时， 如图，当重合时，（s） 当时， 平分 解得： 综上：当时，s或s或s． 【点睛】本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，“数形结合与利用一元一次方程解决动态几何问题”是解本题的关键. 8．（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知，平分． (1)如图①，若，求的度数；(2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由；(3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)不成立，理由见解析 【分析】（1）先求出的度数，根据，求出，角平分线得到，再利用，即可得解；（2）设，易得：，求出，即可得出结论；（3）设，则，，求出，进而得到和的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，∴ ，∴， ∵平分，∴，∴； （2）解：；理由如下：设，则，， ∵平分，∴， ∴，∴； （3）不成立，理由如下：设，则， ∵平分，∴，∴， ∴；∴（2）中的关系不成立． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键． 9．（2023·四川资阳·七年级期末）如图-1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图-2，将图-1中的三角形绕点O逆时针旋转，使一边在的内部，且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由；(2)如图-3，继续将图-2中三角板绕点O逆时针旋转，使得在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)将图-1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？ 【答案】(1)直线平分，理由见解析(2)(3)10秒或40秒． 【分析】（1）设的反向延长线为，由角平分线的定义得到，再由，得到，则，即可推出，由此即可得到答案； （2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情况分别画出图形进行解答即可． （1）直线平分．理由：设的反向延长线为，∵平分，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴平分，即直线平分； （2）解：如图，∠AOM-∠NOC=30°，理由如下： ∵∠BOC=120°，∴∠AOC=180°-∠BOC=60°， ∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC， ∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，∴∠AOM-∠NOC=30°； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°， 如图a，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF=∠AOC=30°， ∴∠BON=∠AOF=30°，∴∠BOM=90°-∠BON=60°，∴6x=60，∴x=10； 如图b，当ON平分∠AOC时，∠CON=∠AOC=30°， ∴ON旋转的角度是90°+150°=240°，∴6x=240，∴x=40， 综上，x=10或x=40， 即此时三角板绕点O旋转的时间是10或40秒． 【点睛】本题考查了角的和差，三角板的性质，旋转的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用． 10．（2023·山东济南·七年级期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB． (1)∠BOM＝________； (2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小； (3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°． 【答案】(1)30°(2)(3)分钟 【分析】（1）根据角平分线的定义即可得出答案；（2）根据题意分类讨论，分为射线OC在∠AOB内部和外部两种情况计算即可；（3）根据钟表转动求出时针和分针转动的速度，再根据分针转动的角度-时针转动的角度=∠AOB增加的度数，建立方程解出答案即可． （1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴； （2）当射线OC在∠AOB内部时，如图所示， ∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴， ∴； 当射线OC在∠AOB外部时，如图所示， ∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴， ∴；综上所述，∠MON的度数为； （3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°∴ 设经过x分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°， ∵分针OB的运动速度为每分钟转动：， 时针OA的运动速度为每分钟转动：， ∴，解得，所以经过分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论思想，一元一次方程的应用之行程问题，分类讨论思想和方程思想是本题的关键． 11．（2024·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角． （1）如图1，已知，，是的内半角，则________； （2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角； （3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．      【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或． 【分析】（1）根据内半角的定义解答即可； （2）根据内半角的定义解答即可； （3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，根据内半角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵是的内半角，，∴， ∵，∴，故答案为：． （2）∵，∴， ∵是的内半角， ∴，∴， ∴旋转的角度为时，是的内半角． （3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1，∵是的内半角，， ∴，∴，解得：，∴； 如图2，∵是的内半角，， ∴，∴，∴，∴； 如图3，∵是的内半角，，∴， ∴，∴，∴； 如图4，∵是的内半角，，∴， ∴，解得：，∴， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角． 【点睛】本题考查了与角的有关的计算，涉及到角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 12．（23-24七年级上·广西贵港·期末）已知分别是和的平分线． (1)如图1，如果重合，且在的内部，则 度； (2)如图2，固定，将图1中的绕点O顺时针旋转（）．与旋转度数有怎样的数量关系？说明理由； (3)如果的位置和大小不变，的边的位置不变，改变的大小；将图1中的绕着O点顺时针旋转（），如图3，请直接写出与旋转度数之间的数量关系： ． 【答案】(1)25° (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义可求得的度数，结论可得； （2）利用（1）中的方法计算的度数，利用旋转度数表示； （3）利用角平分线的定义可求得的度数，再利用角的和差得出结论． 【详解】（1）解：如图1，∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图2，； （3）解：如图3中，当在内部时， ， 当在外部时， ， 综上所述，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，邻补角定义，角的和差关系，掌握角的和差关系，分类讨论是关键． 13．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）射线在内部，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转；同时，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转：(1)若，当射线运动了秒，求的值；(2)若射线在内部时，总有，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，过点作射线，且，求的值． 【答案】(1)(2)；理由见解析(3) 【分析】（1）根据角的和差关系计算即可；（2）由题意可知：，再根据角的和差关系得出；进而得出结论；（3）根据、可得出；由可得出，从而得出结论； 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴ （2）解：；理由如下：由题意可知，在相同的时间内满足： ∵∴ 即： ∴； （3）解：如图： ∵， ∴∴ 由（2）可知： ∴ ∴∴ 【点睛】本题考查了角的和差关系；熟练掌握几何图中角的和差关系是解题的关键． 14．（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图，已知，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段、射线运动，速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为；点、同时出发，同时射线绕着点从上以每秒的速度顺时计旋转，设运动时间是． (1)当点在上运动时，__________(用含的代数式表示)； (2)当点在线段上运动时，为何值时，？此时吗？如果是，请说明理由； (3)在射线上是否存在，相距？若存在，请求出的值，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，此时，理由见解析 (3)存在，，或， 【分析】本题考查了角度的计算，两点距离，一元一次方程的应用， （1）先确定的长度，然后根据、距离即可得出的长度； （2）根据得出的值，然后根据角的关系得出； （3）设、相距，则或，然后根据射线绕着点从上以每秒的速度顺时针旋转，分别求出的值，再求出的度数． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 故答案为：； （2）由题意得，， ， 解得， ，， ； （3）设、相距， 则或， 当时， ， 解得， ； 当时， ， 解得， ， 射线上存在、相距，，或，． 15．（23-24七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是、的中点． (1)若，则______； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数． 【答案】(1)22 (2)线段的长度不会发生变化，，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的相关计算，线段中点的有关计算，熟练掌握角的计算及两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键． （1）由，的长度，可得的长度，根据线段中点的性质可得，即可算出，的长度，根据代入计算即可得出答案； （2）根据线段中点的性质可得，，，由，代入计算即可得出答案； （3）由角平分线的定义可得，，根据整理代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 点E、F分别是、的中点， ，， ； 故答案为：22； （2）解：线段的长度不会发生变化，；理由如下： 点E、F分别是、的中点， ，， ； （3）解：、分别平分和， ， ． 16．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据，可得，根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差关系求解； （2）①用含t的式子表示出和，即可求解；②根据角的和差关系，用含t的式子表示出和，根据列方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：①；理由如下： ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ， ∴，， ∴； ②由①知，， ∵， ∴，， ∵， ∴ 把代入得：， 解得． 17．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）【材料阅读】 如图，数轴上的点、表示的数分别为、，是线段的中点． （1）点表示的数是___________； （2）若点、分别从点、同时出发，以每秒个单位长度和个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若、Q两点之间的距离为2，求t的值； 【方法迁移】 （3）如图，∠，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为900，进过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°． 【答案】（1）3；（2）1或3；（3）8或20；（4） 【分析】（1）由数轴上的点、表示的数分别为、，是线段的中点，进而求得点C坐标； （2）因为点、分别从点、同时出发，以每秒个单位长度和个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则点表示，点P表，根据、Q两点之间的距离为2，列式作答即可； （3）类比（2）的方法得出|70°−15°x+10°x|=30°，进而得出结果； （4）设经过x分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°，根据分针每分钟旋转6°，时针每分钟旋转0.5°，进而列出90°−6°x+0.5°x=45°，进一步得出结果． 【详解】解：（1）依题意，得， ∴点表示的数是3； （2）∵点、分别从点、同时出发，以每秒个单位长度和个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴点表示，点P表， ∵、Q两点之间的距离为2 ∴ 则 解得或； （3）∵，平分， ∴， 设经过x秒后，射线的夹角为30°， ∴， 得 ∴或， ∴经过8秒或20秒后，射线的夹角为30°； （4）设经过x分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， ∴， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，线段中点定义，绝对值的意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 18．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）定义：在同一平面内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”． 如图为一量角器的平面示意图，为量角器的中心．作射线，，，并将其所对应的量角器刻度分别记为，，． (1)若射线，，为“共生三线”，且为的角平分线． ①　如图1，，，则______； ②　当，时，则______； ③　当，时，则______； ④　根据以上经验，得______（用含，的代数式表示）． (2)如图3，，．在刻度线所在直线上方区域内，将，，按逆时针方向绕点同时旋转，旋转速度分别为每秒，，，三条射线先后到达刻度线，其中先到达刻度线的两条直线在到达刻度线后立即向反方向原速返回，第三条射线到达180°刻度线时旋转停止，在这个运动过程中，若旋转秒后得到的射线，，为“共生三线”，求的值． 【答案】(1)①40；②95；③95；④ (2)t的值为或12或或或18 【分析】（1）①根据“共生三线”的定义直接计算即可； ②分别画出，，再根据为的平分线画出，求出结果即可； ③根据②的方法进行求解即可； ④根据①②③的经验直接可得结论； （2）分五种情况进行讨论：在有两条射线到达刻度线之前，当为的平分线时，在有两条射线到达刻度线之前，当为的平分线时，在有两条射线到达刻度线之后，当为的平分线时，在有两条射线到达刻度线之后，当为的平分线时，在有两条射线到达刻度线之后，当为的平分线时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①∵射线，，为“共生三线”， 平分， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：40； ②如图，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：95； ③如图，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：95； ④根据①②③的经验可得：； （2）解：在有两条射线到达刻度线之前，当为的平分线时， ， 解得：； 在有两条射线到达刻度线之前，当为的平分线时， ， 解得：； 在有两条射线到达刻度线之后，当为的平分线时， 解得：； 在有两条射线到达刻度线之后，当为的平分线时， ， 解得：； 在有两条射线到达刻度线之后，当为的平分线时， ， 解得：， 综上：t的值为或12或或或18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，新定义运算，旋转问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$