专题08 角度中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 1 模型1.旋转中的求值模型 1 模型2.旋转中的定值模型 3 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 4 模型4.旋转中的分类讨论模型 6 7 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和的数量关系；②若，当，求t的值．    例2．（2023·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持．(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____；(2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分；(3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数． 模型2.旋转中的定值模型 例1．（2024·四川成都·七年级校考期末）已知，如图1，，分别为定角（大小不会发生改变）内部的两条动射线，，． （1）求的度数；（2）如图2，射线分别为的平分线，当绕着点O旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的度数；（3）如图3，是外部的两条射线，且，平分，平分．当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 例2．（23-24七年级上·广东东莞·期末）如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且平分，平分，如图2．(1)如图2，当时，①则______°．②求的度数， (2)如图2，在直角三角尺旋转过程中，的度数是否发生变化，请通过计算说明理由． 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，．(1)如图1，当射线在内部，且时，求的度数； (2)如图2，当射线在内部绕O点旋转时，的大小是否发生变化？若变化，请直接写出的度数；若不变，说明理由；(3)当射线在外部绕O点旋转时，则________． 例2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上． (1)在图1中， ；(2)如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系． 例3．（2024七年级上·广东·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数．(2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）．(3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转．①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】（2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数；【变式拓展】（3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 例2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知一副三角尺，使其直角边与落在数轴上，．(1)已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为6，三角尺如图1摆放，，，与都在数轴上，从图1的位置以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向移动，同时从图1的位置以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向移动，时间记为秒， ①当与重合，与重合时，点表示的数为________ 的长为__________ ②两三角尺在移动过程中，的长为________（用含的代数式表示），当时，的值为________ (2)两三角尺如图2摆放，此时与重合，在平面内将绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，同时绕着点以每秒的速度沿着顺时针的方向旋转一周，当时，两三角尺转动所需时间为____________秒 1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为．其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为 ． 4．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 6．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 7．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点O在直线上，射线在与重合的位置同时开始绕点O顺时针旋转，的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当与重合时停止旋转，在的右侧作射线使得，设旋转时间为t秒．解答下列问题： (1)当秒时，则______，______； (2)当的平分线与射线所组成的时，求旋转时间t， (3)是否存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 8．（2023·成都市石室联合中学七年级月考）已知，，平分，平分.（1）如图，当、重合时，求的值； （2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 9．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．(1)运动开始前，如图1，______，______； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．    10．（2023·四川·成都市七年级校考期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠． （1）如图1，若∠=40°，求∠的度数； （2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）； （3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 11．（2023·四川·成都七中七年级阶段练习）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且，，，以点O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转、（旋转速度＝旋转角度旋转时间）。（1）当射线OP平分时，求它旋转的时间．（2）若射线OQ的转速为，请求出当时，射线OP旋转的时间．（3）若当时，射线OQ旋转到的位置恰好将分成度数比为1：2的两个角，求此时射线OQ的旋转速度． 12．（23-24七中育才学校七年级期中）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数． （1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°． （2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示） 13．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，OM，ON，ON始终在OM的右侧，∠BOC=112°，∠MON=α．(1)如图1，当α=70°，OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数； (2)如图2，当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α=80°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转n（0°＜n＜180°），使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当∠MON在直线AB上方时，若α=90°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，请直接写出此时n的值． 14．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）如图为两个特殊三角板和三角板，，，，O为直角顶点，两直角顶点重合，A、O、D在同一直线上，、重合，平分，平分．(1)________度；(2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数；(3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，求的度数（用含的式子表示）． 15．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）如图，，射线OC为的平分线．用量角器画出射线OC.作射线OD，使，则的度数是________． （2）若（），射线为的平分线．射线，使（），求的度数（用、表示） （3），射线从位置出发，以每秒的速度顺时针向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发逆时针向射线旋转，当射线达到后．设旋转时间为t秒．当时，t的值是________． 16．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，O为直线上的一点，过点O作射线使，将一直角三角板的顶点与点O重合，在射线上，另一边在直线上方．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边与射线重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转，运动时间为t秒． (1)如图2，在三角板顺时针旋转过程中，使边在内部，且平分．此时，______度；(2)在三角板逆时针旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)若在三角板旋转的同时，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，并与三角板同时停止转动，当时，直接写出t的值． 17．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线为的“优线”． (1)的角平分线__________这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有__________条“优线”． (2)若，射线为的“优线”，则的度数为__________． (3)如图②，已知，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至相遇时停止，设旋转的时间为，问为何值时，射线是的优线？ 18．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点О处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边在射线上，则________；（直接写出结果） (2)如图2，将三角板绕点О逆时针方向旋转，若恰好平分，则所在射线是的平分线吗？如是，请说明理由． (3)如图3，将三角板绕点О逆时针转动到使时，求的度数； (4)将图1中的三角板绕点О以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，所在的直线恰好平分，则t的值为_________．（直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 2 模型1.旋转中的求值模型 2 模型2.旋转中的定值模型 5 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 9 模型4.旋转中的分类讨论模型 14 18 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和的数量关系；②若，当，求t的值．    【答案】(1)(2)(3)①；② 【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案；（2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分平分，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴， ∵平分，∴，∴； （3）解：①∵，∴，∴ 由题意得：， ∴，，∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，，∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． 例2．（2023·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持． (1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____； (2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分； (3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）根据计算；（2）计算的度数，得到，得出结论；（3）设，表示出，根据，求出，得出答案； (1)解：点在同一直线上，， ，故答案为：； (2)如图3，∵，，∴， ∵，，∴，∴平分； ， ， (3)如图4，设，则，∵， ∴， ∵，∴，解得，∴． 【点睛】本题考查角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键是结合图形准确表示角的和差． 模型2.旋转中的定值模型 例1．（2024·四川成都·七年级校考期末）已知，如图1，，分别为定角（大小不会发生改变）内部的两条动射线，，． （1）求的度数；（2）如图2，射线分别为的平分线，当绕着点O旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的度数；（3）如图3，是外部的两条射线，且，平分，平分．当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的大小不变为． 【分析】（1）由，可得，从而可求解 从而可得的大小；（2）由射线，分别为，的平分线，求解，从而可得的度数为；（3）先求解，再证明，结合角平分线的性质求解，从而可得． 【详解】解：（1）∵，∴ ∵，∴∴ （2）∵射线，分别为，的平分线，∴， ∴ ∴∴的度数为． （3）的大小不变为．理由如下： ∵，，∴， ， ∵∴ ∵平分，平分∴ ∴ 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，角的和差运算，掌握以上知识是解题的关键． 例2．（23-24七年级上·广东东莞·期末）如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且平分，平分，如图2． (1)如图2，当时，①则______°．②求的度数， (2)如图2，在直角三角尺旋转过程中，的度数是否发生变化，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①②(2)不发生变化，理由见详解 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，角的和差运算； （1）①由平角的定义得即可求解；②由角平分线的定义得，，由即可求解； （2）设，由平角的定义得，由角平分线的定义得，，由即可求解； 理解定义，能用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解：①，故答案为：； ②平分，， ，， 平分，，； （2）解：设，， 平分，，， 平分， ，的度数没有发生变化． 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分．（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：平分， ，故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当射线在内部，且时，求的度数； (2)如图2，当射线在内部绕O点旋转时，的大小是否发生变化？若变化，请直接写出的度数；若不变，说明理由； (3)当射线在外部绕O点旋转时，则________． 【答案】(1)；(2)不变，；(3)或； 【分析】（1）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可； （2）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可； （3）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可； 【详解】（1）解：∵平分，∴， ∵，∴， ∵平分，∴，∴． （2）解：不变，．理由如下： ∵，分别平分和，∴，， ∴，，，，． （3）解：如下图 ∵，分别平分和，∴，， ∴，，，，， 如下图：∵，分别平分和，∴，， ∴，，，，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的性质和角之间的关系，关键要结合图形进行分析，清楚角之间的关系． 例2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上． (1)在图1中， ；(2)如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】(1)；(2)或时与垂直；(3) 【分析】（1）本题考查有关角平分线的计算，根据得到，结合角平分线即可得到答案；（2）本题考查角度旋转问题，根据垂直列式求解即可得到答案；（3）本题考查角度旋转问题，设，分别表示出，，即可得到答案 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分，∴； （2）解：由题意可得， ①当在之内时，由（1）得，， ∵，∴，即：，解得：， ②当旋转超过时，如图， ， ∵，∴，即：，解得：， 综上所述：或时与垂直； （3）解：由题意可得，如图所示， 设，∵， ∴， ，∴． 例3．（2024七年级上·广东·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数．(2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）．(3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转．①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1)(2)(3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算．（1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则．（2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则．（3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：，， 平分，， 是直角，即，； （2）解：，， 平分，， 是直角，即，，故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时，设，则， 平分，， ，，即， ，， ，； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分，，又，， ，由（2）知，若，则， ，，即； 在图2中，．理由如下： 平分，，又， ，即，由①知，， ，，， 将代入，得，整理得． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】（2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】（3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【答案】（）是；（）或或；（）或或． 【分析】（）根据奇妙线定义即可求解；（）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可； 本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 【详解】（）解：根据角平分线的定义可知： 由平分，得：， 则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”，故答案为：是； （）当平分时，∴， 当时，∴， ，∴，则综上可知：的度数为或或； （）由题意得：如图，则，，则， ∵射线是的“奇妙线”，∴，即，解得：， ，即，解得：， ，即，解得：，综上可知：或或． 例2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知一副三角尺，使其直角边与落在数轴上，．(1)已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为6，三角尺如图1摆放，，，与都在数轴上，从图1的位置以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向移动，同时从图1的位置以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向移动，时间记为秒， ①当与重合，与重合时，点表示的数为________ 的长为__________ ②两三角尺在移动过程中，的长为________（用含的代数式表示），当时，的值为________ (2)两三角尺如图2摆放，此时与重合，在平面内将绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，同时绕着点以每秒的速度沿着顺时针的方向旋转一周，当时，两三角尺转动所需时间为____________秒 【答案】(1)①；14；②；或(2)2或4或14或16 【分析】（1）①根据点表示的数为，点表示的数为6，，，求出点表示的数和的长即可；②先表示出点表示的数为：，点D表示的数为：，再根据数轴上两点间距离公式求出；分两种情况：当点B在点F的左侧时，当点B在点F的右侧时，列出关于t的方程，解方程即可； （2）设两三角尺转动所需时间为x秒，分四种情况：与第一次重合前，与第一次重合后，与第二次重合前，与第二次重合后，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为，与重合，，∴点表示的数为， ； ②点表示的数为：，点D表示的数为：，∴； 点B表示的数为：，点F表示的数为：， 当点B在点F的左侧时，，解得：； 当点B在点F的右侧时，，解得：； 综上分析可知：当或时，． （2）解：设两三角尺转动所需时间为x秒， 与第一次重合前，，解得：； 与第一次重合后，，解得：； 与第二次重合前，，解得：； 与第二次重合后，，解得：； 综上分析可知：当时，两三角尺转动所需时间为2秒或4秒或14秒或16秒． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离公式，用数轴上点表示有理数，几何图形中角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为．其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设，∵平分，∴， ∴ ，， ∴， 当时，设，∵平分，∴， ∴，∴， ∴，∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③；故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒； ∴运动的时间相同； 设运动时间为秒， 则：， ∵， ∴， 当时：， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 当，在上方时：如图，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 当，在下方时：如图2，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 综上：与之间的数量关系为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，分平分和平分两种情况进行讨论求解即可．理清角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：如图，当平分时：则：， ∵平分； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； 当平分时，则：， ∵平分； ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或； 故答案为：或． 4．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ． 【答案】/150度 【分析】本题主要考查了平面图形中角的计算，设，求出，，是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 【答案】①②③④ 【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，即， 当，则，故①正确； ，，故②正确； ，若变小，则变大，故③正确； ， ，，故④正确； 综上所述，故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合． 6．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 7．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点O在直线上，射线在与重合的位置同时开始绕点O顺时针旋转，的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当与重合时停止旋转，在的右侧作射线使得，设旋转时间为t秒．解答下列问题： (1)当秒时，则______，______； (2)当的平分线与射线所组成的时，求旋转时间t， (3)是否存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)15或3 (3)存在，或-4 【分析】本题考查角度计算，角平分线定义，解一元一次方程． （1）根据题意列式计算即可； （2）分情况讨论并列式解出即可； （3）分两种情况讨论并分别列式求值即可． 【详解】（1）解：∵的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当秒时， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图，由题意得，， ，的平分线是， ， ①当时，， ， ②当时，，解得； （3）解：如图，由题意得，， ①当射线在与之间时， ，， ， 要使的值在一定时间范围内不随t的改变而改变， ，， ②当射线在与之间时， ， ， 要使的值在一定时间范围内不随t的改变而改变， ，， 综上所述：存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，则或． 8．（2023·成都市石室联合中学七年级月考）已知，，平分，平分.（1）如图，当、重合时，求的值； （2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 【答案】（1）35°；（2）是定值，35° 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解； （2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根据∠AOE-∠BOF求解可得． 【详解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°， ∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°； （2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2， 由题意∠BOC=3t°，则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°）， ∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°， ∴∠AOE-∠BOF的值是定值． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． 9．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．    (1)运动开始前，如图1，______，______； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)39，51(2)(3)存在，符合条件的的值为12s或33s 【分析】（1）根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可；（3）分情况根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，三点在一条直线上，，， ，，分别平分和， ，，故答案为：39，51； （2）解：射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，， 射线平分，， ，，； （3）解：存在某一时刻使得，分以下几种情况： 情况一：若在上方，此时， 即，解得； 情况二：若在下方，此时， 即，解得（不符合题意，舍去）； 情况三：当停止运动时，继续旋转时，当旋转264°时，有，此时． 综上所述，符合条件的的值为12s或33s．    【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键． 10．（2023·四川·成都市七年级校考期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠． （1）如图1，若∠=40°，求∠的度数； （2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）； （3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）20°；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可求解； （2）解法与（1）相同，把（1）中的40°改成α即可； （3）把∠APC的度数作为已知量，求得∠BPC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可解决． 【详解】（1）∵，， ∴，， 又∵平分，∴， ∴． （2）∵，， ∴，， 又∵平分，∴， ∴． （3）结论：．理由如下：设，则， ∵，∴， 又∵平分，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． 11．（2023·四川·成都七中七年级阶段练习）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且，，，以点O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转、（旋转速度＝旋转角度旋转时间） （1）当射线OP平分时，求它旋转的时间．（2）若射线OQ的转速为，请求出当时，射线OP旋转的时间．（3）若当时，射线OQ旋转到的位置恰好将分成度数比为1：2的两个角，求此时射线OQ的旋转速度． 【答案】（1）55s；（2）5秒或70秒；（3）或 或 或 ． 【分析】(1) ∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，当射线OP平分∠AOC时，∠AOP=∠POC=35°，此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠ AOP=20°+35°=55°，即可计算旋转的时间， (2)求出∠FOC=90°，设射线OP旋转的时间为t秒，由题意列方程求出t的值，根据射线OQ旋转至射线OF重合时停止，得到射线OQ最多旋转30秒，当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止，此时∠POQ=∠FOP=30°，之后射线 OP继续旋转40s，则∠POQ=∠FOP=70°，求出此时t的值，即可求解． (3)当∠POA=2∠POB时，根据OP和OQ，分类进行讨论.①当射线OP在∠AOB内部时，②当射线OP在∠EOB内部时，分情况分别求出OQ的旋转速度． 【详解】（1）， 当射线OP平分时，， 此时OP旋转的度数为：， 旋转的时间为：． （2）设射线OP旋转的时间为t秒， 由题意可得：或，解得：或， 射线OQ旋转至射线OF重合时停止，射线OQ最多旋转30秒， 当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止， 此时，之后射线OP继续旋转， 则，此时，故经过5秒或70秒，． （3）①当射线OP在内部时， ，，，，故射线OP旋转的时间为60s， 若，则，， 此时射线OQ的旋转速度为：， 若时，则，， 此时射线OQ的旋转速度为； ②当射线OP在内部时， ，，，， 故射线OP旋转时间为140秒， 若时，则，， 此时射线OQ的旋转速度为：， 若时，则，， 此时旋转速度为：， 综上，符合条件的旋转速度为：或或或． 【点睛】本题主要是考查了角的计算，能够根据题目，进行分类讨论，熟悉角的和差倍分运算，是解答此题的关键. 12．（23-24七中育才学校七年级期中）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数． （1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°． （2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示） 【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3）或 【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可． 【详解】（1）如图，由与重合， ∵，，∴． 又∵平分，平分，∴，， ∴．故答案为：150°；75°； （2）如图，∵平分，平分， ∴ +30°+30°+30°． ∴，∴． （3）如图， ∵平分，平分， ∴， ， ∴=+60°-=； 如图，∵OE平分，平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键． 13．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，OM，ON，ON始终在OM的右侧，∠BOC=112°，∠MON=α． (1)如图1，当α=70°，OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数； (2)如图2，当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α=80°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转n（0°＜n＜180°），使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当∠MON在直线AB上方时，若α=90°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，请直接写出此时n的值． 【答案】(1)∠NOB=14°； (2)旋转一共用了26.5s或41.5s； (3)n为54.4°或144°． 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠MOB的度数，再根据∠NOB=∠MON-∠MOB可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点N′在OH的右侧时；②当点N′在OH的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当0°＜n＜90°和90°＜n＜180°时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵∠BOC=112°，OM平分∠BOC， ∴∠MOB=∠BOC=56°， ∵∠MON=70°， ∴∠NOB=∠MON-∠MOB=14°； （2）解：由（1）知∠HOB=∠COB=56°， 设旋转时间为t s， ①当点N′在OH的右侧时，∠HON′=30°， ∴∠N′OB=56°-30°=26°， ∴∠NON′=∠N′OB+∠BON=26°+80°=106°； ∴t=106°÷4°=26.5； ②当点N′在OH的左侧时，∠HON′′=30°， ∴∠N′OB=56°-30°=26°， ∴∠NON′′=∠N′′OH+∠HOB+∠BON=30°+56°+80°=166°； ∴t=166°÷4°=41.5； 综上，旋转一共用了26.5s或41.5s； （3）解：当0°＜n＜90°时，如图， ∵∠BOF=n， ∴∠AOF=180°-n， ∵∠FOA=2∠AOM， ∴∠AOM=∠AOF=90°-n， ∵∠MON=90°， ∴∠AOM+∠BON=90°， ∴∠BON=n， ∴∠HON=∠HOF-∠BON-∠BOF=124°-n， ∠CON=∠BOC-∠BON=112°-n， ∵OH平分∠CON， ∴∠CON=2∠HON， ∴112°-n=2（124°-n）， 解得n=54.4°； 当90°＜n＜180°时，如图， ∵∠BOF=n， ∴∠AOF=180°-n， ∵∠FOA=2∠AOM， ∴∠AOM=∠AOF=90°-n， ∵∠MON=90°， ∴∠AOM+∠BON=90°， ∴∠BON=n， ∴∠HON=360°-∠HOF-∠BON-∠BOF =360°-124°-n-n =236°-n， ∠CON=∠BOC-∠BON=112°-n， ∵OH平分∠CON， ∴∠CON=2∠HON， ∴112°-n=2（236°-n），解得n=144°； 综上，n为54.4°或144°． 【点睛】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的定义，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． 14．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）如图为两个特殊三角板和三角板，，，，O为直角顶点，两直角顶点重合，A、O、D在同一直线上，、重合，平分，平分． (1)________度； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)90 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，，进而得到，据此可得答案； （2）根据角平分线的定义得到，，再由，，即可求出答案； （3）分两种情况考虑：两三角板有无重叠，根据角平分线的定义及和角、差角关系即可求得结果． 【详解】（1）（1）平分，平分， ，， ， ， ，，在同一直线上， ， ， 故答案为：90； （2）解：由题意可知， 平分，平分， ，， ，， ； （3）解：①当两三角板有重叠时，由题意可知， 平分，平分， ，， ，， ； ②当两三角板无重叠时，由题意可知， 平分，平分， ，， ，， 综上所述：或。 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，用到了分类讨论思想．把一个角表示为几个角的和差形式是解答本题的关键． 15．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）如图，，射线OC为的平分线．用量角器画出射线OC.作射线OD，使，则的度数是________． （2）若（），射线为的平分线．射线，使（），求的度数（用、表示） （3），射线从位置出发，以每秒的速度顺时针向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发逆时针向射线旋转，当射线达到后．设旋转时间为t秒．当时，t的值是________． 【答案】（1）或（2）或或        （3）的值为10或20 【分析】本题考查了角平分线，角度的计算，根据角平分线的定义得到的度数是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据或即可得出答案． （2）根据角平分线的定义求出，根据或即可得出答案． （3）分两种情况：当时；当时；列出方程计算即可求解． 【详解】解：（1）当射线在的内部，如图所示： 因为是的平分线，且， 所以， 因为， 所以． 当射线在的外部时，同理可得： 答：的度数为或． （2）当射线在的内部，如图所示： 因为是的平分线，且， 所以， ①② 因为， 所以 ② 因为， 所以． 当射线在的外部时，同理可得： 答：或或． （3）当时， 依题意得：， 解得：， 当时， 依题意得：， 解得：， 当时，的值为10或20． 16．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，O为直线上的一点，过点O作射线使，将一直角三角板的顶点与点O重合，在射线上，另一边在直线上方．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边与射线重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转，运动时间为t秒． (1)如图2，在三角板顺时针旋转过程中，使边在内部，且平分．此时，______度； (2)在三角板逆时针旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)若在三角板旋转的同时，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，并与三角板同时停止转动，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)20 (2)或，理由见解析 (3)当时，的值为3或11或16或． 【分析】本题主要考查了角的和与差，有关角平分线的计算，涉及了分类讨论思想．根据题意准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据题意可得，再由平分，可得，即可求解； （2）先求出，然后分三种情况讨论：当在的左侧时，当在的左侧时，当在的右侧时，画出图形求解即可； （3）分两种情况讨论：若边与射线重合前；边与射线重合后，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ； 故答案为：20； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 当在的左侧时，如图， ， ∴； 当在的左侧时，如图， ∴； 当在的右侧时， ， 即； 综上所述，或； （3）解：当在射线上时，，， 此时， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转， 每秒增加的度数为， ， 即当时，的值为3； 或； 若边与射线重合后， 秒，即当秒时，边与射线重合， 此时转动的角度为， ，，或，， 综上所述，当时，的值为3或11或16或． 17．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线为的“优线”． (1)的角平分线__________这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有__________条“优线”． (2)若，射线为的“优线”，则的度数为__________． (3)如图②，已知，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至相遇时停止，设旋转的时间为，问为何值时，射线是的优线？ 【答案】(1)是，3 (2)，， (3)24秒或30秒或秒 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，“优线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“优线”的定义． （1）根据“优线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“优线”定义即可求解； （3）分3种情况，根据“优线”定义得到方程求解即可； 【详解】（1）解：当是的角平分线时， ， 故的角平分线是这个角的“优线”， 同理：或时，为的“优线”． 故一个角共有3条“优线”． （2）解：射线为的“优线”， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为，， （3）解：旋转的时间后，，，， 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 综上所述，为24秒或30秒或秒时，射线是的优线． 18．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点О处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边在射线上，则________；（直接写出结果） (2)如图2，将三角板绕点О逆时针方向旋转，若恰好平分，则所在射线是的平分线吗？如是，请说明理由． (3)如图3，将三角板绕点О逆时针转动到使时，求的度数； (4)将图1中的三角板绕点О以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，所在的直线恰好平分，则t的值为_________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)所在射线是的平分线，见解析 (3) (4)7或43 【分析】本题考查了角的平分线，角的和差，余角， (1)根据题意，计算即可． (2)根据角的平分线的定义，结合题意，计算即可． (3)根据，设，根据题意，列出方程计算即可． (4)根据角的平分线的定义，分OE在角的平分线上和平分线的反向延长线上，计算即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， 故答案为：． （2）所在射线是的平分线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所在射线是的平分线． （3）∵， 设， 根据题意，得 ∴ 解得， ∵， ∴． （4）当与重合时，根据题意，得, 此时，； 当与重合时，根据题意，得, 此时，； 故当或时，所在的直线恰好平分， 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$