专题02 分式的加减乘除计算重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题02 分式的加减乘除计算重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式加减乘除混合运算 题型十三 分式化简求值 题型十四 零指数幂 题型十五 负整数指数幂 题型十六 整数指数幂的运算 知识点1：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点2：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点3：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知的三个等式的左边通分，再进行适当地变形，可分别求得，，，再将这三个式子相加，即可求出的值． 本题主要考查了分式的通分、约分等知识，熟练掌握分式的加法，将原来三个式子变形成同分母的式子是解题的关键． 【详解】解：由得，， ∴①； 由得， ， ②； 由得， ∴③； ，得， ∴， ∴． 故选：D． 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知分式可以表示为的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，将分式转化为：的性质，再将转化为：的形式，进行计算即可． 【详解】解： ， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·北京延庆·期中）对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或或或 【分析】本题考查分式的加减法运算，正确利用“凑分母”的方法将分式变形是解题关键． （1）把变形为，再把前面的分式分母提取公因式并约分，即可得答案； （2）①把表示成整式与分式和的形式，根据为整式，得出变形后的分式为0，根据分式值为0，分子为0即可得答案； ②根据的值及①中变形结果得出，根据的结果也为整数得出是整数，根据为整数得出或，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵分式可以表示成的形式，且为整式， ∴． （2）解：① ， ∵可以表示成一个整式， ∴， ∴， 解得：． ②∵， ∴， ∵的结果为整数， ∴是整数， ∵为整数， ∴或 解得：或或或， ∴的值为或或或． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加法运算；先把分式通分化简得，根据分母为2的因数即可求得x的值，再把所有这些值相加即可． 【详解】解： ； 由于x为整数，且原式为整数， 所以或， 解得：或2或5或1， ∴， 故选：A． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知为整式，若计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，，， 2．（24-25七年级上·上海·期中）当，，，，，，，，时，分别计算代数式的值，再将所有结果相加，则总和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由，即可求解，得出是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴总和为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·北京通州·期中）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是；2；证明见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了分式的减法计算： （1）计算出的结果即可得到结论； （2）根据定义可得，则，据此求出，进而求出，再根据P为整数进行求解即可． 【详解】（1）解：C是的“优式”，优值为2，证明如下： ， 是的“优式”，“优值”为2．， （2）解：由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的值也为整数， 或， ． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（23-24七年级上·重庆九龙坡·期中）有依次排列的两个不为零的代数式、，用后一项与前一项作和，可以得到代数式，记作第次操作，并得到代数式串为、、；用第次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作差，得到代数式，记作第次操作，并得到代数式串为、、、；用第次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作和，得到代数式，记作第次操作，并得到代数式中为、、、、；；循环操作下去．下列说法：第次操作后得到的代数式串为、、、、、、、；；；．其中，正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据定义规定的规律依次判断即可． 【详解】由题中规律可得：， 第次操作后得到的代数式串为、、、、、， ， 第次操作后得到的代数式串为、、、、、， ， 故第次操作后得到的代数式串为：、、，，、、、，故正确； 由上规律得： ， ， ， ， ， ， 即有：， 由上规律：， ∴ 则：(1)或， 解得：(舍去)或， ∴， ∴, (2)或， 解得：(舍去)或， ∴， ∴， 故不正确； 依规律推算得： ∴，故正确； 由上规律可得： ， ， ， ， ， ， 则有：， ∴，， 则， ， ，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】此题考查了数字规律的探究，新定义的理解并应用是解题的关键． 1（23-24七年级上·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 2．【（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，，为常数，则 ． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（23-24七年级上·重庆忠县·期末）对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的加减，依据题干要求正确操作并发现其中的规律是解题的关键．利用“一次操作”的规定进行操作，通过操作得到规律性的结论，依据发现的规律逐一判断即可． 【详解】解：“第2次操作”后得到的一串新式子为：，0，，，，，，，，共个， ①的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式有个，“第二次操作”后得到的一串新式子有，“第三次操作”后共个式子， ②的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， ， ③的结论错误； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后所有式子之和为， ④的结论正确； 张三结论正确的个数是个， 故选：B． 1．（2024·河北张家口·一模）若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 2．（23-24七年级上·甘肃陇南·期末）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 3．（23-24七年级上·浙江衢州·开学考试）在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似的，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：＝＝，＝＝＝． 参考上面的方法解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)求分式的最大值；（其中n为正整数） (3)已知分式的值是整数，求t的整数值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的加减法，分式的值，能够根据分式的值为整数求出t是解题的关键． （1）按照阅读材料的例子模仿即可； （2）先化简分式，再求最大值； （3）先化简分式，然后根据分式的值为整数求出t． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ∵n为正整数 ∴当时，分式有最大值，最大值为 （3）解：原式 ∵分式的值是整数， ∴ ∴或 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（23-24七年级下·浙江·期末）甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查分式加减的应用，解题关键是理解题意．根据题意分别算出甲乙两次购买大米的平均价格，再作差，利用完全平方公式进行比较即可求解． 【详解】解：依题得：甲两次购买大米的平均价格为， 乙两次购买大米的平均价格为， ， 又， ， 即，乙两次购买大米的平均价格更低，更合理． 故选：． 1．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题考查列代数式的知识，根据工作时间工作总量工作效率，表示出原计划所用时间，以及现在所用时间，利用原计划所用时间现在所用时间，即可解题． 【详解】解：由题意得，原计划所用时间为：天， 现在所用时间为：天， 工厂完成这个订单的时间比原计划提前天， 故选：B． 2．（23-24六年级下·上海嘉定·期中）已知一项工程，甲工程队单独完成需要x天，乙工程队单独完成需要y天，则两队合作需要 天完成． 【答案】 【分析】根据题意得出甲工程队每天完成，乙工程队每天完成，则两队合作，每天可完成，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵甲工程队每天完成，乙工程队每天完成， ∴两队合作，每天可完成， ∴两队合作需要时间：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握工作时间、工作总量、工作效率三者之间的关系． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），… 请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】(1) (2)< (3)加糖后糖水会变甜，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； （2）由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． （3）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，然后将各分式的分子、分母因式分解，进而可通过约分、化简得出结果． 【详解】＝ 故选A． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算．如果分子、分母是多项式，那么就应该先分解因式，然后找出它们的公因式，最后进行约分. 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个分式的分子、分母进行因式分解后，再约分即可得解. 【详解】， =， =. 故选A. 【点睛】本题考查分式的乘法，约分是分式乘法的关键. 2．（23-24七年级上·吉林·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】先将第二项的分子分解因式，再约分化简即可． 【详解】， 故答案为：1． 【点睛】此题考查分式的乘法，掌握乘法的计算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·北京西城·期末）观察以下等式： ，，，， (1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______； (2)请利用分式的运算证明你的猜想． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据题目中给出的等式，即可写出第5个等式，并写出第的等式； （2）根据分式的乘法和加法可以证明猜想的正确性． 【详解】（1）解：由题目中的等式可得， 第5个等式为：，第个等式是， 故答案为：，； （2）证明：左边， 右边， 左边右边， 故猜想正确． 【点睛】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）计算的结果为（   ） A． B．m C． D． 【答案】A 【分析】直接进行分式的除法运算，把除法转为乘法后，最后要注意将结果进行约分． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键． 1．（23-24七年级上·河北邢台·期中）在等式中，M为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式左边的分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式，利用等式的性质即可求解． 【详解】， 即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，分式的乘除，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（2024·河北·模拟预测）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式分简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步没有出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】B 【分析】运用分式的乘除运算法则逐项排查即可． 【详解】解：，即甲正确； ，即乙错误； ，即丙正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式乘除的运算法则，掌握并灵活运用分式乘除的运算法则成为解答本题的关键． 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）计算÷•的结果是（    ） A． B．x C． D．2y 【答案】A 【分析】原式从左到右依次计算即可求出值． 【详解】解：原式＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）计算：= ． 【答案】 【分析】首先计算乘方、把除法转化成乘法运算，然后进行约分即可； 【详解】解：原式== 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，约分是解答的关键． 3．（23-24七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法运算，解题的关键是掌握分式的乘除法法则． （1）根据分式的乘除法法则运算即可； （2）根据分式的除法法则运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·课时练习）（为正整数）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的乘方计算法则解答． 【详解】． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键． 2．（2024九年级·浙江·专题练习）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 【答案】 两 【分析】（1）根据分式的基本性质解答； （2）根据分式的加减法计算法则解答； （3）根据分式的乘除法计算法则解答； （4）根据分式的乘方法则解答． 【详解】解：（1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：． 故答案为：两； （2）分式的加减法： 同分母相加减：； 异分母相加减：． 故答案为：，； （3）分式的乘除法： ；． 故答案为：，； （4）分式的乘方： （n为正整数） 故答案为：． 【点睛】此题考查分式的基本性质，分式的加减、乘除、乘方运算法则，熟记法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（23-24七年级上·山东威海·阶段练习）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 1．（2024九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课时练习）（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，分式的混合计算： （1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【经典例题十二 分式加减乘除混合运算】 【例12】（23-24七年级上·浙江台州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式化简，先通分算括号内的，再把分子，分母分解因式约分即可． 【详解】解： ； 故选：A． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合运算，据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 【详解】解：由题意可得： 被墨汁遮住部分的代数式是， ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知是互不相等的实数，是任意实数，化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．先计算前两项的和，再求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 3．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算． （1）先用提公因式法和公式法分解因式，再将除法转化为乘法，最后约分即可； （2）先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】（1） ； （2） 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（23-24七年级上·北京西城·开学考试）如果，那么代数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，利用分式化简法则将化简，再把代入即可，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 原式， 故选：B． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算将化简为，再将代入化简后的式子计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 上式的值为， 故选：A． 2．（2024七年级上·湖北·专题练习）已知 ，则分式的值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将变形为，再把已知代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ， ， ， 由题意得，且， ∴时， 原式， ． 【经典例题十四 零指数幂】 【例14】（24-25七年级上·上海·期中）下列语句中正确的是（    ） A．是单项式 B． C．（是有理数） D．底数是 【答案】A 【分析】本题考查单项式，积的乘方和幂的乘方，零指数幂，有理数的乘方，根据单项式的定义、积的乘方和幂的乘方的运算法则、零指数幂及有理数的乘方依次对选项进行判断即可．掌握相应的定义，运算法则和公式解题的关键． 【详解】解：A．是单项式，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．（），故此选项不符合题意； D．底数是，故此选项不符合题意． 故选：A． 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知n是自然数，，，那么的值不可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，根据题意可得一定是偶数，一定是奇数，再根据，，分情况讨论即可． 【详解】解：n是自然数， 一定是偶数，一定是奇数， ，， 当时，则； 当时，则，则或， 不可能等于2； 综上，的值不可能是2， 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海·期中）已知：，则满足条件的整数a所有值为 ． 【答案】，2，0． 【分析】本题主要考查了零指数幂的运算，理解指数运算规则是解答关键． 根据题意分三种情况：当时，当时，当分别求解． 【详解】解：由题意可知 当时，， ， ； 当时，1的任何次幂都等于1， ； 当，的偶次幂等于1， ， 综上所述，满足条件的整数a所有值为，2，0． 故答案为：，2，0． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，求整数x的值． 小红与小明交流如下： 小红：因为， 所以且，所以． 小明：因为，所以，所以， 你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 【答案】解答不完整，的值可以为：，，． 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质，绝对值的意义，有理数的乘方运算等知识，直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算运算法则分别化简求出答案，正确把握运算法则是解题关键． 【详解】解：解答不完整， 因为， 所以且，所以， 因为，所以，所以， 当时， 解得：，此时其结果都为1， 综上所述，的值可以为：，，． 【经典例题十五 负整数指数幂】 【例15】（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，，，，则、、、大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：，，，， ∴． 故选：D． 1．（23-24七年级上·上海松江·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，掌握公式：，（），，（）是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，不符合题意； B.，结论错误，不符合题意； C.，结论正确，符合题意； D.，结论错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·上海·单元测试） ， ． 【答案】 或 或或或 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解、负整数指数幂的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，，可将第一个式子进行四种情况的完全平方公式因式分解，即可解决前两个空，根据负整数指数幂可计算出第三个空． 【详解】解：∵，， ∴利用完全平方公式补齐式子为：或或或． 原式：， ， ， ． 故答案为：或；或或或；． 3．（23-24七年级·上海·假期作业）若的积中不含项与项： (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含项与项，可知项与项的系数均等于0，可得关于的方程组，解方程组即可； （2）由（1）中的值得，将原式整理变形，再将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：， ∵积中不含项与项， ， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算，负整数指数幂、积的乘方，幂的乘方等知识，掌握相关运算法则是解题的关键， 【经典例题十六 整数指数幂的运算】 【例16】（2024·江苏南京·二模）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则，幂的乘方的运算法则为，同底数幂相乘的运算法则为，灵活运用这两个法则是解答本题的关键． 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）我们知道：，，……，，那么接近于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由负整数指数幂的含义结合整数指数幂的运算可得：再分别把各选项变形，再比较即可得到答案. 【详解】解： 而 即 是一个10位整数，最高位的数字为1， 是一个10位整数，最高位的数字为1，是一个11位整数，最高位的数字为1， 所以更接近 所以最接近 故选B 【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，掌握“整数指数幂的运算法则与负整数指数幂的含义”是解本题的关键. 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是乘方运算，分类讨论的思想是解题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，根据的乘方，的乘方，非零的数的零次幂，可得答案． 【详解】解：①当时， 解得：， 此时，则， ； ②当时， 解得：， 此时，则（， ； ③当时， 解得：， 此时，则， ； 综上所述，当，或，或时，代数式成立． 故答案为：或或． 3．（23-24七年级下·山西太原·期中）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体—黑洞．施瓦氏半径（单位：）的计算公式是．，其中为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：）；为光在真空中的速度．已知太阳质量为，计算太阳的施瓦氏半径． 【答案】太阳的施瓦氏半径为 【分析】把所给的数据代入对应的公式中进行求解即可． 【详解】解：由题意得：． 答：太阳的施瓦氏半径为． 【点睛】本题主要考查了整数指数幂的计算，正确计算是解题的关键． 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是掌握分式的加法，乘除法以及乘方法则． 根据分式的加法，乘除法则分别计算即可判断． 【详解】解：A、，故选项错误，不合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、，故选项错误，不合题意； D、，故选项错误，不合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简与分式的值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据为正整数，得出原式的结果即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 且且， 又为正整数， ， 即且， 选项A、C、D均不符合题意， 当时， 原式，故选项B符合题意， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义及分式的运算，找到规律是解题的关键．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每3个为一循环，即可计算并判断． 【详解】解：，，，……； 由此知，每3个为一循环， 而，且， ∴ ； 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算的实际应用，根据题意列出式子通分时解题的关键． 根据题意可得妈妈每次加油共需付款钱元，爸爸两次能加油的升数为，设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，则，，故爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值与零的关系，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，得妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油， 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升， ∵爸爸两次加油总共花了元，妈妈加了升油， ∴爸爸两次加油的平均单价为，妈妈两次加油的平均单价为， ∵爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值为， ∴爸爸的加油方式更合算． 故选． 5．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）下图是某个学生制作的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数字表示事件，弄清题中的转换方法是解本题的关键．仿照二维码转换的方法求出所求即可． 【详解】解：根据题意得：， 则表示6班学生的识别图案是B 故答案为：B 6．（24-25七年级上·湖北·期中）已知，满足．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．由整理得，同时除以，得到，再对所求式子化简整理，整体代入即可求解． 【详解】解：，则 ，即， ， ，即 ， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·广东深圳·自主招生）若，，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查分式的性质，根据分式的混合运算法则计算，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法的应用，掌握异分母减法法则是解题关键．由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元．作差求解即可． 【详解】解：由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元． 则， 答：甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果记 并且表示当时y的值， 即 那么 （结果用含n的代数式表示， n为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题，正确根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵， 故． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算的结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方，负整指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握分式的乘方、负整指数幂、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 先根据分式的乘方法则，幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据负整指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 11．（24-25七年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ； 代入得原式． 12．（23-24七年级·上海·假期作业）若，，试比较A与B的大小． 【答案】 【分析】设，利用分式的加减运算法则计算即可比较大小． 【详解】解：设，则，． 则． 又，所以． 所以，所以． 【点睛】本题主要考查通过换元法，分式的减法，掌握作减法比较大小是关键． 13．（23-24七年级上·全国·课后作业）有甲，乙两块边长为a米（）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，试判断甲、乙试验田的单位面积产量哪个高．    【答案】甲试验田的单位面积产量高 【分析】由总产量除以总面积可得单位面积产量，再比较大小即可． 【详解】解：由题意，得甲试验田的单位面积产量为（千克）， 乙试验田的单位面积产量为千克． ∵，且， ∴，即， ∴甲试验田的单位面积产量高． 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的值的大小比较，分式的加减运算的应用，理解题意，确定解题的方法是解本题的关键． 14．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： 其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式 …… 乙同学 ¹ 解： 原式 …… (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)， 【分析】本题考查了分式的化简求值； （1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）若选择甲同学的解法， 原式 ； 若选择乙同学的解法， 原式 ； 当时，原式． 15．（24-25七年级上·北京昌平·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式_______________；（请用含a、b、m的式子表示）请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，则（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子并证明． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向顺流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，可判断出先返回A港的是_____________．（填所选序号即可） ①甲    ②乙    ③甲乙同时          ④无法判断 【答案】（1），；（2）不成立，，证明见解析；（3）① 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）根据题意分别表示出、，然后比较大小求解即可． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴甲船先返回A港． 故答案为：①． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式的加减乘除计算重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式加减乘除混合运算 题型十三 分式化简求值 题型十四 零指数幂 题型十五 负整数指数幂 题型十六 整数指数幂的运算 知识点1：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点2：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点3：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）化简结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知分式可以表示为的形式，则 ． 3．（24-25七年级上·北京延庆·期中）对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知为整式，若计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）当，，，，，，，，时，分别计算代数式的值，再将所有结果相加，则总和为 ． 3．（24-25七年级上·北京通州·期中）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（23-24七年级上·重庆九龙坡·期中）有依次排列的两个不为零的代数式、，用后一项与前一项作和，可以得到代数式，记作第次操作，并得到代数式串为、、；用第次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作差，得到代数式，记作第次操作，并得到代数式串为、、、；用第次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作和，得到代数式，记作第次操作，并得到代数式中为、、、、；；循环操作下去．下列说法：第次操作后得到的代数式串为、、、、、、、；；；．其中，正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 1（23-24七年级上·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 2．【（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，，为常数，则 ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（23-24七年级上·重庆忠县·期末）对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河北张家口·一模）若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 2．（23-24七年级上·甘肃陇南·期末）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 3．（23-24七年级上·浙江衢州·开学考试）在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似的，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：＝＝，＝＝＝． 参考上面的方法解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)求分式的最大值；（其中n为正整数） (3)已知分式的值是整数，求t的整数值． 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（23-24七年级下·浙江·期末）甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 1．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．（23-24六年级下·上海嘉定·期中）已知一项工程，甲工程队单独完成需要x天，乙工程队单独完成需要y天，则两队合作需要 天完成． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），… 请你用数学知识解释其中的奥秘． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是(    ) A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算的结果是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·吉林·期末）计算： ． 3．（23-24七年级上·北京西城·期末）观察以下等式： ，，，， (1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______； (2)请利用分式的运算证明你的猜想． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）计算的结果为（   ） A． B．m C． D． 1．（23-24七年级上·河北邢台·期中）在等式中，M为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）计算的结果是 ． 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（2024·河北·模拟预测）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式分简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步没有出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）计算÷•的结果是（    ） A． B．x C． D．2y 2．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）计算：= ． 3．（23-24七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2)． 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·课时练习）（为正整数）的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·浙江·专题练习）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（23-24七年级上·山东威海·阶段练习）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24七年级上·全国·课时练习）（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题十二 分式加减乘除混合运算】 【例12】（23-24七年级上·浙江台州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知是互不相等的实数，是任意实数，化简： ． 3．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）计算： (1)； (2)． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（23-24七年级上·北京西城·开学考试）如果，那么代数的值为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 2．（2024七年级上·湖北·专题练习）已知 ，则分式的值是 ． 3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【经典例题十四 零指数幂】 【例14】（24-25七年级上·上海·期中）下列语句中正确的是（    ） A．是单项式 B． C．（是有理数） D．底数是 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知n是自然数，，，那么的值不可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25六年级上·上海·期中）已知：，则满足条件的整数a所有值为 ． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，求整数x的值． 小红与小明交流如下： 小红：因为， 所以且，所以． 小明：因为，所以，所以， 你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 【经典例题十五 负整数指数幂】 【例15】（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，，，，则、、、大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·上海松江·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·单元测试） ， ． 3．（23-24七年级·上海·假期作业）若的积中不含项与项： (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【经典例题十六 整数指数幂的运算】 【例16】（2024·江苏南京·二模）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）我们知道：，，……，，那么接近于( ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 3．（23-24七年级下·山西太原·期中）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体—黑洞．施瓦氏半径（单位：）的计算公式是．，其中为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：）；为光在真空中的速度．已知太阳质量为，计算太阳的施瓦氏半径． 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 5．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）下图是某个学生制作的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·湖北·期中）已知，满足．则的值为 ． 7．（23-24七年级上·广东深圳·自主招生）若，，则 ． 8．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱 ． 9．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果记 并且表示当时y的值， 即 那么 （结果用含n的代数式表示， n为正整数）． 10．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算的结果是 11．（24-25七年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 12．（23-24七年级·上海·假期作业）若，，试比较A与B的大小． 13．（23-24七年级上·全国·课后作业）有甲，乙两块边长为a米（）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，试判断甲、乙试验田的单位面积产量哪个高．    14．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： 其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式 …… 乙同学 ¹ 解： 原式 …… (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 15．（24-25七年级上·北京昌平·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式_______________；（请用含a、b、m的式子表示）请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，则（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子并证明． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向顺流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，可判断出先返回A港的是_____________．（填所选序号即可） ①甲    ②乙    ③甲乙同时          ④无法判断 学科网（北京）股份有限公司 $$