专题01分式的基本性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题01 分式的基本性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 判断分式变形是否正确 题型十一 求使分式变形成立的条件 题型十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型十五 最简分式 题型十六 约分 题型十七 最简公分母 题型十八 通分 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点3：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点4：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点5：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（23-24七年级上·重庆万州·期中）在，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式， 故，为分式， 故选B． 1．（2024七年级·全国·专题练习）下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D．1+x 【答案】C 【分析】根据分式的定义作答． 【详解】解：A、是多项式，故本选项不符合题意； B、是多项式，故本选项不符合题意； C、分母中含有字母x，是分式，故本选项符合题意； D、是多项式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）式子，，，，中，分式有 个 【答案】3 【分析】根据分母中是否含有字母为标准判断即可． 【详解】∵ ，中，分母不含字母， ∴不是分式； ∵中，分母中含有字母a,b， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母y， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母x， ∴是分式； 共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的识别，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级·全国·假期作业）小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)下列分式中，属于真分式的是(   ) A．    B．    C．    D． (2)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）根据题中真分式的定义直接判断即可； （2）仿照题中例子化成整式和真分式的和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意，选项A、B、D中分子的次数大于分母的次数，不是真分式，不符合题意，选项C中分子的次数小于分母的次数，是真分式，符合题意， 故选：C； （2）解： ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，理解题中定义，会利用类比的思想方法求解是解答的关键． 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（23-24七年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 1．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式运算的规律问题； 分别计算出，，，得出，，，...，以，，为一个循环组依次循环，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ...， ∴，，，...，以，，为一个循环组依次循环， ∵， ∴的值是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·广西来宾·期中）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 【答案】19.5 【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键．由题意可得：，则可得：，然后组合式子即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ，，…，， ∵x为正数， ∴原式 ． 故答案为：． 3．（2024·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（23-24七年级上·福建厦门·期末）一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（    ）小时． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出全程，及后来行驶的速度，相除即可得到时间． 【详解】解：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，故全程为60t千米， 该车的速度每小时增加千米后的速度为每小时（60+v）千米， 则从A城到B城需要小时， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 1．（23-24七年级上·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）＝，括号内应填入 ； （2）＝，括号内应填入 ． 【答案】 【分析】（1）分式的分子和分母同时除以； （2）分式的分子和分母同时乘以． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键熟知并会应用分式的基本性质． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·开学考试）根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意可用代数式表示出原计划修建这条公路需要的天数和实际修建这条公路需要的天数； （2）根据（1）中的答案可以表示出实际修建这条公路的工期比原计划缩短的天数． 【详解】（1）解：根据题意得，公路长为，计划每天修建公路， ∴原计划修建这条公路需要天， 又∵每天修建公路的长度比原计划增加， ∴实际修建这条公路用了天； （2）解：根据（1）可知， 实际修建这条公路的工期比原计划缩短了天． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解答此类问题的关键是明确题意，用相应的分式表示出题目中的所求问题． 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（23-24七年级上·江苏南通·期末）若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为是解题的关键． 根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故选：B 1．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．当分母不为零时，分式有意义；当当分母为零时，分式无意义；当分母不为零且分子为零时，分式的值为零．当时，根据分母为零可求得，当时，根据分母不为零，分子为零，可求得，由此即可求的答案． 【详解】当时，分式无意义， ， 解得， 当时，分式的值为0， ， 解得， ． 故选：D． 2．（2024·上海·模拟预测）函数的取值范围为 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出关于的不等式组，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得且， 解得且， 故答案为：且． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，求的值． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件：分母为0，得出当时，；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0，得出当时，，求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，， 解得：， ∵当时，分式的值为0， ∴当时，，， 解得：，， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0． 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（23-24七年级上·河南南阳·期中）已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息： x的取值 ﹣1 1 c d 分式的取值 无意义 0 ﹣1 1 其中选项错误的是（　　） A．a＝1 B．b＝2 C．c＝ D．d＝3 【答案】C 【分析】将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断． 【详解】解：A．根据表格数据可知：当x=-1时，分式无意义，即x+a=0， 所以-1+a=0，解得a=1．所以A选项不符合题意； B．当x=1时，分式的值为0， 即，解得b=2， 所以B选项不符合题意； C．当x=c时，分式的值为-1， 即，解得c=， 所以C选项符合题意； D．当x=d时，分式的值为1， 即，解得d=3， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识． 1．（23-24七年级上·江苏南京·开学考试）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 【答案】A 【分析】本题考查了分式的意义，掌握当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式的性质逐一判断即可． 【详解】A、当时，无意义，符合题意； B、当时，无意义，不符合题意； C、当时，的值不存在，不符合题意； D、当时，的值为正数，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东聊城·单元测试）当 时，分式有意义．当 时，分式无意义； 【答案】 1 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不为0，若分母为0，则分式无意义，据此即可解答． 【详解】解：当时，分式有意义， 即分式有意义； 当，分式无意义， 解得：， 故答案为：1；． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义．试求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了分式值为0的条件以及分式有意义的条件，分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，据此可得a的值；分式无意义的条件是分母等于零，据此可得b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：将代入，得． ∵当时，分式的值为0， ∴，， ∴，． 将代入，得． ∵当时，分式无意义， ∴， ∴． ∴． 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）分式的值为零，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 1．（23-24七年级上·安徽六安·期末）若分式的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得:， 故选：． 2．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件及分式不为零的条件，由有意义时，即可得到答案，熟记分式有意义的条件及分式不为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：有意义， ，即， 解得，且， ，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）当为何值时，分式的值为0？ 【答案】 【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，即可解答． 【详解】解：分式的值为0， ，且， 解得且， ． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0的条件：分子为0，分母不为0． 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键． 由可得进而得到，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，则， ∴． 故选A． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 ，则值为（　　） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知变形得到，进而可得，求出，再将所求代数式变形得到即可答案． 【详解】解：∵，且根据题意有：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）已知，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解题关键．由已知条件可得，，，再将分式化简，带入计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或； (3)最小值为 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 【详解】（1）由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3） ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24七年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 1．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵， ∴不论a为何值时，都有意义，故①正确； ②∵当时，， 此时分式无意义， ∴②错误； ③∵的值为负，， ∴， ∴，故③正确； ④∵有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且，故④正确． 故选：B 2．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为正数， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期中）仔细阅读下面的材料并解答问题： 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得＞0，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解 故 所以当，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： （1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？ （2）当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】（1）；（2），且． 【分析】（1）先利用因式分解将变形为，再参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得； （2）先将分式变形为，再根据分式有意义的条件可得，且，然后参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：（1）依题意得：，即， 则有①或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：不等式组无解， 故， 所以当时，的值为负； （2）， 为分式的分母， ， 解得，且， 依题意得，即， ， ， 则有③或④， 解不等式组③得：，解不等式组④得：不等式组无解， 故， 所以当，且时，分式的值为负． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、因式分解、分式的值等知识点，读懂例题的思路，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（23-24七年级上·全国·假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【解析】略 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　） A．8 B．12 C．16 D．10 【答案】C 【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可． 【详解】解：﹣÷ ＝﹣× ＝﹣ ＝ ＝， ∵a为整数，且分式的值为正整数， ∴a﹣5＝1，5， ∴a＝6，10， ∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键． 2．（2024七年级·全国·竞赛）要使关于的方程的解为整数，则整数的取值有 个． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解、分式为整数的条件等知识，先将方程的解表示出来，通过条件进行计算即可，表示出方程的解是解题的关键． 【详解】原方程可化为，要想得到整数解，则的绝对值必须是2024的约数，共有 ，，，，，，， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式； 再如：，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解答下列问题： (1)分式是 （填“真”或“假”）分式； (2)假分式可化为带分式 的形式； (3)如果分式的值为整数，那么的整数值为 ． 【答案】(1)真 (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算． （1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断； （2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可； （3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 【经典例题十 判断分式变形是否正确】 【例10】（23-24七年级上·福建南平·期末）下列分式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：，分子分母同时除以，故选项A正确，不符合题意； ，分子分母同时乘以，故选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，分子分母同时乘以，故选项D正确，不符合题意； 故选C． 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意； B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意； C、，故C错误，不合题意； D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意． 故选：D 2．（23-24八年级·北京石景山·期末）分式变形中的整式A= ，变形的依据是 ． 【答案】 x2﹣2x, 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【分析】依据x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式变形=中的整式A=x（x-2）=x2-2x． 【详解】∵x2-4=（x+2）（x-2）， ∴分式变形=中的整式A=x(x−2)=x2−2x， 依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 故答案为x2−2x,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质. 3．（23-24七年级·全国·课后作业）“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 【答案】正确. 说明见解析. 【分析】根据公式：，将分子、分母因式分解，再约分即可. 【详解】 ， 故正确. 【点睛】此题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解决此题的关键. 【经典例题十一 求使分式变形成立的条件】 【例11】（23-24七年级上·北京·课后作业）若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 【答案】B 【详解】∵, ∴2k=,∴k=(6x²y-3xy)=xy(2x-1).故选B. 1．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）当分式与分式的值相等时，需满足 ． 【答案】x≠±1 【分析】先化简，可知两式相等的条件是两个分式都有意义据此可求． 【详解】解: 因而两式相等的条件是两个分式都有意义． ∴x2-1≠0， ∴x≠±1． 故答案是: x≠±1． 【点睛】本题主要考查分式的化简，以及分式有意义的条件：分母不等于0． 3．（23-24七年级上·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①，；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小；③所有“整数点”的坐标为、、、 【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①根据分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求解；③抓住“当y为整数时，为整数”，即可求解． 【详解】（1）解： 故 （2）解：． （3）解：①由（2）得： ， 故：，． ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小． ③当y为整数时，为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0． ∴所有“整数点”的坐标为、、、． 【点睛】本题以分式为背景，考查了分式的变形：分离常数．进而初步考查了“分式型”函数的相关性质．从题目中提炼信息是解题的关键． 【经典例题十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例12】（23-24七年级上·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍 【答案】A 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：把分式中的和都扩大为原来的倍， ∴， ∴分式的值不变， 故选：． 1．（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）若，的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，选项C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】∵， ∴x-y=4xy， ∴原式=， 故答案为： ． 【点睛】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读并理解下面解题过程: 因为a为实数，所以，，所以. 请你解决如下问题: 求分式的取值范围. 【答案】 【详解】试题分析：利用配方法可得x2-4x+5≥1，则可得0<≤1，把所求范围的分式适当变形即可求出它的范围. 试题解析：x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1 ，(x-2)2≥0 ， ∴x2-4x+5≥1 ， ∴0< ≤1 ， ∴1<1+ ≤2 ， ∵ ==1+ ， ∴1< ≤2 . 【经典例题十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例13】（23-24七年级上·山西·阶段练习）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键． 1．（23-24七年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 2．（23-24七年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变． 【经典例题试试 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例14】（23-24七年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案． 【详解】解：原式＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键． 1．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 【经典例题十五 最简分式】 【例15】（24-25七年级上·江西南昌·单元测试）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式是解题的关键． 直接利用最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是最简分数，故此选项符合题意； B．则原式不是最简分式，故此选项不合题意； C. ，则原式不是最简分数，故此选项不合题意； D．，则原式不是最简分数，故此选项不合题意． 故选：A． 1．（23-24七年级上·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式、公因式，解题的关键是掌握最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为． 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 3．（23-24七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【经典例题十六 约分】 【例16】（24-25七年级上·广西来宾·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A、，故选项A符合题意； B、的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求的值，再计算，然后将所求的代数式分子和分母先除以，利用进行化简得出结果．本题是分式的计算，考查了分母有理化及代数式的化简问题，利用特殊方法进行变形，得出正确结果． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将分式化为最简分式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简．掌握分式的性质，是解题的关键． 根据分式的性质，进行约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． （1）按照例子解题即可； （2）设，，，，三式相加得：，求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：设， ，，， 三式相加得：， ， ， ． 【经典例题十七 最简公分母】 【例17】（23-24七年级上·河南三门峡·期末）的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 1．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可解答，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：分式与的最简公分母是为， 故选：． 2．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 【详解】解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）通分： (1)， (2) 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查分式的通分： （1）先确定最简公分母为，然后再通分即可； （2）先确定最简公分母为，然后再通分即可 【详解】（1）解：； ； （2）解： 【经典例题十八 通分】 【例18】（23-24七年级上·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 1．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式与的公分母是，据此作出选择． 【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为． 故选：A． 【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先对已知的三个等式的左边通分，再进行适当地变形，可分别求得，，，再将这三个式子相加，即可求出的值． 本题主要考查了分式的通分、约分等知识，熟练掌握分式的通分和月份，将原来三个式子变形成同分母的式子是解题的关键． 【详解】由得，， ∴①； 由得， ， ②； 由得， ∴③； ，得， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． （1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， 1．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质、代数式求值、分式的基本性质等知识点，运用等式的基本性质得到成为解题的关键． 根据等式的基本性质得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级上·北京延庆·期中）如果把分式中的和的值同时扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的倍 C．不改变 D．扩大为原来的倍 【答案】A 【分析】依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】由， ∴扩大为原来的倍， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 3．（23-24七年级上·上海·自主招生）a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，即可得得到，再由即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴ ∴， ∵， ， 故选：A． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ……， 由此发现，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 5．（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 6．（23-24七年级·上海·假期作业）当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】根据分式为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且且，解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式值为零的条件，根据分式的值为0的条件列出方程是解答本题的关键． 7．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 8．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式的基本性质、完全平方公式变形求值，解答的关键是分式的基本性质的灵活运用．先将化为，进而求得，将分子、分母同除以得到，进而代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 两边平方，得，则， ∵ ． 故答案为：3． 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）约分：① ，       ② ， ③ ， 　　　　④ 若，则的值是 . 【答案】 ； ； ； ． 【分析】（1）分子分母都约去公因式5ab即可； （2）分别将分子和分母分解因式，再约分； （3）分别将分子和分母分解因式，再约分； （4）将前面的等式进行变形后再代入后面的代数式进行求值即可． 【详解】解：① ； ② ； ③ ； ④ 若，则, ∴． 故答案为：① ；② ； ③ ；④． 【点睛】本题考查了约分及分式的求值：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 11．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了通分，解题的关键是找出两个分式分母的最小公倍数． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）找出两分母的最简公分母，通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母为， ；． （2）解：最简公分母为， 故；． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （2）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （3）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都除以即可． 【详解】（1）解：， 等式中所缺的分子是； （2）解：， 等式中所缺的分子是； （3）解：， 等式中所缺的分母是． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 14．（23-24七年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或或或 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解： ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】 15．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)3 【分析】（1）根据题中材料所给变化情况即可得到变化情况； （2）按照材料中的恒等变形方式将表示为，令，则，根据题中材料所给变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中材料可知，对于： 当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小； 中值的变化只与值的变化有关， 当时，随着的值的增大，的值随之减小；当时，随着的值的增大，的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：， 令，则， 当时，即，随着的值的增大，值也增大，则值随之减小，并无限接近0，则的值随之减小，并无限接近0， 的值无限接近3． 【点睛】本题考查规律探究，涉及阅读理解、分式定义、分式的化简等知识，读懂材料中的方法是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式的基本性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 判断分式变形是否正确 题型十一 求使分式变形成立的条件 题型十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型十五 最简分式 题型十六 约分 题型十七 最简公分母 题型十八 通分 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点3：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点4：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点5：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（23-24七年级上·重庆万州·期中）在，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2024七年级·全国·专题练习）下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D．1+x 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）式子，，，，中，分式有 个 3．（23-24八年级·全国·假期作业）小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)下列分式中，属于真分式的是(   ) A．    B．    C．    D． (2)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（23-24七年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广西来宾·期中）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 3．（2024·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（23-24七年级上·福建厦门·期末）一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（    ）小时． A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）＝，括号内应填入 ； （2）＝，括号内应填入 ． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·开学考试）根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（23-24七年级上·江苏南通·期末）若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 2．（2024·上海·模拟预测）函数的取值范围为 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，求的值． 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（23-24七年级上·河南南阳·期中）已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息： x的取值 ﹣1 1 c d 分式的取值 无意义 0 ﹣1 1 其中选项错误的是（　　） A．a＝1 B．b＝2 C．c＝ D．d＝3 1．（23-24七年级上·江苏南京·开学考试）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 2．（23-24七年级上·山东聊城·单元测试）当 时，分式有意义．当 时，分式无意义； 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义．试求的值． 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）分式的值为零，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽六安·期末）若分式的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）当为何值时，分式的值为0？ 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 ，则值为（　　） A．10 B．11 C．15 D．16 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）已知，则＝ ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24七年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 2．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期中）仔细阅读下面的材料并解答问题： 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得＞0，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解 故 所以当，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： （1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？ （2）当x取何值时，分式的值为负？ 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（23-24七年级上·全国·假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　） A．8 B．12 C．16 D．10 2．（2024七年级·全国·竞赛）要使关于的方程的解为整数，则整数的取值有 个． 3．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式； 再如：，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解答下列问题： (1)分式是 （填“真”或“假”）分式； (2)假分式可化为带分式 的形式； (3)如果分式的值为整数，那么的整数值为 ． 【经典例题十 判断分式变形是否正确】 【例10】（23-24七年级上·福建南平·期末）下列分式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级·北京石景山·期末）分式变形中的整式A= ，变形的依据是 ． 3．（23-24七年级·全国·课后作业）“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 【经典例题十一 求使分式变形成立的条件】 【例11】（23-24七年级上·北京·课后作业）若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 1．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）当分式与分式的值相等时，需满足 ． 3．（23-24七年级上·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【经典例题十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例12】（23-24七年级上·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍 1．（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）若，的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）已知，则分式的值为 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读并理解下面解题过程: 因为a为实数，所以，，所以. 请你解决如下问题: 求分式的取值范围. 【经典例题十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例13】（23-24七年级上·山西·阶段练习）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题试试 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例14】（23-24七年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【经典例题十五 最简分式】 【例15】（24-25七年级上·江西南昌·单元测试）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 3．（23-24七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【经典例题十六 约分】 【例16】（24-25七年级上·广西来宾·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将分式化为最简分式的结果为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 【经典例题十七 最简公分母】 【例17】（23-24七年级上·河南三门峡·期末）的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）通分： (1)， (2) 【经典例题十八 通分】 【例18】（23-24七年级上·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 1．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·北京延庆·期中）如果把分式中的和的值同时扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的倍 C．不改变 D．扩大为原来的倍 3．（23-24七年级上·上海·自主招生）a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 6．（23-24七年级·上海·假期作业）当 时，分式的值为零． 7．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 8．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，求 ． 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）约分：① ，       ② ， ③ ， 　　　　④ 若，则的值是 . 11．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）通分： (1)与； (2)与． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 14．（23-24七年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 15．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$