第01讲 实数（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第一章 数与式 第01讲 实数（3~6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类（高频考点） 考点二 实数的相关概念（高频考点） 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 考点四 实数比较大小 考点五 平方根、算术平方根、立方根 考点六 实数的运算（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 ►题型02 无理数估值 ►题型03 相反意义的量 命题点二 实数的分类 ►题型01 用数轴上的点表示数 ►题型02 求数轴上两点之间的距离 ►题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 ►题型04 数轴上的动点问题 ►题型05 求一个数的相反数 ►题型06 多重符号化简 ►题型07 相反数的应用 ►题型08 求一个数的绝对值 ►题型09 化简绝对值 ►题型10 绝对值非负性的应用 ►题型11 利用几何意义化简绝对值 ►题型12 乘方运算 ►题型13 乘方的应用 命题点三 实数的分类 ►题型01 用科学记数法表示数 ►题型02 求一个数的近似数 命题点四 实数比较大小 ►题型01 利用数轴法比较实数大小 ►题型02 利用类比法比较实数大小 ►题型03 利用作差法比较实数大小 ►题型04 利用作商法比较实数大小 ►题型05 利用平方法比较实数大小 ►题型06 利用其它方法比较实数大小 命题点五 平方根、算术平方根、立方根 ►题型01 求一个数的算术平方根 ►题型02 利用算术平方根的非负性解题 ►题型03 求一个数的平方根 ►题型04 已知一个数的平方根，求这个数 ►题型05 求一个数的立方根 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数的运算 05分层训练•巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（北京版） 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 10年9考 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 近10年连续考查 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 近10年连续考查 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 10年6考 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 10年2考 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类（高频考点） 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 1．下列说法错误的是(　　) A．的平方根是±2 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 2．若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ． 考点二 实数的相关概念（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 乘方 n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数， 乘方的结果叫做幂. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数. 规定：a0=1（a≠0） 1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数. 2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）. 3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆． 1．数轴上的三点、、所表示的数分别为、、且满足，，则原点在（    ） A．点左侧 B．点点之间（不含点点） C．点点之间（不含点点） D．点右侧 2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．一个数的倒数就是它的相反数，这样的数有多少个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值. 2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 1．2024年5月3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极﹣艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000千米，将384000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，，那么精确到的近似值是（    ） A． B． C． D． 04►题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 1．实数，0.3，，，中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如 ． ►题型02 有理数的估值 1．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D． 2．比大且比小的整数可以是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 3．写出一个比大且比小的整数 ． 4．写出一个大于且小于的整数 ． ►题型03相反意义的量 1．在天气预报图中，零上度用表示，那么零下度表示为（   ） A． B． C． D． 2．中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损20元记为 元． 命题点二 实数的相关概念 ►题型01 用数轴上的点表示数 1．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．实数a在数轴上的位置如图所示，若，则下列说法不正确的是（　　） A．a的相反数大于2 B． C． D． 3．实数在数轴上对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（    ）    A． B． C．0 D．1 4．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足，则b的值可以是（    ）    A． B． C．3 D．2 ►题型02 求数轴上两点之间的距离 1．如图，在数轴上，点B在点A的右侧．已知点A对应的数为，点B对应的数为m．若在之间有一点C，点C到原点的距离为2，且，则m的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．在数轴上，点A表示数a，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B表示数b．若|a|＝|b|，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1 3．在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB=2，则点A，点B表示的数分别是（    ） A．-， B．，- C．0，2 D．-2，2 ►题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型04 数轴上的动点问题 1．一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 2．在数轴上，点在原点的同侧，分别表示数，将点向左平移个单位长度，得到点，点与点所表示的数互为相反数，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2019的点与正方形上的数字对应的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 ►题型05 求一个数的相反数 1．下列各数中，比的相反数大的是（ ） A．3 B． C．2 D．1 2．如图，在数轴上点A，B表示的有理数互为相反数，则点表示的有理数是（    ）    A．2 B．1 C． D． 3．A，B是数轴上两点，点A，B表示的数可能互为相反数的是（      ） A． B． C． D． 4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 ►题型06 多重符号化简 1．的相反数为（    ） A． B．2021 C． D． 2． ． ►题型07 相反数的应用 1．数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 2．已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．若与互为相反数，则x的值为 ►题型08 求一个数的绝对值 1．实数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 3．绝对值是 ． ►题型09 化简绝对值 1．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简（      ） A． B． C． D． ►题型10 绝对值非负性的应用 1．若|x＋2|＋，则xy的值为（    ） A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6 2．若，则 ． 3．已知，若，求代数式的值． ►题型11 利用几何意义化简绝对值 1．阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点的之间距离．因为，所以的几何意义是数轴上x所对应的点与－2所对应的点的之间距离． （1）发现问题：的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点A，B，P分别表示数－2，3，x，． ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是5． （3）解决问题： ①的最小值是______； ②利用上述思想方法解不等式：； ③当m为何值时，代数式的最小值是6． 3．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． (1)当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； (2)已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； (3)已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． ►题型12乘方运算 1．写出一组能说明命题“对于任意实数a，b，若，则”是假命题的a，b的值为 ， ． 2．若，则的值为 ． ►题型13 乘方的应用 1．的计算结果的个位数字是 （   ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．观察下列算式：71=7，72=49，73=343，74=2401，…根据上述算式中的规律，你认为72010的个位数字是（ ） A．7 B．9 C．3 D．1 3．小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究： 将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）． 命题点三 科学记数法与近似数 ►题型01 用科学记数法表示数 1．微粒子是指具有极小质量和体积的物质粒子，可以分为原子、分子、离子等．世纪年代，美国物理学家默里·盖尔曼和·茨威格各自独立提出了中子、质子这一类粒子是由更基本的单元——夸克组成的，夸克的半径大约为米，将化成科学记数法为（    ） A． B． C． D． 2．“智能变色液晶高分子薄膜”是一种新型材料，它的厚度只有0.0002米，有形状记忆和自愈合功能，在被拉伸时还可以发生颜色变化，在服装、包装材料等方面有巨大的应用潜力．将0.0002用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．光速为，光年指光运动一年的距离，一光年的距离可以用科学记数法表示为，通过估算可以得出的值为 ． ►题型02 求一个数的近似数 1．在学习强国平台中，5月16日发布的“第一观察——天问落火”栏目的阅读量截止到5月17日中午，就已经达到了10895538人次，将10895538精确到万，得（    ） A．1089 B．1090 C．1089万 D．1090万 2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（　　） A．66.6×107 B．0.666×108 C．6.66×108 D．6.66×107 命题点四 实数比较大小 ►题型01 利用数轴法比较实数大小 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在同一条数轴上分别用点表示实数 ，0 ， ，   ，则其中最左边的点表示的实数是 （   ） A． B．0 C． D． 4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02利用类比法比较实数大小 1．下列各数中，比﹣3小的数是(     ) A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1 2．在这四个数中,最小的数是(    ) A． B．0 C．1 D．-2 3．在实数，，1，中，最小的数是（   ） A． B． C．1 D． ►题型03 利用作差法比较实数大小 1．比较大小： 0.5． 2．比较大小： 1（填“>”、“<”或“=”） ►题型04 利用作商法比较实数大小 1．作商比较法的理论依据是，，若，则；若，则；若，则．请用作商法比较与的大小． 2．一个四位数M，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“丙午数”；将“丙午数”千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数．将原数M与新数作差，再除以99，所得商记为．例如：，∵，∴7315是“丙午数”，∴，∴．现有“丙午数”，，那么 ．若两个四位数A和B都是“丙午数”，，，其中，，，，且m，n，x，y均为整数，若，则差的最小值为 ． ►题型05 利用平方法比较实数大小 1．比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个） 2．比较大小： 5．（填“>”或“<”或“=”） 3．比较大小： 3． ►题型06 利用其它方法比较实数大小 1．已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 2．比较大小：　 　（选用＜、＝、＞填空） 命题点五 平方根、算术平方根、立方根 ►题型01 求一个数的算术平方根 1．等于（　　） A． B． C． D． 2．将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．的算术平方根是（    ） A． B． C． D． ►题型02算术平方根的非负性与估算 1．已知，若n为整数，且，则n的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 2．一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 3．由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是 ，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是 ． 4．若，为实数，，则的平方根是 ． 5．已知，则 ． 6．若x，y为实数，且，则的值为 . ►题型03平方根 1．16的平方根是（    ） A．±8 B．±4 C．4 D．－4 2．设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（　　） A．a=±B B．a=B C．a=﹣B D．以上结论都不对 3．的平方根是 ． 4．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 5．一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为 ． 6．如果一个正数的平方根为a+1和2a﹣7，则a的值为 ． ►题型04立方根 1．﹣27的立方根是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D． 2．从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） 命题点六 实数的运算 ►题型01实数 1．对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 2．对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（    ） A． B．函数的最大值为1，最小值为0 C．函数不存在对称轴 D．随着的增大，函数和函数越来越接近 3．． 4．计算：． 5．计算：． 基础巩固 一、单选题 1．在同一条数轴上分别用点表示实数 ，0 ， ，   ，则其中最左边的点表示的实数是 （   ） A． B．0 C． D． 2．的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据160万用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 7．目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳米，即米，将化成科学计数法为（    ） A． B． C． D． 8．2015年9月14日，通过位于美国的两个LIGO探测器，人类第一次探测到了引力波的存在，这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差．三百五十万分之一约为0.0000002857．将0.0000002857用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 9．若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则实数a可以是（    ） A． B． C． D． 11．等于（　　） A． B． C． D． 12．16的平方根是（    ） A．±8 B．±4 C．4 D．－4 二、填空题 13．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次引用负数．如果+20%表示“增加20%”，那“减少6%”可以记作 ． 14． ． 15．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 16．的平方根是 ． 三、解答题 17．计算：． 18．计算：． 19．计算：． 能力提升 一、单选题 1．下列实数中，无理数的个数是（    ） ① 0.333 ②   ③   ④   ⑤6.18118111811118…… A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 6．若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，若n为整数，且，则n的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 8．定义一种变换f：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若某一序列S0，经变换得到新序列S1，由序列S1继续进行变换得到S2，…，最终得到序列Sn﹣1（n≥2）与序列Sn相同，则下面的序列可作为Sn的是（　　） A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3） C．（1，1，2，2，3） D．（3，2， 3，3，2） 二、填空题 9．写出一个比大且比小的整数 ． 10．根据下表估计269的平方根是 （精确到0.1）． x 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 x2 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 11．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，由于i4n＝（i4）n＝1n＝1，i4n+1＝i4n•i＝1•i＝i同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，那么i6＝ ；i2017＝ . 三、解答题 12．计算： 13．若a、b、c都是有理数，，且，求的值． 14．从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） $$第一章 数与式 第01讲 实数（3~6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类（高频考点） 考点二 实数的相关概念（高频考点） 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 考点四 实数比较大小 考点五 平方根、算术平方根、立方根 考点六 实数的运算（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 ►题型02 无理数估值 ►题型03 相反意义的量 命题点二 实数的分类 ►题型01 用数轴上的点表示数 ►题型02 求数轴上两点之间的距离 ►题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 ►题型04 数轴上的动点问题 ►题型05 求一个数的相反数 ►题型06 多重符号化简 ►题型07 相反数的应用 ►题型08 求一个数的绝对值 ►题型09 化简绝对值 ►题型10 绝对值非负性的应用 ►题型11 利用几何意义化简绝对值 ►题型12 乘方运算 ►题型13 乘方的应用 命题点三 实数的分类 ►题型01 用科学记数法表示数 ►题型02 求一个数的近似数 命题点四 实数比较大小 ►题型01 利用数轴法比较实数大小 ►题型02 利用类比法比较实数大小 ►题型03 利用作差法比较实数大小 ►题型04 利用作商法比较实数大小 ►题型05 利用平方法比较实数大小 ►题型06 利用其它方法比较实数大小 命题点五 平方根、算术平方根、立方根 ►题型01 求一个数的算术平方根 ►题型02 利用算术平方根的非负性解题 ►题型03 求一个数的平方根 ►题型04 已知一个数的平方根，求这个数 ►题型05 求一个数的立方根 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数的运算 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（北京版） 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 10年9考 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 近10年连续考查 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 近10年连续考查 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 10年6考 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 10年2考 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类（高频考点） 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 1．下列说法错误的是(　　) A．的平方根是±2 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 【答案】D 【分析】A、根据算术平方根、平方根的定义即可判定； B、根据无理数的定义即可判定； C、根据无理数和立方根的定义即可判定； D、根据开平方和有理数、无理数和分数的定义即可判定． 【详解】解：A、的平方根是±2，故选项说法正确； B、是无理数，故选项说法正确； C、=-3是有理数，故选项说法正确； D、不是分数，它是无理数，故选项说法错误． 故选D． 2．若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ． 【答案】答案不唯一，如： 【分析】根据合并同类项和有理数的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵的值为有理数， ∴，（答案不唯一）； 故答案为：答案不唯一，如：． 【点睛】本题考查了实数的加减运算，解题的关键是掌握两个无理数的和等于有理数的特征进行解题． 考点二 实数的相关概念（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 乘方 n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数， 乘方的结果叫做幂. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数. 规定：a0=1（a≠0） 1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数. 2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）. 3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆． 1．数轴上的三点、、所表示的数分别为、、且满足，，则原点在（    ） A．点左侧 B．点点之间（不含点点） C．点点之间（不含点点） D．点右侧 【答案】B 【分析】此题考查了数轴，有理数的加法运算，乘法运算的含义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．根据，，，可得与，异号，从而得到原点的位置，即可得解． 【详解】解：由图可知，，而，， 原点在点点之间（不含点点） 故选：B． 2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数和数轴，四则运算法则，根据点在数轴上的位置，结合，逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，故B选项错误； 当，，故选项C错误； 无法得到与的关系，故选项A错误； ∵， ∴，， ∴， ∴，故选项D正确； 故选D． 3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．一个数的倒数就是它的相反数，这样的数有多少个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了倒数与相反数的概念，解题的关键是掌握相应的概念，并且理解一个数的倒数就是它的相反数需要同时满足． 【详解】解：一个数的倒数就是它的相反数，在实数范围内不存在， 故这样的数有多少0个， 故选：A． 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值. 2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 1．2024年5月3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极﹣艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000千米，将384000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：， 故选B． 2．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 3．北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的相关知识，关键是掌握科学记数法的定义； 科学记数法的表示形式， 本题是将较小的数表示为科学记数法，则n是负数，其绝对值为小数点移动的位数，据此解答即可． 【详解】解：0.0000625用科学记数法表示为， 故选C． 4．已知，，，，那么精确到的近似值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据无理数的估算确定的取值范围，再利用四舍五入找出近似值即可． 【详解】解：， ， ，， 精确到的近似值是， 故选B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 04►题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 1．实数，0.3，，，中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据无理数的定义及其常见的表现形式逐一判断甄别即可. 【详解】∵-2,0.3，都是有理数， ，是无理数， ∴无理数的个数为2， 故选A. 【点睛】本题考查了无理数的意义，熟记无理数的定义及其表现形式是解题的关键. 2．举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如 ． 【答案】0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一） 【分析】根据数学中0表示数的意义解答即可． 【详解】在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）． 故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了正数和负数的意义，熟练掌握既不是正数，也不是负数的0的意义是解本题的关键．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． ►题型02 有理数的估值 1．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，先根据数轴求出，，再估算出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 2．比大且比小的整数可以是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可． 【详解】解：， 比大且比小的整数有：2和3， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解题的关键． 3．写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】2（或3） 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案． 【详解】∵1＜＜2，3＜＜4， ∴比大且比小的整数是2或3． 故答案为：2（或3） 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 4．写出一个大于且小于的整数 ． 【答案】3 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小方法是解题的关键；先估算出与的取值范围，进而可得出结论； 【详解】∵， ， ， ， 一个大于且小于的整数是3， 故答案为：3； ►题型03相反意义的量 1．在天气预报图中，零上度用表示，那么零下度表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数负的实际意义及相反意义的量，解题的关键是掌握：用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量； 相反意义的量：按照指定方向的标准来划分，规定指定方向为正方向的数用正数表示，则向指定方向的相反的方向变化用负数表示，正与负是相对的．据此解答即可． 【详解】解：在天气预报图中，零上度用表示，那么零下度表示为． 故选：C． 2．中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损20元记为 元． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：盈利元记作元，那么亏损元可记作元， 故答案为：． 命题点二 实数的相关概念 ►题型01 用数轴上的点表示数 1．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或4， ， ， 故选：A． 2．实数a在数轴上的位置如图所示，若，则下列说法不正确的是（　　） A．a的相反数大于2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是数形结合，得到． 由图得，且，可知，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图得，且， ∴，D正确，不符合题意； ∴a的相反数大于2，故A正确，不符合题意； a的相反数大于2即是，故B不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 故选：B． 3．实数在数轴上对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（    ）    A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得，从而得到，再由，可得，且，从而得到，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶， ∵， ∴，且， ∴， ∴的值可以是． 故选：A 【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定的取值范围． 4．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足，则b的值可以是（    ）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， ， ∴， 观察四个选项，只有选项A符合． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，确定b的取值范围是解题关键． ►题型02 求数轴上两点之间的距离 1．如图，在数轴上，点B在点A的右侧．已知点A对应的数为，点B对应的数为m．若在之间有一点C，点C到原点的距离为2，且，则m的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】设点C表示的数为c，则|c|=2，即c=±2，根据条件判断得出点C表示的数为2，再根据AC-BC=2列方程即可得到结论． 【详解】∵点C到原点的距离为2， ∴设点C表示的数为c，则|c|=2，即c=±2， ∵点B在点A的右侧，点C在点A的右侧，且点A表示的数为-1， ∴点C表示的数为2， ∵AC-BC=2， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据两点间的距离公式结合AC-BC=2列出关于的一元一次方程． 2．在数轴上，点A表示数a，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B表示数b．若|a|＝|b|，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】B 【分析】由题意可得b＝a+4，可得|a|＝|a+4|，即可求解． 【详解】解：∵点A表示数a，将点A向右平移4个单位长度得到点B， ∴b＝a+4， ∵|a|＝|b|， ∴|a|＝|a+4|， ∴a＝a+4或a＝﹣a﹣4， 当a＝a+4时，无解， 当a＝﹣a﹣4时，a＝﹣2， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，掌握去绝对值的方法是本题的关键． 3．在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB=2，则点A，点B表示的数分别是（    ） A．-， B．，- C．0，2 D．-2，2 【答案】A 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：由A、B表示的数互为相反数，且AB=2，点A在点B的左侧，得 点A，点B表示的数分别是-，． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是解题的关键． ►题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键．由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】由数轴可知，，， A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B符合题意； C、，，，故选项C不符合题意； D、，，，故选项D不符合题意； 故选：B 2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 根据对应的点在数轴上的位置得到，然后逐一判断即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项错误； ∴，故D选项正确； 故选D． 3．如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数加(减)法、有理数的乘法法则，掌握相关的方法和法则是解题的关键．根据数轴判断出，再由有理数加法、减法、乘法法则、绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，，，， 故选：B． 4．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴可得，进而根据实数的运算法则即可判断求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴， ∴错误，正确， 故选：． ►题型04 数轴上的动点问题 1．一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【答案】A 【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数． 【详解】解：设向右为正，向左为负，则 表示的数为+1， 表示的数为+3 表示的数为0 表示的数为-4 表示的数为+1…… 由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以． 故在数轴上表示的数为159． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键． 2．在数轴上，点在原点的同侧，分别表示数，将点向左平移个单位长度，得到点，点与点所表示的数互为相反数，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用的式子表示出点C，根据点C与点B互为相反数列出方程，即可求解． 【详解】解：由题可知：A点表示的数为1，B点表示的数为， ∵C点是A向左平移3个单位长度， ∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，准确表示平移后的点所表示的数，根据等量关系列出方程是关键． 3．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2019的点与正方形上的数字对应的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据从点-1到点2019共2020个单位长度，正方形的边长为2（个单位长度），2020÷8=252余4，是252周余4个单位长度，即可解答． 【详解】从点﹣1到点2019共2020个单位长度， 正方形的边长为8÷4=2（个单位长度）， 2020÷8=252余4， 故数轴上表示2019的点与正方形上表示数字4的点对应， 故选C． 【点睛】本题考查了数轴，找出正方形的周长与数轴上的数字的对应关系是解答此类题目的关键. ►题型05 求一个数的相反数 1．下列各数中，比的相反数大的是（ ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，求一个数的相反数，先求出的相反数是2，再根据有理数比较大小的方法得到，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 2．如图，在数轴上点A，B表示的有理数互为相反数，则点表示的有理数是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数到原点的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：点表示的有理数是2； 故选A． 【点睛】本题考查相反数，用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握相反数到原点的距离相等． 3．A，B是数轴上两点，点A，B表示的数可能互为相反数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想，数轴上A、B表示的数互为相反数，说明A，B到原点的距离相等，依此即可求解. 【详解】解：数轴上A、B表示的数互为相反数，则两个点在原点两侧，到原点的距离相等， 观察图形可知，只有选项A符合题意. 故选A. 【点睛】本题考查了数轴，相反数，要熟练掌握数轴的有关知识和相反数的定义，数轴有原点，方向和单位长度，数轴上的点与实数一一对应. 4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【分析】直接利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的几何意义得出答案． 【详解】解：∵a与c互为相反数， ∴原点在a，c的中间， ∴b距离原点最远， ∴a，b，c三个数中绝对值最大的数是b． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了数轴，绝对值，相反数，正确得出原点位置是解题关键． ►题型06 多重符号化简 1．的相反数为（    ） A． B．2021 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、相反数的概念求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 故的相反数为， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数、绝对值的概念，属于基础题，熟练掌握概念是解决本题的关键． 2． ． 【答案】 【分析】绝对值的化简，按照化简对象是正数，负数，零，这三种情形逐一对号入座，按照原则化简即可． 【详解】∵表示的绝对值的相反数，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值的化简，相反数的定义等知识，熟记绝对值化简的三条基本原则是解题的关键． ►题型07 相反数的应用 1．数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【答案】D 【分析】根据题意得出a+6=b，a=﹣b，求出即可． 【详解】解：设B点表示的数是b， 根据题意得：a+6=b，a=﹣b， 解得：a=－3，b=3． 故选D． 【点睛】本题考查了相反数的应用，关键是能根据题意得出方程a+6=b，a=﹣b． 2．已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先根据代数式和的值互为相反数，建立分式方程，然后 解分式方程的步骤进行解方程，注意要验根，即可作答． 【详解】解：根据题意，， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 故x的值为． 故选：A． 3．若与互为相反数，则x的值为 【答案】或 【分析】本题考查相反数的性质，解一元二次方程．根据互为相反数的两个数的和为0可得，解该方程即可解答． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 即， 解得：，， 即x的值为或． 故答案为：或 ►题型08 求一个数的绝对值 1．实数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数的绝对值．熟练掌握绝对值的意义，是解决问题的关键． 根据一个数的绝对值就是数轴上这点与原的距离，即可求解（方法不唯一）． 【详解】． 故选：B． 2．的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是， 故选：B． 3．绝对值是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义进行求解. 【详解】因为>0, 所以的绝对值是 故答案为 【点睛】考核知识点：实数的绝对值. ►题型09 化简绝对值 1．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值等等，正确得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴，， ∴四个选项中只有D选项的式子正确，符合题意； 故选D． 2．数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义计算即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， 所以，，， 则 ． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ►题型10 绝对值非负性的应用 1．若|x＋2|＋，则xy的值为（    ） A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出x、y，代入即可求解． 【详解】解：∵|x+2|≥0，≥0， 而|x+2|+＝0， ∴x+2＝0且y﹣3＝0， ∴x＝﹣2，y＝3， ∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6． 故选：B 【点睛】本题考查的是绝对值和算术平方根的非负性，理解绝对值和算术平方根的非负性，熟知“两个非负数相加得0，则这两个非负数都是0是解题关键”． 2．若，则 ． 【答案】3 【分析】由求解的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是实数中的非负数的性质，二次根式的乘法，掌握利用非负数的性质求解未知字母的值是解题的关键． 3．已知，若，求代数式的值． 【答案】9 【分析】先根据非负数的性质得出a、b的值，代入ax2+bx-4=0变形得2x2-3x=4，再代入4x2-6x+1=2（2x2-3x）+1求解即可． 【详解】解：∵（2-a）2+|b+3|=0， ∴2-a=0，b+3=0， 解得a=2，b=-3， 代入ax2+bx-4=0，得：2x2-3x-4=0， 则2x2-3x=4， ∴4x2-6x+1 =2（2x2-3x）+1 =2×4+1 =8+1 =9． 【点睛】本题主要考查非负数的性质：偶次乘方、绝对值，解题的关键是掌握任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． ►题型11 利用几何意义化简绝对值 1．阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案. 【详解】可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和， 当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x； 当时，=（x+2）+（5-x）=7； 当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3； ∴有最小值，最小值为7，此时， 故选：D. 【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题. 2．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点的之间距离．因为，所以的几何意义是数轴上x所对应的点与－2所对应的点的之间距离． （1）发现问题：的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点A，B，P分别表示数－2，3，x，． ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是5． （3）解决问题： ①的最小值是______； ②利用上述思想方法解不等式：； ③当m为何值时，代数式的最小值是6． 【答案】①；②或；③或 【分析】①根据有理数的减法和绝对值的性质即可得出答案； ②根据绝对值的几何意义求解； ③根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出． 【详解】解：①如图，点A，B，P分别表示数， ，x，, ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是； 故答案为：4； ②如图，点A，B，P分别表示数－3，4，x，. ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的解集是或. ③点A，B，P分别表示数，7，x，. ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，的最小值为， ∴或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，弄清题中的方法是解本题的关键． 3．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． (1)当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； (2)已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； (3)已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，② 【分析】（1）根据题意给定的距离系数定义化解绝对值即可； （2）利用距离系数的定义，用表示，根据距离系数小于，解含绝对值不等式即可； （3）①根据题意，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，得到点关于点A的距离系数的最小，进行计算即可； ②当，找到点E和点D所在位置，且点E、D和A共线时，满足条件，延长交x轴于点J，由题意可得，求得和，根据平行求得，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，则， ∵， ∴，，； 故关于点A的距离系数为1的是：和； （2）∵，， ∴线段：， ，即：， ∴或， ∴或， ∴当两个点的横坐标间的距离越远，越小， ∴当点离点横坐标最远时：， 当离点横坐标最远时：， 综上：或； （3）①由可知，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点关于点A的距离系数的最小：此时：； ②如图，当，点E在上，点D在上(D和E可以互换位置)，且点E、D和A共线时，满足条件， 延长交x轴于点J，由题意可得，，解得， 则， ∵， ∴， 则，解得， 那么， 故答案为∶． 【点睛】本题考查坐标系中新定义下的距离系数运算，涉及化解对绝对、解含绝对值的一元一次不等式、正方形的性质和平行线所截线段成比例，解题的关键是理解给定得运算并熟练解含绝对值的不等式． ►题型12乘方运算 1．写出一组能说明命题“对于任意实数a，b，若，则”是假命题的a，b的值为 ， ． 【答案】 (答案不唯一) (答案不唯一) 【分析】当，时，根据有理数的大小比较法则得到根据有理数的乘方法则得到，根据假命题的概念解答即可． 【详解】解：例如，，； 因，满足， 而，即， ∴对于任意实数a，b，若，则是假命题， 故答案为：①；②(答案不唯一)． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、有理数的乘方，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 2．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性、乘方运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由绝对值的非负性求出，再代入解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ∴， 故答案为：． ►题型13 乘方的应用 1．的计算结果的个位数字是 （   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了数的规律探索，熟练掌握乘方类型数的个位数字的规律是解题的关键．分别探索和的个位数字，转化为探索和即可． 【详解】解：的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 故选：D． 2．观察下列算式：71=7，72=49，73=343，74=2401，…根据上述算式中的规律，你认为72010的个位数字是（ ） A．7 B．9 C．3 D．1 【答案】B 【详解】本题考查指数幂变化的周期性． 解答：由末尾是7，末尾是9，末尾是3，末尾是1，末尾又是7，故尾数成周期变化，周期为4.又余数是2，故的个位数字是9. 3．小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究： 将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）． 【答案】 1 【分析】题目主要考查规律探索，理解题意，找出相应的规律是解题关键 8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8，按照规则依次即可得出结果；根据题意找出相应规律即可得出结果． 【详解】解：8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8， 前四轮去掉了2，4，6，8， 还剩下4张纸牌从上至下为1，3，5，7， 再经过2轮去掉3，7， 还利2张纸牌、从上至下为1，5， 再经过1轮，去掉5， 最终剩下的是原来的第1张纸牌； 由条件中4张纸牌，按上述规则操作后，最后留下的第1张纸牌， 将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌， ∴； 故答案为：1；． 命题点三 科学记数法与近似数 ►题型01 用科学记数法表示数 1．微粒子是指具有极小质量和体积的物质粒子，可以分为原子、分子、离子等．世纪年代，美国物理学家默里·盖尔曼和·茨威格各自独立提出了中子、质子这一类粒子是由更基本的单元——夸克组成的，夸克的半径大约为米，将化成科学记数法为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定即可； 【详解】解： 故选：B 2．“智能变色液晶高分子薄膜”是一种新型材料，它的厚度只有0.0002米，有形状记忆和自愈合功能，在被拉伸时还可以发生颜色变化，在服装、包装材料等方面有巨大的应用潜力．将0.0002用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法表示较小的数的方法即可求出结果． 【详解】解：由题意可知： ， 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是理解：用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 3．光速为，光年指光运动一年的距离，一光年的距离可以用科学记数法表示为，通过估算可以得出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 由题意知，一光年的距离为，根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1作答即可． 【详解】解：由题意知，一光年的距离为， ∴用科学记数法表示为， ∴， 故答案为：． ►题型02 求一个数的近似数 1．在学习强国平台中，5月16日发布的“第一观察——天问落火”栏目的阅读量截止到5月17日中午，就已经达到了10895538人次，将10895538精确到万，得（    ） A．1089 B．1090 C．1089万 D．1090万 【答案】D 【分析】把千位上的数四舍五入后加万即可解答． 【详解】10895538精确到万可得10895538=1090万， 故选D． 【点睛】本题考查了近似数，熟练运用四舍五入法是解决问题的关键． 2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（　　） A．66.6×107 B．0.666×108 C．6.66×108 D．6.66×107 【答案】C 【详解】665 575 306≈6.66×108．故选C． 命题点四 实数比较大小 ►题型01 利用数轴法比较实数大小 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 根据实数a对应的点在左侧，右侧判断A、B选项；根据数轴上右边的数总比左边的大判断C、D选项． 【详解】解：A选项，，故该选项不符合题意； B选项，，故该选项不符合题意； C选项，在和之间，，故该选项不符合题意； D选项符合题意； 故选：D． 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．根据数轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：A：点在的左边， ，故该选项不符合题意； B：点在的左边， ，故该选项不符合题意； C： ， ，又 ， ，故该选项不符合题意； D： ， ，又 ， ，故该选项符合题意； 故选：D． 3．在同一条数轴上分别用点表示实数 ，0 ， ，   ，则其中最左边的点表示的实数是 （   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟记数轴上的数右边的总比左边的大是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最左边的点表示的实数是， 故选C． 4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键．根据数轴可得，，进一步得出，，即可判断答案． 【详解】解：， ， 又， ， 选项正确，符合题意； ， ， ， 选项错误，不符合题意； C选项错误，不符合题意； D选项错误，不符合题意； 故选A． ►题型02利用类比法比较实数大小 1．下列各数中，比﹣3小的数是(     ) A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】-5＜-3＜-1＜0＜1， 所以比-3小的数是-5， 故选A． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2．在这四个数中,最小的数是(    ) A． B．0 C．1 D．-2 【答案】D 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 -2＜0＜＜1， ∴在、0、1、-2这四个数中，最小的数是-2． 故选D． 【点睛】本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 3．在实数，，1，中，最小的数是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， 在实数，，1，中，最小的数是． 故选：B ►题型03 利用作差法比较实数大小 1．比较大小： 0.5． 【答案】> 【分析】先求出两者的差，再结合无理数的估算判断差的正负，从而即可比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键． 2．比较大小： 1（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】先求出，然后利用作差法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知作差法比较大小的方法是解题的关键． ►题型04 利用作商法比较实数大小 1．作商比较法的理论依据是，，若，则；若，则；若，则．请用作商法比较与的大小． 【答案】 【分析】用除以，结果与1比较大小即可． 【详解】解：，， ， ． 【点睛】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则． 2．一个四位数M，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“丙午数”；将“丙午数”千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数．将原数M与新数作差，再除以99，所得商记为．例如：，∵，∴7315是“丙午数”，∴，∴．现有“丙午数”，，那么 ．若两个四位数A和B都是“丙午数”，，，其中，，，，且m，n，x，y均为整数，若，则差的最小值为 ． 【答案】 9 2882 【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义，运用分类讨论思想解不定方程是解题的关键． 根据“丙午数”定义得出，求出的值，即可得出的值． 根据“丙午数”定义，结合，，得出，，进而确定和的值，再分类讨论解答即可． 【详解】解：“丙午数”，， ， 解得， ， 四位数，其中，，，均为整数，四位数，其中，，，均为整数， 数中的千位数字是6，百位数字是，十位数字是2，个位数字是，数中的千位数字是，百位数字是3，十位数字是2，个位数字是4， 与都是“丙午数”， ，， ，． 由，得当时，，这时为6226； 当时，，这时为6325； 当时，，这时为 6424； 当时，，这时为6523； 当时，，这时为6622； 当时，，这时为6721． 由，得当时，，这时为1364； 当时，，这时为2354； 当时，，这时为3344． 对中四位数，，，， ，． 对四位数，，． ①当，时，（不符合题意，舍去）； ②当，时，（不符合题意，舍去）； ③当，时，，符合题意； ④当，时，（不符合题意，舍去）； ⑤当，时，（不符合题意，舍去）； ⑥当，时，（不符合题意，舍去）； ⑦当，时，，（不符合题意，舍去）； ⑧当，时，（不符合题意，舍去）； ⑨当，时，（不符合题意，舍去）； ⑩当，时，（不符合题意，舍去）； ⑪当，时，，符合题意； ⑫当，时，（不符合题意，舍去）； ⑬当，时，（不符合题意，舍去）； ⑭当，时，（不符合题意，舍去）； ⑮当，时，（不符合题意舍去）； ⑯当，时，（不符合题意，舍去）； ⑰当，时，（不符合题意，舍去）； ⑱当，时，（不符合题意，舍去）． 综上所述，符合题意的有两种情况，即当，时，； 当，时，， ， 的最小值为2882． 故答案为：9；2882． ►题型05 利用平方法比较实数大小 1．比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个） 【答案】＜ 【分析】利用平方法比较两数大小关系． 【详解】解：∵7＜9， ∴＜， 即＜3， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查实数比较大小．含有根号的实数在比较大小时，通常采用平方法进行比较． 2．比较大小： 5．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】< 【分析】首先求出、5的平方的值各是多少，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，哪个数的平方越大，哪个数就越大，判断出、5的大小关系即可． 【详解】解：()2=17，52=25， ∵17<25， ∴<5． 故答案为：<． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个正实数，哪个数的平方越大，哪个数就越大． 3．比较大小： 3． 【答案】 【分析】先将3化为根号的形式，根据被开方数越大值越大即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为＞． 【点睛】本题考查实数大小的比较，比较大小时，常用的方法有：作差法，作商法，如果有一个是二次根式，要把另一个也化为二次根式的形式，根据被开方数的大小进行比较． ►题型06 利用其它方法比较实数大小 1．已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数比较大小，正数大于0，负数小于0，绝对值大的负数反而小，再根据进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， 即，，，中最小的数是， 故选：D． 2．比较大小：　 　（选用＜、＝、＞填空） 【答案】＜． 【分析】先根据立方根的定义计算＝2，再化为，根据被开方数越大值越大进行比较． 【详解】解：∵＝2＝， ＜， ∴＜， 故答案为＜． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，将两个根式化为根指数相同的式子是关键． 命题点五 平方根、算术平方根、立方根 ►题型01 求一个数的算术平方根 1．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，的算术平方根是．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 即． 故选：C． 2．将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】易得正方形的面积，求得正方形面积的算术平方根即为所求的边长，利用四数的平方与正方形面积作差的绝对值进行比较即可解答． 【详解】解：正方形的面积与原长方形的面积相等，S长方形=， ∴S正方形=8， 设正方形的边长为x 则x2=8 解得：x= 则正方形的边长为=， ∵12=1,22=4,32=9,42=16 ∴8-1=7，8-4=4，9-8=1，16-8=8； ∵8>7>4>1 ∴正方形的边长最接近整数3 故选：C． 【点睛】本题考查有关正方形面积的计算；根据正方形的面积求边长是解决此类问题的基本思路．也考查了算术平方根，利用平方法比较大小是解题关键． 3．的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴9的算术平方根是3． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握正数的算术平方根是正的平方根，的算术平方根是，负数没有算术平方根． ►题型02算术平方根的非负性与估算 1．已知，若n为整数，且，则n的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算以及算术平方根，利用夹逼法比较是关键．根据，得到即可比较． 【详解】解：， ， 整数满足： ， 故选：B． 2．一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 正方形的面积是22.73， ， ， ，即， 它的边长大小在4与5之间， 故选：C． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 3．由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是 ，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是 ． 【答案】 5 3 【分析】根据题意，以题目给出的思路和方法进行推理得出答案，5的任何次方尾数均是5，则可求解①，根据题意确定1225的平方根是两位数，再根据3的平方和4的平方即可确定②． 【详解】∵5的任何次方尾数均是5， ∴1225的平方根的个位数是5， ∵，，9＜12＜16， ∴1225的平方根的十位数是3， 故答案为：5，3． 【点睛】考查了实数的意义，平方根的意义以及尾数的特征等知识，阅读理解题目提供的解题方法是解答本题的关键． 4．若，为实数，，则的平方根是 ． 【答案】± 【分析】要求的平方根，一要先求出，的值，要求、的值就要根据：与同时成立，根号里的数一定是0．依此来求、的值． 【详解】解：与同时成立， 故只有，即， 又， ，， ， 故的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根式成立的条件，解题的关键是根据与同时成立，得到的值． 5．已知，则 ． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质列式求出、，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得，， 所以，． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了非负数的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 6．若x，y为实数，且，则的值为 . 【答案】1. 【详解】试题分析：∵x，y为实数，且， ∴. ∴. 考点：1.绝对值和二次根式被开方数的非负性质；2.有理数的乘方. ►题型03平方根 1．16的平方根是（    ） A．±8 B．±4 C．4 D．－4 【答案】B 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解： 16的平方根是±4 故选B 【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根． 2．设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（　　） A．a=±B B．a=B C．a=﹣B D．以上结论都不对 【答案】A 【详解】由题意得a=,B=3, a=±B   ,故选A. 3．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 4．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/且/且 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，即可求得x取值范围． 【详解】解：当时，分式无意义，此时； 当时，代数式有意义； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零，掌握这一条件是关键．同时，为了求得x的值，考虑问题的反面，即分母为零时的情况，去掉分母为零的x取值，即为分式有意义的值． 5．一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为 ． 【答案】4 【分析】直接利用平方根的定义得出2m-1+（-3m+）=0，进而求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得：2m-1+（-3m+）=0， 解得：m=， ∴正数a=（2×-1）2=4， 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键． 6．如果一个正数的平方根为a+1和2a﹣7，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】根据平方根的性质，得，再解一元一次方程即可得出答案． 【详解】由平方根的性质得： 解得 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平方根的性质、解一元一次方程，正确计算是解题关键． ►题型04立方根 1．﹣27的立方根是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D． 【答案】A 【分析】根据立方根的定义可得到结果. 【详解】解：＝﹣3． 故选A． 【点睛】本题考查了立方根的知识，掌握立方根的定义是解题的关键. 2．从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） 【答案】问题一：4更大；问题二：是无理数；问题三：是正整数；问题四：无理数比有理数“多”，理由见解析 【分析】本题考查了实数比较大小，有理数，无理数，正整数， 问题一：计算出圆周长与直径的比值直接与4比较大小即可； 问题二：根据无理数的概念，开立方开不尽的数即可判断； 问题三：可以不妨取计算进行判断； 问题四：通过研究两个有理数之间可以找到无数个无理数来进行判断． 【详解】解：问题一：圆周长与直径的比值为：， ， 圆周长与直径的比值与4比较，4更大； 问题二：开立方，开不尽，故是无理数， 问题三：均为正整数，且， 不妨取， ， 为正整数， 是正整数； 问题四：在实数轴上，有理数和无理数都是密集分布的，但有理数的数量是可数的，无理数的数量是“不可数”的，即无理数的数量比有理数的数量“多”，这里的“多”是从“可数”与“不可数”来比较的． 命题点六 实数的运算 ►题型01实数 1．对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 【答案】D 【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键是需要理解的含义，解题的过程中，可以先研究人数较少的情况进行判断． 【详解】解：A．根据再同一个社交群中，无论找个相互认识的人，还是找个相互不认识的人，只是换了一种角度，结果相同，故，正确，不符合题意； B．在两个人的情况下，如果两个人相互认识，，如果两个人相互不认识，，故正确，不符合题意； C．在一个8个人的群体中，根据数的性质，必定存在3个人相互认识或者3个人相互不认识，故正确，不符合题意； D．虽然对于较大的数，，计算比较困难，但不意味着不能被计算出来，说法太绝对，故错误，符合题意； 故选：D． 2．对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（    ） A． B．函数的最大值为1，最小值为0 C．函数不存在对称轴 D．随着的增大，函数和函数越来越接近 【答案】B 【分析】本题考查了函数的函数值问题，解题的关键是理解的含义，通过取特殊值法来进行判断． 【详解】解：A．正确，不符合题意； B．函数没有最大值，最小值为0，故表述错误，符合题意； C．当时，，当时，，故函数不存在对称轴，正确，不符合题意； D．随着的增大，函数和函数的函数值越来越接近0，正确，不符合题意； 故选：B． 3．． 【答案】4 【分析】先根据乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂的意义、特殊角的三角函数值化简，再算加减． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂和零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．计算：． 【答案】 【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式． ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 基础巩固 一、单选题 1．在同一条数轴上分别用点表示实数 ，0 ， ，   ，则其中最左边的点表示的实数是 （   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟记数轴上的数右边的总比左边的大是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最左边的点表示的实数是， 故选C． 2．的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是， 故选：B． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键．由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】由数轴可知，，， A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B符合题意； C、，，，故选项C不符合题意； D、，，，故选项D不符合题意； 故选：B 4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法和加法．绝对值的意义，先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判断即可． 【详解】解：由题知：，， ∴，，，， ∴选项B符合题意． 故选：B． 5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的了有理数与数轴，有理数的运算，解题的关键是会利用数轴进行判断．利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， ∴，， ∴选项A正确，选项B、C、D错误． 故选：A． 6．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据160万用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：160万， 故选：B． 7．目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳米，即米，将化成科学计数法为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，使用负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 8．2015年9月14日，通过位于美国的两个LIGO探测器，人类第一次探测到了引力波的存在，这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差．三百五十万分之一约为0.0000002857．将0.0000002857用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：0.0000002857． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键要正确确定的值以及的值． 9．若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义．熟练掌握有理数的大小比较，绝对值的意义是解题的关键． 由，可得，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求； 故选：B． 10．实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则实数a可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数和数轴，实数大小的比较，根据数轴判定出是解题的关键． 根据数轴判定出，再比较实数的大小，即可求解． 【详解】解：由数轴得：， ∵ ∴a可以是． 故选：B． 11．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，的算术平方根是．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 即． 故选：C． 12．16的平方根是（    ） A．±8 B．±4 C．4 D．－4 【答案】B 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解： 16的平方根是±4 故选B 【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根． 二、填空题 13．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次引用负数．如果+20%表示“增加20%”，那“减少6%”可以记作 ． 【答案】﹣6% 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以如果+20%表示增加20%，那么“减少6%”可以记作﹣6%． 【详解】解：根据正数和负数的定义可知，“减少6%”可以记作-6%． 故答案为-6%． 【点睛】此题考查正数和负数问题，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 14． ． 【答案】 【分析】绝对值的化简，按照化简对象是正数，负数，零，这三种情形逐一对号入座，按照原则化简即可． 【详解】∵表示的绝对值的相反数，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值的化简，相反数的定义等知识，熟记绝对值化简的三条基本原则是解题的关键． 15．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/且/且 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，即可求得x取值范围． 【详解】解：当时，分式无意义，此时； 当时，代数式有意义； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零，掌握这一条件是关键．同时，为了求得x的值，考虑问题的反面，即分母为零时的情况，去掉分母为零的x取值，即为分式有意义的值． 16．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 三、解答题 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂，立方根的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．利用零指数幂，立方根的运算的运算法则进行运算即可． 【详解】解：原式 18．计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解． 【详解】 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 19．计算：． 【答案】4 【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键． 能力提升 一、单选题 1．下列实数中，无理数的个数是（    ） ① 0.333 ②   ③   ④   ⑤6.18118111811118…… A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判断． 【详解】解：①②是有理数；③④⑤是无理数，无理数有3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数． 2．如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，整式的运算等，由数轴是上A、M、B的位置可得出，，，，再根据整式的运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴原点在A、M之间，， ∴，，， ∴运算结果一定是正数的是， 故选：A． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案． 【详解】解：A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项错误； D.，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方根和算术平方根的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 4．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的定义，先确定，，，的符号和大小关系，然后再根据每个式子的符号及绝对值的性质即可做出判断． 【详解】解： ， 选项错误， ， 和的符号相反， ， 选项错误， ， ， 选项错误， ， 选项正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，利用数形结合思想，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出是解题关键． 5．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用绝对值以及数轴的性质以及实数的运算进行判断即可； 【详解】由数轴可知-4＜a＜-3，-1＜b＜0，4＜c＜5； A、∵-4＜a＜-3，∴ ，故此选项不符合题意； B、∵b＜c，∴b-c＜0，故此选项不符合题意； C、∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，故此选项符合题意； D、∵-4＜a＜-3，4＜c＜5，∴-5＜-c＜-4，∴ a＞-c，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值以及数轴的性质以及实数的运算，正确掌握数轴的性质是解题的关键． 6．若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，化简绝对值，根据绝对值的性质与不等式的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，故A不符合题意； ∵， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：B 7．已知，若n为整数，且，则n的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算以及算术平方根，利用夹逼法比较是关键．根据，得到即可比较． 【详解】解：， ， 整数满足： ， 故选：B． 8．定义一种变换f：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若某一序列S0，经变换得到新序列S1，由序列S1继续进行变换得到S2，…，最终得到序列Sn﹣1（n≥2）与序列Sn相同，则下面的序列可作为Sn的是（　　） A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3） C．（1，1，2，2，3） D．（3，2， 3，3，2） 【答案】D 【分析】根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择． 【详解】解：根据题意可知，Sn﹣1（n≥2）和Sn相同， 若A选项作为Sn﹣1，变换后为Sn：（2，3，2，3，3），与Sn﹣1不同，故排除． 若B选项作为Sn﹣1，变换后为Sn：（3，3，3，2，2）与Sn﹣1不同，故排除． 同理C选项变换后为Sn：（2，2，2，2，1），与Sn﹣1不同，故排除． 故选D． 【点睛】属于规律型：数字的变化类，读懂题目中的变化规律是解题的关键. 二、填空题 9．写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】2/3/4 【分析】利用估算无理数大小的逼近方法，求出 和的范围，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ∴比大且比小的整数为：2或3或4． 故答案为：2或3或4（写其一即可）． 【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关键． 10．根据下表估计269的平方根是 （精确到0.1）． x 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 x2 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 【答案】 【分析】根据可知，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴269的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确根据题意得到是解题的关键． 11．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，由于i4n＝（i4）n＝1n＝1，i4n+1＝i4n•i＝1•i＝i同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，那么i6＝ ；i2017＝ . 【答案】 ﹣1 i   【分析】由i2＝﹣1，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，可得i6＝i2•i4＝﹣1，i2017＝i2016•i＝（i4）504•i＝i. 【详解】解：∵i2＝﹣1，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1， ∴i6＝i2•i4＝﹣1， i2017＝i2016•i＝（i4）504•i＝i， 故答案为﹣1，i. 【点睛】本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方的应用以及新定义新数“i”等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目. 三、解答题 12．计算： 【答案】 【分析】，，，然后混合运算求解即可． 【详解】 ． 【点睛】此题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是． 13．若a、b、c都是有理数，，且，求的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值的性质得到，分和两种情况，根据有理数的运算法则计算． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ； 当时， ∵， ∴， ， 综上所述，的值为或； 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，有理数的乘法，有理数的减法，掌握有理数的相关运算法则是解题的关键． 14．从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） 【答案】问题一：4更大；问题二：是无理数；问题三：是正整数；问题四：无理数比有理数“多”，理由见解析 【分析】本题考查了实数比较大小，有理数，无理数，正整数， 问题一：计算出圆周长与直径的比值直接与4比较大小即可； 问题二：根据无理数的概念，开立方开不尽的数即可判断； 问题三：可以不妨取计算进行判断； 问题四：通过研究两个有理数之间可以找到无数个无理数来进行判断． 【详解】解：问题一：圆周长与直径的比值为：， ， 圆周长与直径的比值与4比较，4更大； 问题二：开立方，开不尽，故是无理数， 问题三：均为正整数，且， 不妨取， ， 为正整数， 是正整数； 问题四：在实数轴上，有理数和无理数都是密集分布的，但有理数的数量是可数的，无理数的数量是“不可数”的，即无理数的数量比有理数的数量“多”，这里的“多”是从“可数”与“不可数”来比较的． $$