专题03 有理数的相关的概念（竞赛教程讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题03 有理数的相关概念 真题重现 （2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 考点突破 一、正数与负数 【学霸笔记】 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1. 一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2. 0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3. 判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 【典例】（七年级上·江西·竞赛）下列各有理数中，属于正数的有（    ） ①0.01；②；③15的绝对值；④0；⑤；⑥-2.333的相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先把需要化简的数进行化简，再根据正数定义进行判断，即可得到结果． 【详解】解：∵，-2.333的相反数是2.333， ∴正数有：①③⑥， 故选：C． 【点睛】本题考查正数、绝对值、相反数，正确理解相关定义是解题的关键． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）某人从地去地，以每分钟米的速度行进，他先前进米，再后退米，又前进米，再后退米…… (1)小时后他离地多远？ (2)若、两地相距米，他可能到达地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由． 二、有理数的分类 【学霸笔记】 根据有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键． 分别用列举法确定为整数的的值，然后取公共部分即可解答． 【详解】解：∵为整数时， ∴可取； ∵为整数时， ∴可取， ∴当为整数时，可取值为共两个． 故选C． 【巩固】把下列各数填入相应的大括号里．，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣0.010010001…，﹣7，3.1415，π， 0，，0.03，﹣3，10，﹣0.， 正分数集合{　 　…}； 正数集合 {　 　…}； 整数集合 {　 　…}； 非正数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}； 自然数集合{　 　…}． 三、数轴与绝对值 【学霸笔记】 1. 数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2. 数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 3. 利用数轴比较有理数的大小 （1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 4. 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 【典例】如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d． （1）若c与d互为相反数，则a＝　　； （2）若d﹣2b＝8，那么点C对应的数是　　； （3）若abcd＜0，a+b＞0，求|a﹣2b|+|b+c|﹣3+|c﹣7|+|d﹣a|的取值范围． 【分析】（1）由c与d互为相反数，CD之间的距离为4，所以CD的中点为原点，点A到原点的距离为8，位于原点的左侧，即a＝﹣8； （2）由BD＝7，d﹣2b＝8得点B到原点的距离为1，且位于原点的左侧，点C位于原点的右侧，距离2个单位长度，即点C对应的数为2； （3）由a+b＞0得a＞0＞b，且|a|＞|b|，﹣1.5＜a＜0，再由abcd＜0求得d＞c＞b＞0＞a，再根据数轴上点的位置得b＝a+3，c＝a+6，d＝a+10，最后去绝对值，合并同类项，求解不等式得． 【解答】解：（1）如图所示： ∵c与d互为相反数， ∴CD＝4，O为原点， ∴|OA|＝8， ∴a＝﹣8； （2）如图2所示： ∵BD＝7，d﹣2b＝8， ∴b＝﹣1， ∴点B向右移动一个单位长度是原点， 又∵OC＝2，点C在原点的右侧， c＝2 （3）如图3所示： ∵a+b＞0， ∴b＞0＞a，且|b|＞|a|，﹣1.5＜a＜0， ∴a﹣2b＜0， 又∵abcd＜0， ∴d＞c＞b＞0＞a， ∴b+c＞0，c﹣7＜0，d﹣a＞0． 由图可知： b＝a+3，c＝a+6，d＝a+10， |a﹣2b|+|b+c|﹣3+|c﹣7|+|d﹣a| ＝2b﹣a+b+c﹣3+7﹣c+d﹣a ＝3b﹣2a+d+4 ＝3（a+3）﹣2a+（a+10）+4 ＝2a+23， ∵﹣1.5＜a＜0， ∴20＜2a+23＜23． 【点评】本题综合考查了数轴的三要素，数轴上的点与实数的对应关系，去绝对值的方法，数轴上何意两点对应两个数的和差值的正负性，求代数式的取值范围等相关知识点，难点是求代数式的取值范围． 【巩固】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且点C到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点． 例如：如图①，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点． （1）点A表示的数是1，点B表示的数是2，点C表示的数为5，点B是否为{C，A}的奇点？请说明理由； （2）如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．表示数　　的点是{M，N}的奇点；表示数 　的点是{N，M}的奇点； （3）如图③，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？ 四、相反数与倒数 【学霸笔记】 1. 相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2. 相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3 相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4. 相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 5. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 6. 求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 7. 化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）已知互为倒数，互为相反数，的绝对值为2014，则代数式的值为 ． 【答案】2013或 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，根据题意，，计算即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由题可得：  ， 或 ①  原式；           ②  原式， 故的值是2013或， 故答案为：2013或． 【巩固】已知互为相反数，互为倒数，则 ． 模拟演练 1．（2024七年级·全国·竞赛）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（    ） A．2 B．2或10 C．6或10 D．6 3．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024九年级·全国·竞赛）在数轴上，区域关于原点对称的区域是 ． 5．（2024七年级·全国·竞赛）若则满足条件的整数的值共有 个． 6．（2024七年级·全国·竞赛）数轴上点表示的数是点表示的数是，则线段的中点表示的数是 ． 7．（2024七年级·全国·竞赛）将1，2，3，…，2011这2011个数随意排成一列，在相邻的两个数之间添上“”或“”号，所得结果记为，那么的最小值是 ． 8．（2024七年级·全国·竞赛）已知，，代数式的最小值为 ． 9．（2024七年级·全国·竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 10．（七年级上·广东惠州·竞赛）用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数、（，），有，已知，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题03 有理数的相关概念 真题重现 （2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查数轴和有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，先根据数轴，求出的取值范围，依此确定的取值范围，再去绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴得： ∴，，，， ∴， 故答案为：2． 考点突破 一、正数与负数 【学霸笔记】 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1. 一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2. 0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3. 判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 【典例】（七年级上·江西·竞赛）下列各有理数中，属于正数的有（    ） ①0.01；②；③15的绝对值；④0；⑤；⑥-2.333的相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先把需要化简的数进行化简，再根据正数定义进行判断，即可得到结果． 【详解】解：∵，-2.333的相反数是2.333， ∴正数有：①③⑥， 故选：C． 【点睛】本题考查正数、绝对值、相反数，正确理解相关定义是解题的关键． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）某人从地去地，以每分钟米的速度行进，他先前进米，再后退米，又前进米，再后退米…… (1)小时后他离地多远？ (2)若、两地相距米，他可能到达地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由． 【答案】(1)小时后，这个人离地米． (2)能到达地，需要分钟． 【分析】本题考查了有理数加法的应用，读懂题意，找出规律，准确进行计算是解答本题的关键． （1）根据题意，小时共行（米），，当时，，由此得到答案． （2）由，得到他走的总路程是，再由路程、速度、时间的关系，求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 小时共行（米）， 又， 当时，， （米）， 答：小时后，这个人离地米． （2） ， 他走的总路程是： ， ， ， （米） （分钟）， 答：能到达地，需要分钟 二、有理数的分类 【学霸笔记】 根据有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键． 分别用列举法确定为整数的的值，然后取公共部分即可解答． 【详解】解：∵为整数时， ∴可取； ∵为整数时， ∴可取， ∴当为整数时，可取值为共两个． 故选C． 【巩固】把下列各数填入相应的大括号里．，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣0.010010001…，﹣7，3.1415，π， 0，，0.03，﹣3，10，﹣0.， 正分数集合{　 　…}； 正数集合 {　 　…}； 整数集合 {　 　…}； 非正数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}； 自然数集合{　 　…}． 【分析】根据各自的定义判断即可得到结果． 【解答】解：正分数集合{ ，3.1415，，0.03，…}； 正数集合 {260，，3.1415，π，，0.03，10，…}； 整数集合 { 260，﹣2009，﹣7，0，10，}； 非正数集合{，﹣3.14，﹣2009，﹣0.010010001…，﹣7，0，﹣3，﹣0.，}； 有理数集合{，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣7，3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.， …}； 自然数集合{260，0，10，…}． 故答案为：，3.1415，，0.03；260，，3.1415，π，，0.03，10；260，﹣2009，﹣7，0，10，；，﹣3.14，﹣2009，﹣0.010010001…，﹣7，0，﹣3，﹣0.，；，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣7，3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，；260，0，10． 【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 三、数轴与绝对值 【学霸笔记】 1. 数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2. 数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 3. 利用数轴比较有理数的大小 （1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 4. 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 【典例】如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d． （1）若c与d互为相反数，则a＝　　； （2）若d﹣2b＝8，那么点C对应的数是　　； （3）若abcd＜0，a+b＞0，求|a﹣2b|+|b+c|﹣3+|c﹣7|+|d﹣a|的取值范围． 【分析】（1）由c与d互为相反数，CD之间的距离为4，所以CD的中点为原点，点A到原点的距离为8，位于原点的左侧，即a＝﹣8； （2）由BD＝7，d﹣2b＝8得点B到原点的距离为1，且位于原点的左侧，点C位于原点的右侧，距离2个单位长度，即点C对应的数为2； （3）由a+b＞0得a＞0＞b，且|a|＞|b|，﹣1.5＜a＜0，再由abcd＜0求得d＞c＞b＞0＞a，再根据数轴上点的位置得b＝a+3，c＝a+6，d＝a+10，最后去绝对值，合并同类项，求解不等式得． 【解答】解：（1）如图所示： ∵c与d互为相反数， ∴CD＝4，O为原点， ∴|OA|＝8， ∴a＝﹣8； （2）如图2所示： ∵BD＝7，d﹣2b＝8， ∴b＝﹣1， ∴点B向右移动一个单位长度是原点， 又∵OC＝2，点C在原点的右侧， c＝2 （3）如图3所示： ∵a+b＞0， ∴b＞0＞a，且|b|＞|a|，﹣1.5＜a＜0， ∴a﹣2b＜0， 又∵abcd＜0， ∴d＞c＞b＞0＞a， ∴b+c＞0，c﹣7＜0，d﹣a＞0． 由图可知： b＝a+3，c＝a+6，d＝a+10， |a﹣2b|+|b+c|﹣3+|c﹣7|+|d﹣a| ＝2b﹣a+b+c﹣3+7﹣c+d﹣a ＝3b﹣2a+d+4 ＝3（a+3）﹣2a+（a+10）+4 ＝2a+23， ∵﹣1.5＜a＜0， ∴20＜2a+23＜23． 【点评】本题综合考查了数轴的三要素，数轴上的点与实数的对应关系，去绝对值的方法，数轴上何意两点对应两个数的和差值的正负性，求代数式的取值范围等相关知识点，难点是求代数式的取值范围． 【巩固】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且点C到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点． 例如：如图①，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点． （1）点A表示的数是1，点B表示的数是2，点C表示的数为5，点B是否为{C，A}的奇点？请说明理由； （2）如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．表示数　　的点是{M，N}的奇点；表示数 　的点是{N，M}的奇点； （3）如图③，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【分析】（1）求出BA和BC的长度，再根据奇点定义进行判断即可； （2）设所求数为x，根据奇点的定义列出方程x﹣（﹣3）＝3（5﹣x）或3[x﹣（﹣3）]＝5﹣x，解方程即可； （3）根据奇点的定义可知分4种情况：①P为{A，B}的关联点；②P为{B，A}的关联点，③A为{B，P}的奇点，④A为{P，B}的奇点，设点P表示的数为y，根据奇点的定义列出方程，进而得出P点运动多少个单位． 【解答】解：（1）点B是{C，A}的奇点，理由如下， 由题可知BA＝1，BC＝3， 所以BC＝3BA， 所以点B是{C，A}的奇点； （2）设所求数为x， 当数x是{M，N}的奇点时， 则x﹣（﹣3）＝3（5﹣x）， 解得x＝3； 当数x是{N，M}的奇点时， 则3[x﹣（﹣3）]＝5﹣x， 解得x＝﹣1． ∴数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点； 故答案为：3；﹣1； （3）设点P表示的数为y，分两种情况： ①P为{A，B}的奇点， 由题意，得y﹣（﹣50）＝3（30﹣y）， 解得y＝10； ②P为{B，A}的奇点， 由题意，得30﹣y＝3[y﹣（﹣50）]， 解得y＝﹣30； ③A为{B，P}的奇点， 由题意，得30﹣（﹣50）＝3（﹣50﹣y）， 解得y， ④A为{P，B}的奇点， 由题意，得﹣50﹣y＝3×80， 解得y＝﹣290， 综上可知，P点为数﹣30或10或或﹣290时，点P、点A和点B中恰有一个点为其余两点的奇点． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解奇点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 四、相反数与倒数 【学霸笔记】 1. 相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2. 相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3 相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4. 相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 5. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 6. 求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 7. 化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）已知互为倒数，互为相反数，的绝对值为2014，则代数式的值为 ． 【答案】2013或 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，根据题意，，计算即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由题可得：  ， 或 ①  原式；           ②  原式， 故的值是2013或， 故答案为：2013或． 【巩固】已知互为相反数，互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义和性质，倒数的性质的运用，有理数的乘方运算的综合，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． 根据题意可得，，再根据含有乘方的有理数的混合运算即可求解． 【详解】解：根据题意得，，， ∴原式 模拟演练 1．（2024七年级·全国·竞赛）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 【详解】解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（    ） A．2 B．2或10 C．6或10 D．6 【答案】A 【分析】先求出，再根据得到，解方程后把x的值代入验证即可．此题考查了去括号法则、相反数、绝对值方程等知识，得到方程是解题的关键． 【详解】解：∵有理数与互为相反数， ∴， ∵，， ∴， 解得或． 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴． 故选：A 3．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的性质，依据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质分类讨论，再解方程即可． 【详解】解：， 或（舍）， ， 故答案为：C. 4．（2024九年级·全国·竞赛）在数轴上，区域关于原点对称的区域是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上关于原点对称的点的特征，根据数轴上关于原点对称的点表示的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：∵关于原点对称的点表示的数为6，8关于原点对称的点表示的数为， ∴在数轴上，区域关于原点对称的区域是， 故答案为： 5．（2024七年级·全国·竞赛）若则满足条件的整数的值共有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是根据熟练掌握绝对值的意义，先根据，求出，从而得出，求出，即可求出整数m的值，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴整数只能等于0，1，2，3，4，5，共6个数． 故答案为：6． 6．（2024七年级·全国·竞赛）数轴上点表示的数是点表示的数是，则线段的中点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，熟练掌握中点公式是解答本题的关键．根据中点表示的数是两端点表示数和的平均数列式求解即可． 【详解】解：中点表示 ． 故答案为：． 7．（2024七年级·全国·竞赛）将1，2，3，…，2011这2011个数随意排成一列，在相邻的两个数之间添上“”或“”号，所得结果记为，那么的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数加减混合运算；连续的4个整数中最小的数为，，，，在相邻的两个数之间添上“”或“”号后，，由即可求求解；理解绝对值的非负性“”是解题的关键． 【详解】解：设连续的4个整数中最小的数为（）， 连续的4个整数中最小的数为，，，， 在相邻的两个数之间添上“”或“”号后， ， 即连续的4个整数可以凑0， ， ， 所以的最小值是0． 8．（2024七年级·全国·竞赛）已知，，代数式的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和是解题关键． 根据的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，结合，计算求值． 【详解】解：的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和， ∵，， ∴当时，的最小是， 故答案为：5． 9．（2024七年级·全国·竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 【答案】2016 【分析】本题考查了绝对值的计算；除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，划掉这样相邻的两个数，加上1，如此操作，可得这列数为：708个1与2016；这708个1，每两个一组划掉，最后剩下两个数为0，2016，故可求得最后剩下的这个最大数． 【详解】解：由运算规律可知，要使最后剩下的一个数最大，则除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，其“绝对差”为1，划掉这样相邻的两个数，加上整数1，共加上707个1，这样的一列数为：708个1与2016，这708个1，每两个一组划掉，其“绝对差”均为0，故最后剩下的两个数为0与2016，2016与0的“绝对差”为2016， 故可最后剩下的这个最大数为2016． 故答案为：2016． 10．（七年级上·广东惠州·竞赛）用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数、（，），有，已知，求的值 【答案】 【分析】根据新定义列出方程，进而根据绝对值的意义，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得，      ∵ ∴ 解得,,即 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解绝对值方程，根据题意化简方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$