精品解析：辽宁省营口市第一中学2024-2025学年九年级上学期期中学情反馈数学试卷

辽宁省营口市第一中学2024−2025学年九年级上学期期中学情反馈数学试卷 （考试时间120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 2. 如果，那么的值为（ ） A. 2或-1 B. 0或1 C. 2 D. -1 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为任何一个不为零的数的零次方为1， 所以可得方程 解方程得x的值为2或-1， 但当x=-1时，x+1=0，无意义， ∴x=2． 故选：C 3. 若点A（3－m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（－3，2），则m，n的值为（ ） A. m=－6，n=－4 B. m=0，n=－4 C. m=6，n=4 D. m=6，n=－4 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数，则3－m=3，n+2=－2，解得：m=0，n=－4. 考点：原点对称 4. 如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与勾股定理，作垂线利用垂径定理是解题的关键． 过O分别作，垂足分别为F、E，连接；由垂径定理得F、E分别是的中点，得；设，由勾股定理求得；易得四边形为矩形，则，，由勾股定理得：，由半径相等可求得x的值，从而求得半径． 【详解】解：如图，过O分别作，垂足分别为F、E，连接； 由垂径定理知，F、E分别是的中点， ∵， ∴， ∴； 设，由勾股定理得； ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴． 故选：C． 5. 已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， ∴当对应的的值一定有， ∴一元二次方程的解的范围是． 故选：C． 6. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低( )元． A. 0.2或0.3 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【详解】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200． 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元． 根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200． 解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3． ∵200+＞200+， ∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 故选C． 7. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）﹒问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长宽关系得到长为，结合面积公式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，长为步， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 8. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出是解本题的关键．先根据含角的直角三角形的性质求出，再由旋转的性质得出，进而判断出，得出，求和即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 由旋转知，， ∵点，B，A在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 10. 如图，抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S正确的是（　　） A. （m2﹣4） B. m2﹣2 C. （4﹣m2） D. 2﹣m2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出A的坐标，设P关于x=1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，根据题意可知x1+x2=2，x1﹣x2=m，从而求出x1与x2的表达式． 【详解】∵y=﹣2x2+4x=y=﹣2（x－1）2+2， ∴抛物线的对称轴为：x=1，令y=0代入y=﹣2x2+4x， ∴0=﹣2x2+4x， ∴x=0或x=2， ∴A（2，0）， ∴OA=2，设P关于x=1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2， ∴． ∵抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度， ∴PQ=m， ∴x1﹣x2=m， ∴，解得：x1=，x2=． 把x1=代入y=﹣2x2+4x， ∴y=2﹣＜0， ∴在△PCD中，CD边上的高为：﹣2． ∵OA=CD=2， ∴S△PCD=×2×（）=﹣2． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出P的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出△PCD的面积． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 如图，在中，，，．将绕点旋转后得到△，则点的坐标为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用旋转的性质得到旋转后得到的直角三角形的两条直角边长，得到点A1的坐标. 【详解】解:在中，，，， ， 当绕点顺时针旋转后得到△，如图， △， ，， ； 当绕点逆时针旋转后得到△，如图， 同理：． 故答案为或． 【点睛】本题考查旋转的性质，解决问题的关键是掌握旋转前后的对应关系. 12. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点落在轴上，桥洞底部左边端点落在轴上，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得抛物线的顶点的坐标为，点坐标为，设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把代入求出的值，进而即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，点坐标为， 设抛物线的函数解析式为，把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 把代入得，， ∴桥洞离水面的高是米， 故答案为：． 13. 如图，是的弦，延长线交过点的切线于点，如果，则为______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键． 直接利用切线的性质得出度数，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出度数． 【详解】解：连接， ∵的延长线交过点的的切线于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为（），当点的对应点恰好落在的边上时，连接，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当点落在上时和当点落在上时，分别利用旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点落在上时，如下图，连接， 由旋转的性质，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②当点落在上时，如下图，连接， 由旋转的性质，可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形、勾股定理、旋转的性质直角三角形两锐角互余、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质以及等边三角形的判定与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）先移项，再利用配方法即可求出； （2）用公式法解方程即可； 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴有两个实数根， ∴， ． 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形的四个顶点都是格点，E点是格点，且在边上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）画格点F，并连且，使，且； （2）在线段上画一点M，连接，使； （3）直接写出（2）中线段的长度为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）把线段绕点顺时针旋转得到线段即可； （2）取格点, 连接交于点N ，连接并延长交于点,则点M即为所作； （3）设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图, 点即为所求； 【小问2详解】 如图，点即为所求； 由（1）作图可得，，， 又∵是矩形， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 设则 ， 在中， ， 即， 解得：， 故答案为：． 18. 已知关于x的方程有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为、，且，求a的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键是掌握根与系数之间的关系进行解题． （1）设，分两种情况讨论，①方程为一元一次方程，②方程为一元二次方程，那么有，根据即可求解； （2）设，，根据根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 设，则原方程化为：（2）， ①当方程（2）为一次方程时，即，． 若，方程（2）的解为，原方程的解为满足条件； 若，方程（2）的解为，方程为，此时方程无解，不满足条件； ． ②当方程为二次方程时，，则， 要使方程（2）有解，则， 解得：，此时原方程没有增根， 取值范围是且； 综上，的取值范围是且． 【小问2详解】 解：设，，则 则、是方程的两个实数根， 由韦达定理得：， ， ， 解得：或6， 又且， ． 19. 如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． （1）求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． （2）若饲养场的面积为平方米，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元一次不等组的求解，根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解合理取舍是解题的关键． （1）由得，即可得出答案； （2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：由图可知，, 长米， 米， ， ，且， ． 【小问2详解】 解：饲养场的面积为平方米， 则， 即， 解得， ， 舍去， ． 20. 某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． （1）求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） （2）如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． 【答案】（1） （2）①；②该航模飞机此次试飞能达到要求，见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式． （1）根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式； （2）①令，解方程求出的值，再把的值代入求出即可； ②当时，．求得．当时，．求得，再求出二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的性质求解即可． ，从而得出结论． 【小问1详解】 设关于的函数解析式为． 将和代入，得 解得 ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 ①解：令，则， 解得，（舍去）． 当时，． 答：飞机落到水平安全线时飞行的水平距离为． ②该航模飞机此次试飞能达到要求． 理由：当时，．解得． 当时，．解得． ∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． ∴，均在对称轴的左侧． ∵， ∴当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值是． ∵， ∴该航模飞机此次试飞能达到要求． 21. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）16 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，交于点， ， ，， ，，， ， 的半径为10， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 22. 如图，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点． 【数学思考】 （1）折痕的长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】； （3）如图，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】； （4）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 【答案】（1）3；（2），证明见解析；（3）；（4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中位线的性质求解即可； （2）连接，证即可得证； （3）先证，再设未知数，在中利用勾股定理建立方程即可； （4）分别求出和，利用三角形三边关系即可得解． 【详解】解：（1）∵是中点，点C和点A重合， ∴是中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3； （2），证明如下：连接， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （3）由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （4）如图，连接， 在中， ∵，， ∴， 由题意得 当点F在上时，最小，此时； 当点F在的延长线上时，最大，此时 ∴， 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在， （2）①； 【解析】 【分析】（1）根据定义可知，和谐点都在上，联立两直线解析式即可求解； （2）①根据题意可知二次函数与相切于点，据此即可求解； ②根据①得到解析式，根据二次函数图象的性质分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点， ∴和谐点都在上， ， 解得， 上的和谐点为； 【小问2详解】 解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ， 联立①②，得， ②， ， 其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， 时，函数的最小值为－1，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， 实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了新定义问题，两直线交点问题，一次函数与抛物线交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省营口市第一中学2024−2025学年九年级上学期期中学情反馈数学试卷 （考试时间120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么的值为（ ） A. 2或-1 B. 0或1 C. 2 D. -1 3. 若点A（3－m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（－3，2），则m，n的值为（ ） A. m=－6，n=－4 B. m=0，n=－4 C. m=6，n=4 D. m=6，n=－4 4. 如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 5. 已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 6. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低( )元． A. 0.2或0.3 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 7. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）﹒问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 9. 如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图，抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S正确的是（　　） A. （m2﹣4） B. m2﹣2 C. （4﹣m2） D. 2﹣m2 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 如图，在中，，，．将绕点旋转后得到△，则点的坐标为______． 12. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点落在轴上，桥洞底部左边端点落在轴上，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是______米． 13. 如图，是的弦，延长线交过点的切线于点，如果，则为______． 14. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为（），当点的对应点恰好落在的边上时，连接，则的长为______． 15. 如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是________． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形的四个顶点都是格点，E点是格点，且在边上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）画格点F，并连且，使，且； （2）在线段上画一点M，连接，使； （3）直接写出（2）中线段的长度为_______． 18. 已知关于x的方程有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为、，且，求a的值． 19. 如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． （1）求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． （2）若饲养场的面积为平方米，求的值． 20. 某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． （1）求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） （2）如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． 21. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 如图，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点． 【数学思考】 （1）折痕的长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】； （3）如图，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】； （4）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 23. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $