精品解析：江西省九江市一中、外国语学校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

九江外国语学校2024-2025学年度上学期第三次综合练习 九年级数学 一．选择题（每小题3分，共18分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知矩形ABCD，按以下步骤作图：①分别以点A、点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN分别交CD、AC、AB于点E、O、F．连接AE，CF．若，，则四边形AECF的周长为（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 16 6. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若，是方程的两个根，则________． 8. 我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为_______． 9. 如图，在菱形中，，，则的长为___________． 10. 观察一列有规律的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5…，它的第n个单项式是______． 11. 已知，则的值是________． 12. 如图，中，，，．动点M从点B出发，在边上以的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B运动，运动时间为，连接．当________时，是等腰三角形． 三、计算题（每小题6分，共30分） 13. 按照要求计算： （1）计算：； （2）解方程：； 14. 请用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，已知点E是正方形ABCD边AB的中点，画出CD的中点F； （2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形． 15. 为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都要随机选择其中的一条通过，某天早晨，该校美琦和雨清两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）美琦同学从A测温通道通过进入校园是______事件． （2）请用列表或画树状图的方法求美琦和雨清从不同类型测温通道通过进入校园的概率． 16. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点作轴，垂足为，连接，求的面积． 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，．点E、F、G分别在边、、上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足怎样的关系时，四边形是矩形，请说明理由． 19. 某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元． （1）求4月份售出B型小家电至少多少台？ （2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？ 20. 太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于，测得．若某一时刻的太阳光线垂直照射． （1）求钢架的长； （2）求太阳能电板的影子的长（结果保留小数点后两位）． 五、解答题（每题9分，共18分） 21. 为了加强未成年人思想道德建设，某校开展了“为家献爱心”活动．活动设置了四个项目供学生选择：A．为家人过生日，B．为家人做早餐，C．当一天小管家，D．与父母谈心．要求每个学生必须且只能选择一项参加，为了解全校选择各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是_____，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，项目B所占的百分比为，则_____，项目C所在扇形的圆心角α的度数为_____； （3）该校参加活动的学生共2400人，请你估计选择项目D的学生有多少人？ 22. 如图，已知在矩形中，，，点P从点B出发，沿射线方向一直运动．连接、，过点D作的高，设的长为x，的长为y．请解答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）根据函数表达式，在坐标系中画出函数图象，并写一条该函数的性质：________； （3）若，在图2中画出该图象，并直接写出当时x的取值范围________． 六、解答题（共12分） 23. （1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则= ； （2）如图2，在正方形中，点E使边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求证：； （3）在菱形中，，点E使边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G， ①线段与的数量关系是 ②若，E是的三等分点，则的面积为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江外国语学校2024-2025学年度上学期第三次综合练习 九年级数学 一．选择题（每小题3分，共18分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可． 【详解】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右， 因此，综合各选项，只有A选项符合； 故选A． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，幂的乘方，合并同类项等计算法则和二次根式的性质求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方，合并同类项，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上面往下看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：如图所示，俯视图为： 故选C． 【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是注意看到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示． 5. 如图，已知矩形ABCD，按以下步骤作图：①分别以点A、点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN分别交CD、AC、AB于点E、O、F．连接AE，CF．若，，则四边形AECF的周长为（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】依据MN垂直平分AC，可得AF＝CF，设AF＝CF＝x，则BF＝9−x，依据勾股定理即可得到AF＝CF＝5，同理可得AE＝CE＝5，即可得到四边形AECF的周长． 【详解】解：由题可得，MN垂直平分AC， ∴AF＝CF， 设AF＝CF＝x，则BF＝9−x， ∵∠B＝90°， ∴ ，即 ， 解得x＝5， ∴AF＝CF＝5， 同理可得，AE＝CE＝5， ∴四边形AECF的周长为20， 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质的运用，解决问题的关键是利用直角三角形的勾股定理列方程求解． 6. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴可得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．若，是一元二次方程的两根时，则有， ． 8. 我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为（，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及含特殊角的三角函数的计算．由四边形为菱形，，可得出，，，进一步可求出，则根据特殊三角函数可求出以及． 【详解】解：设与交于点O，如下图： ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 观察一列有规律的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5…，它的第n个单项式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式的系数与次数的变化，探索个数与系数、次数的关系的一般性规律即可． 【详解】解：第1个单项式中，系数为1，次数为1； 第2个单项式中，系数为3，，次数为2； 第3个单项式中，系数为5，，次数为3； 第4个单项式中，系数为7，，次数为4； 第5个单项式中，系数为9，，次数为5； 依次类推，可知第个单项式的系数为，次数为，单项式为 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式，数字规律的探究．解题的关键在于总结一般性规律． 11. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。 【详解】解： 当时，原式。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键。 12. 如图，中，，，．动点M从点B出发，在边上以的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B运动，运动时间为，连接．当________时，是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质，由题意可得，，，则，再分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，则， ∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：； 当时，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当或或时，是等腰三角形， 故答案为：或或． 三、计算题（每小题6分，共30分） 13. 按照要求计算： （1）计算：； （2）解方程：； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、解分式方程、二次根式的混合运算，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、绝对值，再计算加减即可得解； （2）先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得，， 解得，， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 14. 请用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，已知点E是正方形ABCD边AB的中点，画出CD的中点F； （2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形． 【答案】 （1）如图，点F即为所求； （2）如图，四边形AFCE即为所画的菱形． 【解析】 【分析】（1）连接AC,BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F，则点F即为所求； （2）连接AC，交BD于点O，延长AE交CD于点G，连接GO并延长交AB于点H，连接HC交BD于点F，则四边形AFCE即为所画的菱形． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查无刻度直尺作图，掌握正方形的性质和菱形的判定方法是解题的关键． 15. 为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都要随机选择其中的一条通过，某天早晨，该校美琦和雨清两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）美琦同学从A测温通道通过进入校园是______事件． （2）请用列表或画树状图的方法求美琦和雨清从不同类型测温通道通过进入校园的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有A，B，C三个通道，每位同学都可随机选择其中的一条通过， 小明从A通道通过的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由上图可知，共有9种等可能的结果，其中美琦和雨清从不同类型测温通道通过的有6种情况， 因此美琦和雨清从不同类型测温通道通过的概率是． 【点睛】本题考查主要考查了用树状图法或列表法求概率、概率公式等知识点，解题的关键是通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况数是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD． 【答案】 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE， ∴∠AEB＝∠ADC， ∴△ABE∽△ACD． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，根据BE＝BD，由等边对等角可得∠BED＝∠BDE，根据邻补角可得∠AEB＝∠ADC，即可证明△ABE∽△ACD． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点作轴，垂足为，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用； （1）把的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把的坐标代入反比例函数的解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出，边上的高是，代入三角形的面积公式即可． 【小问1详解】 解：∵点）在的图像上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∴ ∴ ∵点，在的图像上， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 以为底，则边上的高为， ∴， 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，．点E、F、G分别在边、、上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足怎样的关系时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2） 解：当时，四边形是矩形， 理由：∵，，， ∴， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，从而得出，推出，即可得证； （2）由三角形内角和定理得出，推出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元． （1）求4月份售出B型小家电至少多少台？ （2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？ 【答案】（1）4月份售出B型小家电至少50台；（2）两种型号的小家电都降价3元． 【解析】 【分析】（1）设4月份售出B型小家电x台，根据“销售这两种小家电共获利不少于800元”列出不等式并解答； （2）设两种型号的小家电都降价y元，根据“销售利润＝（售价﹣进价）×销售数量”列出方程并解答． 【详解】解：（1）设4月份售出B型小家电x台， 根据题意，得（50﹣40）×40+（40﹣32）x≥800． 解得x≥50． 答：4月份售出B型小家电至少50台； （2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意，得： 整理，得． 解得y1＝3，y2＝2.2． 为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意． 答：两种型号的小家电都降价3元． 【点睛】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． 20. 太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于，测得．若某一时刻的太阳光线垂直照射． （1）求钢架的长； （2）求太阳能电板的影子的长（结果保留小数点后两位）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，得，易证四边形是矩形，由矩形的性质得出，进而得出．在中，由，进而得．根据相似三角形的判定可证，由相似三角形的性质得出，把数值代入即可得出结果； （2）过点作于，证四边形是矩形，由矩形的性质得出，即，再根据，得出，进而得出，根据相似三角形的判定可证，由相似三角形的性质得出．在中，由勾股定理可得的长，进而得出的值． 【小问1详解】 解：如图， 由题意，得， ， 四边形是矩形， ， ， 又在中，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 答：钢架的长为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ， 答：太阳能电板的影子的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行投影是解题的关键． 五、解答题（每题9分，共18分） 21. 为了加强未成年人思想道德建设，某校开展了“为家献爱心”活动．活动设置了四个项目供学生选择：A．为家人过生日，B．为家人做早餐，C．当一天小管家，D．与父母谈心．要求每个学生必须且只能选择一项参加，为了解全校选择各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是_____，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，项目B所占的百分比为，则_____，项目C所在扇形的圆心角α的度数为_____； （3）该校参加活动的学生共2400人，请你估计选择项目D的学生有多少人？ 【答案】（1）200， 补全统计图如下： （2）20；162 （3）选择项目D的学生有720人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先用参加项目的人数除以所占的比例即可得样本容量，再求出参加项目的人数，即可补全统计图； （2）用参加项目的人数除以总人数即可得出的值，用乘以即可得出的值； （3）由样本估计总体的计算方法计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得，这次抽样调查的人数是（人）； 参加项目的人数为：（人）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：由题意得，，即， ； 故答案为：20，162； 【小问3详解】 解：由题意得，（人）， ∴选择D项目的学生有720人． 22. 如图，已知在矩形中，，，点P从点B出发，沿射线方向一直运动．连接、，过点D作的高，设的长为x，的长为y．请解答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）根据函数表达式，在坐标系中画出函数图象，并写一条该函数的性质：________； （3）若，在图2中画出该图象，并直接写出当时x的取值范围________． 【答案】（1） （2） 画出函数图象如下： 该函数随着的增大而增大； （3）画出函数图象如图： 或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质． （1）由矩形的性质可得，，即，再由即可得解； （2）画出函数图象，由函数图象即可得解； （3）画出函数图象，由函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵设的长为x，的长为y． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由图象可得：该函数随着的增大而增大； 【小问3详解】 解：联立，解得：或， ∴与的公共交点为和， 由图象可得：当时x的取值范围或． 六、解答题（共12分） 23. （1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则= ； （2）如图2，在正方形中，点E使边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求证：； （3）在菱形中，，点E使边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G， ①线段与的数量关系是 ②若，E是的三等分点，则的面积为 【答案】（1）； （2）如图，过点F作交于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，从而得到，即可得到； （2）过点F作交于点H，结合正方形的性质和旋转的性质证明，可得，，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，即可得证； （3）①过点F作，与的延长线交于点H，可证得，从而得到，，进而得到，，继而得到；②分两种情况讨论，即可． 【详解】∵矩形和矩形是全等矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）略 （3）①过点F作，与的延长线交于点H， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ②由①得：， ∴， ． ∵E是的三等分点， ∴分两种情况讨论：或． （i）当时， ∵，的底边，上的高相等， ∴； （ii）当时， ∴ 综上所述，的面积为或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点，并利用类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $