第01讲 实数（讲练）（6考点+21题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第一章 数与式 第01讲 实数（3~6分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类（高频考点） 考点二 实数的相关概念（高频考点） 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 考点四 实数比较大小 考点五 平方根、算术平方根、立方根 考点六 实数的运算（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 ►题型02 无理数估值 ►题型03 相反意义的量 命题点二 实数的分类 ►题型01 用数轴上的点表示数 ►题型02 数轴上两个点的距离 ►题型03 根据点数轴的位置判断正负问题 ►题型04 数轴上的动点问题 ►题型05 判断是否为相反数 ►题型06 化简多重符合 ►题型07 相反数的应用 ►题型08 求一个数的绝对值 ►题型09 化简绝对值 ►题型10绝对值非负性的应用 ►题型11 乘方运算 ►题型12 乘方的应用 命题点三 科学记数法与近似数 ►题型01 用科学记数法表示数 ►题型02 求一个数的近似数 命题点四 平方根、算术平方根、立方根 ►题型01 求一个数的算术平方根 ►题型02 利用算术平方根的非负性解题 ►题型03 求估算算术平方根的取值范围 ►题型04 已知一个数的平方根，求这个数 ►题型05 求一个数的立方根 命题点五 实数的运算 ►题型01 实数的运算 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 10年7考 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 近10年连续考查 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 10年8考 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 10年考 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 10年10考 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 10年10考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类（高频考点） 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 1．（2022·广东东莞·三模）在，，，，，这六个数中，负数的个数有（　　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先利用相反数、绝对值和乘方的意义计算出，，，然后根据实数的分类求解． 【详解】解：，，， 所以这六个数中，负数为，，． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的分类，有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了绝对值和相反数，熟知相关知识是解题的关键． 2．（2024·广东惠州·二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思为今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升，记作，那么温度下降记作 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果温度上升，记作，那么温度下降记作， 故选：B． 3．（2022·广东珠海·三模）下列各数中属于无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是整数，是有理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选C． 考点二 实数的相关概念（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 乘方 n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数， 乘方的结果叫做幂. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数. 规定：a0=1（a≠0） 1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数. 2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）. 3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆． 1．（2024·广东广州·三模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 故正确的是C选项， 故选C． 2．（2024·广东·模拟预测）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】A.，原说法错误，不符合题意； B. ，，则，说法正确； C. ，则，原说法错误，不符合题意； D. ，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2024·广东广州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数和绝对值，解题的关键是掌握相反数的定义．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：A中、和互为相反数，符合题意； B中、，不是互为相反数，故不符合题意； C中、，不是互为相反数，故不符合题意； D中、和不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值. 2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 1．（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 2．（2023·广东深圳·中考真题）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 3．（2023·广东·中考真题）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为； 故选B 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 考点四 实数比较大小 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 考点五 平方根、算术平方根、立方根 相关概念 概念 补充与拓展 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为√a，a叫做被开方数. 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，且它们互为相反数. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 立方根 如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 常见实数的平方根与立方根： 实数的非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 考点六 实数的运算（高频考点） 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. ( 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律． 2 . 在 实数 混合运算中不注意运算 顺序导致结果 错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号， 最 后算大括号． ) 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 1．（2024·广东湛江·一模）下列四个数中，负整数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的分类，根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：在、、0、中，是正整数，是负分数，0是整数，是负整数． 故选：D． 2．（2023·广东深圳·二模）下列各数中，是负数的是（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据有理数的分类，进行判断即可． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，本选项不符合题意； B、是负数，本选项符合题意； C、π是正数，本选项不符合题意； D、5是正数，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类，是解题的关键． 3．（2024·山东滨州·模拟预测）在有理数，，，中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的乘方和算术平方根，负数的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先化简绝对值，有理数的乘方和算术平方根，然后根据负数的概念求解即可． 【详解】解：，，， ∴负数有，共1个． 故选：A． 4．（2024·重庆·模拟预测），，π，中，有理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义． 根据有理数和无理数的定义进行判断即可得． 【详解】解：，， 根据题意可得有理数有，，，为无理数， 所以有理数有3个， 故选：C． ►题型02 无理数估值 1．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的意义，无理数的估算．先估算得出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 2．（2024·广东云浮·一模）若，且m，n是两个连续的整数，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，解题关键是找到与7相邻的两个为平方数的整数．由 可求m，n的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， 故选C 3．（2024·广东深圳·一模）估算的结果（    ） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行乘法计算，再进行无理数的估算即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选D． ►题型03 相反意义的量 1．（2024·广东东莞·模拟预测）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上温度记作“”，零下温度记作“”，由此求解． 【详解】解：气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为， 故选：C． 2．（2024·辽宁大连·二模）随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（    ） A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元 【答案】A 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，正确理解正、负数的意义是解题的关键．收入和支出相反，如果收入为正，那么负为支出，即可解决． 【详解】∵收入元记作元， ∴元表示支出元， 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）点A 在数轴上的位置如图所示，则点 A所表示的数的相反数是（   ）      A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、相反数，由数轴可得，点A所表示的数为，再由相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，点A所表示的数为， ∴点 A所表示的数的相反数是， 故选：B． 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 命题点二 实数的相关概念 ►题型01 用数轴上的点表示数 1．（2024·广东佛山·一模）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与互为相反数的是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数和数轴．根据相反数的定义和数轴的定义即可得出答案． 【详解】解：的相反数是， 表示的数与互为相反数的是点． 故选：D． 2．（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的定义求解即可． 【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，， ∴， ∴点B表示的数是， 故选：B． 【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 3．（2022·广东惠州·模拟预测）如图，在数轴上，点、分别表示、，且，若，则点表示的数为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】由结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数 【详解】解：∵ ∴，两点对应的数互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴点表示的数为， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程． 4．（2022·广东潮州·一模）如图，数轴上有三个点，点表示的数为2，点表示的数为，且，则点表示的数的整数部分为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用数轴上两点的距离求出，进而求得点C表示的数，再利用无理数的估算求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴点C表示的数为， ∵，即， ∴， ∴点表示的数的整数部分为1， 故选：A． ►题型02 数轴上两个点的距离 1．（2024·广东河源·二模）点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，先根据图形得到，表示出，再根据得出答案即可，数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，点所表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴点所表示的数， 故选：B． 2．（2024·广东揭阳·一模）一个光点沿数轴从点向左移动了4个单位长度到达点，若点表示的数是，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，只需要用点B表示的数加上移到的距离即可得到答案． 【详解】解：∵一个光点沿数轴从点向左移动了4个单位长度到达点，点表示的数是， ∴点所表示的数是， 故选：D． 3．（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数 【详解】解：∵ ∴，两点对应的数互为相反数， ∴可设表示的数为，则表示的数为， ∵ ∴， 解得：， ∴点表示的数为-3， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程． ►题型03 根据点数轴的位置判断正负问题 1．（2024·广东广州·一模）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（   ） （1）；（2）；（3） ；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查数轴，倒数，相反数和绝对值，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题．利用数形结合是解题的关键． 根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出，，根据有理数的乘法可判断（1）正确；根据相反数的定义可判断（2）；根据倒数的定义可判断（3）；根据绝对值的定义可判断（4）． 【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得，， ∴（1），正确； （2），正确； （3），错误； （4），正确． 故正确的3个， 故选：C． 2．（2024·山东聊城·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的特征、实数大小比较、绝对值的意义理解，逐项判断即可，根据数轴得出“，，”是解题的关键． 【详解】解：∵实数，在数轴上的对应点的位置如图所示， ∴，，， ∴，，则，故A成立， ，，则，故B不成立， ，故C不成立， ，故D不成立， 故选：A． 3．（2024·广东广州·一模）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算；由数轴可知，，然后利用实数的运算法则判断即可；熟知实数与数轴的对应关系并熟练的判断大小是关键． 【详解】解：由数轴可知， ，，，故A、C错误，D正确； ，故B错误； 故选：D． 4．（2024·广东江门·模拟预测）有理数在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，以及式子的符号，根据数轴上的数右边的比左边的大，判断出数的大小关系，进而判断出式子的符号，即可． 【详解】解：由图可知：，，故选项C正确； ∴，故选项A错误， ，故选项B正确； ，故选项D正确； 故选A． ►题型04 数轴上的动点问题 1．（2024·河北邯郸·三模）有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数与数轴，根据向左移动为减，向右移动为加可知上述过程为，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，用算式表示上述过程与结果为， 故选：A． 2．（2022·河北保定·一模）如图，现有A、B、C三点，在数轴上分别表示﹣2、0、4，三点在数轴上同时开始运动，点A向左运动，运动速度是2/s，点B、C都是向右运动，运动速度分别是3/s、4/s，甲、乙两名同学提出不同的观点．甲：5AC﹣6AB的值不变；乙：5BC﹣10AB的值不变．则下列选项中，正确的是（　　） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲乙均正确 D．甲乙均错误 【答案】A 【分析】设运动t秒，得到A、B、C三点运动后分别表示-2-2t、3t、4+4t，求出5AC-6AB，5BC-10AB，即可判断． 【详解】解：设运动t秒， ∵点A、B、C三点，在数轴上分别表示﹣2、0、4， ∴A、B、C三点，运动后分别表示-2-2t、3t、4+4t， ∴5AC-6AB=5（4+4t+2+2t）-6（3t+2+2t）=18，故5AC﹣6AB的值不变， ∴甲的说法正确； ∵5BC-10AB=5（4+4t-3t）-10（3t+2+2t）=-45t，故5BC﹣10AB的值改变， ∴乙的说法不正确； 故选：A． 【点睛】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，正确表示出三点运动后表示的数计算两点之间的距离是解题的关键． 3．（2024·山东青岛·模拟预测）已知多项式，次数是b，与互为相反数，在数轴上，点表示数，点表示数．    (1) ______， ______； (2)若小蚂蚁甲从点处以个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点处以个单位长度秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间写出解答过程 (3)若小蚂蚁甲和乙约好分别从，两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在时一起重新回到原出发点和，设小蚂蚁们出发时的速度为，与之间的关系如图其中表示时间单位秒，表示路程单位毫米 当时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有的代数式表示）； 当为______时，小蚂蚁甲乙之间的距离是．（请直接写出答案） 【答案】(1)， (2)秒或秒 (3)①；②或 【分析】（1）先根据多项式次数的定义求出b，再根据相反数的定义列式求出a； （2）分“遇到饭粒前、遇到饭粒后”两种情况，根据运动速度、方向列一元一次方程，解方程即可； （3）先计算出甲或乙开始返回时所行距离，进而判断时两者的运动方向，再根据时间、速度、路程之间的关系即可列式求解；分“返回前、返回后”两种情况，根据时间、速度、路程之间的关系列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：原多项式的次数为：， ， 与互为相反数， ， 即． 故答案为：，． （2）解：分两种情况： 遇到饭粒前，由题意得， 解得； 遇到饭粒后，由题意得， 解得． 甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间为秒或秒． （3）解：， ，即甲或乙爬行后开始返回， 当时， 甲或乙所走的最远路程：， ， 时，甲乙没有返回， 小蚂蚁甲与乙之间的距离为：； 当时， 甲或乙所走的最远路程：， 分两种情况： 甲乙返回前的距离是时：， 解得； 甲乙返回后的距离是时：， 解得； 故答案为：或． 【点睛】本题考查多项式的次数、相反数、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，有一定难度，根据题干描述抽象出一元一次方程，并且注意分情况讨论是解题的关键． 4．（2024·河北沧州·模拟预测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2． (1)第______次按键后，点 M正好到达原点； (2)第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少？ (3)第n次按键后，点M，N到达的点表示的数互为相反数，求n的值． 【答案】(1)3 (2)18 (3) 【分析】本题考查数轴，相反数，解一元一次方程，根据题意列出点M、N表示的数是本题的关键． （1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是，因为点M正好到达原点，所以，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少； （3）由题意得，M点表示的数是，N点表示的数是，因为点M，N到达的点表示的数互为相反数，所以，可解得n的值． 【详解】（1）解：设进行a次按键， 由题意得，M点表示的数是， 点M正好到达原点， ， 解得：，第3次按键后，点M正好到达原点， 故答案为：3； （2）解：第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为， ， 第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大18； （3）解：由题意得，第n次按键后，M点表示的数是，N点表示的数是， 点M，N到达的点表示的数互为相反数， ， 解得：． ►题型05 判断是否为相反数 1．（2024·广东深圳·三模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3和 B．3和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．利用相反数的定义判断． 【详解】解：3和不互为相反数，选项不符合题意； 3和互为相反数，选项符合题意； ，两个数不互为相反数，选项不符合题意； ，两个数不互为相反数，选项不符合题意． 故选：． 2．（2023·广东广州·模拟预测）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：A、与不是互为相反数，故A选项不符合题意； B、与不是互为相反数，故B选项不符合题意； C、与不是互为相反数，故C选项不符合题意； D、与，是互为相反数，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多重符号的化简，相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数． 3．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是 【答案】C 【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可． 【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确     B. 2与互为倒数，故选项B不正确；     C. 0的相反数是0，故选项C正确；     D. 2的绝对值是2，故选项D不正确． 故选C． 【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键． 4．（2021·广东深圳·二模）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．－4 和 B．和 4 C．－4 和－ D．4 和－4 【答案】D 【分析】根据相反数的概念进行判断即可． 【详解】解：4的相反数是-4， ∴互为相反数的是4与， 故选：D． 【点睛】本题考查相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题关键． ►题型06 化简多重符合 1．（2024·河南·模拟预测）下列式子的化简结果得5的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多重符号的化简，涉及相反数的意义，绝对值的意义；掌握相反数的意义是关键； 根据相反数的意义及绝对值的意义逐项计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 2．（2024·江苏泰州·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数中化简多重符号，逐项计算，即可解答，熟知相反数的概念是解题的关键． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误， 故选：C． 3．（2024·广东汕头·一模）下列互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查相反数和绝对值的定义，符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此逐项判断即可，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，所以和不是互为相反数，故选项不符合题意； B、，所以和互为相反数，故选项符合题意； C、，所以和不是互为相反数，故选项不符合题意； D、，所以和不是互为相反数，故选项不符合题意； 故选：B． 4．（2023·广东清远·一模）对于有理数，下列说法错误的是（    ） A．表示的相反数 B．化简的结果等于3 C．绝对值等于 D．与相等 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义及化简，绝对值的意义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，绝对值的意义可得答案． 【详解】解：，，， A，B，D正确． 故选：C． ►题型07 相反数的应用 1．（2024·广东·模拟预测）已知a与c互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，由相反数的定义得出，再逐项判断即可得出答案，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解此题的关键． 【详解】解：∵a与c互为相反数，且， ∴， A、的结果不确定，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·安徽安庆·三模）已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先根据代数式和的值互为相反数，建立分式方程，然后 解分式方程的步骤进行解方程，注意要验根，即可作答． 【详解】解：根据题意，， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 故x的值为． 故选：A． 3．（2023·内蒙古包头·三模）若a，b互为相反数，c的倒数是2，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是2，可得 ，代入即可求解． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∵c的倒数是2， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得，是解题的关键． 4．（2023·安徽蚌埠·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A．若a，b互为相反数，则 B．若，，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的性质，不等式的性质及互为相反数的两个数和为0直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：当a，b互为相反数时， ∵， ∴， ∴，故A正确， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确， ∵， ∴，故C正确， ∵，， ∴， ∴故D错误， 故选D； 【点睛】本题考查等式的性质，不等式的性质及互为相反数的两个数和为0，解题的关键是熟练掌握几个性质． ►题型08 求一个数的绝对值 1．（2024·广东·模拟预测）若，则a的值为（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据绝对值的含义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选D 2．（2024·广东揭阳·模拟预测）绝对值的相反数是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和相反数的定义，先求的绝对值，再求相反数即可． 【详解】解：∵的绝对值是，的相反数是， ∴绝对值的相反数是． 故选：A． 3．（2024·山东枣庄·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是相反数定义和绝对值的性质，解题的关键是掌握相反数定义和绝对值的性质． 先计算，再根据相反数：“只有符号不同的两个数”，进行判断即可． 【详解】解：， 2024的相反数是， 故选：B． 4．（2024·黑龙江绥化·一模）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数；正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：． ►题型09 化简绝对值 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的化简．根据题意得到，结合，可得，由绝对值的意义即可化简． 【详解】解：根据题意得到， ， ， ， 故选：D． 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　 ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据图形得到，，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：，， 原式． 故选：C． 3．（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的除法运算，根据数轴确定的大小，可把绝对值进行化简，再计算从而可得答案． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，∴，故选B． ►题型10绝对值非负性的应用 1．（2024·云南昭通·一模）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 【答案】17 【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性可得：，从而可得，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时， ∴的周长； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时， ∵， ∴不能组成三角形； 综上所述：的周长是17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 3．（2023·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算法则将原式化简，再根据非负数之和等于零，分别列方程求出、值，最后代值计算即可． 【详解】解： ∵，满足 ∴ ∴，， 原式． 【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式，算术平方根的非负性，分式的化简和非负数的性质，解题的关键是掌握分式混合运算法则和非负数的性质． 4．（2021·河南信阳·模拟预测）（1）如果，且，求的值； （2）已知、互为相反数，、互为倒数，的倒数等于它本身，则的值是多少？ （3）已知，求的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3） 【分析】（1）利用绝对值的性质分别得出，可能的值，进而得出答案； （2）直接利用相反数以及倒数的定义求出即可； （3）利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出，的值进而求出答案． 【详解】（1）由，， 解得：，， ， ①时，，此时， ②时，，此时， 因此的值为或； （2）、互为相反数， ， 、互为倒数， ， 的倒数等于它本身， ， 时，， 时，， 因此的值为或； （3）， 且， 且， ， 因此的值为． 【点睛】此题主要考查了代数式求值、偶次方和绝对值非负的性质以及倒数、相反数的定义等知识，正确掌握相关性质是解题关键． ►题型11 乘方运算 1．（2024·河北秦皇岛·一模）等于（    ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 2．（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是是理解题意，明确幂的形式．根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可． 【详解】 解：（，都为正整数， 则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数， ∴的最小值为：， ， ∴， ∴的最小值为：4 故选：B 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案． 此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得：，， 则． 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断B选项；根据含乘方的有理数的混合运算法则，先计算乘方，再计算乘法，可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项． 本题主要考查了同底数幂的乘法、有理数混合运算法则（含乘方）；合并同类项法则及幂的乘方运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，不是同类项，无法进行合并同类项，故A选项不符合题意； B、，故B选项符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、故D选项不符合题意． 故答案为：B． ►题型12 乘方的应用 1．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只． 故选：B． 2．（2023·河南信阳·二模）年月日，我国“羲和号”卫星，完成了全部在轨试验项目，实现了双超平台试验和科学载荷试验的工程目标，获取的数据有力支撑了太阳光谱科学研究，每天产生约原始数据这些数据已通过国家航天局指定网站，按照数据管理政策对外发布，被美国、法国、德国、日本、比利时、捷克、俄罗斯等国家科学家下载使用，显著提升了我国在空间科学领域的国际影响力，我们知道，，，，那么数据等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意运用乘方知识进行求解． 【详解】解： ， 故选：． 【点睛】此题考查了运用乘方运算解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识． 3．（2023·河南南阳·一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 4．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天 【答案】B 【分析】根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解． 【详解】解：绳结表示的数为 故选B 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解“满七进一”是解题的关键． 命题点三 科学记数法与近似数 ►题型01 用科学记数法表示数 1．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，岛屿周围的海域面积约170000平方公里，相当于五个台湾本岛面积．这里的“170000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：170000用科学记数法表示为． 故选：B． 2．（2024·湖北恩施·模拟预测）据悉，一季度本是航空运输淡季，恩施机场航空运输生产却呈现良好发展态势．“得益于2015年12月春秋航空开通恩施至上海直飞旅游航线，恩施航空市场增长势头非常明显，航空旅游客源也迅速增加．”恩施机场市场部相关负责人说，截至2016年3月31日，共完成旅客吞吐量106679人次，与去年同期相比增长．请将数106679用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：A 3．（2024·广东·模拟预测）“鸭嘴兽”被认为是世界上最奇怪的哺乳动物，因为它身上有许多怪异的特征：嘴里没有牙齿；汗液像牛奶；后脚有毒刺等，且最古老的鸭嘴兽于南美洲的6100万年前的地层被发现．将“6100万”用科学记数法表示为，其中n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法，为整数，进行表示即可． 【详解】解：6100万， ∴； 故选A． 4．（2024·广东·模拟预测）第19届亚运会于2023年9月在中国杭州成功举办，该届亚运会共征集了118个类别的176家企业，赞助金额超过44亿元．不管是赞助的金额，还是参与的企业数，都已经达到亚运会历史之最．将44 亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，先将44亿化为4400000000，再写成科学记数法的形式即可.用科学记数法表示数写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】， ． 故选：B． 5．（2021·广东广州·二模）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口共1411778724人．用科学记数法表示1411778724精确到亿位的近似值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“四舍五入”法和科学记数法的定义，即可得到答案． 【详解】解：1411778724≈， 故选B． 【点睛】本题主要考查近似数和科学记数法，掌握科学记数法的行形式：a×10n（1≤|a|＜10），是解题的关键． ►题型02 求一个数的近似数 1．（2024·湖北孝感·模拟预测）将有理数用四舍五入法精确到千位是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数及科学记数法，根据一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字到精确到的数位为止所有数字都是有效数字，根据精确度找出最后一位上的有效数字所在的数位，再写成科学记数法形式即可得到答案； 【详解】解：； 故答案为：C． 2．（2024·河北邢台·模拟预测）截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元．下列关于5.02亿说法正确的是（    ） A．5.02亿用科学记数法表示为 B．5.02亿 C．5.02亿是一个九位数 D．5.02亿精确到十万位 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法和精确度，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题的关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】A. 5.02亿用科学记数法表示为，原说法错误； B. 5.02亿，原说法错误； C. 5.02亿是一个九位数，说法正确； D. 5.02亿精确到百万位，原说法错误； 故选C． 3．（2024·山东泰安·二模）下列说法正确的有（　　） ①近似数7.4与7.40是一样的 ②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0 ③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0 ④由四舍五入法得到的近似数精确到千分位，有3个有效数字 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了近似数、有效数字和科学记数法，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位可判断①；根据一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字，可判断②③；根据科学记数法的定义和近似数的定义，可判断④． 【详解】解：①7.4精确到十分位，7.40精确到百分位，原说法错误； ②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0，说法正确； ③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0，说法正确； ④近似数精确到千位，有3个有效数字，故错误； 综上，正确的有②③； 故选：C． 命题点四 平方根、算术平方根、立方根 ►题型01 求一个数的算术平方根 1．（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．（2023·广东深圳·二模）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、不是无理数，故本选项不符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了无理数，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 3．（2023·广东广州·一模）关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等实数根， ∴， 解得： ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4．（2022·山东青岛·一模）的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先算出，再求算术平方根即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵3的算术平方根是， 故选D． 【点睛】本题考查算术平方根的计算，解题的关键是先求出9的算术平方根． ►题型02 利用算术平方根的非负性解题 1．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 【详解】解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：B． 2．（2021·四川内江·二模）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】利用非负数的性质，求出，的值，利用分类讨论的思想思考问题即可． 【详解】解：， 又，， ，， 当等腰三角形的边长为4，4，8时，不符合三角形的三边关系； 当等腰三角形的三边为8，8，4时，周长为20， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2022·广东汕头·二模）若a，b满足，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】首先根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得a、b的值，再把a、b的值代入代数式，即可求得其值． 【详解】解：，， 由a-1=0解得a=1 把a=1代入，得 ，得 解得b=-2 故 故选：C 【点睛】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性质是解决本题的关键． 4．（2022·广东梅州·一模）若，则（    ） A．11 B．1 C．－1 D．－11 【答案】B 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性质列方程即可求解． 【详解】解：，且， ， 解得，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的性质，算术平方根和绝对值的非负性，理解实数的相关性质是解本题的关键． ►题型03 求估算算术平方根的取值范围 1．（2023·重庆潼南·模拟预测）估计的运算结果应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题考查了实数的估算能力，关键是先计算该算式得，再进行估算． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）估计的值应在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的估值，不等式的运算等，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 根据乘法分配律运算出结果后，对二次根式进行估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 3．（2024·山东潍坊·一模）已知x是满足的整数，且使的值为有理数，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根的定义，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 根据x是满足的整数，则求出或5，分别代入找出符合结果是有理数的即可． 【详解】解：∵x是满足的整数 ∴或 ∴或5， 当时，是无理数，不符合题意舍； 当时，是有理数，符合题意， ∴， 故答案为：5． 4．（2024·山东菏泽·一模）已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 【答案】7 【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． ►题型04 已知一个数的平方根，求这个数 1．（2024·天津河北·模拟预测）计算的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】此题考查了平方根，根据平方根的意义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．（2024·广东中山·三模）已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 3．（2024·河北沧州·二模）已知，，则m等于（    ） A． B．6 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的求解方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义，可以知道，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】将代入原式，得 故选：D ． 4．（2024·宁夏银川·一模）若，则的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根的定义，先根据非负数的性质求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 故选C． ►题型05 求一个数的立方根 1．（2024·山东滨州·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．（2024·山东菏泽·一模）的相反数是（  ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根及求一个数的相反数，解题的关键是掌握立方根的运算法则及相反数的概念． 根据立方根的运算可知，再由相反数的定义即可解答． 【详解】解： ∴的相反数是． 故选：B． 3．（2024·江苏泰州·二模）的立方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：B 4．（2024·云南昭通·二模）一个正方体纸盒的体积为，它的棱长大约在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】D 【分析】此题是考查估算无理数的大小在实际生活中的应用，“夹逼法”估算方根的近似值是解题的关键． 可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意可知， 解得， ∵， ∴． 故选：D． 命题点四 实数的运算 ►题型01 实数的运算 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4(2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、零指数幂、含特殊角的三角函数值、负整数指数幂、化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则和性质是解题关键． （1）首先根据算术平方根、零指数幂、含特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则进行计算，然后相加减即可； （2）首先根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行运算，然后相加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 3．（2024·湖北·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数值和零指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则化简计算即可． 【详解】解：原式 05分层训练·巩固 基础巩固 1、 单选题 1．（2024·广东广州·中考真题）四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：A． 2．（2023·广东广州·中考真题）计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数等知识，化简多重符号，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 【详解】解：， 故选：B． 3．（2021·广东·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值． 【详解】∵，，且 ∴， 即，且 ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零． 4．（2024·广东·模拟预测）已知a与c互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，由相反数的定义得出，再逐项判断即可得出答案，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解此题的关键． 【详解】解：∵a与c互为相反数，且， ∴， A、的结果不确定，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（2024·广东·模拟预测）据国家邮政局发布我国今年第一季度邮政行业寄递包裹业务累计完成超万件，同比增长．将数据万用科学记数法表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故选：． 6．（2024·重庆大渡口·一模）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴； 故选D． 7．（2024·广东中山·三模）已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 8．（2024·广东广州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，幂的乘方，负整数指数幂，二次根数的乘法运算，根据相应法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算正确； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选：B． 9．（2024·广东河源·二模）点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，先根据图形得到，表示出，再根据得出答案即可，数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，点所表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴点所表示的数， 故选：B． 2、 填空题 10．（2024·广东惠州·模拟预测）某仓库运进小麦6吨，记为 吨，那么仓库运出小麦8吨应记为 吨． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数．根据互为相反意义的量，确定运出的符号是解决本题的关键．根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【详解】解：仓库运进小麦6吨，记为吨，那么仓库运出小麦8吨应记为吨， 故答案为：． 11．（2024·山东青岛·一模）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简，，，，然后再合并即可得出答案 【详解】解： ， 故答案为：2 12．（2024·广东广州·三模）随着疫情的结束，广州的游客人数越来越多．据统计，2024年“五·一”假期广州接待游客近11040000人次，再创新高．数11040000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了运用科学记数法表示较小数字的能力，运用科学记数法的定义进行求解，关键是能准确理解并运用该知识． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 19．（2024·广东惠州·一模）设n为正整数，若，则n的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵n为正整数，且， ∴， 故答案为：2． 13．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查非负性，勾股定理的逆定理，根据非负性，求出的值，再利用勾股定理逆定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴以a，b，c为边长的三角形的形状是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 3、 解答题 14．（2024·云南昆明·二模）计算：   【答案】6 【分析】先分别计算有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，正弦，然后进行加减运算即可 【详解】解：， 【点睛】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，正弦等知识熟练掌握有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，正弦是解题的关键 15．（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为 (2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有 【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决． （1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可； （2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可． 【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为， 则依题意得：，于是， ，得，即有：， ，得，即有：， 答：小明的速度为，爸爸的速度为． （2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有． 理由：爸爸跑到半圈所用时间为， 此时小明所跑路程为， 爸爸和小明的距离， 因此小明接下来追上爸爸所需时间， 追上时，小明的爸爸总路程， 因此小明能在400米终点前追上爸爸． 追上当时距离终点还有． 16．（20-21七年级上·重庆大足·期末）如图，在数轴上有两点A、B，所对应的数分别是a、b，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数．点C在点A左侧，到点A的距离是2个单位长度． （1）AB两点间的距离是 ． （2）点P、Q为数轴上两个动点，点P从A点出发速度为每秒2个单位长度，点Q从B点出发速度为每秒3个单位长度．若P、Q两点同时出发，相向而行，运动时间为t秒．求当t为何值时，点P与点Q之间的距离是6个单位长度？ （3）在（2）的条件下，在点P、Q运动的过程中，是否存在t值，使点Q到点A、点B、点C的距离之和为15，若存在，直接写出此时点P在数轴上所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）14；（2）t为或4；（3）存在，或 【分析】（1）由最大负整数、绝对值的意义，先求出a、b的值，即可得到答案； （2）先表示出点P和点Q的数，然后分类讨论：①点P与点Q相遇之前，Q在P的左边；②点P与点Q相遇之后，P在Q的左边；分别求出t的值即可； （3）在（2）的前提下，有两种情况进行分析：①当点Q运动到点C的左边时；②当点Q运动到点C的右边时；结合点Q到点A、点B、点C的距离之和为15，分别求出答案． 【详解】解：（1）∵是最大的负整数， ∴， ∴； ∵是绝对值最小的有理数， ∴， ∴； ∵点C在点A左侧，到点A的距离是2个单位长度， ∴点C表示的数是； ∴； 故答案为：14． （2）∵点P从A点出发速度为每秒2个单位长度，点Q从B点出发速度为每秒3个单位长度， ∴t秒时，，， 点P表示的数是，点Q表示的数是． 当时，分两种情况： ①点P与点Q相遇之前，Q在P的左边， ∵， ∴， 解得：． ②点P与点Q相遇之后，P在Q的左边， ∵， ∴，解得． 故当t为或4时，点P与点Q之间的距离是6个单位长度； （3）①当点Q运动到点C的左边时，有 ， 解得：， ∴点P表示的数为：； ②当点Q运动到点C的右边时，有 ， 解得：， ∴点P表示的数为：； 综合上述，点P在数轴上所表示的数为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，理解题意利用数形结合与分类讨论思想是解题的关键． 能力提升 4、 单选题 1．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 【详解】解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：B． 2．（2024·广东梅州·一模）实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，由数轴可得到，根据和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到． 【详解】解：根据题意，则， ∴，， ∴ = = =； 故选：B． 3．（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C 【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键． 4．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点是点的“倍增点”，则的最小值是． 其中，正确结论的个数是（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，则是点的“倍增点”； ∵，， ∴， ∴，则是点的“倍增点”； 故①正确，符合题意； ②设点， ∵点A是点的“倍增点”， ∴， 解得：， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③设抛物线上点是点的“倍增点”， ∴，整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； 故③正确，符合题意； ④设点， ∵点是点的“倍增点”， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值是， 故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解． 5．（2023·广东深圳·模拟预测）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为米，则应为（　　）    A． B．的算术平方根 C． D．的算术平方根 【答案】D 【分析】由纸张的宽为x米，表示出纸的宽和长，根据纸面积为1平方米求出x的值即可． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为x米时，纸的宽为米， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为米， ∵纸面积为1平方米， ∴， ∴， ∴x的值为的算术平方根． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出A0的长宽是解题关键． 二、填空题 6．（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可． 【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 7．（2021·广东湛江·一模）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为 ．    【答案】1 【分析】依次求出前六次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：当时，第一次输出， 当时，第二次输出， 当时，第三次输出， 当时，第四次输出， 当时，第五次输出， 当时，第六次输出， … 故从第三次开始，奇数次输出5，偶数次输出1， 所以第2020次输出的结果为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了规律探索及求代数式的值；通过计算前六次输出的结果，得出数据循环的规律是解题的关键． 8．（22-23七年级上·福建泉州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，则 ． 【答案】3或/或3 【分析】先根据相反数的性质和倒数的定义及绝对值的性质得出，，或，再分别代入计算可得． 【详解】解：∵x、y互为相反数， ∴， ∵a、b互为倒数， ∴， ∵c的绝对值等于2， ∴或， 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数的性质和倒数的定义及绝对值的性质、有理数的混合运算顺序与运算法则． 9．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，即得，进而得，据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形，将对角线绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，先计算的长，再求出，再确定M点表示的数． 【详解】根据题意得：， ∴ ∵将对角线绕点B逆时针转动， ∴， ∴， ∵M点在原点O的左侧， ∴点M表示的数是， 故答案为：． 三、解答题 10．（2017·广东深圳·一模）已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动， （1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC=OB，求此时b的值； （2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB=AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）线段AC=OB，此时b的值是4；（2）若AC﹣OB=AB，满足条件的b值是或﹣5． 【详解】试题分析：（1）由题意可知B点表示的数比点C对应的数少3，进一步用b表示出AC、OB之间的距离，联立方程求得b的数值即可； （2）分别用b表示出AC、OB、AB，进一步利用AC-0B=AB建立方程求得答案即可． 试题解析：（1）由题意得： 11﹣（b+3）=b， 解得：b=4． 答：线段AC=OB，此时b的值是4． （2）由题意得： ①11﹣（b+3）﹣b=（11﹣b）， 解得：b=． ②11﹣（b+3）+b=（11﹣b）， 解得：b=﹣5． 答：若AC﹣OB=AB，满足条件的b值是或﹣5． 11．（2024·河北沧州·模拟预测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2． (1)第______次按键后，点 M正好到达原点； (2)第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少？ (3)第n次按键后，点M，N到达的点表示的数互为相反数，求n的值． 【答案】(1)3 (2)18 (3) 【分析】本题考查数轴，相反数，解一元一次方程，根据题意列出点M、N表示的数是本题的关键． （1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是，因为点M正好到达原点，所以，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少； （3）由题意得，M点表示的数是，N点表示的数是，因为点M，N到达的点表示的数互为相反数，所以，可解得n的值． 【详解】（1）解：设进行a次按键， 由题意得，M点表示的数是， 点M正好到达原点， ， 解得：，第3次按键后，点M正好到达原点， 故答案为：3； （2）解：第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为， ， 第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大18； （3）解：由题意得，第n次按键后，M点表示的数是，N点表示的数是， 点M，N到达的点表示的数互为相反数， ， 解得：． 12．（2024·北京朝阳·一模）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的组装顺序运算时间即可； （2）让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，排出顺序即可． 【详解】（1）解：甲先拼接用9分钟，然后乙再给上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，（分），还剩下的时间给拼接2分钟，这时还需要（分），乙开始给上色又花了7分钟，这7分钟甲给拼接，还留有（分），这3分钟甲给拼接，在乙完成的上色时甲给口拼接还需要（分），此时乙给上色9分钟，甲就能把拼接完了，最后乙再给上色； 综上所述，总时长为（分）； 故答案为：． （2）解：要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，所以制作的顺序应该是：； 故答案为：． 32．（2024·贵州遵义·二模）规定（n为正整数）为二次函数的“函系数”， 如：当时，的“函系数”为； 当时，的“函系数”为； 设二次函数与x轴的交点分别为（点在的左边）． (1)当时，对应的二次函数的解析式为 ； (2)求点的坐标（用含n的式子表示）． (3)当时，二次函数与直线的一个交点为（点不在y轴上）．判断线段和线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了新定义，抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，当时，“函系数”为，进而可以得解； （2）依据题意，当 时，，从而解得：，，进而得解； （3）依据题意，由（2）知，则，从而，又当 时，故，，又点 不在轴上，故，，最后可得，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，“函系数”为， ． 故答案为：． （2）解：由题意，当时，． 解得：，． 点， 的坐标分别为，． （3）解：，理由如下： 由（2）知，则． ． 当 时， ，． 点 不在轴上， ． ． ． ． $$第一章 数与式 第01讲 实数（3~6分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类（高频考点） 考点二 实数的相关概念（高频考点） 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 考点四 实数比较大小 考点五 平方根、算术平方根、立方根 考点六 实数的运算（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 ►题型02 无理数估值 ►题型03 相反意义的量 命题点二 实数的分类 ►题型01 用数轴上的点表示数 ►题型02 数轴上两个点的距离 ►题型03 根据点数轴的位置判断正负问题 ►题型04 数轴上的动点问题 ►题型05 判断是否为相反数 ►题型06 化简多重符合 ►题型07 相反数的应用 ►题型08 求一个数的绝对值 ►题型09 化简绝对值 ►题型10绝对值非负性的应用 ►题型11 乘方运算 ►题型12 乘方的应用 命题点三 科学记数法与近似数 ►题型01 用科学记数法表示数 ►题型02 求一个数的近似数 命题点四 平方根、算术平方根、立方根 ►题型01 求一个数的算术平方根 ►题型02 利用算术平方根的非负性解题 ►题型03 求估算算术平方根的取值范围 ►题型04 已知一个数的平方根，求这个数 ►题型05 求一个数的立方根 命题点五 实数的运算 ►题型01 实数的运算 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 10年7考 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 近10年连续考查 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 10年8考 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 10年考 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 10年10考 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 10年10考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类（高频考点） 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 1．（2022·广东东莞·三模）在，，，，，这六个数中，负数的个数有（　　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024·广东惠州·二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思为今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升，记作，那么温度下降记作 (    ) A． B． C． D． 3．（2022·广东珠海·三模）下列各数中属于无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 考点二 实数的相关概念（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 乘方 n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数， 乘方的结果叫做幂. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数. 规定：a0=1（a≠0） 1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数. 2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）. 3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆． 1．（2024·广东广州·三模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值. 2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 1．（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东深圳·中考真题）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东·中考真题）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 考点四 实数比较大小 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 考点五 平方根、算术平方根、立方根 相关概念 概念 补充与拓展 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为√a，a叫做被开方数. 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，且它们互为相反数. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 立方根 如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 常见实数的平方根与立方根： 实数的非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 考点六 实数的运算（高频考点） 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. ( 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律． 2 . 在 实数 混合运算中不注意运算 顺序导致结果 错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号， 最 后算大括号． ) 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的分类 ►题型01 实数的分类 1．（2024·广东湛江·一模）下列四个数中，负整数是（    ） A． B． C．0 D． 2．（2023·广东深圳·二模）下列各数中，是负数的是（    ） A．0 B． C． D．5 3．（2024·山东滨州·模拟预测）在有理数，，，中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．（2024·重庆·模拟预测），，π，中，有理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ►题型02 无理数估值 1．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 2．（2024·广东云浮·一模）若，且m，n是两个连续的整数，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024·广东深圳·一模）估算的结果（    ） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 ►题型03 相反意义的量 1．（2024·广东东莞·模拟预测）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁大连·二模）随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（    ） A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元 3．（2024·广东·模拟预测）点A 在数轴上的位置如图所示，则点 A所表示的数的相反数是（   ）      A．2 B． C． D． 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 命题点二 实数的相关概念 ►题型01 用数轴上的点表示数 1．（2024·广东佛山·一模）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与互为相反数的是（    ） A．A B．B C．C D．D 2．（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（    ） A．2023 B． C． D． 3．（2022·广东惠州·模拟预测）如图，在数轴上，点、分别表示、，且，若，则点表示的数为（    ） A． B．0 C．3 D． 4．（2022·广东潮州·一模）如图，数轴上有三个点，点表示的数为2，点表示的数为，且，则点表示的数的整数部分为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 ►题型02 数轴上两个点的距离 1．（2024·广东河源·二模）点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·广东揭阳·一模）一个光点沿数轴从点向左移动了4个单位长度到达点，若点表示的数是，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D．2 3．（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（    ） A． B．0 C．3 D． ►题型03 根据点数轴的位置判断正负问题 1．（2024·广东广州·一模）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（   ） （1）；（2）；（3） ；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·山东聊城·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·一模）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东江门·模拟预测）有理数在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． ►题型04 数轴上的动点问题 1．（2024·河北邯郸·三模）有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（2022·河北保定·一模）如图，现有A、B、C三点，在数轴上分别表示﹣2、0、4，三点在数轴上同时开始运动，点A向左运动，运动速度是2/s，点B、C都是向右运动，运动速度分别是3/s、4/s，甲、乙两名同学提出不同的观点．甲：5AC﹣6AB的值不变；乙：5BC﹣10AB的值不变．则下列选项中，正确的是（　　） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲乙均正确 D．甲乙均错误 3．（2024·山东青岛·模拟预测）已知多项式，次数是b，与互为相反数，在数轴上，点表示数，点表示数．    (1) ______， ______； (2)若小蚂蚁甲从点处以个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点处以个单位长度秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间写出解答过程 (3)若小蚂蚁甲和乙约好分别从，两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在时一起重新回到原出发点和，设小蚂蚁们出发时的速度为，与之间的关系如图其中表示时间单位秒，表示路程单位毫米 当时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有的代数式表示）； 当为______时，小蚂蚁甲乙之间的距离是．（请直接写出答案） 4．（2024·河北沧州·模拟预测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2． (1)第______次按键后，点 M正好到达原点； (2)第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少？ (3)第n次按键后，点M，N到达的点表示的数互为相反数，求n的值． ►题型05 判断是否为相反数 1．（2024·广东深圳·三模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3和 B．3和 C．和 D．和 2．（2023·广东广州·模拟预测）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是 4．（2021·广东深圳·二模）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．－4 和 B．和 4 C．－4 和－ D．4 和－4 ►题型06 化简多重符合 1．（2024·河南·模拟预测）下列式子的化简结果得5的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏泰州·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东汕头·一模）下列互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（2023·广东清远·一模）对于有理数，下列说法错误的是（    ） A．表示的相反数 B．化简的结果等于3 C．绝对值等于 D．与相等 ►题型07 相反数的应用 1．（2024·广东·模拟预测）已知a与c互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽安庆·三模）已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（2023·内蒙古包头·三模）若a，b互为相反数，c的倒数是2，则的值为（    ） A． B． C． D．16 4．（2023·安徽蚌埠·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A．若a，b互为相反数，则 B．若，，则 C． D．若，则 ►题型08 求一个数的绝对值 1．（2024·广东·模拟预测）若，则a的值为（    ） A．2024 B． C． D． 2．（2024·广东揭阳·模拟预测）绝对值的相反数是（　　） A． B． C．2 D． 3．（2024·山东枣庄·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D．不能确定 4．（2024·黑龙江绥化·一模）的相反数是（　　） A． B． C． D． ►题型09 化简绝对值 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　 ） A． B． C．0 D．1 3．（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 4．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 ►题型10绝对值非负性的应用 1．（2024·云南昭通·一模）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 2．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 3．（2023·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中，满足． 4．（2021·河南信阳·模拟预测）（1）如果，且，求的值； （2）已知、互为相反数，、互为倒数，的倒数等于它本身，则的值是多少？ （3）已知，求的值． ►题型11 乘方运算 1．（2024·河北秦皇岛·一模）等于（    ） A． B．2024 C． D．1 2．（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． ►题型12 乘方的应用 1．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 2．（2023·河南信阳·二模）年月日，我国“羲和号”卫星，完成了全部在轨试验项目，实现了双超平台试验和科学载荷试验的工程目标，获取的数据有力支撑了太阳光谱科学研究，每天产生约原始数据这些数据已通过国家航天局指定网站，按照数据管理政策对外发布，被美国、法国、德国、日本、比利时、捷克、俄罗斯等国家科学家下载使用，显著提升了我国在空间科学领域的国际影响力，我们知道，，，，那么数据等于（   ） A． B． C． D． 3．（2023·河南南阳·一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天 命题点三 科学记数法与近似数 ►题型01 用科学记数法表示数 1．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，岛屿周围的海域面积约170000平方公里，相当于五个台湾本岛面积．这里的“170000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北恩施·模拟预测）据悉，一季度本是航空运输淡季，恩施机场航空运输生产却呈现良好发展态势．“得益于2015年12月春秋航空开通恩施至上海直飞旅游航线，恩施航空市场增长势头非常明显，航空旅游客源也迅速增加．”恩施机场市场部相关负责人说，截至2016年3月31日，共完成旅客吞吐量106679人次，与去年同期相比增长．请将数106679用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）“鸭嘴兽”被认为是世界上最奇怪的哺乳动物，因为它身上有许多怪异的特征：嘴里没有牙齿；汗液像牛奶；后脚有毒刺等，且最古老的鸭嘴兽于南美洲的6100万年前的地层被发现．将“6100万”用科学记数法表示为，其中n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2024·广东·模拟预测）第19届亚运会于2023年9月在中国杭州成功举办，该届亚运会共征集了118个类别的176家企业，赞助金额超过44亿元．不管是赞助的金额，还是参与的企业数，都已经达到亚运会历史之最．将44 亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2021·广东广州·二模）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口共1411778724人．用科学记数法表示1411778724精确到亿位的近似值为（    ）． A． B． C． D． ►题型02 求一个数的近似数 1．（2024·湖北孝感·模拟预测）将有理数用四舍五入法精确到千位是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邢台·模拟预测）截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元．下列关于5.02亿说法正确的是（    ） A．5.02亿用科学记数法表示为 B．5.02亿 C．5.02亿是一个九位数 D．5.02亿精确到十万位 3．（2024·山东泰安·二模）下列说法正确的有（　　） ①近似数7.4与7.40是一样的 ②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0 ③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0 ④由四舍五入法得到的近似数精确到千分位，有3个有效数字 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 命题点四 平方根、算术平方根、立方根 ►题型01 求一个数的算术平方根 1．（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 2．（2023·广东深圳·二模）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东广州·一模）关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·山东青岛·一模）的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D． ►题型02 利用算术平方根的非负性解题 1．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2021·四川内江·二模）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 3．（2022·广东汕头·二模）若a，b满足，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2022·广东梅州·一模）若，则（    ） A．11 B．1 C．－1 D．－11 ►题型03 求估算算术平方根的取值范围 1．（2023·重庆潼南·模拟预测）估计的运算结果应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）估计的值应在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 3．（2024·山东潍坊·一模）已知x是满足的整数，且使的值为有理数，则 ． 4．（2024·山东菏泽·一模）已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． ►题型04 已知一个数的平方根，求这个数 1．（2024·天津河北·模拟预测）计算的值为（    ） A． B． C．3 D．9 2．（2024·广东中山·三模）已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·河北沧州·二模）已知，，则m等于（    ） A． B．6 C． D．或 4．（2024·宁夏银川·一模）若，则的平方根是（    ） A．2 B． C． D． ►题型05 求一个数的立方根 1．（2024·山东滨州·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D．3 2．（2024·山东菏泽·一模）的相反数是（  ） A．4 B． C．2 D． 3．（2024·江苏泰州·二模）的立方根为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·云南昭通·二模）一个正方体纸盒的体积为，它的棱长大约在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 命题点四 实数的运算 ►题型01 实数的运算 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）计算： (1)； (2)． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 3．（2024·湖北·模拟预测）计算：． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）计算：． 05分层训练·巩固 基础巩固 1、 单选题 1．（2024·广东广州·中考真题）四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．10 2．（2023·广东广州·中考真题）计算：（ ） A． B． C． D． 3．（2021·广东·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D．9 4．（2024·广东·模拟预测）已知a与c互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广东·模拟预测）据国家邮政局发布我国今年第一季度邮政行业寄递包裹业务累计完成超万件，同比增长．将数据万用科学记数法表示为（      ） A． B． C． D． 6．（2024·重庆大渡口·一模）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 7．（2024·广东中山·三模）已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东河源·二模）点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 2、 填空题 10．（2024·广东惠州·模拟预测）某仓库运进小麦6吨，记为 吨，那么仓库运出小麦8吨应记为 吨． 11．（2024·山东青岛·一模）计算： ． 12．（2024·广东广州·三模）随着疫情的结束，广州的游客人数越来越多．据统计，2024年“五·一”假期广州接待游客近11040000人次，再创新高．数11040000用科学记数法表示为 ． 19．（2024·广东惠州·一模）设n为正整数，若，则n的值为 ． 13．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ． 3、 解答题 14．（2024·云南昆明·二模）计算：   15．（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 16．（20-21七年级上·重庆大足·期末）如图，在数轴上有两点A、B，所对应的数分别是a、b，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数．点C在点A左侧，到点A的距离是2个单位长度． （1）AB两点间的距离是 ． （2）点P、Q为数轴上两个动点，点P从A点出发速度为每秒2个单位长度，点Q从B点出发速度为每秒3个单位长度．若P、Q两点同时出发，相向而行，运动时间为t秒．求当t为何值时，点P与点Q之间的距离是6个单位长度？ （3）在（2）的条件下，在点P、Q运动的过程中，是否存在t值，使点Q到点A、点B、点C的距离之和为15，若存在，直接写出此时点P在数轴上所表示的数；若不存在，请说明理由． 能力提升 4、 单选题 1．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东梅州·一模）实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 4．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点是点的“倍增点”，则的最小值是． 其中，正确结论的个数是（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023·广东深圳·模拟预测）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为米，则应为（　　）    A． B．的算术平方根 C． D．的算术平方根 二、填空题 6．（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 7．（2021·广东湛江·一模）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为 ．    8．（22-23七年级上·福建泉州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，则 ． 9．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ． 28．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形，将对角线绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是 ． 三、解答题 10．（2017·广东深圳·一模）已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动， （1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC=OB，求此时b的值； （2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB=AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由． 11．（2024·河北沧州·模拟预测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2． (1)第______次按键后，点 M正好到达原点； (2)第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少？ (3)第n次按键后，点M，N到达的点表示的数互为相反数，求n的值． 12．（2024·北京朝阳·一模）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 32．（2024·贵州遵义·二模）规定（n为正整数）为二次函数的“函系数”， 如：当时，的“函系数”为； 当时，的“函系数”为； 设二次函数与x轴的交点分别为（点在的左边）． (1)当时，对应的二次函数的解析式为 ； (2)求点的坐标（用含n的式子表示）． (3)当时，二次函数与直线的一个交点为（点不在y轴上）．判断线段和线段的数量关系，并说明理由． $$