专题01 集合和常用逻辑用语（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

专题01 集合和常用逻辑用语 目录 01 模拟基础练 2 题型一：集合的基本概念 2 题型二：集合间的基本关系 3 题型三：集合的运算 3 题型四：充分条件与必要条件 5 题型五：全称量词与存在量词 6 题型六：以集合为载体的创新题 6 02 重难创新练 8 题型一：集合的基本概念 1．下列五个关系式中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤． A．3 B．5 C．4 D．2 2．已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 3．已知全集且，则集合中的元素有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 4．设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 5．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列表示正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则；（5）. A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二：集合间的基本关系 8．设集合，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 10．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 11．若全集且，则集合A的真子集的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 12．已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 13．已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 14．设集合，，则、的关系是（    ） A． B． C． D． 题型三：集合的运算 15．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 16．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 17．已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 18．已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（       ）． A．116 B．132 C．126 D．114 19．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 20．已知全集或，则集合（    ） A． B． C．或 D． 21．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：充分条件与必要条件 22．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．已知直线m，n，平面，那么“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 25．设，是实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 26．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 27．已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 28．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：全称量词与存在量词 29．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 30．记命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 31．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 32．已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 题型六：以集合为载体的创新题 36．设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（   ） （1）    （2）    （3）    （4） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 37．设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（   ） A．0对 B．2对 C．3对 D．4对 38．用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 39．已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（    ） A．20 B．19 C．11 D．10 40．设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（    ） A．一个“好子集”中最多有个元素 B．一个“好子集”中最多有个元素 C．一个“好子集”中最多有个元素 D．一个“好子集”中最多有个元素 41．已知集合，若对于任意，以及任意实数，满足，则称集合I为“封闭集”．下列说法正确的是（    ） A．集合为“封闭集” B．集合为“封闭集” C．若是“封闭集”，则A，B都是“封闭集” D．若A，B都是“封闭集”，则也一定是“封闭集” 42．定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数，使得集合，则称为一个“开集”．给出下列集合： ①；②； ③；④． 其中为“开集”的是 ． 43．已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”． ①集合与是集合的“好子集”的是 ； ②集合的“好子集”所含元素个数的最大值为 ． 1．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京东城·二模）已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京西城·二模）已知．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·北京昌平·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·北京昌平·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·北京·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2024·北京海淀·一模）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·北京·模拟预测）已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2024·北京西城·二模）设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 10 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合和常用逻辑用语 目录 01 模拟基础练 2 题型一：集合的基本概念 2 题型二：集合间的基本关系 4 题型三：集合的运算 7 题型四：充分条件与必要条件 9 题型五：全称量词与存在量词 12 题型六：以集合为载体的创新题 14 02 重难创新练 22 题型一：集合的基本概念 1．下列五个关系式中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤． A．3 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【详解】因为集合中的元素具有无序性，所以，故①正确； 因为且，所以，故②正确； 因为空集是不含任何元素的集合，所以，故③错误； 因为空集是任意非空集合的真子集，所以，故④正确； 因为集合中有一个元素0，所以，故⑤正确； 故选：C. 2．已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，得. 此时. 此时集合. 因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 当时，解方程，即，可得或. 若，则，此时集合. 不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 若，则，此时集合. 符合集合元素的互异性.   故选：C. 3．已知全集且，则集合中的元素有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】B 【详解】依题意，，解不等式，得，则， 所以，集合中的元素有4个. 故选：B 4．设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【答案】C 【详解】对A，若，则， 将代入不全部满足，此时可知，故A错误； 对B，当时，则， 将代入全部满足，此时可知，故B错误； 对C，若，，解之可得，所以C正确； 对D，当，则，将代入不全满足， 所以，故D错误. 故选：C 5．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于元素与集合的关系是属于或不属于，不是包含关系，故A错误； 因为， 所以BC错误，D正确. 故选：D 6．下列表示正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则；（5）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】空集中不含任何元素，故（1）正确；空集是任何集合的子集，故（2）正确； 由得，所以，故（3）错误； 若，即集合是集合的子集，则，故（4）正确； 两个集合间的关系不能用符号，故（5）错误. 故选：C. 7．已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 题型二：集合间的基本关系 8．设集合，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，显然A正确；B不正确； 因为是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故C、D正确； 故选：B. 9．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】C 【详解】, 因为， 当时，， 当时，即时，令，解得， 则或，则对应实数的值为， 则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有， 故选：C. 10．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 11．若全集且，则集合A的真子集的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】∵全集且， ∴， 由于集合中有个元素，故集合A的真子集共有个. 故选：C. 12．已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故，因此, ,故， 故，所以，故选：B． 13．已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】根据题意，故，则， 故，则，即， 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以， 故选：C. 14．设集合，，则、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， ， 所以，. 故选：D 题型三：集合的运算 15．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 故选：D 16．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据交集的概念和运算可得， 故选：B. 17．已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，所以. 由，所以. 所以. 故选：C 18．已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（       ）． A．116 B．132 C．126 D．114 【答案】D 【详解】因为满足:①每个集合都恰有个元素；②， 所以一定各包含个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是18，13，8， 特征数的和最小，如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，6，11，最大值是18，17，16时， 特征数的和最大， 如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的和为. 故选：D. 19．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得，， 所以. 故选：. 20．已知全集或，则集合（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】因为全集或， 则，所以. 故选：B. 21．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于集合，， 所以， 故选：. 题型四：充分条件与必要条件 22．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 23．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以， 故，即是奇函数， 若，可得，故， 可得，故充分性成立， 令，，此时满足， 但不满足，故必要性不成立，故A正确. 故选：A 24．已知直线m，n，平面，那么“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，由于，可以得到，充分性成立， 但不能推出，因为可能在内，必要性不成立. 故选：C 25．设，是实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当时，. 则，，故，即. 故“”是“”的充分条件； 当时有， 故当时，，即或， 当时，，即. 故“”不是“”的必要条件； 综上有“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 26．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中（）尽量小， 所以集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设，有， 当时，， 当时，， 只需在时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故的最大值为11. 故选：B 27．已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】易知曲线：可化为，表示圆心为，半径的上半圆； 易知直线可化为， 当时，圆心到直线的距离为， 此时与下半圆相切，如下图所示，不合题意，即必要性不成立； 若与相切，可知，解得或； 检验可知只有当时，直线与相切，即可得，所以充分性不成立； 所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 28．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，解得：， 集合， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 题型五：全称量词与存在量词 29．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“”的否定为：. 故选：D 30．记命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由命题：，， 可知：，， 故选：C. 31．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为，. 故选：B 32．已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于“，”为假命题， 故其否定为“，”为真命题， 则，得， 故选：D 33．已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当命题为真命题，即，使成立，得到，即， 当命题为真命题，即对，恒成立，得到， 即， 所以当命题和命题同时为真命题时，有，即， 又命题和命题至多有一个为真命题，所以或， 故选：D. 34．若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由命题“”为假命题，则命题“”为真命题， 即不等式在上恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 35．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题设，为假命题，故为真命题， 又在上递增，则，只需即可， 所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是. 故答案为：（答案不唯一） 题型六：以集合为载体的创新题 36．设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（   ） （1）    （2）    （3）    （4） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【答案】C 【详解】对于（1），易知，所以应有，矛盾，即（1）错误； 对于（2），易知，且， 则可取满足题意，即（2）正确； 对于（3），易知，所以应有，矛盾，即（3）错误； 对于（4），易知，且 ， 则可取满足题意，即（4）正确； 故选：C. 37．设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（   ） A．0对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0， 除以3的余数是0，除以3的余数是0； 除以3的余数是1，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是2； 除以3的余数是2，除以3的余数是0； 除以3的余数是0，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是1； 除以3的余数是0，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是0； 所以满足条件的数对有，共3对， 故选：C. 38．用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】，要使， 则或. 当时，，满足. 当时，首先有两个不同的解或， 其次，对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足. 当时，，， 此时，满足. 当，即时，无解，不符合题意. 当，即或时， 的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 故选：B 39．已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（    ） A．20 B．19 C．11 D．10 【答案】B 【详解】 由题知：集合．若，且对任意，，均有， 作如下等价转化：在符合题意的这些点中怎样取，保证趋势不下降的同时取的点最多， 因此集合中元素个数最大时元素可以为：共个， 也可以是共个，（还有其他取法只要保证这些点的趋势不下降即可）. 故选：B. 40．设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（    ） A．一个“好子集”中最多有个元素 B．一个“好子集”中最多有个元素 C．一个“好子集”中最多有个元素 D．一个“好子集”中最多有个元素 【答案】A 【详解】中有且只有一个为，不妨设， 则三者为1或0， 若三者均为0，则此时A中只有1个元素，即， 不合要求，舍去， 若三者中有1个0，则，有3个元素，满足要求， 若三者中有2个0，或没有0，则此时不满足， 综上，一个“好子集”中最多有个元素. 故选：A 41．已知集合，若对于任意，以及任意实数，满足，则称集合I为“封闭集”．下列说法正确的是（    ） A．集合为“封闭集” B．集合为“封闭集” C．若是“封闭集”，则A，B都是“封闭集” D．若A，B都是“封闭集”，则也一定是“封闭集” 【答案】B 【详解】设，，,； 则，即可得，则点在线段上， 由题意可得，若对于任意，线段上一点，都有，则集合为“封闭集”， 对于A，集合，，若对于任意的，，，满足，则， 函数如下图，显然线段上任意一点,，不一定满足， 图中所示，即； 故集合,不为“封闭集”，即A错误； 对于B，若,，对于任意的,，,满足，，则， 函数如下图，显然线段上任意一点,，都有，即；    故可得集合,为“封闭集”，即B正确； 对于C，由选项A可知集合,不是“封闭集”， 根据对称性，如图1可知,不是“封闭集”， 则表示集合为阴影部分表示的点构成的区域如图2，显然任意的， 则线段上任意一点，都有,故是“封闭集”，故C错误，      对于D，若，都是“封闭集”，不妨取,，,； 对于任意的,，,满足，，则， 函数如下图，显然线段上任意一点,都有，即；    故,为“封闭集”，同理可得,也为“封闭集”； 而的图象如下：显然，但线段上任意一点不满足，也不满足，即，    即不一定是“封闭集”，即D错误． 故选：B． 42．定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数，使得集合，则称为一个“开集”．给出下列集合： ①；②； ③；④． 其中为“开集”的是 ． 【答案】②④ 【详解】①表示以原点为圆心，1为半径的圆， 则在该圆上任意取点，以任意正实数为半径的圆面， 均不满足故①不是开集； ②，在平面点集中的任取一点， 设该点到直线的距离为，取， 则满足，故该集合是开集； ③，在曲线任意取点，以任意正实数为半径的圆面， 均不满足，故该集合不是开集； ④，表示以点为圆心，为半径除去圆心和圆周的圆面， 在该平面点集中的任一点，则该点到圆周上的点的最短距离为，取， 则满足，故该集合是开集． 故答案为：②④. 43．已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”． ①集合与是集合的“好子集”的是 ； ②集合的“好子集”所含元素个数的最大值为 ． 【答案】 【详解】①由于整除，所以集合不是集合的“好子集”； 由于不能整除，不能整除，不能整除，所以集合是集合的“好子集”； ②若集合是集合的“好子集”，则，因为若，则会被整除； ，因为若，则同为奇数或偶数，则为偶数，则能被整除，所以； 所以 设集合是集合的一个“好子集”， 令， ，，…，， 于是累加得， 从而，所以， 另一方面，取，其中任意两元素差值都不能整除，故其是“好子集”， 此时集合有个元素，且是集合的一个“好子集”， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为. 故答案为：； 1．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意知，， 若，当时，有；当时，与可能相交、平行、垂直. 若，由，得. 故“”是“”是必要不充分条件. 故选：B 2．（2024·北京东城·二模）已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为平面向量，，，是单位向量，且， 不妨设， 若，例如， 满足，但，即充分性不成立； 若，例如， 满足，但，即，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以. 故选：A. 4．（2024·北京西城·二模）已知．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立， 取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2024·北京昌平·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，当时，，又，所以，即可以推出， 如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线， 显然有，，但，即推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6．（2024·北京昌平·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则或， 所以，所以. 故选：D. 7．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于充分性，已知等差数列的公差为，首项， 当“”时，集合恰有两个元素， 故充分性成立，对于必要性，当时， “集合也恰有两个元素”，故必要性不成立， 故“”是“集合恰有两个元素”的充分而不必要条件. 故选：A 8．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， ，，. 故选：C 9．（2024·北京·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，又，故. 故选：B. 10．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由可得：， 解得：， 所以“”能推出“”， 但“”推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 11．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选：B. 12．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于函数 当时，，为常数函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件. 故选：A. 13．（2024·北京海淀·一模）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足， 如图：满足，，但不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A.    14．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】全集，集合， 所以. 故选：D 15．（2024·北京·模拟预测）已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设， 则此时 ， 而向量夹角范围是，当时，严格单调递减， 从而， 综上所述，在题设条件下“”是“”的充要条件. 故选：C. 16．（2024·北京西城·二模）设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 【详解】（1）解：当时，， ①对于的含有5个元素的子集， 因为，所以5不是集合的“相关数”； ②的含有6个元素的子集只有， 因为，所以6是集合的“相关数”． （2）证明：考察集合的含有个元素的子集， 中任意4个元素之和一定不小于， 所以一定不是集合的“相关数”； 所以当时，一定不是集合的“相关数”， 因此若为集合的“相关数”，必有， 即若为集合的“相关数”，必有. （3）解：由（2）得， 先将集合的元素分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 这一组与上述三组中至少一组无相同元素， 不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和， 所以集合的“相关数”的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 29 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$