精品解析：福建省南平市武夷山第一中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

武夷山一中2024-2025学年上学期初三数学科第二次阶段练习 　（满分∶ 150分 完卷时间∶ 120分钟） 姓名∶ 考号∶ 班级∶ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ） A. B. C. D. 6. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 9. 若方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. − B. 2 C. D. −2 10. 如图， 已知正方形ABCD中， 连结AC， 在AC上截取AE=AD， 作的外接圆交AB于点F， 连结DF交AC于点M， 连结EF．下列选项正确的是（ ） ①DG=AF；②AM=EC；③∠EFB=∠AFD；④ A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 二次函数的顶点坐标是_________． 12. 在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则估计袋子中的白球有 _______个． 13. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是_____________． 14. 如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ______． 15. 由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______ 16. 如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于__________． 三、解答题(本大题共9 小题，共86分) 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 19. 作图题 如图，在中，已知． （1）尺规作图：画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接，；若，，求的长． 20. 某单位食堂为全体900名职工提供了 A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取了240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图所示： （1）补全条形统计图； （2）依据本次调查的结果，估计全体900名职工中最喜欢 D套餐的人数； （3）现从四名职工（两男两女）中任选两人担任“食品安全监督员”，请用列表法或画树状图法求选中两人为一男一女的概率. 21. 如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 24. 已知抛物线，顶点为． （1）求b，c的值． （2）若时，如图1，P为y轴右侧抛物线上一动点，过P作直线轴于点N，交直线l：于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值． （3）若时，如图2，直线与抛物线相交于A，B，当时，求的面积． 25. 已知四边形内接于，对角线于E，连接交于点 P． （1）如图1，求证∶； （2）如图2，作于F，交于H，连接，求证∶； （3）在（2）的条件下，连接，若，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武夷山一中2024-2025学年上学期初三数学科第二次阶段练习 　（满分∶ 150分 完卷时间∶ 120分钟） 姓名∶ 考号∶ 班级∶ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键． 根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵点A、B、C在上，， ∴， 故选：D． 3. 如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转后得到的图形与原图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心组成的夹角为旋转角，进行判断即可． 【详解】解：∵把绕点O旋转得到， ∴，，，， 故只有选项C不一定成立； 故选：C． 4. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 5. 已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 7. 如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可求出二次函数与x轴的一个交点坐标为，再根据函数图象找到二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集是或， 故选：D． 8. 已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， ∴当对应的的值一定有， ∴一元二次方程的解的范围是． 故选：C． 9. 若方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. − B. 2 C. D. −2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， 所以． 故选：B． 10. 如图， 已知正方形ABCD中， 连结AC， 在AC上截取AE=AD， 作的外接圆交AB于点F， 连结DF交AC于点M， 连结EF．下列选项正确的是（ ） ①DG=AF；②AM=EC；③∠EFB=∠AFD；④ A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①如图（见解析），先根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理可得DF为外接圆的直径，从而可得，然后根据矩形的判定与性质即可得；②先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得；③先根据圆内接四边形的性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得；④先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据正方形的性质可得，由此即可得． 【详解】四边形ABCD是正方形， ， 为外接圆的直径， ， 四边形ADGF是矩形， ，则结论①正确； ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， 在和中，， ， ，则结论②正确； 由圆内接四边形的性质得：， ， ， 由圆周角定理得：， ，则结论③正确； 由圆周角定理得：， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形ABCD是正方形， ， ， 又， ，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握各定理与性质，并正确找出全等三角形是解题关键． 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 二次函数的顶点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为： 12. 在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则估计袋子中的白球有 _______个． 【答案】14 【解析】 【分析】根据口袋中两种颜色的球20个，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出白球在总数中所占比例与试验比例应该相等是解决问题的关键． 【详解】解：通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近， 从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为， 设袋子中的白球有个， 根据题意，得：， 解得， 估计袋子中的白球有14个， 故答案为：14． 13. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，先计算，再利用计算即可． 【详解】解：∵，，， ， 圆锥的侧面积， 故答案为：． 14. 如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，平分， ∴，， ∴，即的半径等于， 故答案为：． 15. 由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，含有角的直角三角形，求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可，掌握含有角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提． 【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1， ∴小正六边形的面积为： ， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形面积问题，根据题意列二次函数求最值，先根据中位线问题得到三角形面积的关系，然后根据四边形面积列出二次函数，即可求得最值，准确找到三角形面积与四边形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 又点M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴ ， 设，边长， ∵， 则， ∵， ∴， 则， 当时，取得最大值为， 故答案为：． 三、解答题(本大题共9 小题，共86分) 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得，． 18. 如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质,同弧或等弧所对的圆周角相等，首先利用等弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形内角和定理求得然后利用圆内接四边形的性质确定答案即可． 【详解】解：∵ ∴ 在中 ∵， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴． 19. 作图题 如图，在中，已知． （1）尺规作图：画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接，；若，，求的长． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理： （1）先画出该三角形两条垂直平分线，相交于点O，以为半径画圆即可； （2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵，，即， 解得：或（负值舍去）． 20. 某单位食堂为全体900名职工提供了 A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取了240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图所示： （1）补全条形统计图； （2）依据本次调查的结果，估计全体900名职工中最喜欢 D套餐的人数； （3）现从四名职工（两男两女）中任选两人担任“食品安全监督员”，请用列表法或画树状图法求选中两人为一男一女的概率. 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）90人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形和扇形统计图及概率，熟练掌握条形和扇形统计图及概率的求解是解题的关键； （1）用被抽取的职工人数乘以最喜欢A套餐所占百分比，可得其人数，然后再利用抽取的人数减去A、B、D的人数，可得C套餐的人数，进而问题可求解； （2）根据条形统计图可得最喜欢D套餐所占百分比，然后利用总人数乘以百分比即可； （3）利用列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知： 最喜欢A套餐的人数为（人）， 最喜欢C套餐的人数为（人） 【小问2详解】 解：由统计图可知： （人）， 答：全体900名职工中最喜欢D套餐的人数为90人． 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） / （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） / （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） / 由上表可知：共有12种情况，其中选中两人为一男一女的有8种情况，所以选中两人为一男一女的概率为． 21. 如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明． 【详解】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元 （2）每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每件童装降价x元，根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可； （2）设利润为w，根据总利润=单件利润×数量，列出w关于x的函数解析式，结合二次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设每件童装降价x元， ， 整理得：， 解得：， 为减少库存，取， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 【小问2详解】 解：设利润为w， ， ∵， ∴当时，w有最大值1250， 即每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 23. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练掌握圆的基本知识是解本题的关键． （1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【小问1详解】 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 24. 已知抛物线，顶点为． （1）求b，c的值． （2）若时，如图1，P为y轴右侧抛物线上一动点，过P作直线轴于点N，交直线l：于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值． （3）若时，如图2，直线与抛物线相交于A，B，当时，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程综合，二次函数与面积综合等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）利用二次函数顶点式，代入顶点求解即可； （2）利用二次函数解析式和一次函数解析式，用m去表示P、M点的纵坐标，再利用列出方程求解即可； （3）联立可得、，进而得到，则，然后将、可得，可求得，直线解析式为或；然后再求得，最后根据坐标与图形以及三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线，顶点为， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴抛物线的解析式为， 设，， ①点P在直线l下方时，当时，有 ，化简得：，解得：，（舍去） ②点P在直线l上方时，当时，点M为中点，有，化简得：，解得：（舍去负值） ∴符合条件的的值为或． 【小问3详解】 解：由得，， ∴，， 由，得，， ∴， ∵，， ∴，化简得：， ∴，解得：， ∴直线解析式为或． 由，解得：， 设直线交轴于C，则， ∴＝ 当直线解析式为时，由对称性可知：． 综上所述，当时，． 25. 已知四边形内接于，对角线于E，连接交于点 P． （1）如图1，求证∶； （2）如图2，作于F，交于H，连接，求证∶； （3）在（2）的条件下，连接，若，，求长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于K，连接，利用圆周角定理得到，根据及圆周角定理求得，即可求出结论； （2）根据垂直的定义及圆周角定理得到，得到垂直平分，即可证得结论； （3）作交于Q，于N，于M ，先证与都为等腰直角三角形，根据求出，勾股定理得，得到，再利用及勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：如图，延长交于K，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵于E ， ∴， ∴， ∵， ∴ ； 【小问2详解】 证明∵于F， ∴， ∵于E ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作交于Q，于N，于M ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是一道圆的综合题，考查圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定及性质定理，勾股定理，能够综合运用上述知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $