精品解析：广东省东莞市石碣中学2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考试题

石碣中学2024~2025学年第一学期九年级第一次段考 数学试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答案填在对应括号内） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数的说法错误的是（ ） A. 图象经过 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 抛物线开口向下 D. 当时，y有最小值为0 5. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A 1 B. 2 C. D. 6. 若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如果用配方法解方程，那么原方程应变形为 A. B. C. D. 9. 已知一元二次方程有一个根为0，则（ ） A 3 B. C. 0 D. 10. 对称轴为直线抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分．请将下列各题的正确答案填写在空格上） 11. 一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________． 12. 一元二次方程的两根分别是，则______． 13. 反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为_________； 14. 抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线_______________． 15. 某商品原售价为50元，经连续两次涨价后售价为100元，设该商品售价的平均增长率为x，可列出方程：_________________． 16. 观察下列等式：，，，，，，则的结果的个位数是________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程: 18. 已知关于的一元二次方程的一个根为，请求出的值及另一根． 19. 已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求此抛物线的解析式． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数相交于点，与轴相交于点． （1）求，的值； （2）根据图象回答：当时，直接写出的取值范围． 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙长为），围成如图所示的矩形花圃． （1）如果要围成面积为的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为的花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 22. 已知关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求p的取值范围； （2）对p选取一个合适的整数，使原方程有两个实数根，并解这个方程． 五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23. 某商场经营某种品牌的玩具，当销售单价是40元时，销售量是60件，购进时的单价是30元． （1）此时的总利润______元． （2）根据市场调查发现：在一段时间内，销售单价每降1元，就会多售出10件玩具，若销售单价降了x元，销售量是______件（用含x的代数式表示） （3）若商场要获得最大销售利润，该玩具销售单价应定多少元？ 24. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． （3）已知关于x方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石碣中学2024~2025学年第一学期九年级第一次段考 数学试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答案填在对应括号内） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法及灵活选用是解答的关键．利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故选：D． 2. 下列函数中y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、等号右边不是整式，不符合题意， 故选：B． 3. 反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，准确计算是解题的关键．直接将点代入反比例函数中，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数， 得：， 解得：， 故选：D． 4. 关于二次函数的说法错误的是（ ） A. 图象经过 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 抛物线开口向下 D. 当时，y有最小值为0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题关键． 根据、当时，可判断A选项；利用增减性可判B选项；利用二次函数的判断C选项，利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D选项． 【详解】解：A、当时，，图象经过，故在抛物线上，选项A说法正确，不符合题意； B、抛物线对称轴为直线，图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，选项B说法正确，不符合题意； C、二次函数中，，图象开口向下，选项C说法正确，不符合题意， D、二次函数图象开口向下，有最大值，选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 5. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 6. 若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，反比例函数解析式形式还有：，．先根据反比例函数的定义列出关于m的等式即可． 【详解】解：∵为反比例函数， ∴， 故选：C． 7. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．由抛物线顶点式直接求解． 【详解】解：∵， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故选：D． 8. 如果用配方法解方程，那么原方程应变形为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可变形判断. 【详解】∵ ∴ 故，选D. 【点睛】此题主要考查配方法，解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 9. 已知一元二次方程有一个根为0，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及定义，熟练掌握一元二次方程的定义及解是解题的关键；因此此题可把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把一元二次方程得：，且， 解得：； 故选B． 10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ，故①正确； 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点， ， ，故②错误； 对称轴为直线， ∴当和时的函数值相等，且都小于0， ，故③错误； ④当时，， ∴， 故④正确； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤正确， 正确的有①④⑤，共3个； 故选B． 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分．请将下列各题的正确答案填写在空格上） 11. 一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】用因式分解法解方程即可． 详解】解：x ( x +3)＝0， x＝0或 x +3＝0， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键． 12. 一元二次方程的两根分别是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根与系数的关系，掌握相关公式是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系： 代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是， ∴根据根据一元二次方程根与系数的关系代入： ∴ 故答案为：． 13. 反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为_________； 【答案】m＞2 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限， ∴＞0， 解不等式即可得结果：m＞2. 故答案是：m＞2． 14. 抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次图象的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律即可求出新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线为：， 故答案为：． 15. 某商品原售价为50元，经连续两次涨价后售价为100元，设该商品售价的平均增长率为x，可列出方程：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程．设两次平均增长率为x，根据原价涨价后售价，即可列出方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 16. 观察下列等式：，，，，，，则的结果的个位数是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了数字变化规律探索，从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， … 由此得到：31，2，3，4，5，6，7，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． 故答案为：7． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程: 【答案】; 【解析】 【详解】试题分析：找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 试题解析： ∵a=2,b=3,c=-5 △ 18. 已知关于的一元二次方程的一个根为，请求出的值及另一根． 【答案】，另一根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程可求出，进而得到方程，再解方程即可求出另一根，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程程， ∴， 解得，， ∴一元二次方程的另一根为． 19. 已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求此抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，根据题意设出抛物线的顶点式是解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的顶点式，然后把点代入求得的值即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴这条抛物线的解析式为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数相交于点，与轴相交于点． （1）求，的值； （2）根据图象回答：当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），; （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，进而求得，的值； （2）根据函数与不等式关系，可得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴一次函数的图象与反比例函数相交于点， 当时，对应一次函数的图象在反比例函数的上方， 由图象可知，当时，自变量的取值范围是或． 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙长为），围成如图所示的矩形花圃． （1）如果要围成面积为的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为的花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）长为； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（）设，则，列出方程即可求解； （）设，则，列出方程然后判断有无实数根即可求解； 此题考查了一元二次方程应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，则， 则 ， 整理得， 解得， 由题意得：，解得， ∴不合题意，舍去， 答：长为； 【小问2详解】 解：设，则， 则 ， 整理得， ， ∴方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的矩形． 22. 已知关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求p的取值范围； （2）对p选取一个合适的整数，使原方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】（1） （2）当时，，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式即可进行解答； （2）选择一个符合条件的k的值代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【小问2详解】 当时，原方程为， ， 或， ，．（答案不唯一） 五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23. 某商场经营某种品牌的玩具，当销售单价是40元时，销售量是60件，购进时的单价是30元． （1）此时的总利润______元． （2）根据市场调查发现：在一段时间内，销售单价每降1元，就会多售出10件玩具，若销售单价降了x元，销售量是______件（用含x的代数式表示） （3）若商场要获得最大销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）600 （2） （3）38元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，还涉及有理数的运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据总利润等于每件利润乘以销售量即可求解； （2）销售单价降了x元，则多卖件，继而可得销售量； （3）根据总利润等于每件利润乘以销售量得到关于的函数关系式，再根据二次函数求最值． 【小问1详解】 解：总利润为：元， 故答案为：600； 【小问2详解】 解：由题意得，销售量是件， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设销售单价降了x元，设利润为元， 则由题意得，， 整理得：， ∵， ∴当时，利润最大， 此时销售单价为：（元）． 答：销售单价为元． 24. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． （3）已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2）；互为倒数 （3）和 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，即得猜想，分别求方程和的根，可验证； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根，即，整理方程得，即得答案． 【小问1详解】 解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于方程， ， 解得：， 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 证明如下： ∵一元二次方程的两根为， “友好方程”的两根， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；互为倒数； 【小问3详解】 解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”的两根为， 则方程的两根， 即， 整理方程得， ∴关于的方程的两根为和． 25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，根据轴对称性质可知，由此可知，即最小时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； 【小问3详解】 设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$