专题01 集合和常用逻辑用语（讲义）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

专题01 集合和常用逻辑用语 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 6 05 核心精讲·题型突破 7 题型一：集合间的基本关系 7 题型二：集合的运算 8 题型三：充分条件与必要条件 9 题型四：全称量词与存在量词 11 重难点突破：以集合为载体的创新题 12 有关集合的北京高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题以集合的运算为主,多与解不等式等内容交汇,新定义运算也有较小的可能出现,属于基础性题目，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．而常用逻辑用语主要考查充分条件与必要条件,容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何内容交汇,基础性和综合性题目居多.主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 集合的运算 熟练掌握集合的并、交、补集运算方法 2024年北京卷第1题，5分 2023年北京卷第1题，5分 2022年北京卷第1题，5分 2021年北京卷第1题，5分 2020年北京卷第1题，5分 2018年北京理科第1题，5分 预测2025年高考，集合与逻辑用语主要以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体评估为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力． （2）热点是集合用于创新题中，加强学生的逻辑推理思维能力。 充分条件与必要条件 理解充分必要，掌握逻辑判断，熟练应用题解 2023年北京卷第8题，5分 2022年北京卷第6题，5分 2021年北京卷第3题，5分 2020年北京卷第9题，5分 2019年北京理科第7题，5分 2018年北京理科第6题，5分 1、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 2、集合的常用结论及细节 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 3、集合中涉及的工具 工具1：一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上.（2）①若，解集为. ②若，解集为.③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下.①若，解集为②若，解集为 工具2：分式不等式 （1）（2） （3）（4） 工具3：绝对值不等式 （1） （2）； ； 工具4：解指对不等式 ①简单指数不等式的解法 （1）形如的不等式，可借助的单调性求解； （2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解． ②简单指数不等式的解法：利用对数函数的单调性求解 4、充分条件、必要条件与充要条件的判断 ①从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. ②从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 5、全称量词与存在量词 大前提：全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： . 存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： . 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. ✭✭✮处理参数问题上的技巧 ①在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可. ②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 1．（2024年北京第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023年北京第1题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023年北京第8题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2022年北京第1题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022年北京第6题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2021年北京第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2021年北京第3题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型一：集合间的基本关系 【典例1-1】已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【典例1-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示 涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视 【变式1-1】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合，，则（    ） A．⫋ B． C． D． 【变式1-3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】若全集，,,则（    ） A． B． C． D． 1．集合的所有三个元素的子集记为.记为集合中的最大元素，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，且，则可以是 A． B． C． D． 题型二：集合的运算 【典例2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法 【变式2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，，则（    ） A．空集 B．或 C．或且 D．以上都不对 【变式2-3】已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2-5】[新考法]已知集合，集合，若，则（    ） A．4 B．2 C．0 D．1 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型三：充分条件与必要条件 【典例3-1】设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3-2】已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （1）判断充分条件、必要条件的注意点. ①明确条件与结论②判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题③可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q （2）充分条件、必要条件的两种判断方法 定义法：①确定谁是条件，谁是结论②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件 命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件 【变式3-1】若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】若，为非零向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-4】设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-5】对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 1．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“为锐角三角形”是“，，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：全称量词与存在量词 【典例4-1】已知命题：，，那么是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例4-2】设命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可. （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题 【变式4-1】下列选项中，说法正确的是（    ） A．“”的否定是“” B．若向量满足 ，则与的夹角为钝角 C．若，则 D．“”是“”的必要条件 【变式4-2】设命题：，，则为 A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】已知，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 1．设数列的前项和，则 ；使得命题“，都有”为真命题的一个的值为3 2．若命题，是假命题，则实数的一个值为 ． 重难点突破：以集合为载体的创新题 【典例5-1】有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5-2】已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论： ①若，则； ②若为奇数，则； ③若为偶数，则； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 【典例5-3】记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解 【变式5-1】设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 【变式5-2】设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质. (1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； (2)若具有性质： ①求证：； ②求的值. 【变式5-3】设为正整数，集合对于，设集合. (1)若，写出集合； (2)若，且满足令 ，求证： ； (3)若，且 ，求证： . 1．已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质． (1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由； (2)已知数列． （ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值； （ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值． 2．已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 3．已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． (1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； (2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 4．已知数列，记集合. (1)若数列为，写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 5．已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以. (1)若，求的值； (2)设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值； (3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 15 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合和常用逻辑用语 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 6 05 核心精讲·题型突破 8 题型一：集合间的基本关系 8 题型二：集合的运算 11 题型三：充分条件与必要条件 13 题型四：全称量词与存在量词 18 重难点突破：以集合为载体的创新题 21 有关集合的北京高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题以集合的运算为主,多与解不等式等内容交汇,新定义运算也有较小的可能出现,属于基础性题目，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．而常用逻辑用语主要考查充分条件与必要条件,容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何内容交汇,基础性和综合性题目居多.主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 集合的运算 熟练掌握集合的并、交、补集运算方法 2024年北京卷第1题，5分 2023年北京卷第1题，5分 2022年北京卷第1题，5分 2021年北京卷第1题，5分 2020年北京卷第1题，5分 2018年北京理科第1题，5分 预测2025年高考，集合与逻辑用语主要以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体评估为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力． （2）热点是集合用于创新题中，加强学生的逻辑推理思维能力。 充分条件与必要条件 理解充分必要，掌握逻辑判断，熟练应用题解 2023年北京卷第8题，5分 2022年北京卷第6题，5分 2021年北京卷第3题，5分 2020年北京卷第9题，5分 2019年北京理科第7题，5分 2018年北京理科第6题，5分 1、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 2、集合的常用结论及细节 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 3、集合中涉及的工具 工具1：一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上.（2）①若，解集为. ②若，解集为.③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下.①若，解集为②若，解集为 工具2：分式不等式 （1）（2） （3）（4） 工具3：绝对值不等式 （1） （2）； ； 工具4：解指对不等式 ①简单指数不等式的解法 （1）形如的不等式，可借助的单调性求解； （2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解． ②简单指数不等式的解法：利用对数函数的单调性求解 4、充分条件、必要条件与充要条件的判断 ①从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. ②从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 5、全称量词与存在量词 大前提：全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： . 存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： . 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. ✭✭✮处理参数问题上的技巧 ①在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可. ②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 1．（2024年北京第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2023年北京第1题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 3．（2023年北京第8题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 4．（2022年北京第1题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 5．（2022年北京第6题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 6．（2021年北京第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：. 故选：B. 7．（2021年北京第3题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 题型一：集合间的基本关系 【典例1-1】已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 【典例1-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B． 求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示 涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视 【变式1-1】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于可得：      xy -1 1 -1 -2 0 1 0 2 可得集合； 对于可得：      xy -1 1 -1 0 2 1 -2 0 可得集合，所以， 则成立，不成立，， 所以A正确，B、C、D错误. 故选：A. 【变式1-2】已知集合，，则（    ） A．⫋ B． C． D． 【答案】A 【详解】，，则⫋. 故选：A. 【变式1-3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，. 故选：B 【变式1-4】若全集，,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,, 所以，所以 故选：D 1．集合的所有三个元素的子集记为.记为集合中的最大元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知：，，， ，，，， ，，， 则 故选：C 2．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知， ，, . 故选：D. 3．已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， 则， 故选：C. 4．已知集合，且，则可以是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ∴，即，故选A. 题型二：集合的运算 【典例2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 【典例2-2】设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得到，故， 又，所以. 故选：A. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法 【变式2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 【变式2-2】已知，，则（    ） A．空集 B．或 C．或且 D．以上都不对 【答案】A 【详解】， 或或， 所以. 故选：A 【变式2-3】已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 故选：A. 【变式2-4】已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，得，则，或， 由，得，显然选项ABC不满足，D满足. 故选：D 【变式2-5】[新考法]已知集合，集合，若，则（    ） A．4 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为，且， 则，所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：D 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，则. 故选：B. 2．已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 又， 所以. 故选：B 3．已知集合，．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，， 即的最小值为. 故选：C. 题型三：充分条件与必要条件 【典例3-1】设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由可得或， 又或 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选: 【典例3-2】已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，到的距离为， 故，解得， 满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立， 经过定点， 若，，若，此时直线， 直线与相切，另一条切线斜率不存在， 故满足存在唯一k使得直线l与相切”， 当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切， 故， 又，解得，必要性不成立， 故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件. 故选：A （1）判断充分条件、必要条件的注意点. ①明确条件与结论②判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题③可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q （2）充分条件、必要条件的两种判断方法 定义法：①确定谁是条件，谁是结论②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件 命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件 【变式3-1】若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若为等比数列，， 则运用等比数列性质知道; 若，则可以为全部为0的常数列，不能说它是等比数列. 故“为等比数列”是“满足”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-2】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-3】若，为非零向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，共线，所以充分性成立； ，共线可能同向共线、也可能反向共线， 所以，共线得不出，所以必要性不成立． 故选：A． 【变式3-4】设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，则由平面平行的性质定理：得； 但当，时，可能有，也可能有相交， 如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面， 另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式3-5】对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立； 为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立. 所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 1．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．“为锐角三角形”是“，，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性： 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 同理可得，，故充分性得证； 必要性： 因为，所以，因为，所以， 若，则，若，则，所以，综上，， 同理，所以为锐角三角形，必要性得证， 综上所述，为充分必要条件. 故选：C. 3．已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由得：，， ， ，即，充分性成立； 由得：，，即， ， 即，必要性成立； “”是“”的充分必要条件. 故选：C. 题型四：全称量词与存在量词 【典例4-1】已知命题：，，那么是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：已知命题：，， 则为：，. 故选：B. 【典例4-2】设命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，B,D选项是特称命题，注意到要否定结论，故D选项符合.所以本小题选D. （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可. （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题 【变式4-1】下列选项中，说法正确的是（    ） A．“”的否定是“” B．若向量满足 ，则与的夹角为钝角 C．若，则 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】选项A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，因此A不正确； 选项B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C当m=0时,满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正确； 选项D若“”，则且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要条件，故正确. 故选：D. 【变式4-2】设命题：，，则为 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，. 故本题答案为D. 【变式4-3】已知，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A不一定成立，如a＝1，b＝10，c＝－1，不成立； B也不一定成立，如a＝9.5，b＝10，c＝－1，不成立； C不成立，因为，，所以，恒成立，因此D必正确 故选D 1．设数列的前项和，则 ；使得命题“，都有”为真命题的一个的值为3 【答案】 【详解】数列的前项和，当时，， 当时，，显然不满足上式， 所以； 当时，，不等式不成立， 当时，， 不等式，而，解得， 因此对，不等式恒成立， 所以“，都有”为真命题的，取的一个值为3. 故答案为：； 2．若命题，是假命题，则实数的一个值为 ． 【答案】（上任一数均可） 【详解】由题意是真命题， 所以，解得． 故答案为：（上任一数均可）． 重难点突破：以集合为载体的创新题 【典例5-1】有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以，又因为都为有限集合， 所以，则正向可以推出， 若，举例，，但，则反向无法推出， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【典例5-2】已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论： ①若，则； ②若为奇数，则； ③若为偶数，则； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等. 这表明对任意的，当且仅当，有. 将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点. 因为A中任意两个不同点之间的距离都不相等，设是最小的距离，则， 若或为第二小的距离，则余下的个点至多只能对应个元素， 则至多个元素，； 当是第二小的距离时，则， 若n为奇数时，与上面推导相同，至少会存在一个点不属于M,所以； 所以①②正确，③错误； 对于④，假设，. 由于， 故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点. 特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 不妨设，并记为点， 则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 对两个不同点，记直线的倾斜角为. 假设存在使得，不妨设， 则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾. 所以两两不相等，不妨设. 由于，，故，， 所以. 故，同理. 而对，有或， 故. 所以，这意味着，矛盾. 这表明假设不成立，所以，④正确. 故答案为：①②④ 【典例5-3】记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 【详解】（1）； 若，则. （2）的最小值为5. 证明如下： 设. 因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到， 所以，解得. 当时，有，符合题意. （3）证明：设A中的所有元素为，，…，，其中. 记（），则这些互不相等. 证明如下：如果存在，， 则，的每一位都相等， 所以，的每一位都相等， 从而，与集合A中元素的互异性矛盾. 定义集合，则. 又， 所以. 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解 【变式5-1】设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 【详解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 【变式5-2】设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质. (1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； (2)若具有性质： ①求证：； ②求的值. 【详解】（1）对集合，记其元素个数为. 先证明2个引理. 引理1：若具有性质，则. 引理1的证明：假设结论不成立. 不妨设，则正整数，但， 故一定属于某个，不妨设为. 则由知存在正整数，使得. 这意味着对正整数，有， ，但，矛盾. 所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证. 引理2：若具有性质，则，且. 证明：取集合. 注意到关于正整数的不等式等价于， 而由引理1有，即. 结合是正整数，知对于正整数，当且仅当， 这意味着数列恰有项落入集合，即. 而两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数， 故中的元素属于且仅属于某一个，故. 所以， 从而，这就证明了引理2的第一个结论； 再考虑集合中全体元素的和. 一方面，直接由知中全体元素的和为，即. 另一方面，的全部个元素可以排成一个首项为，公差为的等差数列. 所以的所有元素之和为. 最后，再将这个集合的全部元素之和相加， 得到中全体元素的和为. 这就得到，所以有 . 即，从而，这就证明了引理2的第二个结论. 综上，引理2获证. 回到原题. 将从小到大排列为，则， 由引理2的第一个结论，有. 若，则， 所以每个不等号都取等，从而，故； 情况1：若，则，矛盾； 情况2：若，则，所以，得. 此时如果，则，矛盾； 如果，则，从而，故； 如果，由于，设，，则，. 故对于正整数对，有， 从而，这与矛盾. 综上，的取值只可能是或. 当时，；当时，. 所以的所有可能取值是和. （2）①由引理1的结论，即知； ②由引理2的第二个结论，即知. 【变式5-3】设为正整数，集合对于，设集合. (1)若，写出集合； (2)若，且满足令 ，求证： ； (3)若，且 ，求证： . 【详解】（1）； （2）因为，所以， 当时，， 所以，即，， 又因为，所以， 所以， 所以； （3）对任意，令， 若且，则， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 对，因为， 由（2）可知，令，则. 若，因为， 所以，即， 又因为，所以. 若，则， 所以. 综上，即. 1．已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质． (1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由； (2)已知数列． （ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值； （ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值． 【详解】（1）当时，共有个子列， 其中具有性质的子列有个，                     故不具有性质的子列有个，                                 所以的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数． （2）（ⅰ）若是的项子列， 则也是的项子列．     所以．            因为给定正整数，有个项子列， 所以所有的算术平均值为．         （ⅱ）设的首项为，末项为，记． 若存在，使，则与没有公共项，与已知矛盾． 所以，对任意，都有．                         因为对于，，， 所以共有种不同的情况． 因为互不相同， 所以对于不同的子列，与中至多一个等式成立． 所以．                                         当是奇数时，取，， 共有个满足条件的子列．                 当是偶数时，取，， 共有个满足条件的子列．                     综上，为奇数时，的最大值为；为偶数时，的最大值为． 2．已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 【详解】（1）由题因为， 所以若使，则可以， 此时，满足题意. （2）根据题意对于任意点集，不妨设， 且，，， 若，则，令， 则，此时恒有； 若，则，可令， 此时，则，满足题意； 若，则，令， 此时，则，满足题意； 若，则，则 令， 此时，则，满足题意； 所以对于任意点集，都存在的一个优划分，满足. （3）不妨设， 若，则B取其中一点即可满足； 若， 则必存在正整数k使得， 则有，于是， 又因为 ，当且仅当时取等号； 于是取， 即可满足且，命题得证. 3．已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． (1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； (2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 【详解】（1）由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，. 从而，，，. （2）如果是一个“好数阵”，则，. 从而，. 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应. 对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则. 所以当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. （3）若是“好数阵”，则有 ， 所以，这表明一定是偶数. 若，设是“好数阵”，则，从而， 故. 由于，故，同理. 若，设，则，故，从而. 进一步有，而，故. 假设，设，则，故，则，. 由于，，故，. 此时，从而，，但此时，矛盾； 所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，； 若，则，从而. 若，则或. 若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，. 若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以. 对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，. 综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，， 其中，满足的有，，，. 综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，. 若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”. 4．已知数列，记集合. (1)若数列为，写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 【详解】（1）由题意可得，，，所以. （2）假设存在，使得， 则有， 由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同， 又，， 所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾， 故不存在，使得. （3）首先证明时，对任意的都有， 因为， 由于与均大于且奇偶性不同， 所以为奇数，对任意的都有， 其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数，其中， 则当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项， 由前面证明可知正整数不是中的项， 所以的最大值为. 5．已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以. (1)若，求的值； (2)设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值； (3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式. 【详解】（1）当时，，， ，所以； （2）设，其中， 则， ， 因， ， 因， 所以，，，， 又 ， ，， 所以， 因，，， ， ， 因，，，， 所以，，，， ，，， 所以 所以为定值； （3）， 若， 则， , 故， ， 此时，不符合题意， 故， 猜想，下面给予证明，当时，显然成立， 假设当，时，都有成立，即， 此时，， 故，， ，符合题意， ， 则， ， 若， 的元素个数小于 的元素个数， 则有， 不符合题意，故， 综上，对于任意的，都有， 故数列的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 38 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$