专题训练：指数（型）函数单调性和奇偶性综合复习题-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

指数（型）函数单调性和奇偶性综合复习题 题型一：求指数（型）函数的单调性区间 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 2．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是 5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 8．已知函数，则函数（    ） A．是偶函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 题型二：已知指数（型）函数的单调性求参数范围 9．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 11．已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 12．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（   ） A．4 B．5 C． D． 13．已知是定义在上的函数，若为减函数，则的取值范围（  ） A． B． C． D． 14．设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：利用指数（型）函数的单调性求值域问题 16．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 17．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 18．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 19．已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 20．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 21．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 22．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 23．函数的值域为 ． 24．函数在的最小值是 ． 25．若，其中，则的值域为 ． 题型四：利用指数（型）函数的单调性比较大小 26．设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 27．已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 28．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 29．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 30．若，，，则（   ） A． B． C． D． 31．已知，则（   ） A． B． C． D． 32．设，，，则（    ） A． B． C． D． 33．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 34．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型五：指数（型）函数的奇偶性和利用奇偶性求值 35．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 36．（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 37．已知函数，其中a、b为常数，若，则（   ） A． B．7 C． D．4 38．已知是定义在上的偶函数.且当时，，则等于（   ） A．3 B．-3 C． D． 39．设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 40．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 41．若是定义在上的奇函数，当时，，则 . 42．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 43．定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 题型六：利用指数（型）函数的奇偶性求参数 44．已知函数是偶函数，则 . 45．已知函数为奇函数，则的值为 . 46．已知函数为奇函数，则 ． 47．函数为奇函数，则的值为 ． 题型七：利用指数（型）函数单调性和奇偶性解不等式 48．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 49．已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 50．设 若不等式 对任意恒成立，则k的取值范围是 . 51．若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型八：指数（型）函数的单调性和奇偶性综合应用 52．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求、的值； (2)判断的单调性； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围. 53．已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求、的值及的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 54．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 55．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值： (2)若，判断函数的单调性，若，求实数的取值范围． 56．已知为偶函数，为奇函数. (1)求实数k的值; (2)判断并证明的单调性; (3)最小值为1，求m的值. 57．已知函数是奇函数. (1)若，，证明：函数在上单调递增； (2)若，，求函数在时的值域： (3)若函数的图象经过点，求的解析式. 58．已知奇函数与偶函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数在上的最小值为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指数（型）函数单调性和奇偶性综合复习题 题型一：求指数（型）函数的单调性区间 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可求解. 【详解】设，则， 因为在和上是减函数， 且在和上是增函数， 所以函数的单调递减区间是和. 故选：D 2．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：，则在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B：，则在，上单调递减，故B错误； 对于C：，则在上单调递减，故C错误； 对于D：，则在上单调递增，故D正确. 故选：D 3．函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性与指数函数、二次函数的单调性判断． 【详解】是增函数，的减区间是， 因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是. 故选：C． 4．函数的单调递增区间是 【答案】 【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求解即得. 【详解】函数的定义域为R，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性的知识确定正确答案. 【详解】由解得或， 所以的定义域是. 在上单调递增，的开口向上，对称轴为， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故选：B 6．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出复合过程，根据复合函数单调性同增异减得出结论. 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 7．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据函数的解析式可判断A；求出的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据复合函数的单调性可判断CD. 【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，所以， 故函数的值域为，故B正确； 对于CD，因为在R上是减函数， 在上是减函数，在上是增函数， 所以函数在上单调递减，C错误，D正确. 故选：ABD. 8．已知函数，则函数（    ） A．是偶函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】根据定义判断函数的奇偶性，然后根据解析式判断函数的单调性。 【详解】由题意知函数定义域为R，，故函数为偶函数， 当时， 又因为都是增函数， 所以在 上单调递增， 故选：A. 题型二：已知指数（型）函数的单调性求参数范围 9．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，可得在的单调性，再根据其对称轴和区间端点值关系，即可求得参数范围. 【详解】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减， 故，解得. 故选：D. 10．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可. 【详解】若，在上单调递增， 要满足题意，则要在上单调递减，故，即； 若，在上单调递减， 要满足题意，则要在上单调递增，故， 即，不满足 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 11．已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】令，，分、两种情况讨论，结合指数函数、二次函数的单调性计算可得. 【详解】令，则，令； 当时，因为，所以，且在定义域上单调递减， 要使在上单调递增，则在上单调递减，则，解得； 当时，因为，所以，且在定义域上单调递增， 要使在上单调递增，则在上单调递增，则，； 综上可得. 故选：A 12．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数的单调性，列式求解即可. 【详解】由函数是上的增函数，得，解得， 所以实数的值可以是. 故选：D 13．已知是定义在上的函数，若为减函数，则的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由分段函数的单调性，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】此函数为上的减函数的条件是：， 解得，则的取值范围是． 故选：B 14．设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 15．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为二次函数的对称轴为， 所以有，即， 故选：A 题型三：利用指数（型）函数的单调性求值域问题 16．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是指数复合函数，先判断函数单调递增，通过求出和趋于时的值来确定值域. 【详解】由复合，两个都是增函数，则原函数为增函数. 当时，. 当趋于时，也趋于.因为指数函数（），当趋于时，趋于，所以趋于，所以. 故原函数值域为. 故选：B. 17．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数值域求出值域. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 18．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的值域，然后根据高斯函数的定义即可得出答案. 【详解】，因为，所以， ，所以函数值域为. 故选：C 19．已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 20．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的范围，再求的值域. 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为. 故选：A. 21．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 22．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，使得，只需，分别研究两个函数的单调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可. 【详解】由题意知，当时函数单调递增，所以， 当时，为单调递增函数，所以， 又因为，，使得， 即在的最大值不小于在上的最大值， 即，解得，即. 故选：A. 23．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解． 【详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 24．函数在的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】令，然后利用配方法可得答案. 【详解】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 25．若，其中，则的值域为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性，即可求得函数在给定区间上的值域. 【详解】因为为R上的递增函数，由，可得，， 所以的值域为． 故答案为：． 题型四：利用指数（型）函数的单调性比较大小 26．设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】由在上递增，则， 由在上递增，则．所以． 故选：D. 27．已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数，指数函数单调性可得答案. 【详解】因函数在R上单调递减，在R上单调增. 则．所以． 故选：B 28．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数运算及指数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 29．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】，，， ∵函数在上单调递增，且， ∴，即. 故选：A. 30．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递减，且，则； 由函数在上单调递增，且，则， 由，则. 故选：A. 31．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得. 【详解】，，， 故，故. 故选：C. 32．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用指数函数单调性比较与，运用介值法界定的大小即可. 【详解】由，，知，， 又，，函数单调递增，所以，即， 故． 故选：C． 33．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性即可得结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 34．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可依次判断的大小即得． 【详解】因为是增函数，所以，是减函数，所以， 故 又函数在第一象限内为增函数，故， 又为减函数，故， 综上可得． 故选：B． 题型五：指数（型）函数的奇偶性和利用奇偶性求值 35．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的概念判断即可. 【详解】显然是偶函数，故A错误； 由，知是奇函数，故B错误； 由，知是偶函数，故C错误； 令，由知不是奇函数，由知不是偶函数，故D正确. 故选：D. 36．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 【答案】AC 【分析】由偶函数定义判断A选项；换元法再利用指数函数的单调性及定义域求得值域判断B选项；由复合函数的单调性判断C选项；由函数是偶函数和函数在上单调递减判断D选项. 【详解】A，的定义域为，且， 故为偶函数，故A正确； B，令，则， 所以在上的值域为，故B错误； C，因为在上单调递增，且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C正确； D，由于为偶函数，故，又函数在上单调递减， 所以，故故D错误. 故选：AC. 37．已知函数，其中a、b为常数，若，则（   ） A． B．7 C． D．4 【答案】A 【分析】构造函数，判断奇偶性并求出函数值. 【详解】函数的定义域为R，令， 则，函数是奇函数， 因此，而， 所以. 故选：A 38．已知是定义在上的偶函数.且当时，，则等于（   ） A．3 B．-3 C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数性质得到. 【详解】是定义在上的偶函数，故. 故选：A 39．设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】由是奇函数，得，代入即可求. 【详解】因为是奇函数， 所以， 所以. 故选：A 40．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的定义列式，消去得到的解析式，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，是偶函数， 所以，即， 因为是奇函数，所以， 即， 所以，所以. 故选：. 41．若是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数性质求函数值即可. 【详解】由题意，易知. 故答案为： 42．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 【答案】6 【分析】设，即可判断为奇函数，根据奇函数的性质计算可得. 【详解】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在区间上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在区间上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， ∴. 故答案为：6. 43．定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 题型六：利用指数（型）函数的奇偶性求参数 44．已知函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义求参数的值. 【详解】因为函数为偶函数，所以对，恒成立. 所以， 两边同乘以得：， 所以. 故答案为： 45．已知函数为奇函数，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据求出的值，再验证即可. 【详解】由于函数定义域为，且为奇函数， 由，解得， 当时，， 是奇函数. 故答案为：2 46．已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，根据为奇函数且在定义域内，有，求出的值. 【详解】函数的定义域为，且为奇函数， ，得. 经检验符合题意. 故答案为：. 47．函数为奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数定义，由恒成立求解即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为为奇函数，所以对任意， 都有. 则， 所以. 故答案为：. 题型七：利用指数（型）函数单调性和奇偶性解不等式 48．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性与奇偶性求解即可. 【详解】当时，为增函数， 又是定义在上的奇函数，当时，， 故在上为增函数. 故则， 故，即，解得. 故选；A 49．已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】首先求出函数在上的解析式，再分段得到不等式组，解得即可. 【详解】设，则，所以， 又为奇函数，所以， 所以， 不等式，即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 50．设 若不等式 对任意恒成立，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离，只需，换元得到函数的最小值，得到答案. 【详解】对任意时恒成立， 即对任意时恒成立， 对任意时恒成立， 只需， 令，由得， 设 当即时，取得最小值， ， 的取值范围为. 故答案为： 51．若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论和的情况，根据可求得值，进而得到解析式；根据复合函数单调性和奇偶性可得单调性，利用单调性和奇偶性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 当时，（当且仅当时取等号）， ，解得：，， ，即为定义在上的偶函数； 当时，令，则， 在上单调递增，由复合函数单调性知：在上单调递增， 在上单调递增， 由得：，即，解得：， 不等式的解集为. 故选：A. 题型八：指数（型）函数的单调性和奇偶性综合应用 52．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求、的值； (2)判断的单调性； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由，可求出实数、的值，然后验证函数为奇函数即可； （2）判断出函数为上的减函数，然后任取、，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由奇函数的性质以及函数的单调性可得出，求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，则，解得， 所以，， 因为，， 由奇函数的定义可得，可得，解得， 故，则，下面验证函数为奇函数， 因为函数的定义域为， 则，即函数为奇函数， 因此，满足题意. （2）函数为上的减函数，理由如下： 任取、，且，则， 所以， ，即， 故函数在上为减函数. （3）存在，使， 则，所以，，则， 由题意可得，因此，实数的取值范围是. 53．已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求、的值及的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）由求出、的值并验证，进而求出的解析式. （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用增函数的定义证明即可. （3）由奇函数化不等式为，再利用单调性和定义域列出关于的不等式求解. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 由，得，解得，， ，函数是在上的奇函数， 所以，. （2）由（1）知，，函数在上单调递增， 且，则， 由，得，则，即， 所以函数在上单调递增. （3）不等式恒成立，即， 而函数是定义在上的奇函数，则， 又函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数的取值范围为. 54．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解； （2）利用换元思想，令，则可将原不等式化为恒成立，其中，再令，，分类讨论二次函数的单调性求最值即可求解. 【详解】（1）由题，， 则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立， 解得. （2）因为， 由， 可得， 即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增， 所以，符合题意； 当，即时， 函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即， 解得，又因为，所以， 综上，， 所以的取值范围是. 55．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值： (2)若，判断函数的单调性，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减， 【分析】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，再代入检验即可； （2）根据确定的取值范围，再根据指数函数的性质判断的单调性，最后根据函数的单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数， 所以，即，解得， 则，所以，符合题意； 故； （2）因为，即，又且， 所以， 而在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减； 不等式，即， 等价于，解得或， 所以实数的取值范围. 56．已知为偶函数，为奇函数. (1)求实数k的值; (2)判断并证明的单调性; (3)最小值为1，求m的值. 【答案】(1)1； (2)答案见解析； (3)2. 【分析】（1）根据偶函数性质求参数； （2）利用单调性定义证明单调性； （3）令，有最小值为1，讨论对称轴与区间位置求参数值. 【详解】（1）由题设恒成立， 所以，经验证满足题设， 所以. （2）单调递增，证明如下： 令，则， 又，故， 所以单调递增. （3）由题设， 令，而， 所以的最小值为1， 显然开口向上且对称轴为，， 所以时在上递增，最小值不为1，不符，故， 若，则，不符； 若，则（正值舍）， 综上，. 57．已知函数是奇函数. (1)若，，证明：函数在上单调递增； (2)若，，求函数在时的值域： (3)若函数的图象经过点，求的解析式. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）当，时，可得出，任取、，且，作差，变形后判断的符号，再利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）当时，可得出，利用不等式的基本性质可求得函数的值域； （3）由题意和奇函数的性质可得出，求出、的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义验证即可. 【详解】（1）当，时，， 任取、，且，则， 所以， ，则， 所以，当，时，函数在上单调递增. （2）当，时，则， 当时，，则，则， 则， 故当，时，函数在时的值域为. （3）因为函数为奇函数，且， 则，可得①， 由奇函数的性质可得， 即，整理可得②， 联立①②可得，，此时，， 对于函数，有，解得， 该函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故函数为奇函数，合乎题意. 因此，. 58．已知奇函数与偶函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，解出即可； （2）代入得，两边同平方即可得到答案； （3）利用整体换元设，则，再对进行合理分类讨论即可. 【详解】（1）由①，得②， ①②得，即． ①+②得，即． （2）由（1）得，两边平方可得，即， 则， 因为，所以． （3）因为在上均单调递增， 则在上单调递增，所以． 令，则． 当，即时，在上单调递减，，得． 当，即时，在上单调递增，，不符合题意． 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，得，不符合题意． 综上，的值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过换元法将题目转化为含参二次函数最值问题，最后对对称轴进行合理分类讨论即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$