3.3勾股定理的简单应用（30题）2024-2025学年苏科版 数学八年级上册

勾股定理的简单应用（30题） 【苏科版】 1.如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为，问船向岸边移动了多少米 2.如图，为修建高速铁路需凿通隧道，测得，，，若每天可凿隧道，需要几天才能将隧道凿通？ 3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面请你求出旗杆的高度．滑轮上方的部分忽略不计 4.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 5.位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点拉回点的位置如图在离水面高度为的岸上点，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？ 6.如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙． 求梯子顶端距地面的高度； 如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底部在水平方向也滑动了吗？为什么？ 7.如图，一段笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，，其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客，旅游管理部门决定在河边新建一个漂流点在同一直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米． 判断的形状，并说明理由； 求原路线的长． 8.某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住楼梯台阶剖面图如图，已知，，． 求的长； 若已知楼梯宽，需要购买______的地毯才能铺满所有台阶． 9.台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点与监测点所在的直线由东向西移动，已知点为一海港，且点与，两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． 求监测点与监测点之间的距离； 请判断海港是否会受此次台风的影响，并说明理由； 若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 10.如图，河岸上、两点相距，、为两村庄，，，垂足分别为、，已知，，现要在河岸上建一水厂向，两村输送自来水，当水厂建在距点多少千米处时，水厂到两村的距离相等？并证明你的结论． 11在苏科版九年级物理第十一章简单机械和功章节中有这样一个问题：“如图示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图，已知，，于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．结果保留根号 12.图是超市购物车，图为超市购物车侧面示意图，测得，支架，． 两轮中心之间的距离为          ； 若的长度为，支点到底部的距离为，试求的度数． 13.如图，公路和公路交于点，且，公路上有一所学校，米，现有一拖拉机在公路上以米秒的速度行驶，拖拉机行驶时周围米以内会受到噪声的影响，请判断拖拉机在行驶过程中是否对学校会造成影响，并说明理由，如果造成影响，求出造成影响的时间． 14.如图，一块长方体砖宽，长，上的点距地面的高，地面上处的一只蚂蚁到处吃食，需要爬行的最短路程是多少？ 15.为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪的处，过了后，小汽车到达离车速检测仪的处，已知该段城市街道的限速为，请问这辆小汽车是否超速？ 16.九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃门槛一尺，不合四寸，问门广几何其大意：如图，推开双门大小相同，双门间隙寸，点、点与门槛的距离尺尺寸，是的中点，连接． 求的长． 求门槛的长． 17.小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；牵风筝线的手离地面的高度为． 如图，求风筝的竖直高度． 如图，在的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为时即，的长为，求此时小明的风筝线收回了多少米． 18.综合实践 徐霞客，名弘祖，字振之，号霞客，明朝南直隶江阴今江苏江阴市人．明地理学家、旅行家和文学家，地理名著徐霞客游记的作者，被称为“千古奇人”． 中学数学兴趣小组在徐霞客公园开展综合实践活动． 主题：检测雕塑如图底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤：利用卷尺测量边，底边的长度，并测量出点，之间的距离； 步骤：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： 通过测量得到边的长是厘米，边的长是厘米，的长是厘米，边垂直于边吗？为什么？ 19.消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． 求处与地面的距离． 完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20.小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． 与全等吗？请说明理由； 爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 21.如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，区为商品入库区，区，区是配送中心区已知，两个配送中心区相距，，区相距，，区相距，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案． 甲方案：从区直接搭建两条传送带分别到区，区； 乙方案：在区，区之间搭建一条传送带，再从区搭建一条垂直于的传送带，两条传送带的连接处为中转站区接缝忽略不计． 请判断此平面图形的形状要求写出推理过程； 甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明． 22.图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接即，通过计算说明该车是否符合安全标准． 23.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再折向北走，最后再往东走，就找到宝藏．登陆点到宝藏埋藏点的距离是多少？ 24. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高为多少米． 25.如图，一个长方体盒子的高为，底面是正方形，边长为，现在处有一只壁虎想沿长方体盒子侧面去吃位于处的一只虫子，问壁虎走的最短路程是多少 26.如图，某圆柱形水杯的高为，底面周长为，在外侧杯底的点处有一只蚂蚁，与它相对的内侧距杯口的处有一滴蜂蜜，求蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程． 27.嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在的方格棋盘上从点行走至点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径，，，其行经位置如图与表所示： 路径 编号 图例 行径位置 第一条路径 第二条路径 第三条路径 已知，，，，，，七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为线段， 分别计算出三条路径的长； 最长的路径是________写出编号，最短的路径是________写出编号． 28.如图，中学位于南北向公路的一侧，门前有两条长度均为米的小路通往公路，与公路交于，两点，且，相距米． 现在想修一条从公路到中学的新路点在上，使得学生从公路走到学校路程最短，应该如何修路请在图中画出？新路长度是多少？ 为了行车安全，在公路上的点和点处设置了一组区间测速装置，其中点在点的北侧，且距中学米．一辆车经过区间用时秒，若公路限速为约，请判断该车是否超速，并说明理由． 29.如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点出发经过台阶爬到点的最短路线有多长？ 30.如图，长方体长为，宽为，高为在该长方体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ 蚂蚁从点爬行到点，且经过棱上一点，画出其最短路径的平面图，并求出它的长． 设该长方体上底面对角线，相交于点如图，则． 蚂蚁从点爬行到点的最短路径的长为________； 当点在边上时，设的长为，求蚂蚁从点爬行到点的最短路径的长．用含的代数式表示 答案和解析 1.【答案】在中，，． 设．，，，即．．． 在中，，设． ，，即． ．．． 船向岸边移动了 2.【答案】解：，，，，，天答：需要天才能将隧道凿通．  3.【答案】解：设旗杆的高度为，则，，，在中，，即，解得，即旗杆的高度为．  4.【答案】解：在  中，  ， 设秋千的绳索长为   ，则  ， 故  ， 解得：  ， 答：绳索  的长度是  ． 5.【答案】解：在  中，  ，  ，  ，  ，  工作人员以米  秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点  的位置，  ，  ，  ． 答：此时游船移动的距离  的长是  ． 6.【答案】【小题】 解：，，，，即梯子顶端距地面的高度为． 【小题】 梯子的底部在水平方向也滑动了理由如下：，又，，，梯子的底部在水平方向也滑动了． 7.【答案】【小题】 解：是直角三角形．理由：在中，，，，是直角三角形，且． 【小题】 设，则，在中，，，，由勾股定理得，，解这个方程，得答：原来的路线的长为千米． 8.【答案】  【解析】解：，，， ， 答：的长为； 地毯长为：， 地毯的面积为， 即需要购买的地毯才能铺满所有台阶， 故答案为：． 9.【答案】【小题】 解：在中，， 由勾股定理得 答：监测点与监测点之间的距离是． 【小题】 海港会受到此次台风的影响，理由如下： ， 解得：． 海港会受到此次台风的影响． 【小题】 如图，海港在台风中心从点移动到点这段时间内受影响． 在中，，即 解得： 同理得： 台风的速度为 台风影响该海港的时长为： 答：台风影响该海港小时． 10.【答案】解：水厂应建在离点处，即，理由如下： 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， 故水厂应建在离点处，即． 11.【答案】解：过作，垂足为． ，， ， 在中，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 在中，，，， ， 设到距离为分米，则． ， 答：点到的距离为．  12.【答案】【小题】 【小题】 解：过点作，交延长线于，如图所示： 则， 在中，由勾股定理得：， ， 是等腰直角三角形， ， ， 的度数为．   【解析】  在中，由勾股定理求出即可； 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 故答案为：； 13.【答案】解：作于，则为到道路的最短距离． 在中， ， ， ， ， ， 小于， 拖拉机在行驶过程中对学校会造成影响， 作，交于、两点， 在中，米， ，， 米， 造成影响的时间为：秒．  14.【答案】解：如图，在砖的侧面展开图上，连接，则的长即为处到处的最短路程． 在中，，，，故蚂蚁需要爬行的最短路程为．   15.【答案】超速． 理由如下：在中，，，由勾股定理可得，，该辆小汽车的平均速度为，这辆小汽车超速了． 16.【答案】解：由题意可得：尺寸，寸， 则寸， 答：的长为寸； 设寸，则寸， 因为， 所以， 解得：， 则寸， 答：的长为寸．  17.【答案】【小题】 解：由题意知，， 由勾股定理得，， ， 为； 【小题】 解：由题意知，， ， ， 由勾股定理得，， 此时小明的风筝线收回了米．   18.【答案】解：垂直． 理由如下： 在中， ，，； ， ， ， 是直角三角形， 即；                ． 19.【答案】【小题】 解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是米； 【小题】 在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 20.【答案】解：与全等． 理由如下： 由题意可知，， ， ． ， 在和中， ， ≌； ≌， ，， 、分别为和， ，， ， 妈妈在距地面高的处，即， ， 答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的．  21.【答案】解：是直角三角形，理由如下： 由题意可知，，，， ， ， 是直角三角形，且； 甲种方案所搭建的传送带较短，理由如下： 由可知，是直角三角形，且， ， ， ， ， ， ， 甲种方案所搭建的传送带较短．  22.【答案】解：在中，，，， 由勾股定理，得 因为，， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 23. 【答案】解：过点作于点 根据题意可知，，， 在中， ．  答：登陆点到宝藏处的距离为千米．  24.【答案】解：，， ， ， ，米， ， 解得：， 答：警示牌的高为米．  25.【答案】解：如图，将该长方体盒子的右侧面展开，使点到达点位置，连接， 根据勾股定理，得所以． 如图，将该长方体盒子的上底面展开，使点到达点位置，连接， 由勾股定理，得． 因为，所以壁虎走的最短路程是． 26.【答案】解：如图为圆柱的侧面展开图，设点关于杯口所在直线的对称点为， 连接， 易得，， 在中， ， ． 故蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程是．  27.【答案】解：第一条路径的长度为， 第二条路径的长度为， 第三条路径的长度为， ；．  【解答】 解：， 最长路径为；最短路径为． 故答案为；． 28.【答案】解：过点作，交于点，即为所求； ，，， ，， 在中，， 由勾股定理得， ，， ， 新路长度是米． 该车超速，理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ，， ， ， 该车经过区间用时， 该车的速度为， ， 该车超速．  29.【答案】解：将台阶展开，如下图， 因为，， 所以， 所以，即蚂蚁爬行的最短线路为． 答：一只蚂蚁从点出发经过台阶爬到点的最短路线为．  30.【答案】【小题】 解：如图，展开面和面，连接交于点． 图 由题意知，，，，最短路径为，其长为． 【小题】   解：如图，展开面、面和面，连接，过点作于点，则，，如图，展开面、面和面，连接，过点作于点，同理可得， ．           图                                    图 如图，展开面和面，连接，作于点，  由题意知，，，  由得，  由得当时，最短路径的长为；  当时，最短路径的长为；  当时，最短路径的长为． 图 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$