3.3勾股定理的简单应用 同步练习2024－2025学年苏科版数学八年级上册

3.3勾股定理的简单应用 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.如图所示,一场强风过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量米,则折断前树的高度为( ) A.米 B.米 C.米 D.米 2.如图是一个长为4,宽为3,高为12矩形牛奶盒,从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管,吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)( ) A.5≤a≤12 B.12≤a≤3 C.12≤a≤4 D.12≤a≤13 3.如图,高速公路上有、两点相距,、为两村庄,已知,.于,于,现要在上建一个服务站,使得、两村庄到站的距离相等,则的长是( ). A.4 B.5 C.6 D. 4.一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中,如图所示,笔筒的内部底面直径是,内壁高.若这支铅笔在笔筒外面部分长度是,则这支铅笔的长度是( ). A.10 B.15 C.20 D.25 5.如图,桌面上的长方体长为8,宽为6,高为4,B为的中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点,则它运动的最短路程为( ) A.10 B. C.14 D.18 6.如图所示,一架梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米,当梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.9米.则梯子顶端A沿墙下移了()米. A.1.4 B.1.2 C.1.3 D.1.5 7.小明搬来一架 3.5 米长的木梯,准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上,则梯脚与墙脚的距离为( ) A.2.7 米 B.2.5 米 C.2.1 米 D.1.5 米 8.一架m长的梯子斜靠在一竖直的墙上,这时梯脚距离墙角米,如果梯子的顶端沿墙下滑米,那么梯脚移动的距离是( ). A.m B.m C.m D.m 9.如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中,,,点M在棱上,且,点N是的中点,一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为( ) A.20 B. C. D.18 10.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深,葭长各几何.”意思是:如示意图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,水的深度和芦苇的长度分别是多少?备注:1丈=10尺.设芦苇长尺,则可列方程为( ) A. B. C. D. 11.如图:长方体的长AB=4厘米、宽BC=2厘米、高CD=3厘米,一只蚂蚁想从A点沿表面爬到D点,则最短距离是( ) A. B. C. D.5 12.如图,有一个圆柱形油罐,其底面周长是12m,高AB为5m,现在要以点A为起点环绕油罐表面建梯子,终点正好建在点A的正上方的点B处,则梯子最短需要( ) A.10米 B.11米 C.12米 D.13米 二、填空题 13.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为,和,和是这个台阶的两个端点,点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长度为 . 14.如图,长方体中,,一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点,爬行的最短距离是 . 15.如图,有一个圆柱体,它的高等于,半径等于,一只蚂蚁在点A处,它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物,沿圆柱体侧面爬行的最短路程是 (的值取3). 16.在一个长12米,宽为8米的长方形草地上,如图堆放着一根正三棱柱的木块,它的侧棱长平行且大于场地宽,木块的主视图是边长3米的等边三角形,一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米. 17.一架云梯长2.5米,如图斜靠在一面墙上,梯子的底端离墙0.7米,如果梯子的顶端下滑了0.4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了 米. 三、解答题 18.如图,一架云梯斜靠在一竖直的墙上,这时米,云梯的长度比的长度(云梯底端离墙的距离)大10米,,设的长度为x米. (1)求的长度; (2)若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处,通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米. 19.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A、B、C均在小正方形的顶点上. (1)在图中画出与关于直线成轴对称的; (2)在直线上找一点,使得的周长最小; (3)求的面积. 20.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形结合的纽带之一,如图,有一架秋千,当它静止在的位置时,踏板离地的垂直高度为0.6m,将秋千往前推送3m,到达的位置,此时,秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m,秋千的绳索始终保持拉直的状态. (1)求秋千的长度; (2)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m,则需要将秋千往前推送多少米? 21.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”翻译成现代文为:如图,秋千静止的时候,踏板离地高一尺(尺),将它往前推进两步(尺,于E),此时踏板升高离地五尺(尺),求秋千绳索(或)的长度. 22.如图,一个梯子长25米,顶端A靠在墙上(墙与地面垂直),这时梯子下端B与墙角C距离为7米. (1)求梯子顶端A与地面的距离的长; (2)若梯子的顶端A下滑到E,使,求梯子的下端B滑动的距离的长. 23.已知:在 ABC中,CA=CB,∠ACB=90 ,D为 ABC外一点,且满足∠ADB=90 . (1)如图1,若,AD=1,求DB的长. (2)如图1,求证:. (3)如图2所示,过C作CE⊥AD于E,BD=2,AD=6,求CE的长. 24.我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点. 特例感知 ①等腰直角三角形 勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”); ②如图1,已知 ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高.若,试求线段CD的长度. 深入探究 如图2,已知 ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点且CA>CB,CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB的数量关系,并给予证明; 推广应用 如图3,等腰 ABC为勾股高三角形,其中,CD为AB边上的高,过点D向BC边引平行线与AC边交于点E.若,试求线段DE的长度. 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B A C C C A B 题号 11 12 答案 B D 1.C 【分析】根据题意,得(米),;再根据勾股定理的性质计算,即可得到答案. 【详解】根据题意,得:(米), ∴(米) ∴折断前树的高度(米) 故选:C. 【点睛】本题考查了勾股定理的知识;解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质,从而完成求解. 2.D 【分析】最短距离就是牛奶盒的高度,当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时,插入盒子内的吸管长度最长,用勾股定理即可解答. 【详解】解:最短距离就是牛奶盒的高度,即最短为12, 由题意知:牛奶盒底面对角长为=5, 当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时,插入盒子内的吸管长度最长, 则吸管长度为=13, 即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13, 故选D. 【点睛】本题考查勾股定理的应用. 3.C 【分析】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是本题的关键. 根据题意设出的长为,再由勾股定理列出方程求解即可. 【详解】解:设,则, 由勾股定理得:在中,, 在中,, 由题意可知:, 所以:, 解得:. 所以,的长是. 所以,. 故选:C. 4.B 【分析】首先根据题意画出图形,利用勾股定理计算出的长度.然后结合题意即可求解. 此题主要考查了勾股定理的应用,正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键. 【详解】解:如图: 根据题意可得图形: 在中:, ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是, ∴这支铅笔的长度是. 故选:B. 5.A 【分析】根据题意,分情况讨论,①当经过左侧面和上底面时,②当经过正面和上底面时,勾股定理求解即可. 【详解】解:①如图1所示,当经过左侧面和上底面时, 最短路径为: ②当经过正面和上底面时,如图2所示, 最短路径: 运动的最短路程为 故选:A 图1 图2 【点睛】本题考查了勾股定理求最短路径问题,分类讨论是解题的关键. 6.C 【分析】要求下滑的距离,显然需要分别放到两个直角三角形中,运用勾股定理求得AC和CE的长即可. 【详解】在Rt ACB中, , ∴AC=2, ∵BD=0.9, ∴CD=2.4. 在Rt ECD中, , ∴EC=0.7, ∴AE=AC−EC=2−0.7=1.3. 故选C. 【点睛】此题考查勾股定理的运用,解题关键在于掌握勾股定理结合实际的实际运用. 7.C 【分析】仔细分析题意得:梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为斜边,利用勾股定理解此直角三角形即可. 【详解】梯脚与墙脚距离:2.1(米). 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用.善于提取题目的信息是解题以及学好数学的关键. 8.C 【分析】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键,注意梯子的长度是不变的. 利用勾股定理进行解答.求出下滑后梯子低端距离低端的距离,再计算梯子低端滑动的距离. 【详解】梯子顶端距离墙角的距离为(米), (米), 梯子下滑后梯子底端距离墙角的距离为(米), (米), 即梯脚水平滑动米. 故选:C. 9.A 【分析】平面展开图有两种情况,画出图形利用勾股定理求出MN的长即可. 【详解】解:如图1, ∵AB=18,BC=GF=12,BF=10,点N是FG的中点, ∴BM=18﹣6=12,BN=10+6=16, ∴MN==20; 如图2, ∵AB=18,BC=GF=12,BF=10,点N是FG的中点, ∴PM=18﹣6+6=18,NP=10, ∴MN===2. ∵20<2, ∴蚂蚁需要爬行的最短路程为20. 故选:A. 【点睛】本题考查平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用,解题的关键是将立体图形展为平面图形,利用勾股定理的知识求解. 10.B 【分析】首先根据芦苇的长度为x尺,得到水池的深度为(x-1)尺,根据勾股定理列方程即可得出结论. 【详解】∵芦苇的长度为x尺,∴水池的深度为(x-1)尺,由题意得: 故选B. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用.在应用勾股定理解决实际问题时,勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用. 11.B 【分析】根据题意将点A、D所在上下两个面展开;将点A、D所在左右两个面展开,然后利用勾股定理求解即可. 【详解】解:如图所示,图1将点A、D所在上下两个面展开;图2将点A、D所在左右两个面展开, 沿图1爬的路线长为:, 沿图1爬的路线长为:, ∴沿图1爬的路线最短, 故选B. 【点睛】题目主要考查立方体的展开图及勾股定理解三角形,两点之间线段最短,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键. 12.D 【分析】把圆柱沿侧面展开,连接,再根据勾股定理即可得出结论. 【详解】解:如图所示: ∵,, ∴, 答:梯子最短需要, 故选:D. 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题,根据题意画出图形,利用勾股定理求解是解答此题的关键. 13. 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图,如图,然后利用勾股定理计算AB,则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度. 【详解】解:展开图为: 则AC=100cm,BC=15 3+10 3=75cm, 在Rt ABC中,AB==125cm. 所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm. 故答案为:125. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用,把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键. 14.13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用,将长方体沿着它的长、宽、高分别展开,利用勾股定理求出对应的最短路径,比较即可得到答案. 【详解】解:如图所示,当沿着把长方体展开时, 则, ∴, ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点,爬行的最短距离是; 如图所示,当沿着把长方体展开时, 则, ∴, ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点,爬行的最短距离是; 如图所示,当沿着把长方体展开时, 则, ∴, ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点,爬行的最短距离是; ∵, ∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点,爬行的最短距离是; 故答案为:13. 15.15 【分析】先将图形展开,再根据两点之间线段最短及勾股定理即可得到结果. 【详解】如图,将圆柱体展开,连接,根据两点之间线段最短, 根据题意可得:AC是圆周的一半, , , 故答案为:. 【点睛】本题考查了勾股定理,把空间问题转化为平面问题是解题的关键. 16.17 【分析】本题主要考查勾股定理的应用.将木块展开,相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长,长方形的长为米,因为长方形的宽为3米,一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线,利用勾股定理求解即可. 【详解】解:如图,将木块展开,相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长, ∴长方形的长为米, ∵长方形的宽为8米, ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线, ∴米, 故答案为:17. 17.0.8/ 【分析】根据勾股定理求出AC的长,再根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长,然后根据勾股定理求出B′C的长,进而可得出结论. 【详解】解:∵在Rt ABC中,AB=2.5,BC=0.7, ∴AC==2.4; ∵梯子的顶端下滑了0.4米, ∴A′C=2, ∵在Rt A′B′C中,A′B′=2.5,A′C=2, ∴B′C==1.5, ∴BB′=B′C-BC=1.5-0.7=0.8(米). 故答案为:0.8. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用,关键是掌握勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方. 18.(1)15米 (2)云梯的底部外移了5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用. (1)根据题意用含有的式子表示的长,根据勾股定理列出方程,解方程求出的长度; (2)由题意得米,米,再根据勾股定理求出,进而求出,即可求得答案. 关键是掌握勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方. 【详解】(1)解:∵米,的长度比的长度(云梯底端离墙的距离)大10米, ∴米, 在中,, ∴,解得:, ∴的长度为15米; (2)∵的长度为15米, ∴米, 当云梯的顶端沿墙下滑了5米到达点处时,(米), 由勾股定理得:(米), ∴(米), ∴云梯的底部外移了5米. 19.(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了作图-轴对称变换,勾股定理,轴对称-最短路线问题,利用网格求三角形面积. (1)根据轴对称的性质即可在图中画出与关于直线成轴对称的; (2)连接交直线l一点P,即可使得的周长最小; (3)根据网格利用割补法即可求的面积. 【详解】(1)解:如图即为所求, (2)如图,点P即为所求; (3). 20.(1)秋千的长度是 (2)需要将秋千往前推送 【分析】此题考查了勾股定理的应用,正确理解题意,由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键. (1)由题意得,证四边形是矩形,得,则,;设秋千的长度为,则,,在中,由勾股定理得出方程,解方程即可; (2)当时,,则,得,然后在中,由勾股定理求出的长即可. 【详解】(1)解:由题意得:, ∵,,, ∴四边形是长方形, ∴, ∴, ∵, ∴, 设秋千的长度为, 则,, 在中,由勾股定理得:, 即, 解得:, 即秋千的长度是; (2)当时,, ∵, ∴, 由(1)可知,, ∴, 在中,由勾股定理得: , 即需要将秋千往前推送. 21.秋千绳索长为尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.设秋千绳索长为尺,用表示出的长,在直角三角形中,利用勾股定理列出关于的方程,求出方程的解即可得到结果. 【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺, 则尺, 在中,,即, 解得:, ∴秋千绳索长为尺. 22.(1)梯子顶端A与地面的距离的长为24米 (2)梯子的下端B滑动的距离的长为8米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用,正确应用勾股定理是解题关键. (1)直接利用勾股定理得出的长; (2)利用勾股定理得出的长进而得出答案. 【详解】(1)由勾股定理可得:24(米), 答:梯子顶端A与地面的距离的长为24米; (2)∵梯子的顶端A下滑到E,使, ∴(米), ∴15(米), 则(米), 答:梯子的下端B滑动的距离的长为8米. 23.(1);(2)见解析;(3)2 【分析】(1)在Rt ABC中,根据勾股定理,得AB=2,在Rt ABD中,根据勾股定理,得; (2)过C点作CF⊥CD,构造手拉手模型,运用等腰直角三角形的性质可得证; (3)过C点作CF⊥CD,构造手拉手模型,运用三角形全等可得证. 【详解】(1)解:在Rt ABC中, ∵, ∴, ∴在Rt ABD中,. (2)证明:如图,过C点作CF⊥CD交DB的延长线于点F. ∵∠ACB=∠DCF=90 , ∴∠ACD=∠BCF, ∵∠CAD+∠CBD=360 -(∠ACB+∠ADB)=180 ,∠CBF+∠CBD=180 , ∴∠CAD=∠CBF, 又∵CA=CB, ∴ CAD≌ CBF(ASA), ∴CD=CF,AD=BF, ∴, ∵DF=DB+BF=DB+DA, ∴. (3)解:如图,过C点作CF⊥CD交AD与F点, ∵∠ACB=∠DCF=90 ,即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90 , ∴∠ACF=∠BCD, ∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90 +∠CDA,∠CDB=∠CDA+∠ADB=90 +∠CDA, ∴∠AFC=∠CDB, 又∵CA=CB, ∴ CAF≌ CBD(AAS), ∴CF=CD,AF=BD, ∴ CDF是等腰直角三角形, 又∵CE⊥AD, ∴E为DF中点, ∵AD=6,AF=BD=2, ∴FD=AD-AF=4, ∴. 【点睛】本题考查了勾股定理,等腰直角三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的全等,手拉手模型的构造,熟练构造手拉手模型是解题的关键. 24. 特例感知:①是;②; 深入探究:,理由见解析; 推广应用:2a. 【分析】 特例感知①根据勾股高三角形的定义进行判断即可; ②设根据勾股定理可得:,根据勾股高三角形的定义列出方程,解方程即可; 深入探究:根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系; 推广应用:运用探究的结果进行运算即可 【详解】解: 特例感知①等腰直角三角形是勾股高三角形, 故答案为:是; ②设 根据勾股定理可得:, 于是, ∴; 深入探究:由可得:,而, ∴,即; 推广应用 过点A向ED引垂线,垂足为G, ∵“勾股高三角形” ABC为等腰三角形,且, ∴只能是,由上问可知. 又ED∥BC,∴. 而, ∴ AGD≌ CDB(AAS), ∴. ∵ ADE与 ABC均为等腰三角形, 根据三线合一原理可知. 又 ∴, ∴. 学科网(北京)股份有限公司 $$