第3章 第2单元双曲线、抛物线-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

由OAOB知, 3.D 解析:设双曲线方程为4.^②}一y②}一k,因为双曲线过 +yy2=xr2+(kx +m)·(kx。+m) 点P(1,③),所以4-3-k-1; -(1+k{})xx。+kn(x+x)+m-0. 双曲线方程为4--2-1,即{} 代入得4m?-3{+3, 原点到直线AB的距离d-3. 4.B 解析:因为双曲线左焦点的坐标为F(一2,0). ##12} 所以c-2,所以c2-a②}+b-a2}+1,即4-a{}+1,解得 且当AB的斜率不存在时,x. 一y|,可得 ③ l: ## -d,依然成立. 设P(x.y),则op·FP-x(x+2)+y2, (3)由(2)知,当AB斜率存在时,|AB{^{}-(1+ $} $$$ 所以P·-42+2x-1-4(-+)#-3-1. 又因为点P在双曲线的有支上,所以x3, 由(2)知,4m?-3?+3. 所以1AB{[23(9般4+10+1)-3+ 12^} 所以当x-3时,OP·FP最小,且为3+23. 9^十+6^{}+1 9{+6^{+1 即OP·FP的取值范围是[3十23,十). ##6# 5.D 解析:批物线x^2-12y的焦点为F(0,3),准线为 y=-3,(x-4)?+y-1的圆心为Q(4,0),半径为1. 6-12. 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦 ## 点的距离,如图,故问题转化为求P,Q,F三点共线时P到 #}6般 Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值. #_# 所以AB<2; 当AB斜率不存在时,|AB|<2,所以 第5题答图 第二单元 双曲线、抛物线 由于焦点到圆心的距离是3{十4{}-5,点P到Q的距 1.C 解析:因为点A到抛物线C,的准线的距离为,所 离与点P到x轴的距离之和的最小值5一3一1-1. 以A(,)在渐近线y-上,所以# -1十 6.C 解析:方法一 由 CBF。= CFB可设 BC = 。 2 ICF|=m,由 CF l-CF |=2a,得|BF |=2a,所以 |BF。|-4a, [BF +FF1|BF* cos BF.F.- 2 BF |F.F。l 点P(2,y)且 |PF|-4,由抛物线定义可得2- 4a2+4c2-16a^{} ,又kr c=tan BF.F= ,得 8ac (一)-4.解得p-4,所以抛物线方程为y2-8x,所 6 以y-8×2,解得y。-士4.故选B. 4+4-16^} 令a-1,化简得6-26-2-0, 所以 这时,直线(与抛物线只有一个公共点(-,1),此时直 8ac C 得-1+③,所以双曲线的渐近线方程为-士(3+1)x. 线/的方程为y一1; 方法二因为c?-a?子6?, 当去0时,方程①的判别式为△一-16(2k?十k-1). a+a{②+62-4a{} 所以 2a -b.即-2ab-2a?-0,所以 组(*)只有一个解,这时直线/与抛物线只有一个公共点. 此时直线/的方程为y-1--(x十2)或y-1-- 7.CD 解析:对于A选项,由共辄双曲线的定义可知,与 即x+y+1-0或x-2y+4-0. -1(a0,b0)共辄的双曲线是 9.(4,0).(-4,0)y=士3x解析:圆的焦点坐标为 (4,0),(-4,0),故双曲线的焦点坐标为(4,0),(-4,0); c-4,且满足双曲线的离心率e-f-2,故a-2,b {} 士③x. #曲#}} 62} 10.2/2 解析:设A(xo·so),由题知F(,0):(1OFl一. _,B错误. 因为 AF|-2lOFl,所以lAF|-2lOF|= 。 一1的离心 因为点A在抛物线E上, 所以1AFl-xo+-),解得xo-# 所以A(,士), #.-2当 ab a 7 _-1 且仅当a一b时,等号成立,C正确。 3 } 解析:选①②,因为双曲线的渐近线方程为y一3x,故 坐标为(士c,0). 可得双曲线方程为?_} -a(子0). 3 #双曲 62} 都在圆x2十y2-c上,D正确。 8.ACD 解析:由题意知直线/的斜率存在,设其方程为 y-1-(x+2). -1. (y-1-(x+2) 由方程组 (*)可得y-4y+4(2k+ 2-4x -33 1-0.① 33 当一0时,由方程/得y-1, -1(>0).故可取 -1,得2_ --1. 36 选①③,因为焦点在v轴上,所以设双曲线方程为 解得-4, #22 故抛物线的方程为2一8x. a{262 -1(a>0,b>0). (2)设P(x.y).Q(x.y). 由双曲线的离心率为2,可得f-2. (y=r十n. 联立 12-8x, 得r2+(2m-8)x+m-0 即c?-4a?,所以b2-3a②, △-(2m-8){-4m{>0,得m<2. 又因为实轴长为4. 所以x+x=8-2n,xx=n^}, 所以a-2,b-2③ # P10,OP0-xx+yy=0. 所以xx+yy=x1x+(x+n)(x+m)-2xx+ n(x.+x)+n?-2m+n(8-2m)+m?-0. 解得n--8或m-0. >0,6>0). 经检验,当m一0时,直线过坐标原点,不合题意。 由实轴长为4,且得a一2. 又m一-8<2满足条件. 一条渐近线的斜率为3. 综上,1的慎为-8. 14.解(1)设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A,B. 以AB垂直平分线为v轴,拱圈最高点O为坐标原点; 建立平面直角坐标系, 12.1 解析:设直线1的方程为y=kx-1(>0),A(x y),B(x,y). -hx-1. 联立 得*-8kx+8-0. 2-8y, 所以x十r。一8. 第14题答图 .+2-4h, 则A(-12,-8),B(12,-8), 2 设拱桥所在的抛物线方程为x②一一2y(>0). yo-·xo-1-4-1. 因点A(-12,一8)在抛物线上,代入抛物线方程2- 因为AB的中点Q到:轴的距离为3; -2y.解得-9. 所以4-1-3,b>0,h-1. 故拱桥所在的抛物线方程是x2--18y. 则直线/的方程为y一r-1. (2)因x=-18y,故当x-3时,y--0.5. 设点F(0,2)关于直线/的对称点为F'(a,b), 故当水位暴涨1.54m后,船身至少应降低6.5十1.54 2 -(8-0.5)-0.54~0.6(m). 解得a-3,b--1, 所以船身应降低0.6m,才能安全通过桥洞. 所以点F关于直线/的对称点为F'(3,一1). I||MF -ME||-|MF'|-ME| |EF'|=1, 率为3,点(③,0)是双曲线的一个顶点,所以 当M在射线FE与直线1的交点时,取等号. 13.解 (1)已知抛物线-2x(0)过点A(2,y),且 lAFl-4. a-③, 则2一4. 37 所以经过双曲线右焦点F。且倾斜角为30{}的直线的 {##一1 (1+)(2+12) 同理可得PT|QT一 3 #起一16 3- #$++^6{选 又lAT||BT|-PT||QTI,则 好 16 6筒 得5r+6x$-27-0.-6-4$5$(-27)\$ 6 可得一, 设A(x),B(r,y),则x+x=- 51= 又 k,则 --k,即h,+h-0,即直线AB的斜$ 所以1AB -一1+#(-)×#)4×(-) 率与直线PQ的斜率之和为0. #1#24-_8 4 160 章末检测·A卷 5③ 15 5 1.B 解析:由左焦点为F(一4,0)知c=4.又a-5, 16.解(1)由双曲线的定义可知,M的轨迹C是双曲线 所以25-m{}-16,解得m=3或-3.又m 0,故=3$ 2.B 解析:由双曲线的定义得| PF |一PE。|-|3 |PF |-2a=6,所以|PF。|-9 c=v17, [a-1, 3.B 解:2=4,=2,ABl=t +x+=6+ -8$ 根据题意2a一2, 解得-4, 2-a^②十2, 4.B 解析:设圆的长半轴长为a,半焦距为c. c-17, a-c-0.6. 由题意可得 所以C的方程为2__ -=1(>1). 解得a-17.8,c-17.2. a十c-35. 所以。-17.2~0.97. (2)设T(,),直线AB的方程为y=k(x- 17.8 5.D 解析:由题意知直线MN的方程为y= 将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得 设M(x.y).N(x.y)与抛物线方程联立有 [x-12-4. 可得 -2ht 2-4x. -2-4. 由韦达定理有,x:十x- 所以FM-(0.2),FN-(3.4),FM·FN-0X3+2$4-8. #1起+1t-2-16 6.D 解析:设M(x,y),P(xo,y。),则Q(-xo,-yo), r2= 16- lp_- 又由A(r,-+),T(,)可得lA|= -o ##({ 一-)#( 一1) ##(-)# 由题意知kM·ko- #2- 2-xo2 所以 ATl|BTl-(1+^})(x-)(x2-) 13cl-3. /7 (1+)(*+12) #-16 得 -/7,所以a-2,2a-4. 386(2021…渐江8装市高二期未)已知月，B为双曲线号苦-10>06> 第二单元双曲线、抛物线 )的左，右焦点，过F,作y一一：的柔线分交双曲线的左，右两堂于 B,C两点（如）.若∠CBF,一∠C下B,则双由线的南近线方程为《 (时间，0钟满分，100今) A.y-土1 By=土，2x 第6题图 一，单项进择题，本覆共6小西，每小题5分，共即分.在每小题给出的西个先项中，具有一夏是杵合 C,y-土(+1： D.y-±（万-1D士 题日要聚的 二，多项城择题：本题共？小题，每小题5分，共10分，在每小期始出岭四个志项中，有多项整合理日 1应A是抛物线Cy=p>0)当双箱线C号一苦=1(a>0,6>的一条新近钱的交款《异于 要求，企影选对的得5分，第分选对的得3分，有选醋时得0分， T,(2021·广东江1章高二期末》定义，以双能线的实轴为服轴，虞箱为实轴的双自线与原双由线互 原点)，若成A到抛物线C,的准线的距离为P,则双曲线C的离心半等干 为共复双由线.以下关于共把双出线的结论正确的是 A.区 品，2 C.5 D4 A苦-1>0，b>0)共氧的双由线超时一舌-1@>0,6>0 三.[2021·去向1溪市高二期未（建）]已则抛物线C了-2>0)经过点P2,》,F为都物线的 .反为共辄的双由线渐近线不相间 物 焦点，且PF=A,期，的值为 C,互为共颗的双由线的离心率为马，则行6⊙2 A.±2 且士4 C.±5 D.土8 八互为共能的双曲线的4个焦点在同一属上 玉(021·广东江竹请高二期木)已知双曲钱的渐近线为y■±2：，且过点P(1,3》,南该双曲线的标 多，过点（一2,1）作直线1，与抛物线y2=4x只有一个公共点，雨下列直线1的方程满足条件的是 准方程为 A.y=1 B.x十2y=0 Cx+y+1-0 D.z-2y+4-0 A若-=司 取-营到 三，填空题：本超共《小阳，帮小题5分，共如会清起正确答聚填在题中横线上。 c-y- D.--1 又已知农南线号-苦=1o>0>0)商高心率为3，焦点与精结号=1的临点相月，事么区描线 的焦点坐标为：制近线方程为 。若点0和点F(-.0)分彩为双街线好-一1>)的中心和左高点，点P为双自线有支上的任 10,[2021·云南昆明章·高二期木()门已知抛物线E:y=2r(P>0)的集点为F,0为坐标原点， 意一点，婚O示，下户的取算乾假为 点A在抛物线E上，且1AF=2OF,若1O4-/1o.期一 A.[3-25,+∞) 且[3+25，+oo) 11,(21·山东高二有木)对乎中心在原点的双非规，给出下列三个条件：①离心率为2：四一条南近 c[+) 线的斜率为3：③实轴长为4，且椭点在y袖上，写出转合其中两个条件的一个双由钱的标常方园 D..+o) 5.已知P为抛物线x-12y上一个动点，Q为圆(x-4+y一1，期点P到Q的离与点P到￥轴 12.[2如21·河南洛和·高二期末（理）门已知前物线C一5y的焦点为P,球点P(0,一1)且斜率为◆ 距离之和的最小值是 (>0)的直线（与狐物线C交于A,B两点，AB的中点Q到x抽的距离为3，若M是直线1上的一 A.4 B.8 C.2 D.I 个动点，城3,0》，则IF一E的最大值为： 53 54 四，解答题：本莲共4本理，共40分，解养应可出文半说明，证明过程或藏算步廉 1长10分)已知双自线C号-音-1>0，>0)的南心率为，后，点6原，0品双曲线的一个点. 13,(10分已知慰物线y=2风p>0)的焦点为F,点A(2:%)为地物战上一点，且4F=4, (1)求编物线的方程： 《1》求双曲线的方程 (2》不过原点的直规4：y一十m与量物线交于不间两点P,Q,若)P⊥Q.求m的值 《2》经过双钱右焦点F:作领斜角为30的直线，直线与双周线交于不月的两点A,B,求A: 14.(10分)2020江苏连云老事高二期素)河道上有一抛物线琴失桥，在正常水位时，铁周慧高点电 16(10分)(2021+新商考基1》在平面直角坐标展0少中，已知点F,(一W17,0),F:17,0》,点M 水面8m,拱商内水重宽24m,一条船在水面以上部分高65m,船面留宽6m 满足MF,1一MF,-2记M的转连为C. (1》求C的方程， (2)设点T在直线x-是上，过T的两条直线分交C于A,B两点知P,Q两点，且1TATB- TP川TQ,求直线AB的等率与直线PQ的钧率之和. 4 第14题图 (1)试建立适当的直角坐标系，求提桥所在的抛物线的标准方程， (2》近日水位暴森了1.54m,为此，必知加重船载，降低船身，才能通过桥得，试问：和身至少应误 泽低多少米？《精跪到0,1m 36