第1章 章末检测·B卷-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

章末检测·B卷 无在酸长为：的正方体ADA,BCD中..N分别为A,B郡AC上约点AM-AN-号测 MN与平自B,CC的位置关系是 A,料交 县平行 C平直 以，不能确定 (时间：120分钟满分，10分) 8.如图氏求，平面PADL平置ACD,△PAD是正三角形，四边形ACD星矩形，M是A的中点： 一，单顶进择题：本理共8小，等小西5分，共40水，在海小题路出傅固本先项中，元有一减是将 P心与平面ACD将0角.周带的算等于 划日要来的， 1,若直线1的方向向量为：=1,0,2，平指▣的法向量为：■（一2,0，一4），则 ( A,成▣ 队(4 C.IC ,1与。斜交 工，已目点A(-30,-4).点A关于原点的对释点为B,则4B等于 A12 我9 C.25 D.10 第8盖国 &已每正方体ABDA,CD,中，若点F是侧直D,的中，心，且A户-Ai+mAB-一wLA-则m A,1 且g 豆 山.g 的值分鲜为 二，多项选择题：本厘共4小厘，年小圆5分，共200，在每小层给出的写个选项中，有多项牌合理 A分-量 c-2 n号 要录，业都志对的得5分。都分志对的得3分，有选醋时得0行， .如图质容，在正方体ABDA,出，CD,中，下列各式中运算的结果为向量AC的有 怎若向量。=(5=(1，一，2且。与的夹角的象统值为.期，= A.3 H一3 -11 1,3成一11 室5，在四棱维PA仪D中：后=(4，一2,8)，AD=〔-4,10).A产=(-8,8，一8，螺这个四酸维的高A 等于 第B题图 A.2 队1 C.13 D.26 A.(A++ 6.(01·新任篇降查高二南末)如图，在正方体ACDA,HCD中，M为线段A,D的中点，N为 B.(AA+AD)+DC 线段CD,上的动点，则直线CD与直议N所成角正总值的夏小值为 t) C.(A+BB)+BC D.(AA,+AB)+BC 10,下列命题中正确的是 A.A,,M,N是空间中的国点，若话，B,N不插构或空间基底，期A,,M,N共国 B已每a.b.e)为空同的一个甚底，若m=a十r,则a,b,m也是空间的基鹿 C,若直线1的方向向量为=(1,0,3)，平面：的法向量为m=《一20，三，影直线1。 第8题图 B若直找！的方向向量为=《1，，3，平面：的法向量为知=（一2,0,2，别直线！与平面：所域 c D. 角的正弦值为 17 18 II.如图，直三棱LACA,B,C中，D,E分划是AB,BB的中点，AA,=AC= 四，解答题：本共目小理，共7分，解信业耳出文平说副证可过程成表草步豫 17.1n分00，河影兼坊常，高二潮中)在①(D正+)L(0正-)。 CB=宁AA,脂下列说法正清的是 四D=受.0<m序，<1这三个条件中任选一个，补充在 ABC∥半直A,CD 下的间题中。 我⊥平面A,D 问可题，如图，在正方体ADA,B,CD,中，以D为坐标原点，建立空可 C平面A.CD与干再A.CE的夹角的正弦额为号 第11题阁 直角坐标系D一3，已每点月的坐标为0,0，)，E为棱D,C上的动 点，F为枝BC上的局点， ,试阳是否存在点尽，上调足正 平面A,C团与平值A,C宝的夹角的正弦值为 ·A,-0?若存在，求A2·BF的值，若不存在，请说明理由。 第17题周 注：如果运邦多个条杆分两解答，拆源一个解答计分. 12.(2020·江茅★场卡商三嘉来)细图，在正四较维P4B风CD中，AB-1,PB一2， E是PC的中点，设正四棱锥PAD与三棱能ECD的体积分别为V, V,,PB,P℃与平直BDE所成的角分别为e,品， A.PA∥平面BDE BPC⊥平面BDE C.VIV-t11 D.sin a t sin 12 第12题图 三，填空题：本现共4小庭，每小题分，共0分，请把正周暮黑惧在期中横线上 13若0=4，-2，-4》，b-(64-8,2),则24一b)·(a十2h》= 4,〔21·吉体东念师大附中高一麻末》如图.M是四而体M以的棱以的中点，点N在线霞M 上，点P在线2AN上.且MN-N.AP-AN.用向量O..元表O币.期O示-一 1州.12分)心知向量e=(1,-3,2),6=(-2,1,1).点AH-3:-1:4》:B-2,一2,2). 《1》求2知十b, 《2》在直线A上，是否存在一点上，便到（正L[)为原点？ 第14题图 5,在州面体PAC中，PA,B,风两两岳直，设APH=PC=4,期点P到平直ABC的距商为 16,21·在南升中伞高一麻来边长为2的正方体ADA,B,C,月内（包合表而和棱上）有一 点P,M,N分满为A,DD,的中点，且A产-1AM+AN(Ax∈R, 1若D币=tD,C(∈R》,别= ()若A,户-A,C∈R),用三棱维APD,C体积为 。 20 19,(12分)如周，在直三使住A8CA,C,中，4C=3,BC4.AB=5,AA,=4 20.(12分)[021·云南五溪韦高二期末（厘）门知周.A形是⊙0的直径.点C是 点D是AB的中点 回0上的动点，℃⊥平面AC,D.E分测是VA,1℃中点 减证：(1AC⊥C (1)来证：DB⊥B, (2)AC,∥平面CB, (2)当AC=C=2,C=4时，求二面角VAB的正蕊值， 箔19题图 第20题周 家 翠 21 22 21,且2分》知图，四边悬ACD为菱形，∠ABC=10.E.F是平面AB 22.12分)(20·新这化州事高一期表)在△AHC中，AB=AC=后，HC=2,E,F分别是边AH,AC CD同一到的两点，BE1平面ABCD,DFL平面ACD,BE-2DF, 上的点，且EF∥段，AH1C干H,AH门EF-山将△AEF舒EF折是，点A到逃A',此时清 AELEC. 足平直A'EFL平面BCFE. 1)E明，平罪A⊥平面AF: (2求直线AE与直线CF断改角的余弦慎. 常1题周 第2赠图 老蒂-吾表在线A的与华面BCE所接角大小： 《2若B,F分别为AB,AC中点，求二直角ABEC的余弦值 《3)在(2的条件下，求点H到平而ACF约距高， 名又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量， 则M(1,0,1),C(0,2,0),D1(0,0,2),C(0,2,2), 由已知得cos(N正，m= NE n CD=(0,-2,2), NEI C,D=(0,-2,-2),由CV=ACD1得N(0,-2x+2, 1 1 √(-1D2+(a+2)2+1F3· 2λ)， 所以M=(-1,-2入+2,21-1)， 整理得入十4λ一3=0. lcos(MN,C D)1= MN·CD 又因为1∈[0,1]，解得A=√7-2， IMNI C DI 所以线段A1E的长为7-2. 2 章末检测·B卷 22·√/1+(2X-2)2+(2A-1) 2 1.B解析：因为a=(1,0,2),n=(-2,0,一4)，所以n= 22·√8x2-12以+6 一2a,即a∥n,所以l⊥a 2.D解析：点A关于原点对称的点B的坐标为(3,0,4)，故 图为w-12以+6-，8(-）广+号月 1AB1=1AB=√/(-3-3)2+(0-0)2+(-4-4)2-10. 所以|cos(M,CD)1= 2 22·V8x2-12以+63 3.A解析：由于A萨-AD+D示-AD+号(DC+DD) 则sin(M,Gd≥ 3 A心+号A+号A,所以m=m=-名，放造A 7.B解析：如图所示， D 4.A解析：因为a·b=(x,4,5)·(1,一2,2)=x-8十10 图为AM-AN=2 q, =x+2,且a与b的夹角的余弦值为2， 所以AM=号AB.AN=号AC 所一 x+2 ，解得x=3或一11 2+42+52×√/1+4+4 所以M-MA+A1A+AN= 第7题答图 (舍去)，故选A. 号A店+A+专花 5.A解析：设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z), 号AB-3Ai+Ai+号A瓜+号Ai-号Ad 1n·AB=0,14x-2y+3x=0 则 即 取x=1,则y=4, n·AD=0, -4x+y=0, +号A市-号B+号品C, =子n=(1,4,音)，故点P到平面ABCD的距离d= 所以M,B店，BC共面. 因为MN寸平面BB,CC,所以MN∥平面BB,CC. A市，m=2,即这个四棱锥的高等于2， n 8.C解析：取AD的中点O,则由 6.C解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标 OP⊥AD,平面PAD⊥平面AB 系，设正方体的棱长为2， CD推出OP⊥平面ABCD,从而 建立空间直角坐标系Oxy,OD D 在x轴上，OP在之轴上，如图 所示， 第8题答图 设AD=2a,AB=2b,则P(0,0,3a),C(a,2b,0),所以 0元=(a,2b0),P元=(a,2b,-3a).易得<O元，PC) 30°，得c0s30°= O元.P a2+4b2 1Oc1PC√a2+4·√4a2+4b 第6题答图 鲁解得所以铝碧区 14 9.ABCD解析：A中，(A店+BC)+CC=AC+CC- m·C正=0， 2y十2=0， 则 即 AC:B中，(AA+AD)+D,C=AD+D,C= m.CA=0.22+22=0. AC:C中，(AB+BB)+B,C=AB+B,C=AC:D 可取m=(2,1,一2). 中，(AA+AB)+BC-AB+B,C-AC.所以， 从而c0s(n,m)=m一3， 所给4个式子的运算结果都是AC 救sin(n,m)= 10.ABD解析：对于A,A,B,M,N是空间中的四点，若 3 BA,BM,BN不能构成空问基底，则BA,BM,B共面， 即平百ACD与平面A,CE的夹角的正弦值为气选 则A,B,M.N共面.故A对： 项C正确. 对于B,已知{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c不共 12.ACD解析：连接AC,AC∩BD=G,连接EG,因为E, 面，若m=a+c,则{a,b,m}也不共面，则{a,b,m}也是 G分别为PC,AC的中点，所以PA∥EG,PA中平面 空间的基底，故B对： BDE,EGC平面BDE,所以PA∥平面BDE,放A正 对于C,因为e·n=1X(-2)+0×0+3×号=0，别c 确：PD=2,CD=1,E为PC中点，所以PC与DE不 3 垂直，故B不正确：E为PC中点，所以正四棱锥 ⊥n,若l￠a,则l∥a,但选项中没有条件l过a,有可能 P-ABCD的高为三棱锥EBDC高的2倍，四边形 会出现lCa,故C错： ABCD的面积是三角形BDC面积的2倍，所以四棱锥 对于D,因为cos(e,n》=en= e·n 得则 P-ABCD的体积是三棱雠EBDC的体积的4倍，故C √10×2w2 正确：以G为坐标原点，GB,GC,GP所在直线分别为 直线1与平面。所成角的正佳值为，放D对。 x轴，y轴，之轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 11.AC解析：连接AC1,交A1C于点F,连接DF, 则F为AC1的中点. 又因为D是AB的中点，所以BC1∥DF 因为DFC平面A,CD,BC1￠平面A,CD, 所以BC1∥平面A,CD.选项A正确. 由AC=CB-号AB,得ACLBC. 以C为坐标原点，CA,C店，CC的方向分别为x轴，y 轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C 第12题答图 xy3.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2) CD=(1,1,0),CE=(0,2,1)CA=(2,0,2). 则竖o.o.co.号.o小p(-号0.o 设n=(x1,1,1)是平面A1CD o9)Po.0,9).i=(受o-) 的法向量， n·CD=0,十为=0， 元=(0.号，-)，励=(-.0.0.庞 则 即《 n.CA=0,2m1+2=0. (-号，票，)，设平面BDE的法向量为=e, 可取n=(1,-1,一1) 同理，设m=(x2,2,2)是平面 BD·n=0 -√2r=0, 第11题答图 B配·n=0 令y=1, A1CE的法向量， 4=0, 15 可得=0-9m=(01,-)。 解析：如图 (D)D P=DA+AP=-(AD+ 2 P心.n sin a= DD)+AAM+AN PBI 2×22 8 sin B= P元1nl 7 --AD-AA+(AA+AMD 2 2×22一.故D正确. +(AD+DN) 第16题(1)答图 √7 =-Ai-AM+A(A不+号A)+(Ai+2AA 13.-200解析：因为2a一3b=2(4,一2，一4)-3(6，-3,2) =(-10,5,-14),a+2b=(4,-2,-4)+2(6,-3,2) +(-DAD+(+78-1)AA-DC- =(16,-8,0),所以(2a-3b)·(a+2b)=-10×16+ (AB, 5×(-8)-14×0=-200. 侵 14.Oi+}O成+0心解析：由题意0妒=0i+Ad 所以一1=0， 所以1=子 -0i+oN-0i)=oi+是×号om=Oi A+7-1=0. +是×号×0i4-i+诚+花 (2)A,P-AD+D,产 2 15,。解析：方法一根福题意，以P为坐标原点， -AD+2AAB+(-DAD+(+1)AA PA,PB,PC所在直线分别为x轴，y轴，g轴可建立如 =号A店+AD+(a+2-1)AA, 图所示的空间直角坐标系P-xyz, A:C-AA+AB+BC-AB+AD-AA:. 则P(0,0,0),A(4,0,0),B(0,a, 因为A,P=kA1C, 0),C(0,0,a). 所以AA店+AD+(a+2-1)AA=(A店+A市 过点P作PH⊥平面ABC,交平 -AA), 面ABC于点H,则PH的长即 为点P到平面ABC的距高， [2= 因为PA=PB=PC,所以H为 第15题答图 所以=k, 所以友-号 △ABC的外心. +2-1=- 又因为△ABC为正三角形，所以H为△ABC的重心， 如图，连接A,D,A1C,分别与AD1,AC1交于点E,O, 可得H点的坐标为（号，号，号）月 连接EO,过点P作PG∥A1E, 所以PH=(号-0)+（号-0）+（号一-o)-a 在正方体ABCDA1BCD1中，易 证A,E⊥平面ADC, 所以点P到平面ABC的距离为。 所以PG⊥平面AD,C1. 方法二VP-ABC=VC-PAB· 图为A1E=号AD=瓦， 所以×ah=×. 第16题(2)答图 4 AP-号AC=号A0, 所以6= 所以0p-号A,0. 16 所以PG-号A,E=32, (2)假设存在点E,设AE=1AB. 7 则O元=O+AE=OA+1Ai=(-3,-1,4)+1(1, -AD DC-x2X22 -1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2), 若O正⊥b,则O元·b=0, 所以VmC=VrD,C=号SAAD PG=-号X2E 所以-2(-3+0+(-1-)+(4-20=0，解得1= 5 ×3- 因此存在点E,使得OE⊥b, 17.解由题意，正方体ABCD-A1B1CD1棱长为2. 此时点坐标为（一合一兰号》 则A(2,0,0).B(2,2,0),A1(2.0,2),D(0,0,0).C(0. 19.证明(1)因为直三棱柱ABCA1B1C1的底面三边长 2,0) AC=3,BC=4,AB=5. 设E(0,a,2)(0≤a≤2)，F(b,2,2)(0≤b≤2)， 则EF=(b,2-a,0),AC=(-2,2,-2),A正=(-2 且C1C垂直于底面，所以AC,BC,C,C两两垂直. 如图，以C为坐标原点， a,2),B=(h-2,0,2) 直线CA,CB,C1C分别为x轴， 所以E萨.A1C-4-2(a+b),AE·BF-=8-2b. y轴，：轴建立空间直角坐标系. 选择①，因为(D元+C市)⊥(D正-C市)，所以(D正+ 则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0, CF).(DE-CF)=DE2-CF=0. 4),B(0,4,0),B1(0,4,4), 即DE=CF, 第19题答图 0+(a-0)2+(2-0)2=(b-0)2+(2-2)2+(2 p(22.o 0)2,解得a=b. AC=(-3,0,0).BC=(0,-4,4),所以AC.BC 因为EF.A1C=4-2×(a+b)=0, 0,所以AC⊥BC.放ACLBC 所以a=b=1, (2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,则E(0,2, 故存在点E(0,1,2),F(1,2,2), 2). 满足E求.A1C=0,且A正.B示=8-2b=6. 因为D-(（-02)AC=(-30,4, 选择@，成=平v后+2-。= 所以D正-号AC.所以DE∥AC. 因为E萨.A1C=4-2(a+b)=0, 因为DEC平面CDB1,AC1寸平面CDB1,所以AC1∥ 所以6是 平面CDB1. 故存在点E(0.号2小F(号2,2. 20.(1)证明因为AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动 满足E正.AC=0.且A正.B示=8-2b=5. 点，所以AC⊥BC.因为VC⊥平面ABC,ACC平面 ABC,所以AC⊥VC,又VC∩BC=C,VC,BCC平面 选择③，E=(b,2-a,0).Di=(2,2,0), VBC,所以AC⊥平面VBC,因为D,E分别是VA,VC 因为0<cos(EF,DB)<1, 所以E市与D店不共线， 中点，所以DE∥AC,所以DE⊥平面VBC,因为VBC 平面VBC,所以DE⊥VB. 所以≠2-a,即a十b≠2， (2)解以C为坐标原点，CA,CB.CV所在直线分别 则EF.A1C-4-2(a+b)≠0， 为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，则A(2, 故不存在点E,F满足EF·A,C=0, 0.0),B(0,2.0).C(0.0.0).V(0,0.4), 18.解(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5). 所以A7=(-2,0,4),AB=(-2,2,0) 故2a+b=√02+(-5)2+52=5√2. 显然平面VAC的法向量可以为m=(0,1,0). 17 设平面VAB的法向量为n=(x,y,g),则 所以A正=152.C=(-1,-5,号） /n·AV=-2x+4z=0, 令x=2,则y=2,=1,所以 n·AB=-2.x+2y=0, n=(2,2.1). 设二面角C-VA-B为0， 2 2 、则cos0=nm1X2+2+173, 第20(2)题答图 所以s5血0=-o0-气，所以二面角CVAB的王 故cos(AE,C)= A正.C市 整值方汽 IAEIICFI 3 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为 22.解(1)因为AB=AC=5,BC=2,EF∥BC, AH⊥BC, 所以H为BC中点，CH=BH=1, AH=JAC-CH=2,AH⊥EF, 所以A'O⊥EF,又平面A'EF⊥平面BCFE,所以A'O 第20(1)题答图 ⊥平面BCFE, 21.(1)证明 连接BD,设BD∩AC=G,连接EG, 所以∠A'BO为直线A'B与平面BCFE所成角， FG.EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB=1.由∠ABC=120°，可 者能-号由EF∥BC得合品-能号所以 得AG=GC=. A0=×2=，0H= 由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE ⊥EC,所以EG=√3，且EG LAC. A0=A0=号，又OB=0H+HB=/(2）广+1 在R1△EBG中，可得BE=②，款DF= 5 2 在R△FDG中，可得FG=6 2 amn∠ABO=AC=1,∠ABO是锐角，所以∠ABO OB 在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=2,DF= =45. 2 (2)以O为坐标原点，分别以直线OH,OF,OA'为x 可得EF-3 轴，y轴，x轴建立如图所示的空间直角坐标系， 2 从而EG+FG2=EF2,所以EGLFG. 因为E,F分别为AB,AC中点，则EF=2BC=1, 又AC∩FG=G,AC,FGC平面AFC,可得EG⊥平 AO=OH=1, 面AFC E(0,-20,B1,-1.0A0.01 因为EGC平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC (2)解如图，以G为坐标原点，分别以GB,G式的方向 弦=(1，-号0)，BA=(-11,D. 为x轴，y轴正方向，GB|为单位长，建立空间直角坐 设平面A'BE的一个法向量为m=(x,y,z), 标系Gryz.由(1)可得A(0,-3,0),E(1,0,2), m…成=x-2y=0, F-1.0.号).c05,0. 则 取y=2,则x=1,g=-1, m·BA=-x+y十x=0, 18 即m=(1,2,一1)， 4.A解析：x2十y2为线段AB上的点 平面BCE的一个法向量为n=(0,0,1), 与原点的距离的平方， cosm,m）=min6X1一6' ·n -1=-6 由数形结合知， O到线段AB的距离的平方为最小 第4题答图 所以锐二面角A'BEC的余弦值为 6 值，即=号0B2=1为最大值，故选A 5.B解析：因为直线41：mx十2y一4-m=0(m>0)在 x轴、y轴上的截距相等， 所以m十4=m十4 2,m=2,所以直线1为2+2y-4- 2=0,即x十y-3=0, 所以直线1与直线12：x十y一1=0间的距离为 第22(2)题答图 (3)由2c11,0.F0,号0)，F元=(170）， -1+31=2. 2 CA=(-1,-1,1). 6.D解析：以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x轴、 设平面A'CF的一个法向量为p=(x1y,1),则 y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(4,0),C(0,4),得 p…元-4+2=0 △ABC的重心D(停，专)，设AP=,从而P(,0),x∈ 取1=1，则y1=一2， pC=-x1-y+=0, (O,4),由光的几何性质可知点P关于直线BC,AC的对称 1=-1,即p=(1,-2,-1), 点P(44-0.P,(-0)与△ABC的重心D(号，)共 CB=(0,-2,0), 4 所以点B到平面A'CF的距离为|CB1cOs(CB,p)|= 线，所 33-(4-x) 一，求得x=号 -- 3+x 第二章直线和圆的方程 AC解析：当直我经拉原点时，斜率为=8-2。 所求的直线方程为y=2.x,即2.x一y=0: 第一单元直线的方程 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x士y=k,把 1.C解析：由题意知ABC≠0，直线方程变为y=一 x 点A(1,2)代入可得1-2=k或1+2=k,求得k=一1 或k=3,故所求的直线方程为x一y十1=0，或x十y一3 一B =0.综上知，所求的直线方程为2x-y=0,x一y十1=0 因为AC<0,BC<0,所以AB>0,其斜率k=-合<0. 或x十y-3=0. B 8.AC解析：如图所示. 又y艳上的我距6=一合>0，所以直线拉第一、二、因 象限. 2.C解析：直线方程可化为a(x+y+1)十y一1=0，由 x+y+1=0 x=-2, y-1=0 解得 y=1. 因此，直线a.x+(a+1)y十a-1=0过定点(-2，l).故远C 3.B解析：直线3x一4y十5=0关于x轴对称的直线的 方程为3.x一4(-y)十5=0，即3.x十4y十5=0.放选B. 第8题答图 -19