第1章 章末检测·A卷-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

AM=AE+EM=(,+1,). 可取AB=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量 设0为直线AM与平面ADD:A1所成的角，则 AM.AB sin cos AM,AB)= AMIABI 2入 √A2+(a+1)2+X2×2√/3x2+2λ+1 第4题答图 3年2双中号，解得A=子所以AM=2 于是 则C(0,0,0),A1(3,0,3),B(0,4,0).C1(0,0.3). 所以CA1=(3,0,3),BC=(0,-4,3), 章末检测·A卷 所以cos(CA,BC)= CA·BC 932 1.A解析：因为|a2-2,1b2=2,(a+b)·(a-b) CA1IBC13√2×510 1a2-1bl2=0,所以(a+b)⊥(a-b). 所以直我BC与AC所成角的余弦值为温。 2C解析：以点A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别 为x轴，y轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 5.B解析：作AM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N. 则AM=3,BN=2,MN=5.又AB-AM+MN+NB. 所以AB-AM+MN+NB+2(AM.MN+AM. NB+MN.NB) 又AM⊥MN,MN⊥NB,(AM,NB=60, 故AB2-9+25十4+6=44. 第2题答图 所以AB=1AB=2T.故选B. 则E11,E).F(2,1,号).所以1E球1- 6.B解析：取A1B1中点O为坐 标原点建立如图所示的坐标系， a-2+1-1D°+(2-9)-，放老C 则A1(0,1,0),B(0,-1,1), 3.B解析：设D(x,y,x),则AD=(.x+1,y-1,x一2)， C3,0,1),A(0,1,1),A1A AB=(2,-1,-3),DB=(1-x,-y,-1-), (0,0,1),41B=(0,-2,1),AC 第6题答图 1 x+1=2(1-x), x =(3,-1,1). 因为AD=2Di.所以{y-1=-2y, 所以y=3 设平面A1BC的法向量为a=(x,y,z), 2-2=-2-2x, 1a·A1B=0,-2y+x=0, g=0. 取之=1， a·A1C=0, 所以D号号0).C市-（传---1-4小， 3.x-y+x=0, 因为C市LA成，所以C可·A店=2（号-+入-3(-1 得a=(小 X0=0,所以入=-日 所以点A到平面A,BC的距离4=Aa a 4,A解析：如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直 线分别为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系， -+(广+ 7.A解析：因为BC⊥平面PAB,AD∥BC,所以AD⊥平 10.BC解析：如图所示. 面PAB,PA⊥AD,又PA⊥AB,且AD∩AB=A,AD, ABC平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD. 以点A为坐标原点，分别以AD, AB,AP所在直线为x轴，y轴， B D :轴，建立空间直角坐标系Axyz. 第10题答图 则A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0, 对于A选项，A店·AC=AB·AC=AB·(AB+ 2.B0.l,0)M0,21 AD)=AB=a,A选项错误。 第7题答图 对于B选项，BD·BD=(AD-AB)·(BD+DD) 所以AC=(2.1.0,AM=(0,71小 =(AD-AB).(AD-AB+AA)=AD+AB= 求得平面AMC的一个法向量为n=(1,-2,1), 2a2,B选项正确. 又平面ABC的一个法向量A户=(0,0,2)， 对于C选项，AC.BA=(AB+AD)·(AA-AB)= -AB=一a2,C选项正确。 所以cos(,A户)=n·A2 2 1_6 1n|AP√I+4+IX266· 对于D选项，AB·AC=A店·(A店+AD+AA)= 所以二面角BACM的余营值为 AB2=a2,D选项错误. 11.AD解析：设AB=a,AD=b,AA=c,则a·c=b·c 8.B解析：过点B作BE垂直A1C,垂足为E,设点E的 =a·b=2X2cos60°=2，a2=b2=c2=4. 坐标为(x,y,z), D 则A1(0,0,3),B(1.0.0).C(1,2,0),A1C-(1,2,-3) A1E=(xy,2-3), B=(x-1,y,x. AE∥A1C. 因为 解得 BE.A C=0. x-1+2y-3x=0, 第11题答图 对于A中，因为AC=a+b+c, T= 7 可得AC1=a+b+c= y=9所以匠=（号9号） √a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=√24=26， 所以A正确， 6 7 对于B中，因为BD·BC=(b+c-a)·(b-e)= 所以点B到直线A1C的距离B配=25，故选B, -e2+b2+a·c-a·b=0. 7 可得异面直线BD1与BC夹角的余弦值为O,所以B 9.BC解析：因为a·b=(一2)×2+（一3）×0+1×4= 错误. 0,所以a⊥b.因为c=(一4，-6,2)=2（一2，-3,1），所 对于C中，因为AB=AD=2,∠DAB=60°，所以 以a∥e. △ABD为正三角形，可得BD=2, 9 因为DD,·DB=c·(a-b)=c·a-c·b=0,所以 13.(分0,0） 解析：设P(x,0,0),则AP=(x-1,一2， DD1⊥BD, 0),Bp=(x,-1,1D, 所以对角面BDD1B1为矩形，其面积为2×2=4≠ 43,所以C错误. A.B驴-xx-10+2=(x-)+子 对于D中，设AC与BD交于点O,连接OA1,取AA 所以当x=号时，A币，取最小值子，此时点P的坐 的中点M,连接OM, 标为（号00片 可得V=6VAAD=6X3SaM0·BD=2X7X 14.} 解析：设上、下底面中心分别为O1,O,则OO⊥平 √2×2×2=4√2，所以D正确.故选AD. 面ABCD,以O为原点，直线BD,AC,OO1分别为x 12.ACD解析：对于A项，连接AC交BD于点M,连接 轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， EM,如图所示. 因为AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=22, A1C1=B1D1=√2. 因为平面BDD1B1⊥平面ABCD,所以∠B1BO为侧 棱与底面所成的角，所以∠B1BO=60° D 第12题答图 B 因为PC∥平面BDE,PCC平面APC,且平面APC∩ 第14题答图 平面BDE=EM,所以PC∥EM, 又因为四边形ABCD是正方形，所以M为AC的 设棱台高为h,则tan60°=h 所以= 2 2 中点， 所以E为PA的中点，故A正确， 所以A0,-E.0.D(-号o,）B(号0号） 对于B项，因为AB∥CD,所以∠PBA为PB与CD所 C(0,2.0), 成的角. 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥ 所以AD=(-号2）BC-(-号2，-） AB, 所以cos(AD,BC= AD·BC 1 ADBCI 4 在R△PAB中，PA=AB,所以∠PBA=T,故B 故异面直线AD,与B,C所成角的余弦值为 错误。 对于C项，因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 15.10 2 解析：如图，过B,D 所以PA⊥BD, 分别向AC作垂线，垂足分 又AC⊥BD,AC∩PA=A,AC.PAC平面PAC, 别为M,N. 所以BD⊥平面PAC,又BDC平面BDE,故C正确. 则可求得AM=2,BM= 第15题答图 因为PA∩平面BDE=E,且E为线段PA的中点， 所以点P与点A到平面BDE的距离相等，所以D正确， CN-1.DV- .MN-1. 10 由于BD=BM+MN+ND, 所以|BD12=(BM+MN+ND)2 即异百直线A,C与BD所成角的余孩值为。 =|BM2+1M2+IND12+2(BM. 显然FD=FB=FC=a,又FA1=√EF2+EA7= MN+MN ND+BM.ND) +(） =a, ()+1+()+2(0+0+0) 所以点F是三棱锥A1-BCD外接球的球心，且球半径 5 R-a. 所以励= 由号a2=4v3,解得a=点 17.证明(1)以三棱锥的项点P为原点， 16.后后解折：在直角稀形ABCD中，固为AB/CD, 以PA,PB,PC所在的直线分别为x轴，y轴、x轴，建 立如图所示空间直角坐标系 ABLAD,CD=2AB=2AD=2a, 令PA=PB=PC=3, 所以BD=2a,BC=/2a,可得BD+BC=CD,即BCL 则A(3,0.0),B(0,3,0),C(0, BD. 0,3),E(0,2,1).F(0,1,0) 当平面A,DB⊥平面BCD时，三棱锥A1BCD的体积 G1,1,0),P(0.0,0) 取得最大值， 于是PA=(3,0,0),F心=(1， 取BD中点E,CD中点F,连接A1E,EF,则A1E 0,0).故PA=3F元.所以 第17题答图 ⊥BD, PA∥FG. 因为平面A1DB⊥平面BCD,且平面A1DB∩平面 又PA⊥平面PBC,所以FG⊥平面PBC. BCD=BD,所以A1E⊥平面BCD, 又FGC平面EFG,所以平面EFG⊥平面PBC 因为EF∥BC,BC⊥BD,所以EF⊥BD: (2)因为EG=(1,-1,-1).PG=(1,1,0),BC=(0. 以E为坐标原点，分别以EB,EF,EA1所在直线为x -3,3). 轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系， 所以EG.PG=1-1=0,元.BC=3-3=0. EG⊥PG,EG⊥BC 18.(1)证明以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别 为x,y,:轴建立如图所示空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2.0,0),B(2,2.0),C(0,2,0),D1(0, 0,5),E(0,0,1),F(2,2,4) 第16题答图 所以AC=(-2,2,0),AF=(0. D 则B(号a.0.o)D(-2a0.0A(0,0号c) 2,4).B2=(-2,-2,1),AE (-2,0,1). B C(a./Za.0). 因为B成.AC=0,B配.AF=0, 所以BE⊥AC,BE⊥AF,且AC∩ 所以D-(-0.0.At-(停。a.-号a, AF=A,AC,AFC平面ACF. 所以BE⊥平面ACF 第18题答图 设异面直线A1C与BD所成角为O, (2)解由(1)知，BE为平面ACF的一个法向量， 则osg=os(B成，AC1=B币.A可-=1-2 BDIA CI 2a3a 所以点E到平面ACF的距离4=A正，酡-5 BE 6 款点E到平面ACF的E离为号 11 19.(1)证明取BC的中点F,连接AE,EF,DF 所以DE⊥平面PBD,BC⊥平面PBD. 因为E,F分别为BC,BC1的中点， 因为DFC平面PBD,所以BC⊥DF. 所以EF∥CG,BF=2CG又AD-2AA1=2CG, 又因BC∩PB=B,BC,PBC平面PBC, 所以DF⊥平面PBC. AD∥CC1·所以EF=AD,EF∥AD. 故四边形EFDA为平行四边形， (2)解因为AB=2√3，BC=2,D,E分别是AB,AC 所以AE∥DF. 的中点， 又AE对平面BC1D,DFC平面BCD, 所以BD=PD=5,DE=1. 故AE∥平面BC,D. 由(1)得△BDE为直角三角形， (2)解由题意知AB,AC,AA1两两垂直，以A为原 点，以AC,AB,AA1的方向为x轴，y轴，轴正方向， 收5aE-要 建立空间直角坐标系， 设三棱锥PBDE的高为h, 又因为BC=BB=2,且BC=2AB,所以AB=1,AC=3, 则rE=吉SaE·A=得A=号 1 所以BD=(0,-1,1),BC1=(3,-1,2). 所以h=3=PD, 设平面BCD的一个法向量n=(x,y,:), 所以线段PD即为三棱锥P-BDE的高， 1n·BD=0, 则 所以PD⊥平面BDE,则PD⊥BD,PD⊥DE. n·BC=0, 如图，以点D为坐标原点，DB,DE,DP所在直线分别 1-y十2=0， 所以 令x=√5，则n=(-1,3,3) 为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系， 5x-y十2x=0, 则D(0,0,0),B(5,0,0),P(0,0,3),C(3,2,0), 又因为AC=(5,0,0)是平面BB1D的一个法向量， 故DB=(5,0,0).PC=(3,2,-3), 所以cosm.AC=-158)·(3.0,0)=-万. √/1+3+3×3 7 所以cos(D,P心)= DB.PC 3 30 DBIPCI 5×/10 10 所以平面BBD与平面BC1D所成角的正弦值 为42 又因直线BD与PC所成角的范国为(O,受]： 7 所以直线BD与PC所成角的余弦值为，则正我 黄为河 Rle-- 所以直线BD与PC所成角的正切值为y2四 3 第19题答图 20.(1)证明因为D是AB的中点， 所以AD=BD,即PD=BD. 又因为F为线段PB的中点，所以DF⊥PB. 因为D,E分别是AB,AC的中点， 所以DE∥BC 因为∠B=90°，所以DE⊥AB, 即DE⊥PD,DE⊥BD, 因为PD∩BD=D,PD,BDC平面PBD, 第20题(2)答图 12 21.解(1)存在. 依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1, 当M为AC中点时，DM∥平面ABF. -2.0),A1(0.0,2), 证明：因为D,M分别为BC,AC中点，所以DM∥AB, B1(0,1,2),C1(2,0,2).D1(1.-2,2), 又因为DM过平面ABF,AB⊥平面ABF, 又因为M,N分别为B,C和D1D的中点，得M 所以DM∥平面ABF. (2)如图，过A作AN⊥AB交BC于点N, (1,2小N,-21D 因为∠ABC=30°，AB= AC=4, 所以∠CAB=120°， 因为平面ABC⊥平面 ABEF,平面ABC∩平面 第21题(2)答图 ABEF=AB. 且四边形ABEF为矩形， 第22题(1)答图 所以AF⊥AB,则AF⊥平面ABC, 依题意，可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向 则AF,AN,AB两两垂直，以A为坐标原点建立空间 量.M=(o,-20小： 直角坐标系， 因为AB=AC=4,AF=2. 由此可得，M不·n=0,又因为直线MN丈平面AB 所以A(0,0,0),E(0,4,2),B(0,4,0),C(2√3，-2,0)， CD, 所以MN∥平面ABCD. 因为D为B,C的中点，所以D(√3,1,0)， (2)解AD=(1,-2,2),AC=(2,0,0),AB=(0,1, CE-(-25,6,2),AD=(3,1,0),AF=(0,0,2) 2), 设平面ADF的法向量为n=(x,y,), 设1=(x1y11)为平面ACD1的法向量， 1n·AD=0,W3x+y=0, 即 n·AF=0,22=0. n1·AD=0.x1-2y1+21=0, 则 即{ 所以n=(1,一3,0). m1·AC=0,2x1=0. 设直线CE与平面ADF所成角为0， 不妨设1=1， CE.nl_1-23-63 可得n1=(0,1,1). 则sin0l=|cos(CE,n)1= CElnl 2×/52 设n2=(r2y2,2)为平面ACB,的法向量， =239 n2·AB1=0,/y2+22=0, 13 则 即 n2·Ac=0, 2.x2=0 又固为线面角的范图是[0，]， 不妨设2=1，可得2=(0，一2,1). 所以直线CE与平面ADF所成角的正弦值为23丽 13 因此有cos(n1,n2)= 日0=0是 Imllm2l 22.(1)证明因为侧棱A1AL底面ABCD, 所以A1A⊥AC,A1A⊥AB sin(m ,n)=310 10· 又AB⊥AC, 所以二面角D,ACB,的正弦值为30 所以A1A,AB,AC两两垂直， 101 故以A为坐标原点，AC,AB,AA1所在直线分别为x (3)解依题意，可设A1E-AA1B1,其中A∈[0,1门， 轴，y轴，：轴建立职图所示空间直角坐标系。 则E(0,A,2),从而NE=(-1,A+2,1), 13 又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量， 则M(1,0,1),C(0,2,0),D1(0,0,2),C(0,2,2), 由已知得cos(N正，m= NE n CD=(0,-2,2), NEI C,D=(0,-2,-2),由CV=ACD1得N(0,-2x+2, 1 1 √(-1D2+(a+2)2+1F3· 2λ)， 所以M=(-1,-2入+2,21-1)， 整理得入十4λ一3=0. lcos(MN,C D)1= MN·CD 又因为1∈[0,1]，解得A=√7-2， IMNI C DI 所以线段A1E的长为7-2. 2 章末检测·B卷 22·√/1+(2X-2)2+(2A-1) 2 1.B解析：因为a=(1,0,2),n=(-2,0,一4)，所以n= 22·√8x2-12以+6 一2a,即a∥n,所以l⊥a 2.D解析：点A关于原点对称的点B的坐标为(3,0,4)，故 图为w-12以+6-，8(-）广+号月 1AB1=1AB=√/(-3-3)2+(0-0)2+(-4-4)2-10. 所以|cos(M,CD)1= 2 22·V8x2-12以+63 3.A解析：由于A萨-AD+D示-AD+号(DC+DD) 则sin(M,Gd≥ 3 A心+号A+号A,所以m=m=-名，放造A 7.B解析：如图所示， D 4.A解析：因为a·b=(x,4,5)·(1,一2,2)=x-8十10 图为AM-AN=2 q, =x+2,且a与b的夹角的余弦值为2， 所以AM=号AB.AN=号AC 所一 x+2 ，解得x=3或一11 2+42+52×√/1+4+4 所以M-MA+A1A+AN= 第7题答图 (舍去)，故选A. 号A店+A+专花 5.A解析：设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z), 号AB-3Ai+Ai+号A瓜+号Ai-号Ad 1n·AB=0,14x-2y+3x=0 则 即 取x=1,则y=4, n·AD=0, -4x+y=0, +号A市-号B+号品C, =子n=(1,4,音)，故点P到平面ABCD的距离d= 所以M,B店，BC共面. 因为MN寸平面BB,CC,所以MN∥平面BB,CC. A市，m=2,即这个四棱锥的高等于2， n 8.C解析：取AD的中点O,则由 6.C解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标 OP⊥AD,平面PAD⊥平面AB 系，设正方体的棱长为2， CD推出OP⊥平面ABCD,从而 建立空间直角坐标系Oxy,OD D 在x轴上，OP在之轴上，如图 所示， 第8题答图 设AD=2a,AB=2b,则P(0,0,3a),C(a,2b,0),所以 0元=(a,2b0),P元=(a,2b,-3a).易得<O元，PC) 30°，得c0s30°= O元.P a2+4b2 1Oc1PC√a2+4·√4a2+4b 第6题答图 鲁解得所以铝碧区 147.图,在四拼AD:四边形AD平行四边形:且故C 平已A.A AB.过B 章末检测·A卷 的中点,PA三AD-2若A战-1.二面角BACAf的余算 () (时闻:120分艳 辨分:150分) 一、单项选择题;本题共8小数,每小是5分,共40分,在每小题给出的即个选项中,只有一项是符 题冒要录, 。 1.已-(ms1.sina)-(sinr.I.cos a).判量a+与a-的夷角是 第7翻 。_ A.pr“ Bn 心 D.0 2.图:在长方体ABCDA.BCD中.ABHC.AA=②.E.F分是平面A.BCD平 8.如图.在空到直角标中有长方体A8CDA.BCDAB-1.BC-2.AA.一3.则点B到直线 *CCB.约中心,削E,两点罔的离为 A.C的声为 一阳附 第2翻图 。 A. 第 。._ I2短 3.已A(-1.1.2).B01.0.-11.没D在直线AB上.且AD-:DB,没C.+.1+a].若CD ! AB.副了的为 二、多题选择题;本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有项符合题目 __ A._1 。 要意,全那选对的得5分,部分选对的落3分,有选册的得0分. 9.向量a(-2.-3.1)-(2:0.4)e-(-4.-6-2.下列结论正确的是 4.[201.阻高二起末(理)]图,在直三ACABC中AC3.现 # A./) B.b C/): 一1CC-3.乙ACB-20.)BC.与A.C断或的角的余弦值为 10.(2020·山东&海言高二期末)正方体ACDA.BCD.的枝长为a.则下列结论正确的是( 1{ ) A.C--: n..D- 5.在平面直角标中.A(-2.3),B(3.-2).沿:把平面直角坐标系折成120的 C.A订一 p..AC- 二面角,刻AB的长度% ) 4题图 11.(202)·江南家郏大附中高-翻)在行六面体ABCDA.BCD.中.AB-AD-AA-. A. B.T C.2 乙A.AB-乙DAB-乙A.AD-0'.则下说法正确的是 6.在正三柱ABCA.B.C.中.若AB-2.AA.-1.则点A到平面A.BC的距离为 A.线段AC 的长度为: A. 1 D B.孙面线D,BC共角的余为 ) 1 C.对角面B.1DD的面积为15 四、答题:本共6小题,共70,应写出文设明,位明过程第步级 D.平行六面体ABCDA.B.CD的积为4② 17.(10分)在正三校整ABC中.三条侧西荫互相直C是八PAB的重心.EE分别是现C, 12.(2020·三对言高二跟中)如图,在四校推PABCD中,面AiCD是正方形,PA上 上的点,且E.FC-PF:FB-1·2证 (1评言)面C ABCD.PA一AB.数面ADE与直线PC平行,与PA交干点E,则下列判新正确的是 ) (201.01p0 12随 A.为A中点 B.PB与CD成的角为 二平面B平面AC 18.(12分)如图,在正国接杜ABCDA.B.CB 中.已知AB-2.AA-5.E.F分 D.点P与点A到平面BDE距离相等 别为DD.BB上的点.且D-BF-1. 三、填空题,本题共4小题,每小则5分,共20分,请把正确答案在题中株线上. 证1丰证ACF 13.已知A(1,2.0),B(01.-1)是-上的动点,出AP.B取最小植时,点P的标为 (2求点F到平面ACF的距离. 14.已知正四枝台A规D-A.B.CD中.上画A.B.CD边长为1.下底面Ax'D边长为2.辆枝 第18题图 与画所成的角为6o”,则孙面直线AD.与B.C所成角的余落植为. 15.已知矩形ABCD中.AB一1.BC一区.将矩形ABCD沿对角线AC折起,平ABC与平 ACD直.附B与D之问的距离为 16.(201.江家高三模)如图,在直角形ACD中,ACD.AB AD.已知CD-2AB-2AD-.将ABD沿直线BD折成△A.8D 连接AC.当三核ABCD的体积取得最大时.异面直线A.C与 D断成角的会弦值% :若此财三校A一BCD外接球的体 题图 积为4,则:的值为 三 12 19.(12分)[2021·四共狼高二刻(理)门]图,面BC3是某回柱 2.(17)(20·建高一末)知图甲.在RtA故C.乙B90.A一2.C2.D 的缺难面(过上,下面园心连续的敬面).线段AA是该因杜的一条 E分别是AB,AC的中点.把△ADE沿DE析至△PDE的位置,P平面CED.连接PB,PC.F 线.C一AB.点D为AA的中点 为线段PB的中点,如图乙 (1)当点为枝BC的中点时,证,AE平BC: (2)当鞋截面BCCB.是近长为2的正方形时,平霞BD与平 BC.D所成角的正弦值 第1题图 乙. 第20趣 1 (1证:D]平PC: (2)当三校雄PBDE的体积为时,求直线aD与PC所成角的正切值 一 & -]叫 1 21.(12分)[20②]·云山二题(现)]图:四动形A题是期形 22.(12分)图:在校ACDA.CD:境A.AABCD 平面ABCI平ABFF,D为BC的中点。乙ABC-30”,AB-AC-4. A一1. ABAC.AB-1.AC-AA-2.AD-CD-.且点M和N分% B.C和DD的中点 (1在直线AC上是否存在一点M,使得DW7平面ABF?若存在,试确 (1求证,MV/平ACD 定点M韵位置并证明,若不存在,请说明理由 21题图 (2求二角D-AC-B.的正值 (2)求直线CE与平面ADF所成角的正张 (3)设C为段AB.上的点.若直线NE和平面APCD所成角的正 第22题图 为,求线A的长。 15 1