精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025届高三上学期11月月考数学试题

高三月考数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3. 设均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 128 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 球O与棱长为2的正方体的各个面都相切，点M为棱的中点，则平面AMC截球O所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ） （参考数据：，） A. 60天 B. 65天 C. 70天 D. 75天 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大 B. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小 C. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小 D. 这组数据的第75百分位数为181 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，各项系数中的最大值为______． 13. 已知为锐角，且，则__________. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若边的中点为，且，外接圆的半径为，求外接圆的半径. 16. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． （1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； （2）证明：若的通项公式为，则不是数列； （3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三月考数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围． 【详解】由题意有， 又，， 可得， 故实数的取值范围是． 故选：B． 2. 已知为实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据复数的乘法运算和相等复数的概念计算可得，进而求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，即. 所以且，解得， 所以. 故选：D 3. 设均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直可求得，利用向量夹角公式可求得结果. 【详解】由得：，， ，又，. 故选：C. 4. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 5. 已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】通过前3项和以及，求解，由通项公式可计算结果. 【详解】因为，所以， 又的前3项和为28，即①， 又②， ②式比①式可得，解得（舍）或， 代入②式得，则. 故选：D 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得、，再由余弦差角公式即可得结果. 【详解】由，即， 由，即，而，则， 所以，可得. 故选：B 7. 球O与棱长为2的正方体的各个面都相切，点M为棱的中点，则平面AMC截球O所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等体积法求出圆心到截面的距离，然后根据勾股定理求出球半径，即可得到结果. 【详解】设圆心到截面的距离为，截面半径为， 由，即， 因为，，点到平面的距离为， ， 又，所以，所以平面AMC截球O所得截面的面积为. 故选：A. 8. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ） （参考数据：，） A. 60天 B. 65天 C. 70天 D. 75天 【答案】C 【解析】 【分析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，根据题意结合增长率列出相应方程，利用对数近似计算，即得答案. 【详解】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a， 设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天， 由题意得，即， 由于，故， 则（天）， 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大 B. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小 C. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小 D. 这组数据的第75百分位数为181 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均值、方差公式及极差、百分位数定义判断各项正误. 【详解】去掉前的平均值，去掉后的平均值，A错误； 去掉前的方差， 去掉后的方差，B正确； 去掉前的极差为，去掉后的极差为，C正确； 由，知这组数据的第75百分位数为184，D错误. 故选：BC 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的性质及运算法则得到，再利用基本不等式即可验证各选项是否正确. 【详解】由对数的性质及运算法则可知：，且， 所以：. 对于选项A：由，得：， 所以， 当，即时，取“”，所以选项A正确； 对于选项B：，所以， 当，即时取“”，所以的最大值为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由选项B的解题中可知：，所以， 所以，所以选项C正确； 对于选项D：因为 ，即 当，即时，取“”， 所以，故选项D正确. 故选A,C,D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A错误； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B正确； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，各项系数中的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 13. 已知为锐角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对已知式整理可得，由二倍角公式得，根据角为锐角及可得，最后由平方关系即可求解. 【详解】由， 得，即. 所以. 由于为锐角，所以， 则，结合， 所以， 因此. 故答案为：. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若边的中点为，且，外接圆的半径为，求外接圆的半径. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）设外接圆的半径为，外接圆的半径为，分析可知，角为锐角，利用正弦定理求出的值，可得出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值，再利用正弦定理可求得的外接圆半径. 【小问1详解】 解：因为，则，所以，， 又，所以. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，外接圆的半径为. 由正弦定理，得，则. 因为，则，所以为锐角， 则， 所以. 于是，所以. 16. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 【解析】 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断. 【小问1详解】 根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得， 因为， 所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. 【小问2详解】 由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，判断单调性即可； （2）将化简为，构造函数，并通过导数判断单调性得，然后参数分离得，最后通过导数求的最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，导函数为， 若，则，此时在单调递减； 若，令， 解得，其中， 由，得， 由，得， 所以在单调递减，在单调递增， 综上，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 由，得，则， 即， 令，则， 因为在上单调递减， 所以，即，则， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 19. 设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． （1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； （2）证明：若的通项公式为，则不是数列； （3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 【答案】（1）是T数列， 理由：由题知，即， 所以，， 当时，，所以是T数列． （2）证明：假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项， ， 所以对任意正整数，存在正整数满足：， 显然时，存在，满足， 取，得，所以， 可以验证：当，2，3，4时，都不成立， 故不是T数列. （3）或． 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据T数列的定义，即可作出判断； （2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果； （3）根据题设得到，取对数后可得，分类讨论后可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知是等比数列，其首项，公比， 所以， 所以， 由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 若，则，任意，这不可能成立； 若， 故对任意，总存在使得该等式成立， 故必为整数， 取，则有正整数解，故， 若，则，此时方程对任意， 必有正整数解； 若，则， 此时方程对任意， 必有正整数解； 综上，或． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $