精品解析：重庆市巴渝学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市巴渝学校高一年级2024-2025学年度上学期期中考试 数学试题 考试时间：150分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（共8题，每题5分，共40分，每题有且只有一个正确答案） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合B，再求出两集合的并集即可． 【详解】由，， 得. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案. 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题， 则命题“，”的否定是：，， 故选：B. 3. 是函数在上是减函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先从充分性进行研究，再从必要性角度研究，从而得到结果. 【详解】若，则， 则函数在上不是减函数， 若函数在上是减函数， 则，即，则成立， 所以是函数在上是减函数的必要不充分条件. 故选：B. 4. 下列函数既是奇函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可 【详解】不具有奇偶性，故A不满足条件 是奇函数但在上单调递增，故B不满足条件 既是奇函数又在上单调递减，故C满足条件 是偶函数，故D不满足条件 故选：C 【点睛】对于常见函数的单调性和奇偶性要熟练掌握. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：D 6. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A，C利用特殊值即可判断；对B利用作差法即可判断；对D利用不等式的性质即可判断. 【详解】对A，若，则，故A错误； 对B，，， ，，即，故B错误； 对C，若，则， 即，故C错误； 对D，，，即，故D正确. 故选：D. 7. 已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得是R上的增函数，用一次函数与二次函数的单调性及端点值的大小关系列不等式组即可求解. 【详解】因为函数满足对任意， ，当时都有成立， 所以是R上的增函数， 于是，即， 解得，即. 故选：A 8. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分，每题有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出的关系，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可. 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为或， ∴，A选项错误； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：BD 10. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为12 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，艇基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】正数，，满足， 对于A，，当且仅当取等号，A正确； 对于B，，当且仅当取等号，B错误； 对于C，，当且仅当取等号，C正确； 对于D，，当且仅当取等号，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数满足关于直线对称，的，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. ，都有成立，则的取值范围是 D. 若，则可能存在最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先利用赋值法，判断函数奇偶性，判断A，再利用函数的奇偶性构造方程组，求解函数的解析式，判断B，通过双变量构造函数，利用二次函数的单调性，即可求解的范围，判断C，分析内外层函数讨论得到取值，即可判断D. 【详解】A.，令，得，令，得，即，函数是奇函数，故A正确； B.关于对称，向左平移1个单位长度，得到即关于轴对称，为偶函数， 则，， ， 两式相加得，即，故B正确； C. ，有，得恒成立， 所以设函数，则函数在区间单调递增， 则，单调递增，成立，或，解得：， 所以的取值范围为，故C错误； D. ，， 两式相减得，所以， ，设，， 当时，或， 当时，取得最小值， 当时，，当时，取得最小值， 当时，，此时无最小值，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 13. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时，______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇函数性质求出，然后结合奇函数定义可求时的函数解析式． 【详解】解：是定义域为的奇函数， 当时，， , 即时，， 设，则， ， 是定义域为的奇函数， . 故答案为：. 14. 已知集合，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是______． 【答案】31 【解析】 【分析】由题意，先得到，再由可得或3，分别分析和的解的个数，得到判别式的条件，从而解出的取值，最后得到的非空子集个数. 【详解】对于，有， 所以集合中有两个元素，即， 因为，所以或3， 对于，易知必是方程中的唯一解，且不是方程的根； 当时，，所以有唯一解，且无解， 则，解得； 当时，若有两个相等的实数解，由上述分析可知， 无解，不满足题意； 若有两个不相等的实数解，此时，则有两个相等的实数解或有两个不相等的实数解且一解为， 当有两个相等的实数解时，则， 解得或1； 当有两个不相等的实数解且一解为时， 则，解得，符合题意； 综上，实数的所有可能取值为：，则. 所以的非空子集的个数. 故答案为：31. 【点睛】本题以这一新定义为背景，考查对集合中的元素个数分析的问题，主要考查分类讨论的数学思想. 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 已知集合. （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解即得. （2）利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 当时，，而，则或， 所以，. 【小问2详解】 由“”是“”的充分条件，得， 当，即时，，满足，则； 当时，由，得，解得， 因此或， 所以实数a的取值范围是或. 16. （1）求不等式的解集． （2）求下列各式的最值：当时，求的最小值； （3）求下列各式的最值：已知，求的最大值． 【答案】（1）；（2）5；（3）． 【解析】 【分析】（1）由可得，，整理后即可求解． （2）由，结合基本不等式求解即可； （3）由，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）由可得，， 整理可得，， 解可得，， 故不等式的解集为：． （2）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5； （3）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 17. 年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式 （2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少 【答案】（1）； （2）年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）通过讨论的范围，得出的解析式； （2）分别求出在和上的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 当时， ， 当时，， ； 【小问2详解】 若，， 当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 因为， 年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元． 18. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析，不等式解集为或 【解析】 【分析】（1）令求，令求. （2）令得，结合函数的定义域得为偶函数. （3）用定义法结合题目条件证明在上单调递增，根据函数为偶函数得到在上单调递减，利用函数的单调性求不等式的解集. 【小问1详解】 令得，故， 令得，故. 【小问2详解】 令得. ∵是定义在非零实数集上的函数， ∴为偶函数. 【小问3详解】 设任意的， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. ∵在上单调递增，且为偶函数， ∴在上是减函数， ∵， ∴， ∴且，解得且， ∴不等式的解集为或. 19. 若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”． （1）函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）； （2）已知函数． ①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值； ②已知函数，若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】（1）① （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据“平稳函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； ②由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 对于①上单调递增 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故①是在上的“平稳函数”； 【小问2详解】 ①二次函数为，对称轴为直线， 在上单调递增，在上单调递减， 当，， 当时，， 当时，． 若，上单调递增， 则，解得（舍去）； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去），； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，（舍去）； 若，上单调递减， 则，解得（舍去）． 综上所述，或； ②易知，二次函数对称轴为直线， 又，且 ， ， 当时，在上单调递增 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴渝学校高一年级2024-2025学年度上学期期中考试 数学试题 考试时间：150分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（共8题，每题5分，共40分，每题有且只有一个正确答案） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 是函数在上是减函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数既是奇函数又在上单调递减是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 7. 已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A B. C D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分，每题有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C D. 不等式的解集为或 10. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为12 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 已知函数满足关于直线对称，的，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. ，都有成立，则的取值范围是 D. 若，则可能存在最小值 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 函数（是有理数）图象过一定点，则的坐标为______. 13. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时，______. 14. 已知集合，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是______． 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 已知集合. （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 16. （1）求不等式的解集． （2）求下列各式的最值：当时，求的最小值； （3）求下列各式的最值：已知，求的最大值． 17. 年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式 （2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少 18. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 19. 若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”． （1）函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）； （2）已知函数． ①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值； ②已知函数，若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$