精品解析：青海省西宁市湟中区第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考（期中）数学试卷

湟中一中2024-2025学年第一学期高中第二次月考 高一数学试卷 （命题： 审题： 时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是幂函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列函数中，满足“，都有”的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是减函数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域用区间表示为______． 13. 若命题“，”是假命题，则的取值范围为______. 14. 若满足对任意的实数a、b都有且，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）若，，求的值. 16. 已知集合；． （1）若，求； （2）若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围． 17. 某公司为了推广某款新产品，计划投资15万元用于这款新产品的宣传.每生产万件该产品，需另投入成本万元，且.已知该公司这款新产品每件的售价为14元，且生产的所有产品都能销售完. （1）求该公司这款产品的利润（单位：万元）关于产量（单位：万件）的函数关系式. （2）当产量为多少万件时，该公司这款产品的利润最大？最大利润是多少？ 18. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 19. 已知函数和都是奇函数，，且，当时，，且函数的定义域为. （1）求和的解析式； （2）用定义法判断在区间上的单调性； （3），都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湟中一中2024-2025学年第一学期高中第二次月考 高一数学试卷 （命题： 审题： 时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集、并集、补集的运算，可得答案. 【详解】，，则. 故选：C. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的定义判断． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题的否定是：， 故选：C． 3. 已知是幂函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，则， 所以. 故选：D. 4. 已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为. 故选：A. 5. 已知函数，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法可求得函数的解析式. 【详解】令，则，且， 由，可得， 故. 故选：A. 6. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值法可得出a、b、c的大小关系. 【详解】因为对数函数在上为减函数，则， 指数函数在上为减函数，则，即，故. 故选：C. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由观察图像的变化情况或取特殊值即可得答案 【详解】由为偶函数可排除A，C； 当时，图象高于图象，即，排除B； 故选：D． 【点睛】识图常用的方法： （1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； （2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； （3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 8. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，不等式的解集为， 当时，即当时，原不等式即为，合乎题意； 当时，即当时，则有， 解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：利用作差法分析判断. 【详解】对于选项AC：例如，满足， 但，即，故A错误； 且，即，故C错误； 对于选项B：因为， 若，则， 可得，即，故B正确； 对于选项D：因为， 若，则， 可得，即，故D正确； 故选：BD. 10. 下列函数中，满足“，都有”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意得，函数在上单调递增，然后逐个分析判断即可 【详解】因为，都有， 所以函数在上单调递增， 对于A，在上单调递增，所以A正确， 对于B，在上单调递减，所以B错误， 对于C，因为的对称轴为直线，且开口向上，所以函数在上单调递增，所以C正确， 对于D，在上单调递减，所以D错误， 故选：AC. 11. 已知函数是减函数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求出的取值范围即可. 【详解】根据题意，函数在上为减函数，则，可得， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：CD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域用区间表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若命题“，”是假命题，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出的取值范围. 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题，即在上恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则. 故答案为：. 14. 若满足对任意的实数a、b都有且，则________． 【答案】2024 【解析】 【分析】根据且，令得到求解. 【详解】解：因为满足对任意的实数a、b都有且， 令得，即， 所以， 所以， 故答案为：2024 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）若，，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据幂的运算法则计算； （2）利用换底公式后计算； （3）指数式与对数式互化后，由对数运算法则、换底公式求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ，又， 所以. 16. 已知集合；． （1）若，求； （2）若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用补集和并集的定义可得出集合； （2）先考虑当集合、有包含关系时实数的取值范围，即可得出当“”是“”的既不充分也不必要条件时，实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则或， 因为，所以，或. 【小问2详解】 因为，， 若，则，无解； 若，则，解得， 因此，若“”是“”的既不充分也不必要条件，则或， 因此，实数的取值范围是或. 17. 某公司为了推广某款新产品，计划投资15万元用于这款新产品的宣传.每生产万件该产品，需另投入成本万元，且.已知该公司这款新产品每件的售价为14元，且生产的所有产品都能销售完. （1）求该公司这款产品的利润（单位：万元）关于产量（单位：万件）的函数关系式. （2）当产量为多少万件时，该公司这款产品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当产量为16万件时，该公司这款产品的利润最大，最大利润是13万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用给定模型求出. （2）利用二次函数、基本不等式求出各段上函数最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 所以. 【小问2详解】 当时，， 则当产量为9万件时，利润达到最大值12万元； 当时，，当且仅当，即时取等号， 则当产量为16万件时，利润达到最大值13万元，而， 所以当产量为16万件时，该公司这款产品的利润最大，最大利润是13万元. 18. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对一切实数恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次不等式恒成立可得出关于的不等组，综合可得出实数的取值范围； （2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 由题意可得对一切实数恒成立， 即不等式对一切实数恒成立， 当时，则有，不合乎题意， 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由，可得， 可化为. （i）当时，原不等式即为，解得， （ii）当时，原不等式可化为， 当时，即当时，原不等式即为，解得； 当时，即当时，解原不等式可得或； 当时，即当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 已知函数和都是奇函数，，且，当时，，且函数的定义域为. （1）求和的解析式； （2）用定义法判断在区间上的单调性； （3），都有，求的取值范围． 【答案】（1）, （2） 证明：任取、且，即，则，， ， 所以，函数在上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由求出的值，可得出函数的解析式，由奇函数的定义可得出，再结合奇函数的定义求出函数在时的解析式，由此可得出函数的解析式； （2）任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）分析函数的单调性，将所求不等式变形为，得，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，，解得，所以，， 因为函数是定义域为的奇函数，则， 当时，， 则当时，，， 则， 因此，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 则函数在、上均为增函数，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上为增函数，且为奇函数， 由可得， 则，因为，可得， 构造函数，其中， 因为函数、在上均为减函数， 所以，函数在上单调递减，由题意可得， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $