专题04 圆（4大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（贵州专用）

专题04 圆 垂径定理与圆周角 1．（2023秋•黔南州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 2．（2023秋•黔东南州期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．（2022秋•遵义期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．米 D．米 4．（2023秋•黔东南州期末）如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（　　） A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm 5．（2023秋•绥阳县期末）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝48°，则∠OAB的度数为（　　） A．24° B．30° C．60° D．90° 6．（2023秋•关岭县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝110°，则∠BOD的度数为（　　） A．40° B．70° C．110° D．140° 7．（2023秋•关岭县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G． （Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求∠AGF的度数； （Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径． 点与圆的位置关系 1．（2023秋•绥阳县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则（　　） A．点M在⊙C外 B．点M在⊙C上 C．点M在⊙C内 D．不能确定 2．（2023秋•遵义期末）如图，⊙O是△PAB的外接圆，OC⊥AB，连接OB．若∠BOC＝50°，则∠APB的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 3．（2023秋•黔东南州期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E． （1）求证：∠BAD＝∠CAD； （2）连接BO并延长，交⊙O于点G，连接GC，若OE＝3，求GC的长． 切线的相关性质 1．（2023秋•关岭县期末）如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D、C、B在一条直线上，且DC＝2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则∠EAC的度数是（　　） A．60° B．45° C．30° D．50° 2．（2023秋•黔南州期末）如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，BC经过圆心O．若∠B＝25°，则∠C＝（　　） A．65° B．60° C．50° D．40° 3．（2023秋•绥阳县期末）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB．AD都相切，且DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，DE＝3，则OD的长为（　　） A． B． C． D．4 4．（2023秋•黔南州期末）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　） A． B．2 C． D．3 弧长与扇形的面积计算 1．（2023秋•绥阳县期末）一条弧所对的圆心角为135o，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为（　　） A．40cm B．35cm C．30cm D．5.625cm 2．（2023秋•七星关区期末）一个扇形的面积是3π cm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是　 　cm． 3．（2023秋•关岭县期末）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘也会让美食锦上添花，如图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，OC＝OD＝3cm，圆心角为60°，则图②中摆盘的面积是（　　） A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2 4．（2023秋•毕节市校级期末）如图，以O为圆心的扇形AOB与扇形COD的圆心角为30°，若AC＝2，OC＝6，则阴影部分的面积为 　 　． 5．（2022秋•安顺期末）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC． （1）求证：AE＝ED； （2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长． 与圆有关的最值和范围 1．（2023秋•关岭县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝24，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为 　． 2．（2022秋•贵阳期末）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 　 　． 圆的切线的性质与判定 1．（2023秋•绥阳县期末）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 2．（2023秋•黔南州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点E，D是BC上一点，连接DE，且∠B＝∠BED． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若BE＝16，ED＝10，求AC的长． 3．（2023秋•平坝区月考）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 4．（2022秋•黔东南州月考）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长． 5．（2023秋•汇川区月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长． 6．（2023秋•遵义月考）如图，AB为⊙O的直径，以AB为边作等边三角形ABC与⊙O交于点D，E，过点E作EF⊥BC于点F，下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接AD，则可证∠BAD＝∠CAD． 小红：由题目的已知条件，若连接OE，则可证EF为⊙O的切线． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明． （2）连接BE，若，求BF的长． 求阴影部分的面积 1．（2023秋•黔东南州期末）如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm长为半径作圆．则图中阴影部分的面积为（　　） A．（2﹣π）cm2 B．（π﹣）cm2 C．（4﹣2π）cm2 D．（2π﹣2）cm2 2．（2023秋•黔东南州月考）如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（　　） A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64 3．（2023秋•从江县校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　） A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣ 4．（2023秋•从江县校级月考）如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 5．（2023秋•关岭县期末）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G． （1）求证：； （2）若∠C＝120°，BG＝8，求阴影部分弓形的面积． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆 垂径定理与圆周角 1．（2023秋•黔南州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【分析】连接OC，利用勾股定理求出OE，可得结论． 【解答】解：连接OC． ∵AB⊥CD， ∴CE＝ED＝CD＝4， ∴OE＝＝＝3， ∴AE＝AO+OE＝5+3＝8， 故选：C． 2．（2023秋•黔东南州期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：∵＝， ∴∠ABC＝∠AOC＝×80°＝40°， 故选：C． 3．（2022秋•遵义期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝（米），然后求出CD的长即可． 【解答】解：连接OC，OC交AB于D， 由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°， ∴OD＝＝＝（米）， ∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米， 即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米， 故选：C． 4．（2023秋•黔东南州期末）如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（　　） A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm 【分析】连接EC，根据圆周角定理得到∠E＝∠B，∠ACE＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：连接EC， 由圆周角定理得，∠E＝∠B，∠ACE＝90°， ∵∠B＝∠EAC， ∴∠E＝∠EAC， ∴CE＝CA， ∴AC＝AE＝5（cm）， 故选：B． 5．（2023秋•绥阳县期末）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝48°，则∠OAB的度数为（　　） A．24° B．30° C．60° D．90° 【分析】利用平行线的性质得∠OBA＝∠BAC，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠BOC＝24°，从而得到∠OAB的度数． 【解答】解：∵AC∥OB， ∴∠OBA＝∠BAC， ∵∠BAC＝∠BOC＝×48°＝24°， ∴∠OBA＝24°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝24°． 故选：A． 6．（2023秋•关岭县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝110°，则∠BOD的度数为（　　） A．40° B．70° C．110° D．140° 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝110°， ∴∠C＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BOD＝2∠C＝140°． 故选：D． 7．（2023秋•关岭县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G． （Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求∠AGF的度数； （Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径． 【分析】（I）根据AB为⊙O的直径，D为的中点，C为的中点，可得出∠BAC＝30°，再由DE⊥AB可知∠AEG＝90°，进而可得出结论； （II）连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：（I）∵AB为⊙O的直径，D为的中点，C为的中点， ∴＝＝， ∴∠BAC＝30°， ∵DE⊥AB， ∴∠AEG＝90°， ∴∠AGF＝90°﹣30°＝60°； （II）如图，连接OF． ∵DE⊥AB， ∴DE＝EF，＝， ∵点D是弧AC的中点， ∴＝， ∴＝， ∴AC＝DF＝12， ∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x， 在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2， 解得x＝7.5， ∴⊙O的半径是7.5． 点与圆的位置关系 1．（2023秋•绥阳县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则（　　） A．点M在⊙C外 B．点M在⊙C上 C．点M在⊙C内 D．不能确定 【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再由直角三角形的性质得出OM的长，再与⊙C的半径相比较即可． 【解答】解：如图， ∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2， ∴AB＝＝＝． ∵M是AB的中点， ∴CM＝AB＝＞1， ∴点M在⊙C外． 故选：A． 2．（2023秋•遵义期末）如图，⊙O是△PAB的外接圆，OC⊥AB，连接OB．若∠BOC＝50°，则∠APB的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到＝，则利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC，从而得到∠AOB的度数，然后根据圆周角定理求解． 【解答】解：连接OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠AOB＝2∠BOC＝2×50°＝100°， ∴∠APB＝∠AOB＝50°． 故选：B． 3．（2023秋•黔东南州期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E． （1）求证：∠BAD＝∠CAD； （2）连接BO并延长，交⊙O于点G，连接GC，若OE＝3，求GC的长． 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）根据垂径定理得出点E为BC的中点，根据点O是BG的中点，得出，即可求出结果． 【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD； （2）解：根据题意，如图所示： ∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC， ∴点E为BC的中点， ∵点O是BG的中点， ∴ ∵OE＝3， ∴CG＝6． 切线的相关性质 1．（2023秋•关岭县期末）如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D、C、B在一条直线上，且DC＝2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则∠EAC的度数是（　　） A．60° B．45° C．30° D．50° 【分析】设半圆的圆心为O，连接OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC＝∠ABC＝60°，又由AE是切线，证明Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案． 【解答】解：设半圆的圆心为O，连接OA， ∵CD＝2OC＝2BC， ∴OC＝BC， ∵∠ACB＝90°，即AC⊥OB， ∴OA＝BA， ∴∠AOC＝∠ABC， ∵∠BAC＝30°， ∴∠AOC＝∠ABC＝60°， ∵AE是切线， ∴∠AEO＝90°， ∴∠AEO＝∠ACO＝90°， 在Rt△AOE和Rt△AOC中， ， ∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL）， ∴∠AOE＝∠AOC＝60°， ∴∠CAE＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOE﹣∠AOC＝60°． 故选：A． 2．（2023秋•黔南州期末）如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，BC经过圆心O．若∠B＝25°，则∠C＝（　　） A．65° B．60° C．50° D．40° 【分析】连接OA，如图，先根据切线的性质得到∠OAC＝90°，则利用圆周角定理得∠AOC＝2∠B＝50°，然后利用互余计算出∠C的度数． 【解答】解：连接OA，如图， ∵AC是⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∵∠AOC＝2∠B＝2×25°＝50°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°． 故选：D． 3．（2023秋•绥阳县期末）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB．AD都相切，且DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，DE＝3，则OD的长为（　　） A． B． C． D．4 【分析】设⊙O与AB、AD相切于点M、N．连接OM、ON，则四边形AMON是正方形．根据切线长定理，可得DE＝DN＝3，AN＝1，然后根据勾股定理可得答案． 【解答】解：设⊙O与AB、AD相切于点M、N．连接OM、ON，则四边形AMON是正方形． ∵DE、DA是⊙O的切线， ∴DE＝DN＝3， ∵AD＝4， ∴AN＝ON＝4﹣3＝1， 在Rt△OND中，OD＝＝＝． 故选：B． 4．（2023秋•黔南州期末）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】先判断出PA＝PB，进而判断出△PAB是等边三角形，即可得出结论． 【解答】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B， ∴PA＝PB，∵∠APB＝60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴AB＝AP＝2． 故选：B． 弧长与扇形的面积计算 1．（2023秋•绥阳县期末）一条弧所对的圆心角为135o，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为（　　） A．40cm B．35cm C．30cm D．5.625cm 【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设弧所在圆的半径为r， 由题意得，＝2π×5×3， 解得，r＝40． 故选：A． 2．（2023秋•七星关区期末）一个扇形的面积是3π cm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是　3　cm． 【分析】设此扇形的半径为r cm，利用扇形的面积公式得到＝3π，然后解关于r的方程即可． 【解答】解：设此扇形的半径为r cm， 根据题意得＝3π， 解得r＝3． 即此扇形的半径为3cm． 故答案为3． 3．（2023秋•关岭县期末）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘也会让美食锦上添花，如图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，OC＝OD＝3cm，圆心角为60°，则图②中摆盘的面积是（　　） A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2 【分析】根据S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD，求解即可． 【解答】解：∵AC＝BD＝10cm，OC＝OD＝3cm， ∴OA＝OB＝13cm， ∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝（cm2）， 故选：C． 4．（2023秋•毕节市校级期末）如图，以O为圆心的扇形AOB与扇形COD的圆心角为30°，若AC＝2，OC＝6，则阴影部分的面积为 　　． 【分析】由扇形面积公式求出扇形AOB与扇形COD的面积，即可得到阴影的面积． 【解答】解：∵OA＝OC+CA＝6+2＝8，∠O＝30°， ∴扇形AOB的面积＝＝，扇形COD的面积＝＝3π， ∴阴影的面积＝扇形AOB的面积﹣扇形COD的面积＝﹣3π＝， 故答案为：． 5．（2022秋•安顺期末）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC． （1）求证：AE＝ED； （2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可； （2）根据弧长公式解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°， 即OC⊥AD， ∴AE＝ED； （2）∵OC⊥AD， ∴， ∴∠ABC＝∠CBD＝36°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°， ∴． 与圆有关的最值和范围 1．（2023秋•关岭县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝24，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为 　16　． 【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案． 【解答】解：如图，连接CE， ∴∠CED＝∠CEA＝90°， ∴点E在以AC为直径的⊙Q上， ∵AC＝20， ∴QC＝QE＝10， 当点Q、E、B共线时BE最小， ∵BC＝24， ∴QB＝＝26， ∴BE＝QB﹣QE＝16， ∴BE的最小值为16， 故答案为：16． 2．（2022秋•贵阳期末）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 　　． 【分析】连接BD，取BD的中点O，连接ON，可知ON为△DMB的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形ABCD中，根据进而得出答案． 【解答】解：连接BD，取BD的中点O，连接ON，OC， ∵N为MD的中点， ∴ON为△DMB的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形ABCD中，， ∴CN的取值范围为， 即， 故答案为：． 圆的切线的性质与判定 1．（2023秋•绥阳县期末）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 2．（2023秋•黔南州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点E，D是BC上一点，连接DE，且∠B＝∠BED． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若BE＝16，ED＝10，求AC的长． 【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠AEO，根据余角的定义得到∠OED＝180°﹣（∠AEO+∠BED）＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接CE，根据圆周角定理得到CE⊥AB，求得∠DEC＝∠DCE，根据勾股定理得到CE＝＝＝12，求得∠A＝∠BCE，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠A＝∠AEO， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝∠BED， ∴∠AEO+∠BED＝90°， ∴∠OED＝180°﹣（∠AEO+∠BED）＝90°， ∵点E在⊙O上， ∴ED是⊙O的切线； （2）解：连接CE， ∵AC为直径， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠CEB＝90°， ∴∠BED+∠CED＝∠B+∠DCE＝90°， ∵∠B＝∠BED， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴BD＝DE＝CD＝10，∵BE＝16， ∴CE＝＝＝12， ∵∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCE＝90°， ∴∠A＝∠BCE， ∴△ACE∽△CBE， ∴， ∴， ∴AE＝9， ∴AB＝AE+BE＝9+16＝25， ∴AC＝＝15． 3．（2023秋•平坝区月考）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OM＝OA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OA， ∵∠AEC＝30°， ∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°， ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠B＝30°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA， ∴直线AD是⊙O的切线． （2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M， ∴AM＝EM， ∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°， ∴∠OAM＝30°， ∴OM＝OA＝×10＝5， ∴AM＝＝＝5， ∴AE＝2AM＝2×5＝10． 4．（2022秋•黔东南州月考）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长． 【分析】（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO＝90°即可； （2）由切线的性质及勾股定理可得CD的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得AF的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案． 【解答】（1）证明：（1）连接OC； ∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE＝CF， ∴∠1＝∠2． ∵OA＝OC， ∴∠2＝∠3，∠1＝∠3． ∴OC∥AE． ∴OC⊥CD． ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵OC⊥ED，AB＝10，BD＝3， ∴OB＝OC＝5． CD＝＝， ∵， 即， ∴CF＝， ∴OF＝＝， ∴AF＝OA+OF＝5+， 在Rt△AEC和Rt△AFC中，CE＝CF，AC＝AC， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∴AE＝AF＝． 5．（2023秋•汇川区月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长． 【分析】（1）连接OE，证明∠OEA＝90°即可； （2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长． 【解答】（1）证明：连接OE． ∵OE＝OB， ∴∠OBE＝∠OEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠OEB， ∴OE∥BC， ∴∠OEA＝∠C， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OEA＝90° ∴AC是⊙O的切线； （2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H， 由题意可知四边形OECH为矩形， ∴OH＝CE， ∵BF＝6， ∴BH＝3， 在Rt△BHO中，OB＝5， ∴OH＝＝4， ∴CE＝4． 6．（2023秋•遵义月考）如图，AB为⊙O的直径，以AB为边作等边三角形ABC与⊙O交于点D，E，过点E作EF⊥BC于点F，下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接AD，则可证∠BAD＝∠CAD． 小红：由题目的已知条件，若连接OE，则可证EF为⊙O的切线． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明． （2）连接BE，若，求BF的长． 【分析】（1）若选小星的说法，利用直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，再根据等边三角形的性质可得结论；若选小红的说法，先利用等腰三角形和等边三角形的性质得到∠OEA＝∠C，再根据平行线的判定与性质得到OE∥BC，进而得到OE⊥EF，利用切线的判定可得结论； （2）根据等边三角形的性质和圆周角定理得到BE⊥AC，∠CBE＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）若选小星的说法： 证明：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAD＝∠CAD； 若选小红的说法： 证明：连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠A＝∠OEA， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠C，则∠OEA＝∠C， ∴OE∥BC，又EF⊥BC， ∴OE⊥EF，又OE为半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：连接BE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴， 在Rt△BEF中，， ∴， ∴． 求阴影部分的面积 1．（2023秋•黔东南州期末）如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm长为半径作圆．则图中阴影部分的面积为（　　） A．（2﹣π）cm2 B．（π﹣）cm2 C．（4﹣2π）cm2 D．（2π﹣2）cm2 【分析】连接AD，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，AD⊥BC，根据三角形的面积公式和扇形面积公式计算即可． 【解答】解：连接AD， ∵△ABC是正三角形，BD＝DC， ∴∠B＝60°，AD⊥BC， ∴AD＝AB＝2， ∴图中阴影部分的面积＝×4×2﹣×3＝（4﹣2π）cm2 故选：C． 2．（2023秋•黔东南州月考）如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（　　） A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64 【分析】连接OC．利用勾股定理求出EC，根据S阴＝S扇形AOB﹣S梯形AOEC，计算即可． 【解答】解：连接OC． ∵四边形OACD是平行四边形， ∴OA∥CD， ∴∠OEC+∠EOA＝180°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OEC＝90°， ∴EC＝＝＝6， ∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64． 故选：C． 3．（2023秋•从江县校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　） A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣ 【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AE＝2，求出BE，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4， ∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4， ∵AB＝2， ∴cos∠BAE＝＝， ∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°， ∴BE＝AE＝2， ∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD ＝2×4﹣××2﹣ ＝6﹣． 故选：A． 4．（2023秋•从江县校级月考）如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出OD⊥EF，即可得出圆心O到EF的距离为圆的半径； （2）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可； 【解答】解：（1）如图所示，连接OD， ∵D为的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥EF， ∴OD的长是圆心O到EF的距离， ∵AB＝90cm， ∴． （2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G． ∵DA＝DF， ∴∠F＝∠BAD， 由（1）得∠CAD＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD， ∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2， ∴，解得OD＝6， 在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，， ∴， ∴． 5．（2023秋•关岭县期末）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G． （1）求证：； （2）若∠C＝120°，BG＝8，求阴影部分弓形的面积． 【分析】（1）由同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等即可证明； （2）根据弓形的面积等于扇形面积减三角形的面积，即可计算． 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠GAE＝∠ABF，∠EAF＝∠AFB， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴∠GAE＝∠EAF， ∴＝； （2）解：作AH⊥BF于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠ABC＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵AB＝AF， ∴△ABF是等边三角形， ∴BF＝AB＝4，∠BAF＝60°， ∴S扇形BAF＝×π×42＝π， ∵sin∠ABH＝， ∴AH＝AB•sin∠ABH， ∴AH＝4×＝2， ∵S△ABF＝BF•AH， ∴S△ABF＝×4×2＝4， ∴S阴＝． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$