精品解析：辽宁省营口市第一中学2024-2025学年九年级上学期质量检测数学试卷

辽宁省营口市第一中学2024-2025学年九年级上学期质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 卡西尼卵形线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 费马螺线 D. 蝴蝶曲线 2. 已知点A（，1）与点A′（5，）关于坐标原点对称，则实数、的值是（ ） A. B. C. D. 3. 配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则b的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 1 D. 2 4. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 7. 如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点(点不与点重合)，连接，若，则的度数可能是( ) A. B. C. D. 8. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（　　）台． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A. 两锐角都大于 B. 有一个锐角小于 C. 有一个锐角大于 D. 两锐角都小于 10. 如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分） 11. 若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是______． 12. 某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程_________． 13. 如图，正方形内接于半径为的，则图中阴影部分的面积为___________ ． 14. 如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______． 15. 已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． （2）求代数式的最小值． 18. 小明同学经常运用数学知识对网球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． （1）本次吊球能否过网？并说明理由； （2）若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，他应该向正前方移动多少米吊球，才能让网球经过点C正上方． 19. 如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于，已知平分． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径． 20. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，，过点作于点于点． 求证：． 21. 商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？ （3）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？ 22. 【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； ②连接，此时______°； 【问题解决】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】 （3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求； 【思维拓展】 （4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 23. 【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标为______． ①如图2，小明同学给出如下解题思路：分别过点B和点C作了y轴，x轴的平行线，构造出两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，小红同学给出另外一种解题思路：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标______． 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学用不同的方法把点坐标转化为线段长度，为了让同学们更好地感悟这种转化思想，李老师又提下面问题，请你解答． 如图4，二次函数，经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转90°到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，；求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省营口市第一中学2024-2025学年九年级上学期质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 卡西尼卵形线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 费马螺线 D. 蝴蝶曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 已知点A（，1）与点A′（5，）关于坐标原点对称，则实数、的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数可得a＝－5，b＝－1，故答案选D． 考点：关于原点对称的点的坐标． 3. 配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则b的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，将2024移到方程的右边，然后方程左右两边同时加上1，则方程左边变成了完全平方式，方程右边即为所求的b的值． 【详解】解： ， ∴， 故选：B． 4. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 故选：A． 6. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3， 4=4，3＜4， ∴圆与x轴相切，与y轴相交， 故选C． 7. 如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点(点不与点重合)，连接，若，则的度数可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理与等腰三角形的性质，三角形外角性质的综合应用，利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 点为上任意一点点不与点重合， ， ， ， 的度数可能是． 故选：C． 8. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（　　）台． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据∠A的度数，可求得∠A所对弧的度数，而圆的度数为360°，由此可求出最少要安装多少台同样的监控器． 【详解】设需要安装n（n是正整数）台同样的监控器，由题意，得：65°×2×n≥360°， 解得n≥，∴至少要安装3台这样的监控器，才能监控整个展厅．故选A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用能力． 9. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A. 两锐角都大于 B. 有一个锐角小于 C. 有一个锐角大于 D. 两锐角都小于 【答案】A 【解析】 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：由题意得 需假设两锐角都大于． 10. 如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况求出解析式，即可求解． 【详解】解：当0≤t≤1时，， ∴该图象y随x的增大而减小， 当1＜t≤2时，， ∴该图象开口向下， 当2＜t≤3，， ∴该图象开口向下， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关键． 二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分） 11. 若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】设另一个根为， 根据题意：， 解得，， 即另一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义． 12. 某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设年平均增长率为，则2021年盈利万元，2022年则为万元，再由条件“2022年盈利3662万元”进而可得方程． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意：， 故答案为：． 13. 如图，正方形内接于半径为的，则图中阴影部分的面积为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆的面积公式及割补法求不规则图形的面积，求不规则图形的面积要将其转化为规则图形的面积来求解． 由正方形内接于半径为的，可得正方形的对角线，进而根据勾股定理可求出，即正方形的面积等于，然后用圆的面积减去正方形的面积除以可求阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形内接于半径为的， ∴ ∴， ∴， ∴． ∴ ， 故答案为． 14. 如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 15. 已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，，可求出它函数图象与轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若新图象与直线无公共点，根据图象可得答案． 【详解】解： ∵函数与轴有两个交点， 解得， 当取最小整数时，， ∴抛物线为， 将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象， 所以新图象的解析式为：． 因为的，所以它的图象从左到右是上升的， 当与相切时， 即， 解得：， 此时，，故不符合题意； 当它过时，把代入， 得， 所以， 当它与新图象无交点时，由图象可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键． 三、解答题（本大题共8题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）移项，提取公因式对等式的左边进行因式分解，转化为两个一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：（1） ∴，． （2） 或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 17. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． （2）求代数式的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）先配方，再根据非负数的性质求解； （2）先配方，再根据非负数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵， ∴代数式的最小值为． 18. 小明同学经常运用数学知识对网球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． （1）本次吊球能否过网？并说明理由； （2）若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，他应该向正前方移动多少米吊球，才能让网球经过点C正上方． 【答案】（1）本次吊球能过网 （2）他应该向正前方移动1米吊球 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、函数平移、二次函数性质，解题的关键是熟悉二次函数的平移． （1）根据二次函数解析式和过点解得，令，解得对应函数的垂直距离，再与比较大小即可求解； （2）向正前方移动米吊球，二次函数关系变为，将点代入，即可求得向正前方移动距离． 【小问1详解】 解：将点代入二次函数关系， 则，解得：， 则二次函数关系为， 当时，， ∵球网的高度为， ∴本次吊球能过网； 【小问2详解】 解：设向正前方移动米吊球，则二次函数关系为：， 根据题意过点，则， 解得（舍去）， 故他应该向正前方移动1米吊球． 19. 如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于，已知平分． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据已知条件证明即可解决问题； （2）取中点F，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，取中点F，连接， ∴于点F． 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 20. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，，过点作于点于点． 求证：． 【答案】 证明：是直径， ， 于点，于点， ， 四边形是矩形， ， ∵，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】】本题考查了圆周角定理，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，根据圆周角定理得到，推出四边形是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到． 【详解】略 21. 商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？ （3）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？ 【答案】（1）每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元 （2）每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元 （3）当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程解实际问题的运用，解答时灵活运用销售问题的数量关系是解答的关键． （1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可； （3）设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件，根据“总利润=单件利润×销售量”得出函数关系式，再配方即可得其最值情况． 【小问1详解】 解：当每件商品售价为140元时，比每件商品售价130元高出10元， 即（元）， 则每天可销售商品60件，即（件）， 商场可获日盈利为（元）． 答：每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元； 【小问2详解】 解：设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元， 则每件商品比130元高出元，每件可盈利元， 每日销售商品为（件）， 依题意得方程， 整理，得， 解得：． 答：每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元； 【小问3详解】 解：设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件， 则商场的日盈利 ， ∴当时，w取得最大值，最大值为1600， 答：当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元． 22. 【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； ②连接，此时______°； 【问题解决】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】 （3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求； 【思维拓展】 （4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】 （1）①如图所示，即为所求； ②； （2）5；如图， ∵将绕点按逆时针方向旋转，得到， ∴， ，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （3）3； （4）． 【解析】 【分析】（1）①根据题意在网格上作出图形即可，②由①可知是等腰直角三角形，则可以求出； （2）将绕点按逆时针方向旋转，可得是等边三角形，再用勾股定理求得； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接可得是等腰直角三角形，再用勾股定理求得； （4）将绕点逆时针旋转，得到，连接，得到是等腰直角三角形，继而用勾股定理及其逆定理求解即可． 【详解】解：（1）①略 ②，， ； （2）略 （3）∵是等腰直角三角形， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到，连接，如图： 则，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴． （4）将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，本题难度较大，正确的添加常用辅助线是解题的关键． 23. 【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标为______． ①如图2，小明同学给出如下解题思路：分别过点B和点C作了y轴，x轴的平行线，构造出两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，小红同学给出另外一种解题思路：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标______． 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学用不同的方法把点坐标转化为线段长度，为了让同学们更好地感悟这种转化思想，李老师又提下面问题，请你解答． 如图4，二次函数，经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转90°到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，；求点M的坐标． 【答案】（1）C的坐标为；（2）P坐标为；（3）M的坐标为． 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，于点，过点作于点，于点，过点作于点，利用点的坐标得到，，，，利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论； （2）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用配方法求得抛物线的对称轴，则点坐标可得，过点作轴，垂足为，连接，，利用（1）中的方法求得点坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）过点作交延长线于点，分别过点，作轴于点，轴于点，利用（2）中的方法解答即可得出结论． 【详解】解：（1）小明同学的解题思路：过点作轴于点，过点作于点，如图， 点，， ，，， ． 则， ，， ． ， ，， ， 点的坐标为； 选择小红同学的解题思路：过点作轴于点，于点，过点作于点，于点，过点作于点，如图， 点，， ，，， ． 则， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故答案为：； （2）二次函数，经过点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的对称轴是直线． ， ． 过点作轴，垂足为，连接，，如图， 设的坐标为，则， 轴， ， ． ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 点恰好落在抛物线上， ， 解得：， （舍去）． 点坐标为； （3）过点作交延长线于点，分别过点，作轴于点，轴于点，如图， 则， ，， ． ， 点坐标为． 设直线的解析式为， 把，分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， 点的坐标为， ，， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点的坐标为． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：，（舍去）， ． ， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $