专题04 实数（考点串讲）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

七年级新鲁教版（2024）数学上册期末考点大串讲 串讲04 实数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期中真题对应考点练 考点透视 知识点1．无理数 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 知识点2．算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于，即x2=，那么这个正数x叫做的算术平方根，记为，读作“根号”， 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 知识点3．平方根 定义：如果一个数x的平方等于，即x2=，那么这个数x就叫做的平方根或二次方根.正数的两个平方根记作±，读作“正、负根号”. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 知识点4．开平方 定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号. 【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数； 2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 知识点5．立方根 定义：如果一个数x的立方等于，即x3=，那么这个数x叫做的立方根或三次方根. 数的立方根记作“”，读作“三次根号”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 知识点6．开立方 定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 【注意】 1）求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 2) 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 3）开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 知识点7．实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 题型剖析 题型一 无理数的认识 点拨：本题主要考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 例1．在-3，，，0.1，，0.1010010001这些实数中，无理数有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要根据无理数就是无限不循环小数即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：和是无限不循环小数，即为无理数， 故选B． 举一反三 1．下列各数中，不是有理数的是（    ） A．-8 B．π C． D．3 【答案】B 【分析】此题根据有理数的定义选出正确答案，有理数：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式． 【详解】A. -8是整数，是有理数，故本选项不符合题意； B. π是无理数，不是有理数，故本选项符合题意； C. 是分数，是有理数，故本选项不符合题意； D.3是整数，是有理数，故本选项不符合题意； 故选B． 点拨：此题考查有理数，解题关键在于掌握定义． 2．写出两个无理数，使它们的和为有理数，它们可以是 ． 【答案】和- 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．据此即可求解． 【详解】解：和-都是无理数，且+（-）=0， ∴它们可以是和-， 故答案为：和-（答案不唯一） 点拨：本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数， 题型二 求一个数的算术平方根 例1．下列说法： ①-4的算术平方根是-2； ②3的算术平方根是9； ③是7的算术平方根； ④64的算术平方根是8．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足a2=b，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：①-4没有算术平方根，原说法错误； ②3的算术平方根是，原说法错误； ③是7的算术平方根，原说法正确； ④64的算术平方根是8，原说法正确． ∴说法错误的有2个， 故选：B． 点拨：本题主要考查了求一个数的算术平方根. 举一反三 1． (-)2的算术平方根是（   ） A．- B．±3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的意义：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：(-)2的算术平方根是= ． 故选：C． 点拨：本题考查了算术平方根的意义. 题型三 求一个数的平方根 例1．求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1) |-225|； (2) ||； (3) ； (4) 【答案】(1)±15 (2)± (3)±0.2 (4)± 【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键 （1）先化简绝对值，再求求平根； （2）先化简绝对值，再求求平根； （3）先求算术平方根，再求平方根； （4）先求算术平方根，再求平方根； 【详解】（1）|-225|=225，225的平方根是±15．用式子表示为±=±15； （2）||=，的平方根是±．用式子表示为±； （3），的平方根是±0.2，用式子表示为±=±0.2； （4）=0.2，0.2的平方根是±，用式子表示为±=±； 点拨：本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键。   举一反三 1．下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．-4的平方根是±2 C．9的平方根是±3 D．平方根等于它本身的数是0 和1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根．根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、2是的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意； C、9的平方根是±3，故本选项正确，符合题意； D、平方根等于它本身的数只有0，故本选项错误，不符合题意； 故选：C．  点拨：本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根． 题型四 立方根 例1．方程2x3-2=0的解是（   ） A．x=-1 B．x=0 C．x=1 D．x=±1 【答案】C 【分析】先移项，把方程化为x3=1，再解方程即可. 【详解】解：∵2x3-2=0， ∴x3=1， 解得：x=1， 故选C 点睛：本题考查的是利用立方根的含义解方程，掌握立方根的含义是解本题的关键. 例2．下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是±3 B．的立方根是 C．-2是-8的立方根 D．-8的立方根是2 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根．根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、27的立方根是3，此选项错误，不符合题意； B、的立方根是，此选项错误，不符合题意； C、-2是-8的立方根，此选项正确，符合题意； D、-8的立方根是-2，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 点拨：此题考查了立方根，解题的关键是正确理解. 举一反三 1.下列说法正确的是（ ） A．-2020没有立方根 B．-1是1的立方根 C．一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数 D．125的立方根是±5 【答案】C 【分析】根据立方根的定义逐个判断即可．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 【详解】解：A、-2020有立方根，故A不正确，不符合题意； B、-1是-1的立方根，故B不正确，不符合题意； C、一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数，故C正确，符合题意； D、125的立方根是5，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 点睛：本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．   题型五 无理数的估算 1．如图，数轴上表示-4的点在（    ）   A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算出-4的大小是解题的关键． 先估算的大小，进一步估算-4的大小，再结合数轴表示数的方法即可得出答案． 【详解】解：∵＜， 即＜， ∴3-4＜-4＜4-4， 即-1＜， 观察数轴可得表示-4的点在线段BC上， 故选：B． 举一反三 1．计算：||-(π+1)0+ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，原式分别根据绝对值的代数意义，零指数幂的运算法则以及立方根的意义化简各项后，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】解：||-(π+1)0+ = = 题型六 实数的运算 例1．计算： (1)(-3)2+； (2) )2． 【答案】(1)11 (2)3 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根进行计算即可求解； （2）根据算术平方根，立方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式=9+5-3=11； （2）解：原式=+|-4|-5， =4+4-5， =3． 易错易混 易错题型一——无理数的判断 1. 判断下面的说法是否正确，并举例说明理由。 （1）两个无理数的和一定是无理数； （2）两个无理数的积一定是无理数。 易错题型二——算术平方根的整数部分与小数部分 1．已知2a+1的算术平方根是5，10+3b的平方根是±4，c是的整数部分，求a-5b+c的平方根． 【答案】± 【分析】根据算术平方根及平方根确定a=12，b=2，再由估算算术平方根的整数部分确定c=4，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：∵2a+1的算术平方根是5， ∴2a+1=25， 解得：a=12． ∵10+3b的平方根是±4， ∴10+3b =16， 解得：b=2． ∵c是的整数部分，而4＜＜5， ∴c=4， ∴a-5b+c =12-5×2+ =6， ∴a-5b+c的平方根为±． 点拨：此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 易错题型三——求代数式的平方根 1．已知实数a，b，c满足：+|b+4|+(c-3)2=0，求： (1) a，b，c的值． (2) a+b+c的平方根． 【答案】(1)a=5,b=-4,c=3 (2) a+b+c的平方根为±2 【分析】本题（1）根据题意易得 |b+4|=0, (c-3)2=0，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得a+b+c的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵+|b+4|+(c-3)2=0，且 |b+4|0, (c-3)20， ∴ |b+4|=0, (c-3)2=0， 解得：a=5,b=-4,c=3； （2）解：由（1）得：a=5,b=-4,c=3， ∴a+b+c=5-4+3=4， ∴4的平方根为±2， 即a+b+c的平方根为±2． 点拨：本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； 易错题针对训练 1. 设 m ＝5 － ，则实数 m 所在的范围是(　B　) A. m ＜－5 B. －5＜ m ＜－4 C. －4＜ m ＜－3 D. m ＞－3 B 【解析】 m ＝5 － ＝ － ＝ －3 ＝ －2 ，因为2 ＝ ， ＜ ＜ ， 所以－5＜－2 ＜－4，即－5＜ m ＜－4. 2.把下列各数填入相应的集合里： － ，－ ， ， ，－ ，0，－π，－ ， －4. 0 ，3.101 001 000 1…(每相邻两个1之间0的个 数逐次加1) 【解析】无理数集合：{　－ ， ，－π，3.101 001 000 1…(每相邻两个1之间0的个数逐次加1)　…}； 分数集合：{　－ ， ，－ ，－4. 0 　…}； 负实数集合：{　－ ，－ ，－π，－ ，－4. …}. 3.【新考法·程序计算法】一个数值转换器，原理如图所 示.当输入 x 为512时，输出 y 的值是 ⁠. 　 押题预测 练习&巩固 1.[2023年烟台市7年级上册期末] 已知｜2 a ＋ b ｜与 互为相反数.求2 a －3 b 的平方根； 解：(1)由题意得｜2 a ＋ b ｜＋ ＝0， 所以2 a ＋ b ＝0，3 b ＋12＝0， 解得 b ＝－4， a ＝2. 所以2 a －3 b ＝2×2－3×(－4)＝16. 所以2 a －3 b 的平方根为±4. 2. [2023年济宁市7年级上册期末] 先观察下列等式，再回答问题： ① ＝1＋ － ＝1 ； ② ＝1＋ － ＝1 ； ③ ＝1＋ － ＝1 ； … (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 n 的式 子表示的等式( n 为正整数). 解：(1) ＝1＋ － ＝1 .验证如下： ＝ ＝ ＝ ＝1 . 解：(2) ＝1＋ － ＝1＋ ( n 为正整数). 3． [2023年泰安市7年级期中 已知｜ a ｜＝5， ＝3，且 ab ＞0，求 a － b 的值. 解：因为｜ a ｜＝5， ＝3，且 ab ＞0， 所以有 a ＝5， b ＝3和 a ＝－5， b ＝－3两种情况. 当 a ＝5， b ＝3时， a － b ＝5－3＝2； 当 a ＝－5， b ＝－3时， a － b ＝－2. 综上所述， a － b 的值为2或－2. 4. [2023年济宁市7年级上册月考] 解：因为 ＝6， ＝4， ＝12，所 以最小算术平方根是4，最大算术平方根是12，所以最小 算术平方根与最大算术平方根的和是4＋12＝16. 例如1，4，9这三个数， ＝2， ＝3， ＝6，其结果都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.已知2，8，18三个数是“和谐组合”，求其中最小算术平方根与最大算术平方根的和. 5. [2023年临沂市7年级上册月考] 若 a ＜0，化简 － . 解：因为 a ＜0， 所以 － ＝－ a －( a －2)＝－ a － a ＋2＝2 －2 a . $$