特训17 三角函数 解答压轴题 （八大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训17 三角函数 解答压轴题 （八大题型） 目录： 题型1：恒成立问题 题型2：零点问题 题型3：方程解、实数根等问题 题型4：多零点、交点问题 题型5：复合函数 题型6：三角函数的周期性、对称性 题型7：三角恒等变换及其在三角函数的应用 题型8：新定义题综合 题型1：恒成立问题 1．已知函数满足，且，当时，．函数． (1)求实数的值； (2)当时，求的解析式； (3)设，是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．设函数 (1)若，，求角； (2)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围. 题型2：零点问题 3．已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期与函数相同． (1)求的单调递减区间； (2)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 4．已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同． (1)求的对称中心， (2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值； (3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 题型3：方程解、实数根等问题 5．若函数满足且，则称函数为“函数”. (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求. 6．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 题型4：多零点、交点问题 7．某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 8．如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由． （2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值． （3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值． 9．对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数． (1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①；②． (2)若为阶梯函数，求的所有可能取值； (3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且． 题型5：复合函数 10．已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值； (3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由． 11．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 题型6：三角函数的周期性、对称性 12．已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 13．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若与具有关系，求的取值范围； (3)已知，为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有. 判断与是否具有关系，并说明理由. 题型7：三角恒等变换及其在三角函数的应用 14．如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 15．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”． （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 题型8：新定义题综合 16．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”． (1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由； (2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由； (3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围． 17．对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 18．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； (2)若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训17 三角函数 解答压轴题 （八大题型） 目录： 题型1：恒成立问题 题型2：零点问题 题型3：方程解、实数根等问题 题型4：多零点、交点问题 题型5：复合函数 题型6：三角函数的周期性、对称性 题型7：三角恒等变换及其在三角函数的应用 题型8：新定义题综合 题型1：恒成立问题 1．已知函数满足，且，当时，．函数． (1)求实数的值； (2)当时，求的解析式； (3)设，是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）赋值法得到，由求得 （2）当时，，故，根据求出解析式； （3）求出的定义域为，根据复合函数的单调性得到在   上单调递减，构造，结合零点存在性定理得到使得，故需要满足，先由定义域得到，分和、两种情况，两种情况下求出最小值，分析得到均不合题意，则这样的实数不存在. 【解析】（1）当时，，故， 因为时，，所以， 因为，所以，解得． （2）当时，， 则， 又，故， 所以当时，． （3）由，即：， 所以的定义域为， 若存在满足题意的， 首先有在时恒成立， 即在时恒成立， 首先有， 其次令， 关于的二次函数的对称轴为， 当，即时，还要保证，解得， 当时，只需，解得， 所有在时恒成立当且仅当． 因为， 又因为，所以， 当时，在上单调递增， 此时的值域是的子集． 当时，在上先增后减， 在或处取得最小值，且，，，其中为对勾函数， 在上单调递减，在上单调递增， 又，，，故的值域是的子集， 综上，的值域是的子集． 故只需考虑在的情况即可， 因为在上单调递减， 根据复合函数的单调性得到在上单调递减， 又时，图象的对称轴为，开口向上， 故在上单调递增， 当时，令， 则在上单调递增， 其中，， 由零点存在性定理可知：使得， 又，故需要满足，所以只需满足， 当时，，不符合要求； 当时，则，解得， 由于，故无解， 综上，不存在． 【点睛】思路点睛：数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上求切线的横坐标，端点值或极值点等. 2．设函数 (1)若，，求角； (2)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3)当时，且；当时，. 【分析】 （1）首先根据三角恒等变换化简得，则，根据即可解出的值； （2）对不等式化简得，利用换元法再分离参数即可求出的范围； （3）根据正弦函数的有界性结合题目条件解出，分和讨论即可. 【解析】（1） ∵， 又∵，即， ∴或， ∵，∴或. （2） 令，，， ∴，∴，， 即， 令， 设，， 任取，且， 则 ，，，， ，即， 在上单调递减，， ∴，解得：. （3） ∵， ∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的， 可得 ∵，存在非零常数，对任意的，成立， 在上的值域为，则在上的值域为，∴ 当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍． 所以，即（且） 当时， 由诱导公式可得，,即， 当时，且； 当时，. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用正弦函数的值域以及函数定义域为时，函数左右平移不改变其值域的性质，再结合题目条件求出或，然后再分类讨论即可, 题型2：零点问题 3．已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期与函数相同． (1)求的单调递减区间； (2)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，在结合最小正周期及对称性求出、，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由（1）可得，分、、三种情况讨论，结合零点存在性定理说明有且只有一个零点，且，从而得到，再结合函数的单调性证明即可. 【解析】（1） ， 因为函数最小正周期与函数相同，且函数的最小正周期为， 所以，解得. 又因为函数的图象关于直线对称， 所以，，即，， 因为，所以， 所以， 由，，解得，， 所以函数的单调递减区间是，. （2）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点. ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时, 因为单调递增，，因为             所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且. 因为， 所以， 所以， 在上单调递减， ，所以. 【点睛】思路点睛：证明函数的零点个数问题，通常是通过说明函数的单调性，再结合零点存在性定理证明. 4．已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同． (1)求的对称中心， (2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值； (3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据正切函数图像特征得出函数的周期，进而根据正弦型函数对称性求解即可. （2）根据正弦型函数图象结构特征进行推理即可. （3）将函数零点问题转化成方程问题，然后对进行合理地分类讨论. 【解析】（1）因为函数的周期为，所以由题，所以， 又由图象关于直线对称，所以，即，所以， 所以，令，， 所以的对称中心为. （2）当时，令，解得， 所以由图象特征可知， 若函数在上恰有8个零点，的最小值应为： 首尾均应是零点， 则的最小值为， （3）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点. ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时, 因为单调递增，，因为             所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且. 因为， 所以， 所以， 在上单调递减， ，所以. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角函数型函数的图像特征，运用数形结合思想方法是灵活解决本题的关键. 题型3：方程解、实数根等问题 5．若函数满足且，则称函数为“函数”. (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求. 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)，； (3) 【分析】（1）根据“函数”定义列式计算即可判断. （2）根据函数新定义求得函数的周期和对称轴，然后利用周期性求得函数解析式并判定单调递增区间. （3）作出函数在上的图象，分类讨论结合函数的对称性求解即可. 【解析】（1）不是为“函数”，理由如下： 因为 所以， 因此，函数不是“函数”. （2）函数满足，令得 ， 即，所以函数为周期函数，且最小正周期为， 因为，则的一个对称轴为. ①当时，， 则； ②当，则， 则， 所以，. 综上所述，， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）由（2）可得函数在上的图象如下图所示， 下面考虑方程在区间的根之和. ①当或时，方程有两个实数解，其和为； ②当时，方程有三个实数解，其和为； ③当时，方程有四个实数解，其和为. 当时，关于的方程（为常数）有解， 记该方程所有解的和为， 所以，当时，； 当或时，； 当时，； 当时，. 因此，. 【点睛】方法点睛：与三角函数的新定义有关问题的求解策略： ①通过给出一个新的三角函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 6．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】(1)函数不具有性质；函数具有性质 (2)存在，， (3) 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【解析】（1），， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； （3）由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 题型4：多零点、交点问题 7．某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 【答案】(1)表格见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据表中的数据列方程组可求出的值，由函数的最值可求出，从而可求出函数解析式和表格中的数据； （2）先根据三角函数图象变换规律求出，然后得，求出函数定义域后，再利用换元法可求出函数的增区间； （3）由于的周期为，所以当时，令，考虑方程的根情况，设在必有两个不同的实数根，，，然后分，且，，且三种情况分析可得或，从而可求得结果. 【解析】（1）解：根据表中的数据可得，解得， 令表格空格从左到右依次为，故，所以， 又，所以完表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以. （2）解：将函数的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为：， 再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故. 此时， 令，则，故. 当时，为增函数，故为减函数； 当时，为减函数，故为增函数. 所以的增区间为. （3）解：，的周期为， 当时，令，考虑方程的根情况， 因为，故在必有两个不同的实数根， 因为在有奇数个零点，故. 若，则方程，在共有4个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根，与有奇数个零点矛盾，舍去. 若，，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或，与有奇数个零点矛盾，舍去. 同理,，也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根，与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在有个根，符合题意. 综上，，在共有3031个不同的零点. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查复合函数的单调性，考查函数与方程的综合问题，第（3）问题解题的关键是分类讨论在一个周期上零点的情况，考查计算能力和分类思想，属于难题. 8．如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由． （2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值． （3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值． 【答案】(1)具有性质， ； (2) 当时，，当时，； (3) . 【分析】（1）根据题意，结合诱导公式即可求得的值； （2）根据题意得到函数是偶函数的结论，再求的解析式，对函数对称轴进行分类讨论，即可求得函数在区间上的最大值； （3）根据已知条件求得的周期，结合已知函数解析式，对参数分类讨论，即可求得结果. 【解析】（1）由得， 根据诱导公式得 故具有“性质”，其中. （2）因为具有“性质”，故． 设，则，故， 则， 当时，因为在递增，所以当时， 当时，因为在上递减，在上递增， 且， 所以当时， 当时，因为在上递减，在上递增， 且，所以当时， 综上所述： 当时， ；当时，. （3）因为具有“性质”， 故，， 则， 从而得到是以2为周期的函数． 又设，则， ． 再设（）， 当（），则， ； 当()，则， ； 故对于，（），都有，而， 故， 故是周期为1的函数． ①当时，要使得与有2013个交点， 只要与在有2012个交点，而在有一个交点． 故过，从而得， ②当时，同理可得， ③当时，不合题意． 综上所述. 【点睛】本小题主要考查新定义下函数性质的考查，考查学生利用新定义解决问题的能力和分类讨论思想的应用，属综合困难题. 9．对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数． (1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①；②． (2)若为阶梯函数，求的所有可能取值； (3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且． 【答案】(1)①否；②是 (2)，． (3)，证明见解析 【分析】（1）验证是否成立即可； （2）根据，正弦函数的周期即可推出所满足的表达式； （3）根据阶梯函数的定义，先找出的性质，然后确定在一个周期上的零点情况，从而推广得到上零点的情形 【解析】（1），则；，则，故①否；②是. （2）因为为阶梯函数，所以对任意有： ． 所以，对任意，， 因为是最小正周期为的周期函数， 又因为，所以，． （3）． 函数，则有： ， ． 取，则有： ，， 由于在上单调递减，因此在上单调递减， 结合，则有： 在上有唯一零点，在上有唯一零点． 又由于，则对任意，有： ，， 因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，． 综上所述，存在，使得在上有4046个零点： ，，，，…，，， 其中，． 【点睛】本题考察的是函数新定义的理解，正确反复的使用新定义去研究抽象函数表达式所满足的关系是解决第三问的关键. 题型5：复合函数 10．已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值； (3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合正弦函数最值先求出，结合周期求出，代入特殊点求出，进而可得函数解析式； （2）结合三角函数图像变换求出，然后结合已知函数的最值与单调性关系即可求解； （3）结合已知先求出得范围，结合二次函数的性质及正弦函数的性质即可求解. 【解析】（1），， ， 又， ， ， ，又， ， . （2）由题意知：， 的图象向左平移个单位得， 即， 函数与均为其定义域上的单调增函数，且，， 当且仅当取得最大值时，同时取得最小值时， 才能取得函数的最小值， 由，得， 又，即， ，又， 的最小值为. （3）满足，解得， ， ，同理， ，， ，， 又函数在上单调递增， 若有， 则， 即只需，即成立即可，又， ，即存在，使成立. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求解，还考查了三角函数图象的变换及利用单调性解不等式. （1）求函数解析式的方法： ①利用最大（小）值确定； ②观察图象或由题意得周期，利用可求得； ③将特殊点代入解析式，结合得范围可求得. （2）利用单调性解不等式的方法： 如不等式，可利用函数的单调性来求解. ①把自变量的位置看成一个整体，要确保这个整体属于同一区间 ， 如，， 得， . ②判断函数在这个区间内的单调性，如函数在上单调递增. ③利用单调性得结论.如，即. ④解出不等式即可求解. 11．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 【答案】(1)函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数不是“2-利普希兹条件函数”； (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数新定义得和，即可判断； （2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可求解； （3）由题得，即，不妨设，根据零点的定义可得、，进而，则，设，有，结合零点的存在性定理即可证明. 【解析】（1）由题知，函数，定义域为R， 所以， 所以函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数， 所以， 当时，则， 函数不是“2-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域上任意两个，均有成立， 不妨设，则恒成立， 因为，所以，得， 所以的最小值为2． （3）因为函数是“利普希兹条件函数”， 所以在R上恒成立，即在R上恒成立， 由，得. 因为是函数的零点，则， 又是函数的零点，则，又， 所以，而，故， 设，， 由，， 得，由零点的存在性定理知函数在上有零点， 即方程在上有解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题. 题型6：三角函数的周期性、对称性 12．已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，；当时， 【分析】（1）由题意可知对任意恒成立，整理得，令，由的单调性，求出的最小值即可； （2）由时，，可求得)时，，利用在上单调递增，即可求出的范围； （3）由对一切实数恒成立，得一切实数恒成立．当时，；当时，可得，进而可得答案． 【解析】（1）由题意可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 整理得：， ∴， 令，则， ∵在上单调递增，∴， ∴． （2）∵时，， ∴当时，， ∴当时，， 即)时，， ∵在上单调递增， ∴且，即. （3）由已知，有对一切实数恒成立， 即一切实数恒成立， 当时，； 当时，∵，∴，， 于是，， 故要使恒成立，只有， 当时，，得到且； 当时，，得到，即， 综上可知：当时，；当时，． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 13．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若与具有关系，求的取值范围； (3)已知，为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有. 判断与是否具有关系，并说明理由. 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2)； (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据三角函数的性质可得，结合新定义即可下结论； （2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解； （3）根据函数的对称性和周期性求出、、的值域. 当、时，有；当、时，有，进而，结合新定义即可下结论. 【解析】（1）与具有关系，理由如下： 当时，，， 当，，当时，， 此时， 则与具有关系； （2）， ， 因为，则当时，，则， 所以， 则； （3）不具有关系，理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1； 又为定义在上的奇函数， 故在上，当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有， 所以关于点对称， 又， 所以的周期为，故的值域为，，， 当时，，； 时，，， 若，则，， 此时有； 当时，，； 时，，， 若，则，时， 有； 由于， 所以， 故不存在，，使得， 所以与不具有关系. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质. 题型7：三角恒等变换及其在三角函数的应用 14．如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析. 【分析】（1）取，分别求得，由此可得，故函数不是“保三角形函数”； （2）分，，三种情况均可证得能构成三角形的三边，故函数是“保三角形函数”. 【解析】（1）因为，取， 则，，， 显然，即不能构成三角形的三边， 故函数不是“保三角形函数”. （2）①当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； ②当时，，所以最大. 由得，， 故，即能构成三角形的三边； ③当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； 综合①②③可知，函数是“保三角形函数”. 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分，，三种情况证明能构成三角形的三边. 15．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”． （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 【答案】（1）；（2）证明见解析；定值；（3）或. 【分析】由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可. 【解析】（1）因为集合，， 所以； （2）由“余弦方差”的定义得：， ， ， . 所以是与无关的定值. （3）由“余弦方差”的定义得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于y轴对称或关于原点对称， 又， 所以与的终边只能关于y轴对称， 所以， 因为，， 当时，， 当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力. 题型8：新定义题综合 16．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”． (1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由； (2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由； (3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是，与是“自均值函数” (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案. （3）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案. 【解析】（1）对于函数定义域，若是“自均值函数”， 则存在实数，使得对于任意都存在满足， 则，即， 因为，，不符合题意，所以，不是“自均值函数”； 对于函数定义域， 令，则对任意都存在满足， 所以是“自均值函数”； 对于函数定义域， 令，则对任意都存在满足， 所以是“自均值函数”； （2）函数，定义域，若是“自均值函数”， 则存在实数，使得对于任意都存在满足， 即，即， 又函数的值域为，的值域为，不满足条件， 故函数不是为“自均值函数”. （3）存在，对于，存在，有， 即， 当时，的值域是， 则在值域包含， 当时又，则， 若，则，， 此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意， 于是得，， 要使在的值域包含， 则在的最小值小于等于， 又时，单调递减且，而有，解得， 此时取，的值域是， 而，，故在的值域包含， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握. 17．对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 【答案】(1)不是[0,1]上的函数，是[0,1]上的函数 (2) (3) 【分析】（1）根据函数定义，结合正余弦函数的性质判断给定区间内对应函数是否为函数； （2）由函数新定义及正弦函数性质知在是增函数，根据求t的所有取值； （3）由题意，在和、和上单调性分别相同，讨论的范围，进而求目标式范围. 【解析】（1）由在上为增函数，而在上为减函数， 故两个区间上的增减性不同，不是[0,1]上的函数； 由在上为增函数，在上也为增函数， 故两个区间上的增减性相同，是[0,1]上的函数； （2）由在上为增函数，要使也是增函数，且， 而在，上递增，且， 所以，，故，，故. （3）由在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 又在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当时，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 综上，，而在上值域为， 所以. 【点睛】关键点点睛：首先理解函数定义，再结合正余弦函数的性质研究单调性求参数. 18．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2) (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，结合函数的新定义，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的性质，分给求得的值域，即可求解； （3）根据题意，利用三角函数的对称性和三角函数的值域，得到不存在使得，即可得到答案. 【解析】（1）解：函数与具有关系. 理由如下： 当时；当时，； 当时，；当时，， 此时，所以函数与具有关系. （2）解：由函数， 且， 因为，当时，，所以， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）解：不具有关系. 理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 所以在上，当且仅当时，取得最小值－1， 由对任意有，可得关于点对称， 又，故的周期为， 故的值域为，， 当时，，时，， 若，即，此时有； 当时，时，； 若，则时，有， 因为，所以， 所以不存在使得， 故与不具有关系 【点睛】方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解. 19．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； (2)若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2) (3) 【分析】（1）利用题中给出的“重覆盖函数”的定义分析判断即可； （2）由条件可得，对任意，存在3个不同的实数，使得（其中， 即，即对任意有3个实根，进一步讨论求解即可； （3）利用已知条件结合新定义，再利用正弦函数的性质进行分析求解即可. 【解析】（1）因为， 则， 任取，令， 可得， 即或， 可得，或， 所以对于任意，能找到两个，使得， 所以是的“重覆盖函数”，且； （2）可得的定义域为， 即对任意，存在3个不同的实数， 使得（其中）， ，则， ， 即， 即对任意有3个实根， 当时，已有两个根， 故只需时，仅有1个根， 当时，，不符合题意， 当时，，则需满足，解得，此时无解， 当时，抛物线开口向下，由，可得， 所以函数在单调递减， 又， 所以， 所以， 综上，实数的取值范围是； （3）因为， 当时，当时且， 当且仅当时取等号，所以， 综上可得，即， 则对于任意要有2024个根， 由函数的图象， 要使要有2024个根， 则， 又，则， 故正实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题对任意，恰好存在个不同的实数，，使得，由于不是同一个变量，所以只需要的值域，再用这个值域中的值去判定中的有几个满足，从而可得为的“重覆盖函数”.然后可利用数形结合，根据的值来确定参数的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$