19.2 第4课时 证明举例（辅助线的应用）(5大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

19.2 第4课时 证明举例（辅助线的应用） 知识点一 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 知识点二 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 题型1 简单的证明（辅助线的应用） 解题技巧提炼 通过联结辅助线来证明（8字型）三角形全等，注意公共边的条件. 1．如图，已知，，求证：． 2．如图，已知，相交于点，且，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 3．已知：如图，，．求证：． 4．如图，已知平分，于点，．求证：． 5．已知，如图，在中，，，平分，于，交于，求证：． 6．如图，已知点为等腰直角内一点，，，为延长线上的一点，且． （1）求证：平分； （2）若点在上，且，求证：． 题型2 构造平行线证明（辅助线的应用） 解题技巧提炼 先做辅助线构造平行线，然后利用平行线的性质得到边角关系证明三角形全等. 1．如图，已知在中，，是上一点，延长至点，使．联结交于点，求证：． 2．如图，中，是边的中点，过点的直线交于点，交的延长线于点，且． 求证：． 3．已知：如图，是的中点，点在上，且． 求证：． 4．如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． （3）若，求的值． 5．如图，平分交于，点为上一点， 且，交于． 求证：． 6．在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． （1）如图1，当点是中点时，求证：； （2）当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由； （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 题型3 倍长中线法（辅助线的应用） 解题技巧提炼 如果遇到中点，我们一般可以考虑用倍长中线法证明三角形全等（SAS）. 1．已知：如图，中，、在上，且，过作，交于点，平分． 求证：． 2．阅读材料并解答下列问题． 阅读材料：出现“中点”、“中线”等条件的辅助线添加方法 如图在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解：延长至点，使，联结， 因为是边上的中线 所以， 在与中， ， 所以， 所以， 因为在中，， 又因为，， 所以， 所以． （1）在中，若，，则边上的中线的取值范围是 　 ． （2）如图①，在中，点是边上的中点，交于点，交于点，且，若，，求线段的长度．（请根据阅读材料添加辅助线，并加以说明） （3）如图②，在中分别以、为边向外作等腰直角和，点是的中点，联结、，当时，　　． 3．阅读以下材料，完成以下两个问题． 阅读材料已知：如图，中，、在上，且，过作交于点，．求证：平分． 结合此题，，点是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长至，使，连接． 在和中， ， ． ，． ， ． ． ． ， ． ． 平分． 问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 问题2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长． 题型4 截长补短法（辅助线的应用） 解题技巧提炼 通过截取线段长度，构造相等的边的关系证明三角形全等，此类题型多以SAS进行判定. 1．如图，在中，，是的平分线，求证：． 2．如图①，，平分，平分． （1）求的度数； （2）如图②，过点的直线交射线于点，交射线于点．求证：． 3．已知：在中，，平分，交于点，点在线段上（点不与点，重合），且． （1）如图1，若，且，则　 　，　 　． （2）如图2． ①求证：； ②若，且，求的度数． 4．【方法回顾】如图1，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是 　 　． ． ． ． ． ②证明四边形是平行四边形的依据是 　 　； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 5．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线．求证：． （1）解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接．（如图 小洁的证明思路：延长至点，使，连接．（如图 请你任意选择一种思路完成证明． （2） 问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明． 题型5 延长法（辅助线的应用） 解题技巧提炼 通过延长线段长度，构造相等的边的关系证明三角形全等，此类题型多以SAS进行判定. 1．如图，在四边形中，，，，连接．求证：． 2．如图，四边形中，，是上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求． 3．【思维探究】 （1）如图1，在四边形中，，，，连接． 求证：． 小明的思路是：延长到点，使，连接．根据． 推得，从而得到，然后证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程； 【思维延伸】 （2）如图2，四边形中，，，连接，猜想、、之间 的数量关系，请说明理由． 4．（1）如图1，在四边形中，，，，连接，，，连接．求证：． 小明的思路是：延长到点，使　 　，连接．根据，推得，从而得到　　，然后证明 　　，再证明 　　为等边三角形．从而可证． （2）如图2，四边形中，，，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）在四边形中，，，与相交于点．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长． 题型4 正方形模型（辅助线的应用） 解题技巧提炼 正方形模型常考半角模型、图外旋转构造直角三角形与已知直角三角形全等. 1．如图，正方形中，、是、边上两点，且，于，求证：． 2．如图，正方形中，、为，的上点且，求证：． 3．已知：如图，正方形的边上有一动点（与点，不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交正方形的对角线于点．若． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 4．【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　 　． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 题型5 旋转模型（辅助线的应用） 解题技巧提炼 如果已知条件很难推理出三角形全等，我们不妨结合已知角度进行旋转图形，构造三角形全等.此类题型多考查ASA、SAS. 1．如图①，，平分，平分． （1）过点作直线，分别交、于、，求证：△是直角三角形． （2）如图②，将直线绕点转动，使交于，交的延长线于点，则、、三条线段的长度之间存在何种等量关系？请你写出结论并加以证明． （3）将直线绕点继续转动，使交于，交的反向延长线于，则、、三条线段的长度之间存在何种等量关系？请画出图形，并直接写出你的结论，不必证明． 结论：　 　． 2．综合与实践 主题：研究旋转的奥妙． 素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍． 步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点，重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，连接． 猜想与证明： （1）直接写出线段与线段的数量关系． （2）证明（1）中你发现的结论． 3．已知：点为的角平分线的任意一点，与互补，的两边与的两边交于、两点． （1）如图1，当绕着点旋转时，和的数量关系是 　 　，请验证你的结论； （2）如图2，若时，与仍然互补，这时与还相等吗？并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2 第4课时 证明举例（辅助线的应用） 知识点一 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 知识点二 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 题型1 简单的证明（辅助线的应用） 解题技巧提炼 通过联结辅助线来证明（8字型）三角形全等，注意公共边的条件. 1．如图，已知，，求证：． 【答案】证明过程见解答． 【分析】连接，证明即可解决问题． 【解答】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ． 【点评】主要考查了全等三角形的判定及其性质，解题的关键是构造全等三角形． 2．如图，已知，相交于点，且，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【分析】（1）连接，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， 在和中，， ， ； （2），， ． 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是构造全等三角形． 3．已知：如图，，．求证：． 【分析】连接，根据等边对等角得到，因为，则可以得到，根据等角对等边可得到． 【解答】证明：连接， ， ． ， ． ． 【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 4．如图，已知平分，于点，．求证：． 【答案】证明见详解． 【分析】延长交于点，利用三线合一可得，再根据外角性质可以证明． 【解答】证明：如图，延长交于点， 平分，， （三线合一）， （等边对等角）， （外角性质）， ． 【点评】本题考查了三角形的外角、等腰三角形的三线合一、角的转化是本题的关键． 5．已知，如图，在中，，，平分，于，交于，求证：． 【答案】证明见解答过程． 【分析】由且平分 证得，再根据，，进一步求得，则得，从而得到结论． 【解答】证明：延长、交于点，如图， 平分， ， 于， ， 在和中， ， ， ， ， 于，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用角平分线和直角三角形中角之间的关系式，求得三角形的全等，而得到结论． 6．如图，已知点为等腰直角内一点，，，为延长线上的一点，且． （1）求证：平分； （2）若点在上，且，求证：． 【分析】（1）由等腰直角得，因，所以，即，可证明，，全等三角形的性质得，再由三角形的外角定理得； （2）由，，可证明是等边三角形，等边三角形的性质得；又由，，可证明，全等三角形的对应边相等得． 【解答】证明：（1）如图1所示： 在等腰直角中， ， ， ，， ， 由， ， ， 平分， 即平分； （2）如图2所示，连接， ，且， 是等边三角形，即． 又， ， ． 又， ，， ． 【点评】本题综合考查了等腰三角形，等边三角形和三角形的全等的判定和性质，角平分线的定义和三角形的一个外角与不相邻的内角的关系；难点是作辅助线构建两个三角形全等． 题型2 构造平行线证明（辅助线的应用） 解题技巧提炼 先做辅助线构造平行线，然后利用平行线的性质得到边角关系证明三角形全等. 1．如图，已知在中，，是上一点，延长至点，使．联结交于点，求证：． 【答案】证明过程请看解答． 【分析】过点作交于点，由“”可证，可得． 【解答】证明：如图，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， 在和△中，， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，中，是边的中点，过点的直线交于点，交的延长线于点，且． 求证：． 【分析】过点作交于，根据两直线平行，同位角相等可得，内错角相等可得，利用“角边角”证明和全等，则，再根据等边对等角可得，然后求出，再根据等角对等边可得． 【解答】证明：过点作交于， ，， 在和中 ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 3．已知：如图，是的中点，点在上，且． 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】过点作交于，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【解答】证明：如图，过点作交于， 则，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 4．如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． （3）若，求的值． 【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答；（3）． 【分析】（1）过点作交于点，然后根据等腰三角形三线合一得出，，再根据，得出，从而的吃结论； （2）由（1）可得即可； （3）过点作于，由（2）可得，再根据可得，，再根据，由平行线的性质科的结论． 【解答】（1）证明：如图，过点作交于点， ，， ， 又，， ， ， 又， ， ； （2）证明：由（1）知：， ， ，即， ， ， 是等腰三角形； （3）解：过点作于，如图所示： 由（2）知：，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，关键是对这些性质的掌握和运用． 5．如图，平分交于，点为上一点， 且，交于． 求证：． 【分析】作交的延长线于，证，推出，求出，即可求出答案 ． 【解答】证明： 作交的延长线于， ， ， 则， 平分， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， 主要考查学生的推理能力 ． 6．在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． （1）如图1，当点是中点时，求证：； （2）当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由； （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明见解答； （2），理由见解答； （3）的长是6或12． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由点是中点，得，，因为，所以，则，所以，则，所以； （2）因为，，所以，作交于点，则，是等边三角形，所以，，则，由，，得，即可证明，得，所以； （3）分两种情况，一是，且点在线段上，则，所以，则，所以；二是，且点在线段的延长线上，可证明，，则，，所以． 【解答】（1）证明：如图1，是等边三角形， ， 点是中点， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， 理由：如图2，是等边三角形， ，， ， 作交于点，则，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：的长是6或12， 理由：如图1，，且点在线段上， ，， ， ， ， 由（1）得， ， ， ； 如图3，，且点在线段的延长线上， ，， ，， ，， ， ， ， 综上所述，的长是6或12． 【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 题型3 倍长中线法（辅助线的应用） 解题技巧提炼 如果遇到中点，我们一般可以考虑用倍长中线法证明三角形全等（SAS）. 1．已知：如图，中，、在上，且，过作，交于点，平分． 求证：． 【分析】延长到，使．连接，由于已知条件通过证得得到，，由平行线的性质和平分得到，继而得出． 【解答】证明：如图，延长到，使，连接． 在和中，，，， ． ，． ， ． 平分 ． ． ． ，得证． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；题目通过作辅助线，构造全等三角形进行求解，也是正确解决本题的关键． 2．阅读材料并解答下列问题． 阅读材料：出现“中点”、“中线”等条件的辅助线添加方法 如图在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解：延长至点，使，联结， 因为是边上的中线 所以， 在与中， ， 所以， 所以， 因为在中，， 又因为，， 所以， 所以． （1）在中，若，，则边上的中线的取值范围是 　　． （2）如图①，在中，点是边上的中点，交于点，交于点，且，若，，求线段的长度．（请根据阅读材料添加辅助线，并加以说明） （3）如图②，在中分别以、为边向外作等腰直角和，点是的中点，联结、，当时，　　． 【答案】（1）； （2）10； （3）30． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答；根据三角形的三边关系计算； （2）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （3）延长到，使得，连接，同上的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可求解． 【解答】解：（1）在和中， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）延长到，使，连接，如图①， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即； （3）如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 3．阅读以下材料，完成以下两个问题． 阅读材料已知：如图，中，、在上，且，过作交于点，．求证：平分． 结合此题，，点是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长至，使，连接． 在和中， ， ． ，． ， ． ． ． ， ． ． 平分． 问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 问题2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长． 【分析】问题1：延长至，使，连接，先证．得，．再证，得，则，然后由平行线的性质得，即可得出结论； 问题2：延长至，使，连接，先证，得，，再证，得，进而得出答案． 【解答】问题 证明：延长至，使，连接，如图（2）所示： 在和中， ， ． ，． ， ， ， ， ， ， ， 平分． 问题 解：延长至，使，连接，如图（3）所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的判定与性质以及角平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型4 截长补短法（辅助线的应用） 解题技巧提炼 通过截取线段长度，构造相等的边的关系证明三角形全等，此类题型多以SAS进行判定. 1．如图，在中，，是的平分线，求证：． 【分析】在上截取，连接，求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出，，根据三角形外角性质和已知求出，推出即可． 【解答】证明： 在上截取，连接， 是的平分线， ， 在和中 ， ，， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键． 2．如图①，，平分，平分． （1）求的度数； （2）如图②，过点的直线交射线于点，交射线于点．求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，于是得到结论； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）在上截取，连接， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．已知：在中，，平分，交于点，点在线段上（点不与点，重合），且． （1）如图1，若，且，则　52　，　　． （2）如图2． ①求证：； ②若，且，求的度数． 【答案】（1）52，102； （2）①证明见解析过程； ②． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解； （2）①在上截取，连接，由“”可证，可得，，由外角的性质可得，可证，可得结论； ②连接，可证是等边三角形，可得，，由“”可证，可得，可求解． 【解答】解：（1）， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为52，102； （2）如图2，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 4．【方法回顾】如图1，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是 　　． ． ． ． ． ②证明四边形是平行四边形的依据是 　　； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 【答案】（1）①；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明见解析； （3）． 【分析】（1）由全等三角形的判定及平行四边形的判定可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，得出，，则可得出结论； （3）延长到点，使，连接、，的延长线交于点，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可判定四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，，结合正方形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，，结合平行线的性质、平角定义求出，再根据三角形内角和定理即可求出． 【解答】（1）解：延长到点，使，连接， 是的中点， ， ，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， ， 即且， 故答案为：①；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，延长至，使，连接， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下： 如图3，延长到点，使，连接、，的延长线交于点， 又点是的中点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形与四边形均为正方形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上，． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握基本几何模型，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 5．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线．求证：． （1）解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接．（如图 小洁的证明思路：延长至点，使，连接．（如图 请你任意选择一种思路完成证明． （2）问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明． 【答案】（1）见解析； （2），证明见解析． 【分析】（1）小敏的证明思路：由是的平分线，可证明，再证明，最后证明为等腰三角形即可求解． 小洁的证明思路：证明，得到，进而得出即可求解． （2）如图，在的延长线上取一点，使，连接，证明，再证明为等腰三角形即可求解． 【解答】解：（1）小敏的证明思路：如图2，在上截取，连接． 是的平分线， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ． 小洁的证明思路：如图3，延长至点，使，连接，则， ， ． ， ， ， 是的平分线， ． ，，， ， ， ． （2）如图在的延长线上取一点，使，连接， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是解题的关键． 题型5 延长法（辅助线的应用） 解题技巧提炼 通过延长线段长度，构造相等的边的关系证明三角形全等，此类题型多以SAS进行判定. 1．如图，在四边形中，，，，连接．求证：． 【答案】证明过程见解答． 【分析】延长到点，使，连接，证明，推出，，推出的等边三角形，可得结论． 【解答】证明：如图，延长到点，使，连接， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 的等边三角形， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．如图，四边形中，，是上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求． 【答案】（1）（2）证明见解析部分； （3）48． 【分析】（1）延长、，交于点，先运用平行线的性质以及角之间的变换可得，由等腰三角形的判定可得，运用等腰三角形的三线合一可得，由全等三角形的判定可得，利用全等三角形的性质即可求解； （2）由（1）知，进而得出，再运用线段之间的关系即可求解； （3）运用（1）中可得，进而求解即可． 【解答】（1）证明：延长、，交于点， ， ． ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ； （3）解：， ， ． 【点评】本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．【思维探究】 （1）如图1，在四边形中，，，，连接． 求证：． 小明的思路是：延长到点，使，连接．根据． 推得，从而得到，然后证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程； 【思维延伸】 （2）如图2，四边形中，，，连接，猜想、、之间 的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【分析】（1）如图1中，延证明，推出，，推出的等边三角形，可得结论； （2）结论：．如图2中，过点作于点，交的延长线于点．证明，推出，，证明，推出，可得结论． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 的等边三角形， ， ， ； （2）解：结论：． 理由：如图2中，过点作于点，交的延长线于点． ， ， ， ， ，， ， ，， ，， 四边形是正方形， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 4．（1）如图1，在四边形中，，，，连接，，，连接．求证：． 小明的思路是：延长到点，使　　，连接．根据，推得，从而得到　　，然后证明 　　，再证明 　　为等边三角形．从而可证． （2）如图2，四边形中，，，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）在四边形中，，，与相交于点．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长． 【答案】（1），，，； （2）． 理由见解析； （3）或． 【分析】（1）如图1中，延长到点，使，连接．证明，推出，，推出的等边三角形，可得结论； （2）结论：．如图2中，过点作于点，交的延长线于点．证明，推出，，证明，推出，可得结论； （3）分两种情形：如图中，当时，过点作于点，于点．如图中，当时，分别求解即可． 【解答】（1）证明：如图1中，延长到点，使，连接． ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 的等边三角形， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：结论：． 理由：如图2中，过点作于点，交的延长线于点． ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ．， ， ， ； （3）解：如图中，当时，过点作于点，于点． ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ． 如图中，当时，同法可证，， 综上所述，满足条件的的长为或． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型6 正方形模型（辅助线的应用） 解题技巧提炼 正方形模型常考半角模型、图外旋转构造直角三角形与已知直角三角形全等. 1．如图，正方形中，、是、边上两点，且，于，求证：． 【分析】先求证，得，再求证，根据全等三角形对应边上的高相等，可以求证． 【解答】解：延长至点，使，连接，， 由，，， 得：， ， 又，，， ， 为中边上的高， 为中边上的高， 且，为全等三角形对应边， ， 又正方形四边相等， ． 【点评】本题考查了全等三角形对应边相等，且对应边上的高相等，考查了正方形四边相等，且各内角为直角，解本题的关键是构造的线段，即． 2．如图，正方形中，、为，的上点且，求证：． 【分析】把逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，再根据求出，然后利用边角边定理证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，即，即可证明． 【解答】证明：如图，把逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ． 【点评】本题考查了正方形四边均相等，且各内角均为直角的性质，考查了全等三角形的证明，本题把逆时针旋转，构建全等三角形与是解题的关键． 3．已知：如图，正方形的边上有一动点（与点，不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交正方形的对角线于点．若． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，由直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接，作，由证明，得出，是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）；理由如下： ，正方形， ，， ， ， ； （2）结论：；理由如下： 连接，作，如图所示： ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明解答． 4．【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【分析】（1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论． 【解答】（1）解：如图1， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图2，延长到点．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长到点，截取，连接， 在与中， ， ， ，． ，， ， ． 在与中， ， ， ， 的周长． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 题型7 旋转模型（辅助线的应用） 解题技巧提炼 如果已知条件很难推理出三角形全等，我们不妨结合已知角度进行旋转图形，构造三角形全等.此类题型多考查ASA、SAS. 1．如图①，，平分，平分． （1）过点作直线，分别交、于、，求证：△是直角三角形． （2）如图②，将直线绕点转动，使交于，交的延长线于点，则、、三条线段的长度之间存在何种等量关系？请你写出结论并加以证明． （3）将直线绕点继续转动，使交于，交的反向延长线于，则、、三条线段的长度之间存在何种等量关系？请画出图形，并直接写出你的结论，不必证明． 结论：　　． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）；证明见解答过程； （3）． 【分析】（1）根据，得出，再结合角平分线定义得出，再根据三角形内角和定理即可证明； （2）延长与交于点，由，平分可推出，则有．由平分可得，从而可证到△△，则有，从而可得到； （3）延长与交于点，可借鉴（2）中的解题经验得到，，从而得到． 【解答】（1）证明：，平分，平分， ， ， ， ， △是直角三角形； （2）解：． 证明：将直线绕点转动，使交于，交的延长线于点，延长与交于点，如图②． ，平分， ，，， ， ， 平分，， ， 在△和△中， ， △△， ， ； （3）解：． 证明：延长与交于点，如图③． ，平分， ，，， ， ， 平分，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 2．综合与实践 主题：研究旋转的奥妙． 素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍． 步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点，重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，连接． 猜想与证明： （1）直接写出线段与线段的数量关系． （2）证明（1）中你发现的结论． 【答案】（1）； （2）证明见解析过程． 【分析】（1）通过观察，测量，猜想等方式即可得到； （2）连接，先证明是等边三角形，进而证明，问题得证． 【解答】（1）解：； （2）证明：如图，连接． 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， ， 即． 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 3．已知：点为的角平分线的任意一点，与互补，的两边与的两边交于、两点． （1）如图1，当绕着点旋转时，和的数量关系是 　　，请验证你的结论； （2）如图2，若时，与仍然互补，这时与还相等吗？并加以证明． 【答案】（1），见解答过程； （2）相等，见解答过程． 【分析】（1）结论：；作于，于．只要证明，，即可解决问题； （2）结论：；作于，于．只要证明，，即可解决问题． 【解答】解：（1）， 理由：作于，于，如图1， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）； 理由：作于，于，如图2， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$