19.2 第3课时 证明举例（三角形全等的判定与等腰三角形的性质运用）（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

19.2 第3课时 证明举例（三角形全等的判定与等腰三角形的性质运用） 知识点一 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 注意： （1） 在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以. （2） 如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可 知识点二 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 题型一、补充条件证明三角形全等 解题技巧提炼 补充条件证明三角形全等我们要知道常用的判定条件也要知道边边角和角角角不能证明三角形全等. 1．如图，AB＝DC，BF＝CE，需补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出以下四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是(　　) A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】先求出BE=CF，根据平行线的性质得出∠AEF=∠DFC，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：∵BF=CE， ∴BF+EF=CE+EF ∴BE=CF． 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SSS）；故①AE＝DF，正确； ∵AE∥DF， ∴∠AEF=∠DFC． ∵在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BF＝CE， ∴△ABE不一定和△DCF全等，故②AE∥DF，错误；； ∵AB∥DC， ∴∠B=∠C； ∴在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（SAS），故③AB∥DC，正确； ∵AB＝DC，BF＝CE，∠A＝∠D， ∴△ABE不一定和△DCF全等，故④∠A＝∠D，错误；； ∴①③ 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 2．如图，已知，添加下列条件能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，推出，根据添加的条件是否直接符合判定三角形全等的五种情况SSS，SAS，ASA，AAS，HL中的任一种，逐一分析判定即得． 【详解】∵， ∴， A. ，， 添加条件符合ASA，直接能使， 故符合题意； B. ，， ∵， ∴， 添加条件不能使， 故不符合题意； C. ，， 添加条件不能使， 故不符合题意； D. ，， ∵， ∴，即， 虽符合SAS，能使， 但添加条件本身不能直接使， 故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，逐项筛查所添加条件是否直接符合三角形全等的判定定理． 3．如图，在中，点D、E分别在边、上，与相交于点O，如果，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题关键是熟知全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：A 、， ， 若，则，即， 在和中， ， ，故A选项不符合题意； B、若，则，即， 在和中， ， ，故B选项不符合题意； C、若，无法判断，故C选项符合题意； D、若， ， ， 在和中， ， ，故D选项不符合题意． 故选：C． 题型二、添加辅助线证明三角形全等 解题技巧提炼 补充条件证明三角形全等我们要知道常用的判定条件也要知道边边角和角角角不能证明三角形全等. 4．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．延长、交于点，证明出，得到，，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长、交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， 与互补，与互补， ， ， 故选：C． 5．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论： ①∠ACO=15°； ②∠APO+∠DCO=30°； ③△OPC是等边三角形； ④AC=AO+AP； 其中正确的有 （填上所有正确结论的序号）． 【答案】②③④ 【分析】①②利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ABC=∠ACB=30°， ∵点O是AD上任意一点， ∴OC不一定是∠ACD的角平分线， ∴∠ACO不一定是15°，故①错误， 如图1，连接OB， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°， ∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°， ∵OP=OC， ∴OB=OC=OP， ∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO， ∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故②正确； ∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°， ∴∠APC+∠DCP=150°， ∵∠APO+∠DCO=30°， ∴∠OPC+∠OCP=120°， ∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°， ∵OP=OC， ∴△OPC是等边三角形； 故③正确； 如图2，在AC上截取AE=PA， ∵∠PAE=180°-∠BAC=60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA， ∴∠APO+∠OPE=60°， ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°， ∴∠APO=∠CPE， ∵OP=CP， 在△OPA和△CPE中，， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO=CE， ∴AC=AE+CE=AO+AP，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 题型三、（重点）手拉手证明三角形全等 解题技巧提炼 手拉手证明三角形全等主要用到的是SAS，也就是两个三角形的边和夹角构成的三角形全等. 6．如图，已知点C是线段上一点，分别以线段，为边在线段的同侧，画两个等边三角形和，连结，．则线段，相等吗？请说明理由． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质；由题意知，，可得，则这两个三角形全等，由全等三角形的性质即可得． 【详解】解：．     理由如下：因为是等边三角形 所以 所以 ∴， ∴． 7．如图，平面内有三个等边三角形、、，两两共用一个顶点，求证：与互相平分 【答案】见详解 【分析】连接、，证得，可得，从而得到，同理，进而得到四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】证明：如图，连接、， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．如图，点是线段上任意一点，分别以，为边在同侧作等边三角形和等边，连接，．试找出图中能通过旋转完全重合的两个图形，旋转中心是哪一点？旋转了多少度？ 【答案】和，绕点旋转 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质可得到，，，进一步得到，再证明，可得结论． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴ ∴即 在和中， ∴ 所以，和能通过旋转完全重合的两个图形，旋转中心是点C，旋转了 9．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE=DC，且BE⊥DC． （2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？ 【答案】（1）详见解析；（2）∠BOD =60°． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合题意，由全等三角形的判断方法（SAS）得到三角形全等，再由全等三角形的性质得出答案； （2）根据等边三角形的性质得出AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS推出△DAC≌△BAE，根据全等三角形的性质得出∠BEA=∠ACD，求出∠BOC=∠ECO+∠OEC=∠ACE+∠AEC，代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AE=AC， 又∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）, ∴BE=DC,∠ABE=∠ADC, 又∵∠BFO=∠DFA，∠ADF+∠DFA=90°, ∴∠ABE+∠BFO=90°, ∴∠BOF=∠DAF=90， 即BE⊥DC． （2）解：结论：BE=CD． 理由：如图2，∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE， ∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴CD=BE，∠BEA=∠ACD， ∴∠BOC=∠ECO+∠OEC =∠DCA+∠ACE+∠OEC =∠BEA+∠ACE+∠OEC =∠ACE+∠AEC =60°+60° =120°． ∴∠BOD=180°-∠BOC=60°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质. 题型四、（重点）k字模型与一线三等角证直角三角形全等 解题技巧提炼 K字模型和一线三等角证明直角三角形全等，我们要用到补角180度，以及九十度互余的等量代换。 这也是我们三角形全等的重点模型，需要重点掌握 . 10．如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l是过点A的一条直线，BE⊥l于点E，CD⊥l于点D． （1）如图1，当点B，C在直线l的同侧时， ①求证：∠EBA=∠DAC； ②若CD=1，BE=3，求DE． （2）当点B，C分别在直线l的两侧时，其他条件不变，请在图2中画出图形并直接写出线段CD，BE，DE之间的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②4；（2）CD=BE+DE或BE=CD+DE，见解析 【分析】（1）①由AAS证明△ABE≌△CAD，可得结论． ②利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）由AAS证明△ABE≌△CAD，可得AE=CD，BE=AD，可得结论． 【详解】（1）①证明：∵CD⊥l，BE⊥l， ∴∠AEB=∠CDA=90°， ∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=∠AEB+∠EBA，∠BAC=90°， ∴∠DAC=∠EBA， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（AAS） ∴∠EBA=∠DAC； ②解：∵△ABE≌△CAD， ∴BE=AD，AE=CD， ∵DE=AE+AD， ∴DE=CD+BE=1+3=4； （2）如图2-1中，CD=BE+DE．理由如下： ∵CD⊥l，BE⊥l， ∴∠AEB=∠CDA=90°， ∵∠BAE+∠DAC=∠BAE+∠EBA=90°， ∴∠DAC=∠EBA， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（AAS）， ∴AE=CD，BE=AD， ∴CD=AE=AD+DE=BE+DE； 如图2-2中，结论：BE=CD+DE．理由如下： ． ∵CD⊥l，BE⊥l， ∴∠AEB=∠CDA=90°， ∵∠BAE+∠DAC=∠BAE+∠EBA=90°， ∴∠DAC=∠EBA， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（AAS）， ∴AE=CD，BE=AD， ∴BE=AD=AE+DE=CD+DE； 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 11．如图，在∆ABC，∠BAC=90度，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE，CE⊥AE于点E. (1)BD=DE+CE成立吗？成立请求证，不成立请说明理由 (2)若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由 【答案】(1)成立，证明见解析； (2)BD＝DE−CE，理由见解析． 【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得BD＝AE，AD＝CE，进而可得结论； （2）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得BD＝AE，AD＝CE，进而可得结论． 【详解】（1）解：成立， 证明：∵∠BAC＝90°，BD⊥AE， ∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°， ∴∠CAD＝∠ABD， 在△ABD和△CAE中，， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， 又∵AE＝AD＋DE， ∴AE＝DE＋CE， ∴BD＝DE＋CE； （2）BD＝DE−CE， 理由：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∵BD⊥DE， ∴∠BAD＋∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中，， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵DE＝AD＋AE， ∴DE＝CE＋BD， ∴BD＝DE−CE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABD≌△CAE是解题的关键． 12．已知中，，直线经过点．    (1)若，分别过点，向直线作垂线，垂足分别为，．当点，位于直线的同侧时（如图1），和全等吗，线段有什么关系? (2)如图2，若点，在直线的异侧，其他条件不变，上述结论是否依然成立请说明理由． (3)如图3，点，分别在直线上，点，位于的同一侧，若，试说明：． 【答案】(1)和全等，； (2)依然成立，但不成立，见解析 (3)见解析 【分析】（1）先证明，再利用AAS证明，即可求解； （2）先证明，再利用AAS证明，即可求解； （3）由，可得，证明，可得． 【详解】（1）解：和全等，； 证明：在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：依然成立，但不成立，应该是； 理由如下： 在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ∴，， ∴； （3）证明：∵， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握“利用角边角或角角边证明三角形全等”是解本题的关键． 题型五、等腰三角形的性质与全等三角形的判定综合 解题技巧提炼 等腰三角形的性质与全等三角形的判定综合，一般情况我们常用“等边对等角”、“等角对等边”和“三线合一”来作为全等三角形判定的条件证明三角形全等，有时我们还需要连接辅助线来证明三角形全等. 13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G，求证：BD＝CG． 【答案】见解析 【分析】先根据等角的余角相等可得，根据等腰直角三角形的性质可得,，ASA证明，进而可得BD＝CG． 【详解】证明：∵BF⊥CD，AE⊥CD， ∴ 即 △ABC是等腰直角三角形 ， 在与中， 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握三角形的性质与判定是解题的关键． 14．如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)已知，求点O到之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明，可得； （2）由（1）的结论可知C到的距离和C到的距离相等，可求得C到的距离． 【详解】（1）证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中． ， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，是等边三角形，， ∴，， 由（1）可知， ∴， 设 O到的距离为h， 则， ∵， ∴， ∴，即点O到的距离为． 15．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD交BC于点D，BC的中点为G，过点G作GE平行于AD，交AB于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝10cm，AC＝6cm，求BE． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质，即可求证； （2）过点C作CH∥BE交EG延长线于点H，可证得△BEG≌△CHG，从而得到CF=CH，进而得到2AE=AB-AC，即可求解． 【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵GF∥AD， ∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE， ∴∠AEF =∠AFE， ∴AE=AF； （2）如图，过点C作CH∥BE交EG延长线于点H， ∵CH∥BE， ∴∠BEG=∠H，∠B=∠GCH， ∵BG=CG， ∴△BEG≌△CHG， ∴CH=BE， ∵∠AEF=∠AFE，∠BEG=∠AEF， ∴∠BEG=∠AFE， ∴∠H=∠AFE， ∴CF=CH， ∴CF=BE， ∴AC+AF=BE， ∵BE=AB-AE， ∴AB-AE=AC+AF， ∴2AE=AB-AC， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE=AF=2cm， ∴BE=AB-AE=8cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是适当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．如图，在中，，，D为边的中点，点E、F分别在射线上，且，连接EF．    (1)如图1，当点E、F分别在边和上时，求证： (2)探究：如图2，当点E、F分别在边、的延长线上时，判断线段与的大小关系，并加以证明． (3)应用：如图2，若，利用探究得到的结论，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)18 【分析】（1）连接，可证明，可得出结论； （2）连接，同（1）可证明，可证得； （3）由可证得，容易求得的面积． 【详解】（1）证明：如图1，连接，   ，， ， 为边的中点， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）结论：，理由如下： 如图2，连接，   ，， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：， ， , ， ， ， ． 【点睛】本题为三角形综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及三角形的面积等．在探究中把问题转化为图1中的问题是解题的关键，即构造三角形全等．本题主要就是全等三角形的判定和性质的应用． 题型六、利用全等三角形证明线段垂直 解题技巧提炼 先证明三角形的全等，再结合等腰三角形的性质、90°的互余条件、等量代换等来得到线段的垂直. 17．如图所示，已知在五边形ABCDE中，AE=AB,BC=DE,∠B=∠E，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD．    【答案】证明过程见解析. 【分析】连接AC，由题中已知条件可证明△ABC≌△AED，即可得到AC=AD，则△ACD为等腰三角形，又因为F为CD中点，根据三线合一可得AF⊥CD. 【详解】解：如图，连接AC，    ∵在△ABC与△AED中 ∴△ABC≌△AED（SAS） ∴AC=AD； ∵F为CD中点， ∴AF为△ACD底边上的中线， ∴AF为△底边上的高（三线合一）； ∴AF⊥CD. 【点睛】本题考查全等三角形的证明以及等腰三角形三线合一的利用；根据已知条件很容易能够看出全等，中点和垂线要通过三线合一联系起来，在以后做题的过程中如果看到中线、高线、角平分线任意两条线合一，都要想到等腰三角形三线合一. 18．如图，在中，平分交于点D，E是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质．作于，则，由得出，由角平分线的定义可得，证明，即可得证． 【详解】证明：作于， ， ， ， ， 平分交于， ， 在和中， ， ， ， ． 19．如图，已知、是的边、上的高，是上的一点，且，是的延长线上的一点，且．求证：且．                                                        【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，证明，得，，通过等量代换得即可．熟练利用三角形全等的性质来证明对应边、对应角相等是解题的关键． 【详解】证明：∵、是的边、上的高， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 20．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交BE于点F． （1）求证：AD=BE； （2）判断AF和BE的位置关系并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论：AF⊥BE，理由见解析． 【分析】（1）根据SAS证明△ACD≌△BCE即可解决问题． （2）结论：AF⊥BE，利用全等三角形的性质，根据“8字型”证明∠BFD=∠ACD=90°即可． 【详解】（1）证明：∵△CDE，△ACB都是等腰直角三角形， ∴CE=CD，CB=CA，∠ACD=∠BCE=90°， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． （2）解：结论：AF⊥BE． 理由：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=CBE， ∵∠CDA=∠BDF， ∴∠BFD=∠ACD=90°， ∴AF⊥BE． 【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2 第3课时 证明举例（三角形全等的判定与等腰三角形的性质运用） 知识点一 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 注意： （1） 在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以. （2） 如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可 知识点二 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 题型一、补充条件证明三角形全等 解题技巧提炼 补充条件证明三角形全等我们要知道常用的判定条件也要知道边边角和角角角不能证明三角形全等. 1．如图，AB＝DC，BF＝CE，需补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出以下四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是(　　) A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①③ 2．如图，已知，添加下列条件能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在中，点D、E分别在边、上，与相交于点O，如果，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 题型二、添加辅助线证明三角形全等 解题技巧提炼 补充条件证明三角形全等我们要知道常用的判定条件也要知道边边角和角角角不能证明三角形全等. 4．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论： ①∠ACO=15°； ②∠APO+∠DCO=30°； ③△OPC是等边三角形； ④AC=AO+AP； 其中正确的有 （填上所有正确结论的序号）． 题型三、（重点）手拉手证明三角形全等 解题技巧提炼 手拉手证明三角形全等主要用到的是SAS，也就是两个三角形的边和夹角构成的三角形全等. 6．如图，已知点C是线段上一点，分别以线段，为边在线段的同侧，画两个等边三角形和，连结，．则线段，相等吗？请说明理由． 7．如图，平面内有三个等边三角形、、，两两共用一个顶点，求证：与互相平分 8．如图，点是线段上任意一点，分别以，为边在同侧作等边三角形和等边，连接，．试找出图中能通过旋转完全重合的两个图形，旋转中心是哪一点？旋转了多少度？ 9．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE=DC，且BE⊥DC． （2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？ 题型四、（重点）k字模型与一线三等角证直角三角形全等 解题技巧提炼 K字模型和一线三等角证明直角三角形全等，我们要用到补角180度，以及九十度互余的等量代换。 这也是我们三角形全等的重点模型，需要重点掌握 . 10．如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l是过点A的一条直线，BE⊥l于点E，CD⊥l于点D． （1）如图1，当点B，C在直线l的同侧时， ①求证：∠EBA=∠DAC； ②若CD=1，BE=3，求DE． （2）当点B，C分别在直线l的两侧时，其他条件不变，请在图2中画出图形并直接写出线段CD，BE，DE之间的数量关系． 11．如图，在∆ABC，∠BAC=90度，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE，CE⊥AE于点E. (1)BD=DE+CE成立吗？成立请求证，不成立请说明理由 (2)若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由 12．已知中，，直线经过点．    (1)若，分别过点，向直线作垂线，垂足分别为，．当点，位于直线的同侧时（如图1），和全等吗，线段有什么关系? (2)如图2，若点，在直线的异侧，其他条件不变，上述结论是否依然成立请说明理由． (3)如图3，点，分别在直线上，点，位于的同一侧，若，试说明：． 题型五、等腰三角形的性质与全等三角形的判定综合 解题技巧提炼 等腰三角形的性质与全等三角形的判定综合，一般情况我们常用“等边对等角”、“等角对等边”和“三线合一”来作为全等三角形判定的条件证明三角形全等，有时我们还需要连接辅助线来证明三角形全等. 13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G，求证：BD＝CG． 14．如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)已知，求点O到之间的距离． 15．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD交BC于点D，BC的中点为G，过点G作GE平行于AD，交AB于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝10cm，AC＝6cm，求BE． 16．如图，在中，，，D为边的中点，点E、F分别在射线上，且，连接EF．    (1)如图1，当点E、F分别在边和上时，求证： (2)探究：如图2，当点E、F分别在边、的延长线上时，判断线段与的大小关系，并加以证明． (3)应用：如图2，若，利用探究得到的结论，求的面积． 题型六、利用全等三角形证明线段垂直 解题技巧提炼 先证明三角形的全等，再结合等腰三角形的性质、90°的互余条件、等量代换等来得到线段的垂直. 17．如图所示，已知在五边形ABCDE中，AE=AB,BC=DE,∠B=∠E，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD．    18．如图，在中，平分交于点D，E是上一点，且．求证：． 19．如图，已知、是的边、上的高，是上的一点，且，是的延长线上的一点，且．求证：且．                                                        20．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交BE于点F． （1）求证：AD=BE； （2）判断AF和BE的位置关系并说明理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$