专题04 对数运算与对数函数（期末复习课件）高一数学上学期北师大版

高一数学上学期·期末复习大串讲 专题04 对数运算与对数函数 北师大版（2019） 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 9大常考点：知识梳理 20个题型典例剖析+技巧点拨 精选14道期末真题对应考点练 考点透视 01 考点透视 考点1.对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果_________(a>0，且a≠1)，那么数__叫做以__为底__的对数，记作_________，其中__叫做对数的底数，___叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将___________的对数叫做常用对数，并把log10N记为______； ②自然对数：_________的对数称为自然对数，并把logeN记为_______(其中e＝2.71828…)． ax＝N x a N 以10为底 a N x＝logaN lg N 以e为底 ln N (3)对数式与指数式的关系 考点1.对数的概念 考点透视 考点2.对数的基本性质 (1)对数的性质 ①__________没有对数，即真数N>0； ②1的对数为___，即loga1＝___ (a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于___，即logaa＝___ (a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝___ (a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝___ (a>0，且a≠1)． 负数和0 0 0 1 1 N N 考点透视 考点3.对数运算性质 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 考点透视 考点4.两类特殊的对数 考点透视 考点5.换底公式 1 考点透视 考点6.反函数 考点透视 考点7.对数函数 一般地，函数______________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________． [点拨]　两种特殊的对数函数 (1)常用对数函数：y＝lg x. (2)自然对数函数：y＝ln x. y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) 考点透视 考点8.对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 _________________ 值域 ________ 单调性 ________ ___________ (0，＋∞) 　 R 增函数 减函数 考点透视 考点8.对数函数的图象和性质 共点性 图象过定点_________，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0，1)时，y∈_____________； x∈[1，＋∞)时，y∈______________ x∈(0，1)时，y∈_____________； x∈[1，＋∞)时，y∈_____________ 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于__________对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越_____，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越___，图象越靠近x轴 (1，0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴 大 小 考点透视 考点9.指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较 题型剖析 02 PART 考点透视 考点1. 　对数的概念 答案 解析 考点透视 考点2.指数式与对数式的互化 题型剖析 考点2.指数式与对数式的互化 解 题型剖析 题型3.利用指数式与对数式的关系求值 题型剖析 题型4. 对数运算性质的应用 题型剖析 题型4. 对数运算性质的应用 解 题型剖析 题型5.换底公式的应用 【例题5】已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)． 解 题型剖析 题型6.对数运算的综合应用 答案 解析 题型剖析 题型7. 实际问题中的对数运算 解 题型剖析 题型8.对数运算性质的应用 解 题型8.对数运算性质的应用 题型剖析 题型9.反函数的应用 解析　由题可得，a＝e，故f(x)＝ex，其定义域为R，值域为(0，＋∞)，故f(x)的反函数为g(x)＝ln x. 【例题9】(2024·四川绵阳南山中学高一下入学考试)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(1，e)，则函数f(x)的反函数g(x)＝________． 答案 解析 ln x 题型剖析 题型10.解对数不等式 解 题型剖析 题型10.解对数不等式 解 题型剖析 题型11.对数函数性质的综合应用 题型剖析 题型11.对数函数性质的综合应用 解 题型剖析 题型11.对数函数性质的综合应用 解 题型剖析 题型12.换底公式的应用 【例题12】已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)． 解 题型剖析 题型13.实际问题中的对数运算 【例题13】 通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．那么8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？ 题型剖析 题型13.实际问题中的对数运算 解 题型剖析 题型14.对数函数的概念 答案 解析 题型剖析 题型15.对数型函数的定义域 解 题型剖析 题型15.对数型函数的定义域 解 题型剖析 题型16.对数型函数在实际问题中的应用 【例题16】 (2024·四川成都高一上期末)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 题型剖析 题型16.对数型函数在实际问题中的应用 解 题型剖析 题型17.对数函数的图象及应用 解析　因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)． 【例题17】函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________． 答案 解析 (0，－2) 题型剖析 题型18.对数型函数的单调性 【例题18】(2024·浙江丽水高一上期末)若函数f(x)＝log3(x2－ax＋3a)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案 解析 题型剖析 题型19. 比较对数值的大小 解 【例题19】比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.99，log32；(2)log30.2，log40.2； (3)log23，log0.32；(4)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)． 题型剖析 题型20.对数型函数的值域问题 解 【例题20】 求函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域． 解：令u＝x2＋2x＋4， 则u＝(x＋1)2＋3≥3. 所以log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1， 即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞)． 押题预测 03 PART 考点透视 1．设函数y＝f(x)与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f(8)＝(　　) A．2 B．3 C．8 D．16 解析：由题意可得函数y＝f(x)与y＝2x互为反函数，所以f(x)＝log2x，所以f(8)＝log28＝3. 答案 解析 题型剖析 2．已知函数f(x)＝ln x，若f(x－1)＜1，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，e＋1) B．(0，＋∞) C．(1，e＋1) D．(e＋1，＋∞) 答案 解析 3.下列关于自变量x的函数中，是对数函数的是(　　) A．y＝logxa(x＞0，且x≠1) B．y＝log2x C．y＝2log3x2 D．y＝log5(x＋1) 解析：根据对数函数的定义知B为对数函数． 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解析：要使函数有意义，只需真数大于0，所以x－1＞0，即x＞1.故选B. 答案 解析 7．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是(　　) 解析： ∵0<a<1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位长度得到的，故选A. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 8.(2024·山西太原高一上期末)已知函数f(x)＝log3x与y＝g(x)互为反函数，则g(2)＝________． 解析　由对数函数的反函数为相应的指数函数可得g(x)＝3x，故g(2)＝32＝9. 9 题型剖析 答案 解析 (3，＋∞) 题型剖析 10．已知对数函数y＝f(x)的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为_________________． 解析：设此对数函数的解析式为f(x)＝logax，则2＝loga9，所以a2＝9.又a＞0，所以a＝3.所以f(x)＝log3x. 答案 解析 f(x)＝log3x 题型剖析 11.已知下列函数： ①y＝lg (－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝ln x(x＞0)；④y＝log(a2＋a)x(x＞0，a为常数)． 其中是对数函数的是________(只填序号)． 答案 解析 ③ 题型剖析 12．(2024·河北邢台第一中学高一上月考)若m＝a×10n(1≤a＜10)，则称m的数量级为n.已知金星的质量为M千克，且lg M＝23＋lg 48.69，则M的数量级为________． 解析：：因为lg M＝23＋lg 48.69＝24＋lg 4.869＝lg (4.869×1024)，所以M＝4.869×1024，则M的数量级为24. 答案 解析 24 题型剖析 13．不等式log2(5＋x)＞log2(1－x)的解集为_______________． 答案 解析 {x|－2＜x＜1} 题型剖析 答案 解析 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝_______________________； (2)logaeq \f(M,N)＝_________________________； (3)logaMn＝_____________(n∈R)． [拓展]　推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a>0，且a≠1，Nk＞0，k∈N＋)． log10N lg N 无理数e　 logeN ln N 无理数e (1)常用对数：通常以________为底的对数称之为常用对数，N的常用对数________，简记为________． (2)自然对数：以________为底的对数称之为自然对数，N的自然对数________，简记为________．(其中________＝2.71828…) 10 logab＝eq \f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1) eq \f(n,m)logab (1)对数的换底公式：______________________________________________． (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝____ (a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝eq \f(1,logba)(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝__________ (a>0，b>0，且a≠1，m≠0)． [点拨]　(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝eq \f(lg b,lg a)或logab＝eq \f(ln b,ln a). y＝logax(a>0且a≠1) 　 指数函数________________与对数函数__________________互为反函数． y＝ax(a>0且a≠1) 大 增 小 增 大 　当a>1时，指数函数y＝ax是____函数，并且当a越____时，其函数值的增长就越快． 当a>1时，对数函数y＝logax是____函数，并且当a越____时，其函数值的增长就越快． 当x>0，n>1时，幂函数y＝xn显然也是____函数，并且当x>1时，n越____，其函数值的增长就越快． 增 解析　要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x<eq \f(1,2)，所以x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).故选C. 【例题1】使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) 【例题2】将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)2－7＝eq \f(1,128)；(2)logeq \s\do9(\f(1,3))81＝－4； (3)lg 1000＝3；(4)ln x＝2. 解　(1)由2－7＝eq \f(1,128)， 可得log2eq \f(1,128)＝－7. (2)由logeq \s\do9(\f(1,3))81＝－4，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(－4)＝81. (3)由lg 1000＝3，可得103＝1000. (4)由ln x＝2，可得e2＝x. 【例题3】 求下列各式中x的值： ①log27x＝－eq \f(2,3)；②logx16＝－4； ③lg eq \f(1,1000)＝x；④－ln e－3＝x. 解　①因为log27x＝－eq \f(2,3)， 所以x＝27－eq \s\up7(\f(2,3))＝(33) －eq \s\up7(\f(2,3))＝3－2＝eq \f(1,9). ②因为logx16＝－4，所以x－4＝16， 即x－4＝24. 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) eq \s\up12(4)＝24，所以eq \f(1,x)＝2，即x＝eq \f(1,2). ③因为lg eq \f(1,1000)＝x， 所以10x＝10－3， 所以x＝－3. ④因为－ln e－3＝x，所以－x＝ln e－3， 即e－x＝e－3，所以x＝3. 【例题4】计算下列各式的值： (1)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)； (2)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (3)eq \f(lg\r(2)＋lg 3－lg \r(10),lg 1.8). 解　(1)原式＝eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(2lg 7＋lg 5)＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2). (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝eq \f(\f(1,2)（lg 2＋lg 9－lg 10）,lg 1.8)＝eq \f(lg \f(18,10),2lg 1.8)＝eq \f(lg 1.8,2lg 1.8)＝eq \f(1,2). 解　因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝eq \f(log1845,log1836)＝eq \f(log18（5×9）,log18（2×18）)＝eq \f(log185＋log189,log182＋log1818)＝eq \f(a＋b,1＋log182)＝eq \f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－log189)＝eq \f(a＋b,2－a). 解析　由log3(x＋eq \r(3))＋log3(x－eq \r(3))＝log3[(x＋eq \r(3))(x－eq \r(3))]＝log3(x2－3)，可得log3(x－1)＝log3(x2－3)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝x2－3，,x＋\r(3)>0，,x－\r(3)>0，,x－1>0，))解得x＝2. (3)【例题6】方程log3(x－1)＝log3(x＋)＋log3(x－eq \r(3))的解为(　　) A．－1，2 B．2 C．－1 D．1，－2 (1,3)【例题7】一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余质量是原来的(结果精确到1年，lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)? 解：假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的eq \f(1,3)，根据题意得0.75x＝eq \f(1,3)， 所以x＝log0.75eq \f(1,3)＝eq \f(－lg 3,lg 3－lg 4)＝eq \f(－lg 3,lg 3－2lg 2)≈4(年)． 故估计经过4年，该物质的剩余质量是原来的eq \f(1,3).　 【例题8】计算下列各式的值： (1)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)； (2)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (3)eq \f(lg\r(2)＋lg 3－lg \r(10),lg 1.8). 解　(1)原式＝eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(2lg 7＋lg 5)＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2). (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝eq \f(\f(1,2)（lg 2＋lg 9－lg 10）,lg 1.8)＝eq \f(lg \f(18,10),2lg 1.8)＝eq \f(lg 1.8,2lg 1.8)＝eq \f(1,2). 【例题10】已知2loga(x－4)>loga(x－2)，求x的取值范围． 解　原不等式可变为loga(x－4)2>loga(x－2)． 当a>1时，y＝logax为定义域内的增函数， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－4）2>x－2，,x－4>0，,x－2>0，)) 解得x>6； 当0<a<1时，y＝logax为定义域内的减函数， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－4）2<x－2，,x－4>0，,x－2>0，))解得4<x<6. 综上所述，当a>1时，x的取值范围为(6，＋∞)； 当0<a<1时，x的取值范围为(4，6)． \do9(\f(1,2))【例题11】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log(x＋7)． (1)求f(1)，f(－1)； (2)求函数f(x)的表达式； (3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范围． 解　(1)f(1)＝logeq \s\do9(\f(1,2))8＝－3，f(－1)＝－f(1)＝3. (2)因为f(x)在R上为奇函数， 所以f(0)＝0. 令x＜0，则－x＞0， 所以f(x)＝－f(－x)＝－logeq \s\do9(\f(1,2))(－x＋7)， 所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))（x＋7），x＞0，,0，x＝0，,－log\s\do9(\f(1,2))（－x＋7），x＜0.)) (3)当x∈(0，＋∞)时，y＝logeq \s\do9(\f(1,2))(x＋7)， 令u＝x＋7，则y＝logeq \s\do9(\f(1,2))u. 因为u＝x＋7是增函数，y＝logeq \s\do9(\f(1,2))u是减函数， 所以y＝logeq \s\do9(\f(1,2))(x＋7)在(0，＋∞)上是减函数． 又f(x)是奇函数且当x∈(0，＋∞)时，f(x)<0， 所以y＝f(x)是R上的减函数． 所以由f(a－1)<f(3－a)，得a－1>3－a，解得a>2. 故a的取值范围为(2，＋∞)． 解　因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝eq \f(log1845,log1836)＝eq \f(log18（5×9）,log18（2×18）)＝eq \f(log185＋log189,log182＋log1818)＝eq \f(a＋b,1＋log182)＝eq \f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－log189)＝eq \f(a＋b,2－a). 解　由M＝lg A－lg A0，可得M＝lg eq \f(A,A0)， 即eq \f(A,A0)＝10M，所以A＝A0·10M. 当M＝8时，8级地震的最大振幅A8＝A0·108； 当M＝5时，5级地震的最大振幅A5＝A0·105. 所以两次地震的最大振幅之比是eq \f(A8,A5)＝eq \f(A0·108,A0·105)＝108－5＝1000. 故8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍． 解析　由对数函数的定义知，②⑤是对数函数．故选D.　 (3)【例题14】给出下列函数：①y＝log5x＋1；②y＝log(－1)x；③y＝log3eq \f(x,3)；④y＝logxeq \r(3)(x＞0，且x≠1)；⑤y＝logeq \s\do9(\f(2,π))x.其中是对数函数的是(　　) A．③④⑤ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②⑤ 【例题15】求下列函数的定义域： (1)y＝eq \f(\r(x2－4),lg （x＋3）)；(2)y＝log2(16－4x)； (3)y＝log(3x－1)(2x＋3)． 解　(1)要使函数有意义，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4≥0，,x＋3＞0，,x＋3≠1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－2或x≥2，,x＞－3，,x≠－2，)) 即－3<x<－2，或x≥2. 故所求函数的定义域为{x|－3＜x＜－2，或x≥2}． (2)要使函数有意义，需16－4x>0， 得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2. 所以所求函数的定义域为{x|x＜2}． (3)要使函数有意义， 需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3＞0，,3x－1＞0，,3x－1≠1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞－\f(3,2)，,x＞\f(1,3)，,x≠\f(2,3)，))所以x＞eq \f(1,3)，且x≠eq \f(2,3). 故所求函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,3)，且x≠\f(2,3))))). 解　(1)由题意知 y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.15x，0≤x≤10，,1.5＋2log5（x－9），x＞10.)) (2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 所以log5(x－9)＝2，所以x－9＝52， 解得x＝34， 所以老江的销售利润是34万元． 解析：令u＝g(x)＝x2－ax＋3a，该函数图象的对称轴为直线x＝eq \f(a,2)，∵函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，y＝log3u在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，且g(x)>0，∴eq \f(a,2)≤1且g(1)>0，即a≤2且1－a＋3a>0，解得－eq \f(1,2)<a≤2，即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)).　 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)) 解：(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.99＜2， 所以f(1.99)＜f(2)，即log31.99＜log32. (2)因为0＞log0.23＞log0.24， 所以eq \f(1,log0.23)＜eq \f(1,log0.24)，即log30.2＜log40.2.　 解析：∵f(x)＝ln x，∴f(x－1)＝ln (x－1)．由f(x－1)＜1，得ln (x－1)＜ln e，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,x－1＜e，))∴1＜x＜e＋1.　 4．已知a＝logeq \s\do9(\f(1,3))4，b＝log23，c＝2－0.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B.b>a>c C．c>a>b D.b>c>a 解析：因为a＝logeq \s\do9(\f(1,3))4<logeq \s\do9(\f(1,3))1＝0，b＝log23>log22＝1，0<c＝2－0.3<20＝1，所以b>c>a.故选D.　 5．若2.5x＝1000，0.25y＝1000，则eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝(　　) A.eq \f(1,3) B．3 C．－eq \f(1,3) D．－3 解析：∵x＝log2.51000＝eq \f(3,lg 2.5)，y＝log0.251000＝eq \f(3,lg 0.25)，∴eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝eq \f(1,3)(lg 2.5－lg 0.25)＝eq \f(1,3)×lg eq \f(2.5,0.25)＝eq \f(1,3)×lg 10＝eq \f(1,3).　 6．函数y＝ln (eq \r(x－1))的定义域是(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．R 9．(2024·广东高州第一中学高一上期中)函数f(x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))(x2－x－6)的单调递减区间为________． 解析：由x2－x－6>0，得(x－3)(x＋2)>0，解得x<－2或x>3，故函数f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．令t＝x2－x－6，则y＝logeq \s\do9(\f(1,2))t是减函数．根据复合函数“同增异减”的原则，求f(x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))(x2－x－6)的单调递减区间即求t＝x2－x－6在定义域内的单调递增区间，因为t＝x2－x－6的单调递增区间为(3，＋∞)，故函数f(x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))(x2－x－6)的单调递减区间为(3，＋∞)．　 解析：对于①，真数是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数是2，而不是1，且真数是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数是1，真数是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，当a＝－eq \f(1,2)时，底数小于0，故④不是对数函数．　 解析：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋x＞0，,1－x＞0，,5＋x＞1－x，))解得－2＜x＜1.故所求不等式的解集为{x|－2＜x＜1}． 14．(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是(　　) A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1 B.eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝lg 20 C.eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝2 D.eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,2) 解析：a＝log210，b＝log510，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,log210)＋eq \f(1,log510)＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,log210)＋eq \f(1,log510)＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,log210)＋eq \f(2,log510)＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确．故选AB.　 $$