4.3 对数函数（第2课时 习题课 对数函数图象和性质的应用）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3 对数函数 第2课时　习题课　对数函数图象和性质的应用 第四章　对数运算与对数函数 北师大版 数学 必修第一册 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 重难探究·能力素养速提升 探究点一　解对数不等式 【例1】 (1)满足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合为　　　 　　.  (2)若loga <1,则a的取值范围为　 　　　　.  规律方法　对数不等式的三种考查类型及求解方法 (1)形如logax>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解. (3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 变式训练1(1)已知log0.3(3x)<log0.3(x+1),则实数x的取值范围为(　　) A ★(2)解不等式2loga(x-4)>loga(x-2)(a>0,且a≠1). 探究点二　对数型复合函数的单调性问题 【例2】 (1)求函数 的单调区间. (2)若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 解 由已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增, 设t=x2+ax-a-1,其图象为开口向上的抛物线,因而 解得a>-3. 故实数a的取值范围为(-3,+∞). 规律方法　对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题 (1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax). ①对于y=logaf(x)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反. ②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可. (2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则. 变式训练2讨论函数 的单调性. 探究点三　对数型复合函数的奇偶性问题 【例3】 已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1). (1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域; (2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性. 规律方法　对数型复合函数奇偶性的判断方法 对数函数是非奇非偶函数,但与某些函数复合后,就具有奇偶性了,如y=log2|x|就是偶函数.证明这类函数奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质. 为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数解析式进行化简或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)⇔f(-x)∓f(x) 变式训练3若函数 为偶函数,则实数a=　　　　　.  1 探究点四　与对数函数有关的值域与最值问题 【例4】 求下列函数的值域: (1)y=log2(x2+4); 解 (1)y=log2(x2+4)的定义域为R. ∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2. ∴y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞). (2)设u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9, 又u>0,∴0<u≤9. 规律方法　与对数函数有关的值域与最值问题的处理策略 策略 一 求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围 策略 二 求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logau(a>0,且a≠1)的值域 变式训练4已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值. 解 ∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2 =(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3. ∵函数f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足 ∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1, ∴6≤(log3x+3)2-3≤13, ∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13. 探究点五　对数函数在实际生活中的应用 【例5】 溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH. 所以随着[H+]的增大,pH值减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸碱度就越小. (2)当[H+]=10-7时,pH=-lg 10-7=7,所以纯净水的pH是7. 变式训练5大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 ,v的单位是m/s,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是多少? (2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)解对数不等式; (2)对数型复合函数的单调性及奇偶性; (3)解与对数函数有关的最值问题; (4)与对数函数有关的实际应用问题. 2.方法归纳:换元法、数形结合法. 3.常见误区:在解对数型复合函数的性质问题时易忽略真数大于0的条件. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.不等式log2(x-1)>-1的解集是(　　) D 1 2 3 4 5 2.(多选题)若函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则a,b的值可能是(　　) BD 解析 令t=|x-b|,该函数在(-∞,b)上单调递减, 要使函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增, 则外层函数y=logat是定义域内的减函数,则0<a<1, 由t=|x-b|在(-∞,0)上恒大于0,则b≥0. 故选BD. 1 2 3 4 5 3.函数 (0<x<8)的值域为　　　　　.  (-2,0) 1 2 3 4 5 4.函数 的单调递增区间为　　　　　.  1 2 3 4 5 5.已知函数f(x)=ln(2-2x)+ln(2-2-x). (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由. 解 (1)由题意知,2-2x>0且2-2-x>0, 解得-1<x<1. 所以f(x)的定义域为(-1,1). (2)f(x)为偶函数.理由如下: 因为∀x∈(-1,1),-x∈(-1,1), 且f(-x)=ln(2-2-x)+ln(2-2x)=f(x), 所以f(x)是偶函数.  　 解析 因为真数大于0,所以解得<x<5. 又函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增, 所以2x-1<-x+5,解得x<2.综上可得,满足要求的x的取值集合为 (1,+∞) 解析 loga<1,即loga<logaa, 当a>1时,函数y=logax在定义域内单调递增, 所以loga<logaa总成立; 当0<a<1时,函数y=logax在定义域内单调递减, 由loga<logaa,得a<,即0<a< 综上可知,a的取值范围为(1,+∞). A.,+∞ B.-∞, C.- D.0, 解析 因为函数y=log0.3x是(0,+∞)上的减函数,所以原不等式等价于解得x> 解 原不等式等价于 (1)当a>1时,解得x>6. (2)当0<a<1时,解得4<x<6. 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为(6,+∞); 当0<a<1时,原不等式的解集为(4,6). f(x)=lo(x2-2x-3) 解 设t=x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,由于t=x2-2x-3在(3,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,又y=lot在定义域内单调递减,因而函数f(x)=lo(x2-2x-3)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(3,+∞)上单调递减. f(x)=(lox)2-2lox+2 解 由函数f(x)=(lox)2-2lox+2=(lox-1)2+1,设t=lox∈R, 因而y=(t-1)2+1, 当t∈(-∞,1)时,函数y=(t-1)2+1单调递减,当t∈(1,+∞)时,函数y=(t-1)2+1单调递增,而t=lox 在定义域内单调递减,则当x时,f(x)单调递减,当x时,f(x)单调递增. 解 (1)由于f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x), 故f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x)=loga 由解得-1<x<1,故函数的定义域为(-1,1). (2)由于f(x)-g(x)=loga,它的定义域为(-1,1),关于原点对称.令h(x)=f(x)-g(x), (方法一)h(-x)=loga=-loga=-h(x),故函数h(x)=f(x)-g(x)为奇函数. (方法二)∵h(x)+h(-x)=loga+loga=loga()=loga1=0, ∴函数h(x)=f(x)-g(x)为奇函数. =0⇔=±1多用于指数型函数奇偶性的证明. f(x)=xln(x+) 解析 由题意,得f(x)=xln(x+)=f(-x)=-xln(-x), 所以x+,解得a=1. (2)y=lo(8-2x-x2). 又y=lou在(0,+∞)上为减函数, ∴lou≥lo9=-2, ∴y=lo(8-2x-x2)的值域为[-2,+∞). 解 (1)根据对数函数的运算性质,有pH=-lg[H+]=lg[H+]-1=lg在(0,+∞)上,随着[H+]的增大,减小,相应地,lg也减小,即pH减小. v=log3 解 (1)令Q=2 700, 则v=log3log327=1.5. 答:该鱼的游速是1.5 m/s. (2)令v=0,则log3=0,可得=1,所以Q=100. 答:一条鱼静止时的耗氧量为100个单位. A. B.{x|x>2} C.{x|x>1} D. 解析 ∵log2(x-1)>-1=log2,∴x-1>,即x> A.a=2,b=2 B.a=,b= C.a=e,b=-2 D.a=,b=0 f(x)=lo(x+1) 解析 设t=x+1,因为0<x<8,所以1<t<9. 又因为函数y=lot在(1,9)上单调递减, 所以lo9<lox<lo1,即-2<lox<0. 所以所求函数的值域为(-2,0). 解析 令u=1-2x,函数u=1-2x在区间(-∞,)内单调递减,而y=lou是减函数,故函数y=lo(1-2x)的单调递增区间为(-∞,). y=lo(1-2x) (-∞,) $$