4.3.1 对数函数的概念、4.3.2 对数函数y=log2x的图象和性质课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.3.1 对数函数的概念 4.3.2 对数函数 的图象和性质 1 【学习目标】 1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数的关系. 2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数. 3.掌握对数函数 的图象和性质. 2 知识点一 对数函数 1.概念： 函数，且叫作对数函数，其中 叫作对数函数的______. 底数 2.对数函数的基本性质： （1）定义域是________； （2）图象过定点______. 课 前 预 习 3 3.两个特殊的对数函数： （1）以10为底的对数函数为常用对数函数，记作________； （2）以无理数 为底的对数函数为自然对数函数，记作_________. 课 前 预 习 4 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）且 是对数函数.( ) × （2）且 是对数函数.( ) × （3） 是对数函数.( ) × 课 前 预 习 5 知识点二 反函数 指数函数，且和对数函数，且 互为反 函数. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的反函数是 .( ) √ （2）与 互为反函数.( ) √ 课 前 预 习 7 知识点三 对数函数 的图象和性质 函数 图象 _____________________________________________________________ 性质 定义域 课 前 预 习 8 函数 性质 值域 单调性 在 上为____函数 过定点 函数值变化 当 时，______ 当 时，______ 增 续表 课 前 预 习 9 【诊断分析】 1.画对数函数 的简图时，应抓住哪三个关键点？ 解：三个关键点是，， . 2.函数与函数 的性质一样吗？ 解：性质一样. 课 前 预 习 10 探究点一 对数函数的概念及其应用 例1（1） （多选题）[2024·江西抚州金溪一中高一月考] 下列函数中是对数函 数的是( ) AC A. B. C. D. [解析] 根据对数函数的定义,可得和 都是对数函数， 和不是对数函数.故选 . （2）若函数是对数函数,则 ___. 3 [解析] 若是对数函数,则 解得 . 课 中 探 究 11 变式 函数是以为底的对数函数,则 的值是____. [解析] 由函数是以 为底的对数函数， 可得解得 . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 判断一个解析式仅含对数符号“ ”的函数是对数函数的方法 课 中 探 究 13 探究点二 反函数 例2 求下列函数的反函数: （1） ; 解： 对数函数的底数是3, 它的反函数是指数函数 . （2） . 解： 指数函数的底数是4, 它的反函数是对数函数 . 课 中 探 究 14 变式 [2024·福建福州永泰一中高一月考]已知函数，是 的反函数，则 ( ) C A.10 B.8 C.5 D.2 [解析] 因为函数，是的反函数，所以 ，故 .故选C. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 求函数反函数的一般步骤:①反解;②交换,，然后验证此时是否为关于 的函 数；③注明定义域（原函数的值域）. 课 中 探 究 16 探究点三 比较大小 例3 比较下列各组数的大小: （1）与 ; 解:方法一:因为对数函数在上是增函数,且 , 所以 . 方法二:因为,,所以 . 课 中 探 究 17 （2）与 . 解:因为对数函数在 上是增函数, 且,即 ， 所以 . 课 中 探 究 18 变式 [2024·江西赣州南康中学高一月考]已知,, ,则 ( ) D A. B. C. D. [解析] 在上为增函数，在 上为增函数， ,, , .故选D. 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性.底数相同时，应先弄清相应的对 数函数及其单调性，再通过自变量的大小关系得到相应函数值的大小关系. 课 中 探 究 20 拓展 已知,, ,则( ) C A. B. C. D. [解析] 函数在 上为增函数， , 又 , .故选C. 课 中 探 究 21 探究点四 解与对数函数 有关的不等式或方程 例4（1） 不等式 的解集为_______________________. 或 [解析] 由，得，所以,解得 或，故原不等式的解集为或 }. （2）方程 的解为___. 2 [解析] 由已知可得 则解得 ，所以原方程的解为2. 课 中 探 究 22 变式（1） 函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. [解析] 由题意可得解得， 所以函数 的定义域为 ，故选C. （2）满足的 的取值集合为________________. [解析] 由,得, 函数 在上是增函数,,.故满足 的的取值集合为 . 课 中 探 究 23 （3）方程 的解为___. [解析] 由，得 ， ，即，解得或. 当 时，原方程无意义，舍去， 方程 的解为4. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 对于的求解，常利用函数 的单调性，将不等式转 化为来求解，但一定要注意， 的限制条件.对于方 程的求解，一般通过方程 来求解，同样方程的 解要保证， . 课 中 探 究 25 1.对数函数的定义 在对数函数中，底数且，自变量，函数值 .作为 对数函数的三个要点，要做到明白道理、记忆牢固、运用准确. 2.任何一个函数都有反函数吗？ 答：由反函数的定义知，任意一个函数 不一定有反函数，只有定义域 和值域满足“一一对应”的函数才有反函数. 名称 指数函数 对数函数 定义域 值域 单调性 在 上为增函数 在 上为增函数 图象 的图象与的图象关于直线 对称 备 课 素 材 26 1.定义法 判断一个函数是否为对数函数，只需看其形式是否符合对数函数的定义. 例1 给出下列函数： 且，； ； ；； . 其中为对数函数的是______.（只填写序号） ③⑤ 备 用 习 题 27 [解析] ①函数且，的底数是自变量 ，不是常数， 故不是对数函数. ②函数 不是对数函数. ③函数 是对数函数. ④函数的真数是，不是自变量 ，故不是对数函数. ⑤函数 是对数函数. 备 用 习 题 28 2.求反函数 例2 求函数 的反函数. 解：由得 ， 则，即，所以反函数为 . 因为，所以反函数的定义域为 ， 所以原函数的反函数为 . 备 用 习 题 29 3.中间量法比较大小 当两个对数的底数和真数都不相同时，可以利用“中间量”比较大小，此法也叫 “搭桥法”. 例3 比较大小：，， . 解：显然， ，而 . 又， , . 备 用 习 题 30 4.图象法比较大小 例4 已知正数,,满足 ，则( ) B A. B. C. D. [解析] 依题意得, , ，在同一坐标系中画出函数 , , 的图象（如图）， 观察它们与直线的交点的横坐标， 可得 .故选B. 备 用 习 题 31 5.用等价转化的思想指导解题 本节的许多题目是将对数函数问题转化为一次函数、二次函数问题等,从而使陌 生的问题转化为熟悉的问题去解决.在转化的过程中，特别要注意等价转化. 例5 已知，若,则 的取值范围为__________. [解析] ,即 , ,在 上是增函数, ，即 ， 又在 上是增函数, ,解得 . 备 用 习 题 32 $$