专题01 预备知识（期末复习课件）高一数学上学期北师大版

高一数学上学期·期末复习大串讲 串讲01 预备知识 北师大版（2019） 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 20大常考点：知识梳理 22个题型典例剖析+技巧点拨 精选14道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 01 考点透视 研究对象 元素 集 一样 确定性 考点透视 01 考点透视 属于 ∈ 不属于 ∉ [提醒]　符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，且二者必居其一，注意开口方向． 考点透视 01 考点透视 N N*或N＋ Z Q R 考点透视 01 考点透视 一 一列举 花括号“{ }” 考点透视 01 考点透视 共同特征P(x) {x∈A|P(x)} 考点透视 01 考点透视 Venn 考点透视 01 考点透视 任意一个 都是 ⊆ ⊇ A包含于B B包含A ⊆ x∉A   A真包含于B B真包含A 考点透视 01 考点透视 任何一个 都是 任何一个 都是 考点透视 01 考点透视 不含任何元素 子集 子集  考点透视 01 考点透视 属于集合A或属于集合B A∪B {x|x∈A,或x∈B} 考点透视 01 考点透视 属于集合A且属于集合B A∩B {x|x∈A,且x∈B} 考点透视 01 考点透视 A A A ∅ 考点透视 01 考点透视 全集 U 考点透视 01 考点透视 集合A 全集U ∁UA 知识点13　补集 ∁UA 集合A 考点透视 01 考点透视 命题 真命题 假命题 p q 真命题 p⇒q 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 考点透视 01 考点透视 p⇒q q⇒p p⇔q 充要条件 充要条件 充要条件 p⇔q 充要条件 考点透视 01 考点透视 所有的 任意一个 ∀ 全称量词 ∀x∈M， p(x) 考点透视 01 考点透视 存在一个 至少有一个 ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 考点透视 01 考点透视 ∃x∈M，非p(x) 存在量词 考点透视 01 考点透视 ∀x∈M，非p(x) 全称量词 题型剖析 02 PART 题型剖析 02 题型剖析 题型1　对集合的理解 1．下列各组对象可以构成集合的是(　　) A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；D中“小”的标准不确定，所以不能构成集合．故选B. 答案 解析 题型剖析 02 题型剖析 题型2　元素与集合的关系 【例题2】已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 解析：由题意得，当a＝2时，2∈A，6－2＝4∈A；当a＝4时，4∈A，6－4＝2∈A；当a＝6时，6∈A，6－6＝0∉A，所以a＝2或4.故选B. 答案 解析 题型剖析 02 题型剖析 题型3　集合中元素的特性及应用 【例题3】已知集合A中含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值． 解 题型剖析 02 题型剖析 题型4 集合间关系的判断 【例题4】已知集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}，那么集合M＝{3，4，5}与Q的关系是(　　) A．MQ B.M，Q互不包含 C．QM D.Q＝M 解析：∵集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}＝{2，3，4，5}，又集合M＝{3，4，5}，∴MQ.故选A. 答案 解析 题型剖析 02 题型剖析 题型5　求子集、真子集(的个数) 【例题5】已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的子集的个数为________． 解析：方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4个子集． 4 答案 解析 题型剖析 02 题型剖析 题型三　由集合间的关系求参数 解析　因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B. 答案 解析 题型剖析 02 题型剖析 题型6并集的概念及简单应用 【例题6】(2024·辽宁六校协作体高一上期中)设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．8 解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故选C. 答案 解析 题型剖析 02 题型剖析 解析　在数轴上表示出集合A和B，如图所示．由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}． 题型7 交集的概念及简单应用 【例题7】设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} 答案 解析 题型剖析 02 题型剖析 题型8　已知集合的交集、并集求参数 解　∵M∩N＝{3}，∴3∈M， ∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0， 解得a＝－1或4. 当a＝－1时，集合N中的元素不满足互异性，舍去； 当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意． ∴a＝4. 【例题8】(2024·河北保定定州高一上期中)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a的值． 解 题型剖析 02 题型剖析 题型9 补集的简单运算 【例题9】设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则∁UA＝__________． {0，1，3} 解析：由题意，知U＝{0，1，2，3，4}，又A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3}． 答案 解析 题型剖析 02 题型剖析 题型10　交集、并集、补集的混合运算　 【例题10】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 解　把集合A，B在数轴上表示如下： 由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}． 因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}． 解 题型剖析 02 题型剖析 题型11　与补集相关的参数的求解　 解　由已知，得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}． 【例题11】 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解 题型剖析 02 题型剖析 题型12　充分条件的判断 【例题12】给出下列三组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：这个四边形的对角线相等； (3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0. 试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？ 解 题型剖析 02 题型剖析 (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0， 即p⇒q， 所以p是q的充分条件． 解 题型剖析 02 题型剖析 题型13　必要条件的判断 解 题型剖析 02 题型剖析 题型14　利用充分条件、必要条件求参数的取值范围 【例题14】已知集合M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，p：x∈M，q：x∈N.若q是p的必要条件，求a的取值范围． 解 题型剖析 02 题型剖析 解　 (1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以p q， 所以p不是q的充要条件． (2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解， 则a≠0，所以p q，所以p不是q的充要条件． 解 题型剖析 02 题型剖析 (3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件． 解 题型剖析 02 题型剖析 题型16 充要条件的证明　 证明　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根， ∴a×12＋b×1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. 【例题16】 (2024·江苏连云港灌南高级中学高一上第二次月考)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明 题型剖析 02 题型剖析 ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0， ∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明 题型剖析 02 题型剖析 题型17 探求充要条件　 【例题17】求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件． 解 题型剖析 02 题型剖析 反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝1. x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0， 解得x3＝1，x4＝－2. 因此两个方程有公共实根1， 所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件是k＝－2. 解 题型剖析 02 题型剖析 题型18 全称量词命题与存在量词命题的识别 【例题18】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)圆内接四边形的对角互补； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 题型剖析 02 题型剖析 解：(1)是全称量词命题，表示为∀圆内接四边形，其对角互补． (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃平行四边形，其对角线不互相垂直． (4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 解 题型剖析 02 题型剖析 题型19 全称量词命题与存在量词,命题的真假判断) 【例题19】判断下列命题的真假： (1)任何实数都有平方根； (2)存在有理数x，使x2－2＝0； (3)∀x∈R，x2－x＋1>0； (4)∃x∈Z，3x＋4＝5. 题型剖析 02 题型剖析 解 题型剖析 02 题型剖析 题型20含有量词的命题的应用 【例题20】已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0. 若p为真命题，则实数a的取值范围是______________． 答案 解析 题型剖析 02 题型剖析 题型21全称量词命题的否定 解 题型剖析 02 题型剖析 题型22存在量词命题的否定 解　(1)该命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”． (2)该命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”． (3)该命题的否定为“∀x∈R，|x＋1|>1”． 【例题22】写出下列命题的否定． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，|x＋1|≤1. 解 押题预测 03 PART 题型剖析 1.已知命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C. 答案 解析 答案 解析 3．下列语言叙述中，能表示集合的是(　　) A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．太阳系内的所有行星 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与△ABC大小相仿的所有三角形 解析：对于A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A不符合题意；对于B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B符合题意；对于C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C不符合题意；对于D，与△ABC大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D不符合题意．故选B. 答案 解析 4．已知a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因为a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，所以a的值为0.故选A. 答案 解析 5．将集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法表示为(　　) A．{x＝－1，x＝4} B．{x|x＝－1，x＝4} C．{x2－3x－4＝0} D．{－1，4} 解析：解方程x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4，所以集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法可表示为{－1，4}． 答案 解析 6．(2024·湖北武汉第一中学高一上第一次月考)已知集合A＝{x∈N|x－4≤－1}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．4 B．8 C．15 D．16 解析：A＝{x∈N|x－4≤－1}＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，即集合A中含有4个元素，其真子集有24－1＝15个．故选C. 答案 解析 7．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案 解析 8．(2024·广东珠海一中高一上月考)设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(　　) A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 解析：对于A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立．故选B. 答案 解析 答案 解析 10．(2024·河南八地市高一上期中联考)已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“A⊆∁UB”的充要条件是(　　) A．B⊆∁UA B．A⊆B C．B⊆A D．∁UA⊆B 解析：因为A⊆∁UB，则A，B关系如图，由图可知A正确，B，C，D错误．故选A. 答案 解析 11．(2024·广东揭阳普宁二中高一上第一次月考)下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：①③是全称量词命题，②是存在量词命题． 答案 解析 12．下列存在量词命题中是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的自然数是偶数 D．存在一个实数与其相反数的和为0 答案 解析 13．(多选)(2024·山东淄博六中高一上月考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　) A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} 解析：∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，则∅⊆A，－2∉A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选ACD. 答案 解析 14．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 证明：所要证结论的否定为“两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0都没有两个不相等的实数根”．若所要证结论的否定为真命题，则 Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0，所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0. 因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1，所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0. 但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾． 所以所要证结论的否定是假命题，即所要证结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 证明 知识点1　元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把_________统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些______组成的总体叫做集合，简称为eq \x(\s\up1(03))____，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：构成两个集合的元素是_______的． (4)集合中元素的特性： ________、互异性和无序性． 知识点2　元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a______集合A，记作a____A；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作a____A. 知识点3　常用的数集及其记法 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ____ _________ ____ ____ ____ 知识点4 集合的表示方法 对于常用数集之外的集合，我们除了用自然语言(用文字叙述的形式描述集合的方法)描述，还有以下方法： 方法 含义 优点 缺点 列举法 把集合的所有元素________出来，并用_______________括起来表示集合的方法叫做列举法 方便，快捷，集合中的元素一目了然，适用于表示元素个数较少的集合 不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如2x－3>0的解集 描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有______________的元素x所组成的集合表示为____________，这种表示集合的方法称为描述法 语言简洁、抽象，元素的规律与性质能清楚地表示出来，适用于表示无限集或元素个数较多的集合 不易看出集合中的具体元素 [提醒]　(1)使用列举法表示集合时，对于元素之间的排列顺序不作要求． (2)描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略，如果竖线左侧元素的所 属范围为实数集时，可以省略x∈R. 知识点5　Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为______图． 知识点6　子集与真子集 定义 符号表示 图形表示 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________元素_____集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A__B(或B__A)，读作____________或____________ 真子集 如果集合A___B，但存在元素x∈B，且_____，就称集合A是集合B的真子集 A____B(或B___A)，读作____________或_____________ 知识点7　集合相等 自然 语言 一般地，如果集合A的_________元素_____集合B的元素，同时集合B的__________元素_____集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B 符号语言 若A⊆B，且B⊆A，则A＝B 图形语言 知识点8 空集 定义 ________________的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的______，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个______，即它的本身，∅⊆∅； (2)若A≠∅，则∅____A 知识点9　并集 知识点10　交集 知识点11　并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝____ A∩A＝____ A∪∅＝_____ A∩∅＝____ 知识点12　全集 (1)概念：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为_______． (2)记法：通常记作_____． pq 知识点14　命题的概念及结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做_____．判断为真的语句是___________，判断为假的语句是__________． (2)当命题表示为“若p，则q”时， ____是命题的条件， ___是命题的结论． 知识点15　充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为_______，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作_____，并且说，p是q的__________，q是p的__________． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作_____．此时，我们就说p不是q的__________，q不是p的________． 知识点16　充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有_____，就记作______．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为________． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的____________，那么q也是p的_________． (3)概括：如果______，那么p与q互为_________． 知识点17全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“________”“ ___________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示． (2)全称量词命题：含有___________的命题，叫做全称量词命题． (3)符号表示 ①将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示． ②全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为： _________ ________． 知识点18　存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：短语“__________”“ _____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“_____”表示． (2)存在量词命题：含有__________的命题，叫做存在量词命题． (3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为： ________________． 知识点19全称量词命题的否定 全称量词命题p 非p 结论 ∀x∈M，p(x) ________________ 全称量词命题的否定是___________命题 知识点20　存在量词命题的否定 存在量词命题p 非p 结论 ∃x∈M，p(x) eq \x(\s\up1(01))_______________ 存在量词命题的否定是eq \x(\s\up1(02))__________命题 解：因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3， 所以a＝－1或a＝－eq \f(3,2). 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，集合A不满足元素的互异性，所以a＝－1舍去； 当a＝－eq \f(3,2)时，经检验，符合题意．所以a＝－eq \f(3,2). (1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C.eq \f(2,3) D．－1 解：(1)因为相似的三角形不一定全等， 所以pq， 所以p不是q的充分条件． 解：(1)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件． (2)因为等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件． (3)当a＝b＝0时，a－3b＝0成立， 但是eq \f(a,b)＝3不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件． 【例题13】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若－2≤x≤5，则－1≤x≤5； (2)若△ABC为等边三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若a－3b＝0，则eq \f(a,b)＝3. 解：因为q是p的必要条件，所以M⊆N. 于是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))解得－2≤a≤7. 故a的取值范围为{a|－2≤a≤7}． 题型15充要条件的判断　 【例题15】下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0； (3)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点． 解：若方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根，设为x0，则 2,0)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋kx0＋1＝0，①,xeq \o\al(2,0)＋x0＋k＝0. ②)) 由②，得k＝－xeq \o\al(2,0)－x0， 代入①，得xeq \o\al(3,0)＝1， 解得x0＝1，因此k＝－2. 解：(1)因为负数没有平方根，所以该命题为假命题． (2)因为方程x2－2＝0没有有理根， 所以该命题为假命题． (3)因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0恒成立， 所以该命题为真命题． (4)因为3x＋4＝5不存在整数解，所以该命题为假命题． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(9,4))))) 解析：由题意可得，当p为真命题时，方程x2＋3x＋a＝0有实根，即32－4a≥0，得a≤eq \f(9,4)，故实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(9,4))))). 解　(1)该命题的否定为：存在正数x，eq \r(x)≤x＋1. (2)该命题的否定为：存在一个被5整除的整数不是奇数． (3)该命题的否定为：存在一个平行四边形，它不是中心对称图形． 【例题21】写出下列全称量词命题的否定． (1)对所有正数x，eq \r(x)>x＋1； (2)所有被5整除的整数都是奇数； (3)每一个平行四边形都是中心对称图形． 2．(2024·重庆一中高一上期末教学质量监测)下列元素与集合的关系中，正确的是(　　) A．－1∈N B．0∈Z C．0.33∉Q D.eq \f(2,5)∉R 解析：因为－1不是自然数，所以A不正确；因为0是整数，所以B正确；因为0.33是有理数，所以C不正确；因为eq \f(2,5)是实数，所以D不正确．故选B. 解析：因为(a＋b)(a－b)＝0a＝b，所以pq.又因为a＝b⇒(a＋b)(a－b)＝0，即q⇒p，所以p是q的必要条件． 9．(2024·江苏徐州邳州市高一上阶段性质量检测)“a＝b”是“eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若a＝b<0，则eq \f(a＋b,2)<0，eq \r(ab)>0，此时eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)不成立；若eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)，则eq \f(a＋b,2)≥0，eq \r(ab)≥0，即a≥0，b≥0，由eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)可得a＋b＝2eq \r(ab)，即(eq \r(a)－eq \r(b))2＝0，所以eq \r(a)＝eq \r(b)，所以a＝b.所以“a＝b”是“eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)”的必要不充分条件．故选B. 解析：因为存在x＝0∈Q，使2x－x3＝0成立，故A是真命题；因为x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0对x∈R恒成立，因此B是假命题；因为2是自然数也是偶数，故C是真命题；因为1的相反数为－1，1＋(－1)＝0，故D是真命题．故选B. $$