专题33 三角函数15大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题33 三角函数15大压轴考法 题型1 n分角、n倍角所在象限 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）如果是第一象限角，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 二、多选题 4．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）若角的终边在第三象限，则的值可能为（    ） A．0 B．2 C．4 D． 5．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 题型2 扇形的弧长和面积公式 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 三、解答题 5．（24-25高三上·上海·期中）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且， 米，设． (1)求扇形的面积； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取得最大值时的值． 题型3 同角三角函数的基本关系 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C． D． 2．（2024高二下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏连云港·期中）若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 题型4 诱导公式 一、单选题 1．（2024·云南大理·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广西·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知，，则的值为（   ） A．－8 B．－6 C．6 D．8 4．（24-25高三上·河北·期中）已知，且满足，则（    ） A．2 B． C． D． 5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型5 给值求值问题 一、单选题 1．（23-24高三下·山西晋城·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·福建漳州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州贵阳·二模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·宁夏吴忠·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·湖北省直辖县级单位·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型6 给值求角问题 一、单选题 1．（22-23高一上·河北保定·期末）若角满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知均为钝角，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024高三·江苏·专题练习）已知为锐角，且，则 . 6．（2021高一下·全国·专题练习）若，，且为锐角，为钝角，则 ． 题型7 给角求值问题 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（22-23高一下·全国·课后作业）的值是（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高三上·安徽·期中）由，可求得的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东中山·期中）（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·重庆铜梁·阶段练习）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型8 三角函数的单调性与最值 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 2．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的图象关于点对称，若当时，的最小值是，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为 . 4．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）若函数在上的值域是，则m的取值范围是 ． 三、解答题 5．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 题型9 三角函数的奇偶性与对称性 一、单选题 1．（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南大理·模拟预测）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江苏无锡·开学考试）若为偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 4．（24-25高三上·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数是（    ） A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为 C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为 题型10 三角函数性质的综合应用 一、单选题 1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．函数的图象对称轴为 B．函数为偶函数 C．函数在区间上单调递增 D．的最小值为 2．（山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题）已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、多选题 3．（24-25高三上·河北·期中）已知函数在上仅有两个零点，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列有关函数的描述正确的是（    ） A．是偶函数 B．图象关于点对称 C．在上是减函数 D．在上的值域为 4．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．若，则， C．时 D．其图象关于点对称 三、解答题 5．（24-25高三上·河南·期中）已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. (1)求和a的值； (2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 6．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 题型11 三角恒等变换 一、单选题 1．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）若锐角满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川攀枝花·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C．5 D． 7．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·安徽·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 题型12 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 一、单选题 1．（23-24高二下·福建南平·期末）将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·山东青岛·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍 B．向右平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍 C．向左平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍 D．向右平移个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的倍 3．（22-23高一上·江苏盐城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 4．（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数，函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 5．（24-25高三上·江西·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 题型13 已知图像求三角函数解析式 一、单选题 1．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，函数的图象经过点和，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．函数的图象与直线仅有三个公共点 2．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二上·广东·期中）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上恰有10个零点 4．（24-25高二上·湖南·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 三、解答题 5．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若将图象上每一点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数，求在的值域． 6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点为图象上的最高点，点，为图象与轴的两个相邻交点，且是边长为的正三角形. (1)求与的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若，，求的值. 题型14 y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ的取值和最值问题 一、单选题 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山西大同·模拟预测）已知函数且满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高三上·辽宁·期中）函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且，则当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·模拟预测）已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 . 7．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为 . 8．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，若，，使得，则正数的最小值为 . 题型15 三角函数在生活中的应用 一、单选题 1．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·单元测试）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题33 三角函数15大压轴考法 题型1 n分角、n倍角所在象限 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合同角公式，由正余弦值的符号判断角所在象限即可推理得解. 【详解】由，得，则且，又， 因此且，是第二象限角，即， 则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角， 所以是第一或三象限角. 故选：C 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）如果是第一象限角，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据的象限确定的象限，即可排除B、D，再确定的象限，即可排除A. 【详解】因为是第一象限角，则，， 所以，， 所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D； 又，， 所以的终边在第一、第二象限或在轴的非负半轴上，则， 当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除A. 故选：C 3．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限. 【详解】因为，， 所以为第二象限角，即， 所以， 则的终边所在象限为所在象限， 即的终边在第一、二、四象限. 故选：D. 二、多选题 4．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）若角的终边在第三象限，则的值可能为（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】BC 【分析】由角在第三象限，确定所在象限并确定函数值的符号即可得解. 【详解】由角的终边在第三象限，得，则， 因此是第二象限角或第四象限角， 当是第二象限角时，， 当是第四象限角时，. 故选：BC 5．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据已知得出的范围，进而得出以及的范围，即可得出以及终边所在的象限，进而得出答案. 【详解】对于A、B，由已知可得，， 所以，. 当为偶数时，设， 则， 此时为第二象限角； 当当为奇数时，设， 则， 此时为第四象限角. 综上所述，为第二或第四象限角. 所以，不能确定的正负，.故A错误，B正确； 对于C、D，由已知可得，， 所以，， 所以，为第一或第二象限角或终边落在轴非负半轴. 所以，不能确定的正负，，.故C错误，D正确. 故选：BD. 题型2 扇形的弧长和面积公式 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解. 【详解】因为劣弧的长为，所以. 则， 所以阴影部分的面积为. 故选:B 2．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 3．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故选：C 二、填空题 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 三、解答题 5．（24-25高三上·上海·期中）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且， 米，设． (1)求扇形的面积； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取得最大值时的值． 【答案】(1)平方米 (2)当时，取得最大值. 【分析】（1）根据题意利用扇形的面积公式求解即可； （2）利用直角三角形的性质结合半径与分别表示出，从而可求出，再利用三角函数恒等变换公式对化简变形，结合角的范围可求出的最大值. 【详解】（1）由题意知，扇形的半径米， 所以扇形的面积为平方米； （2）在中，， 在中，， 则由，得， 所以， 所以 ，， 由，得，则， 所以当，即时，取得最大值. 题型3 同角三角函数的基本关系 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角差的正切公式可得的值，再借助二倍角公式及三角函数基本关系将弦化切后计算即可得. 【详解】由， 则， 故 . 故选：C. 2．（2024高二下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【详解】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得， 解得； 即可得,； 所以. 故选：D 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边同时平方求出，再求出，解方程结合同角三角函数的商数关系求出，再由二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 则， 因为，所以， 所以 所以，再由，可得 ，所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式结合的范围化简原式得到的值，然后将平方并结合的范围求得结果. 【详解】因为，所以， 所以， 又，则，，即，所以， 因为，所以，， 由，可得，即，符合题意， 故选：C. 5．（24-25高三上·江苏连云港·期中）若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由韦达定理可得，，进而可得，进而切化弦即可得结果. 【详解】因为是方程的两根， 则，， 且，则， 可得 ， 所以. 故选：D. 题型4 诱导公式 一、单选题 1．（2024·云南大理·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据辅助角公式化简并求解的值，然后根据余弦二倍角公式求解的值，最后利用诱导公式求解的值即可. 【详解】由于，可得：，即， 又由于， . 故选：B. 2．（24-25高三上·广西·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系分别求，，再根据角度之间的和差倍关系，利用诱导公式与二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知，，则的值为（   ） A．－8 B．－6 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先由，，求出，然后利用诱导公式化简式子求值即可. 【详解】，， 所以，所以 ， 故选：A 4．（24-25高三上·河北·期中）已知，且满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】变形后利用诱导公式得到，根据得到，求出，求出答案. 【详解】因为， 可得， 又因为､，则，所以， 整理得，所以. 故选：D. 5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用两角差的余弦公式建立等式，得出，再利用两角和的余弦公式进行求解即可． 【详解】因为， 所以，而， 所以， 即， 所以， 所以 . 故选：D． 6．（24-25高三上·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倍角公式可求，根据诱导公式得到，利用同角三角函数的基本关系求出和，进而求出. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 题型5 给值求值问题 一、单选题 1．（23-24高三下·山西晋城·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由解得或，将化为代入求解即可. 【详解】由于， ， 解得或， ， 将代入可得：. 将代入可得：. 故选：A. 2．（2024·福建漳州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助换元法，结合诱导公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】令，则， 所以 . 故选：A． 3．（2024·贵州贵阳·二模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拆分角度，再根据和差化积公式求得，由正切二倍角公式即可得所求. 【详解】由得 ，， 两式相除可得， 所以. 故选：A． 4．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，两式平方相加得到，根据，得到代入求解. 【详解】因为，， 所以两式平方相加得， 即， 又因为， 所以，即，， 将代入， 得，即， 所以. 故选：D. 5．（2024·宁夏吴忠·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两角和的余弦公式求出，再将平方结合平方关系化简即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 即， 即， 即， 所以. 故选：C. 6．（22-23高一下·湖北省直辖县级单位·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用诱导公式得，再令，展开即可求解． 【详解】， 因为，所以，则在第二或第三象限， 因为，当在第三象限时，由于， 又在上递增，且， 所以当在第三象限时，，与矛盾， 所以在第二象限， 因为，所以． 因为，所以，则． 因为，所以． 所以， 即． 故选：A． 题型6 给值求角问题 一、单选题 1．（22-23高一上·河北保定·期末）若角满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角恒等变换将方程化简得，从而得到或，再对选项逐一检验即可得解. 【详解】因为 ， 所以，故或，即或， 依次检验、、、，可知为的可能值，其余皆不可能. 故选：B. 2．（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解. 【详解】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知均为钝角，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据三角函数恒等变形求得，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的余弦公式，结合角的范围，即可求解. 【详解】， 即，得，由，且均为钝角， 所以， ， ， 由，所以，所以. 故选：C 4．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 二、填空题 5．（2024高三·江苏·专题练习）已知为锐角，且，则 . 【答案】/ 【分析】先根据两角和的正弦公式及辅助角公式化简，进而可得出答案. 【详解】因为， ， 又， 所以，所以，即， 因为，所以，所以，所以. 故答案为：. 6．（2024高一下·全国·专题练习）若，，且为锐角，为钝角，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，转化为求，再结合角的范围，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所有，，得， ，且，得，， ， ， ， 因为，所以. 故答案为： 题型7 给角求值问题 专题33素材07 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用和差角的正切及二倍角的正切公式计算即得. 【详解】 . 故选：A 2．（22-23高一下·全国·课后作业）的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用降幂公式、积化和差公式以及诱导公式即可得到答案. 【详解】原式 . 故选：A. 3．（24-25高三上·安徽·期中）由，可求得的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出关于的二次方程，结合可得出的值. 【详解】因为， 又因为，则， 因为，， 则， 所以，，解得， 故选：B. 4．（24-25高三上·广东中山·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，化简、运算，即可求解. 【详解】由 . 故选：A． 二、多选题 5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项， . 故选：BCD. 6．（22-23高一下·重庆铜梁·阶段练习）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的二倍角的余弦和正切公式计算，即可判断A，C；根据同角的三角函数关系以及诱导公式和二倍角公式化简可判断B；由两角和的正切公式化简可判断D. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； 因为， 故， 所以，D正确， 故选：ABD 题型8 三角函数的单调性与最值 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先根据的最小正周期为，求出的值，再结合给定范围求最值即可. 【详解】因为的最小正周期为 所以的最小正周期，即得， 所以， ， 所以， 当时，取的最小值0， 所以在上的最小值为. 故选：C. 2．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的图象关于点对称，若当时，的最小值是，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦型函数的对称性可得，再利用正弦型函数的最小值即可得解. 【详解】由题意可得，则， 又，故，即， 当时，，又的最小值是， 则，故，即的最大值是. 故选：B. 二、填空题 3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意可得，，进而得到，再根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，函数的图象关于点对称， 所以，，即，， 又，所以，即， 当时，， 所以当，即时，. 故答案为：. 4．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）若函数在上的值域是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据函数的定义域求的范围，再根据函数的定义域确定右端点的取值范围. 【详解】当，， 由函数的值域为，可知， 解得：. 故答案为： 三、解答题 5．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 【答案】(1)，周期为 (2) 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，即可求解； （2）当时，得到，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为， 可得最小正周期，所以. 又由图象上一个最低点为，可得， 且，即，可得， 即，因为，所以， 所以函数的解析式为，且由最小正周期，可得的周期为. （2）解：由（1）知， 当时，可得， 所以，当时，即时，函数取得最小值为； 当时，即，函数取得最大值为， 所以函数的值域为. 题型9 三角函数的奇偶性与对称性 一、单选题 1．（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解. 【详解】由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意； 故选：B. 2．（2024·云南大理·模拟预测）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数奇偶性排除AB选项，C选项，计算出，排除C；D选项，满足奇偶性和，得到答案. 【详解】A选项，，故不是偶函数， 由图可知函数为偶函数，排除A选项； B选项，，可得不是偶函数，排除B； C选项，因为，由图知，故排除C选项； D选项，，故是偶函数， 且，满足要求. 故选：D. 3．（23-24高三上·江苏无锡·开学考试）若为偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断为奇函数，则可判断奇函数，从而可求出的值. 【详解】由，得或，所以定义域为， 令， 因为， 所以为奇函数， 因为为偶函数， 所以奇函数，所以， 因为，所以. 故选：B. 4．（24-25高三上·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，构造奇函数，再根据奇函数的性质即可得解. 【详解】， 令， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为， 因为， 所以函数是奇函数， 所以，即，所以. 故选：B. 5．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数是（    ） A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为 C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 因为， 所以为的一个周期， 不妨设， 若时，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得； 若，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得， 综上可得，函数的最大值为，最小值为. 故选：D. 题型10 三角函数性质的综合应用 一、单选题 1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．函数的图象对称轴为 B．函数为偶函数 C．函数在区间上单调递增 D．的最小值为 【答案】A 【分析】利用辅助角公式将转化为，再结合三角函数性质逐项分析判断. 【详解】 对于A：令，得， 故A错误； 对于B：是偶函数，故B正确； 对于C：，， 单调递增，故C正确； 对于D：的最小值为-2，故D正确. 故选：A. 2．（山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题）已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】对每位同学的结论进行推敲，求出对应的的取值范围或值，再对比四个结论，可得出结果. 【详解】设函数的最小正周期为. 对于甲：因为函数的图象关于对称，则； 对于乙：因为函数在上单调递增， 则，可得，又 所以，，又因为，则； 对于丙：因为函数在区间上有个零点，则，可得， 所以，，由于，则； 对于丁：因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 则，即， 因为，所以，满足条件， 故丙的结论错误，此时，，则， 因为，故，所以，， 且当时，，即函数在上单调递增， 乙同学的结论正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对每位同学的结论进行推敲，求出符合条件的的范围或值，进而判断. 二、多选题 3．（24-25高三上·河北·期中）已知函数在上仅有两个零点，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列有关函数的描述正确的是（    ） A．是偶函数 B．图象关于点对称 C．在上是减函数 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】A选项，利用辅助角公式得到，根据零点个数得到不等式，求出，确定，由平移变换得到，确定A错误；B选项，利用判断，C选项，利用判断；D选项，整体法求解函数的值域. 【详解】A选项，因为， 由于函数在上仅有两个零点， 则，解得，所以， 所以.因为，所以，所以. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 函数的定义域为， 函数为奇函数，A错误； B选项，，所以函数的图象关于点对称，B正确； C选项，当时，，由于在上单调递减， 则函数在上是减函数，C正确； D选项，当时，，则，所以. 所以函数在区间上的值域为，D错误. 故选：BC. 4．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．若，则， C．时 D．其图象关于点对称 【答案】AB 【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质逐项判断即可. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象， 则， 对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，，则， 可得，解得，B对； 对于C选项，当时，，则， 则，C错； 对于D选项，因为，故函数的图象关于点对称，D错. 故选：AB. 三、解答题 5．（24-25高三上·河南·期中）已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. (1)求和a的值； (2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的周期及最值求解即可； （2）根据正弦函数的图象及性质求解即可. 【详解】（1）由 ， 则，即， 又，即. （2）由（1）知，， 则， 令，即， 当时，， 因为函数在区间内有且仅有两个零点，， 结合正弦函数的图象可知，， 解得，即m的取值范围为. 又，即， 则. 6．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    题型11 三角恒等变换 一、单选题 1．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）若锐角满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据利用辅助角公式得到，再利用角的变换，结合诱导公式，以及二倍角公式，即可求解. 【详解】，则， 因为，，则 ， . 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换公式化简求解即可. 【详解】由可得， 得，则， ， 故． 故选：C. 3．（2023·四川攀枝花·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据降幂公式化简题设可得，进而结合可得，进而结合同角三角函数关系求解即可. 【详解】由，则， 即，即， 解得或， 因为，所以， 则， 所以. 故选：D. 4．（2024·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数平方关系、二倍角公式化简已知等式即可. 【详解】方法一： ， ，解得：； 方法二：， ， . 故选：C. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同角三角函数的基本关系以及二倍角公式化简求值即可 【详解】由，得， 即，得， 即，， 得或(舍)，所以， 故选：D． 6．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用三角恒等变换化简整理可得，然后利用同角三角函数的基本关系求得，进而得，从而由可得结果. 【详解】， 化简得，即， 整理得. 因为，所以. 整理得，又，即， 所以，即，进而， 于是. 故选：D. 7．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件可求的值，求出. 【详解】由已知可得 可知 解得， 所以 故选：A. 8．（24-25高三上·安徽·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角差的正余弦公式化简分式，可求得的值，再根据结合两角差的正切公式求解出结果. 【详解】因为， 所以， 又因为. 故选：C. 题型12 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 一、单选题 1．（23-24高二下·福建南平·期末）将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数图象变换求出. 【详解】依题意，，因此. 故选：C 2．（22-23高一下·山东青岛·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍 B．向右平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍 C．向左平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍 D．向右平移个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的倍 【答案】A 【分析】用辅助角公式先把函数化为，再用三角函数的图象变换法则即可求解. 【详解】因为， 把的图象上的所有点向左平移个单位长度后， 得到的图象， 然后再把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍即可得到的图象. 故选：A 3．（22-23高一上·江苏盐城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】，利用伸缩变换与平移变换由的图象得到的图象. 【详解】因为，将的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到， 再向左平移个单位长度得，即得到函数的图象. 故选：C 4．（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数，函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【分析】根据函数图象可得解析式，再根据三角函数的左右平移可得解. 【详解】由图象，且，可知， 又，即， 解得，又，则， 所以， 由函数图象过点，即， 解得，， 又，则， 所以， 所以要得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位， 故选：A. 5．（24-25高三上·江西·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平移得出函数的解析式，再结合函数为奇函数且即可求出. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到 因为是奇函数，所以， 又因为，所以. 故选：B. 题型13 已知图像求三角函数解析式 一、单选题 1．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，函数的图象经过点和，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．函数的图象与直线仅有三个公共点 【答案】C 【分析】根据函数图象求出周期，即可求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式，最后根据二倍角公式及正弦型函数的图象和性质判断即可. 【详解】由已知，函数的图象经过点和， 所以，所以，所以，故A正确； 得，由的图象过点， 且在附近单调递增，所以， 又，可得，故B正确； 所以， 由，得，故C错误； 对于D，作图可知函数的图象与直线有三个公共点，故D正确. 故选：C. 2．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象可知，由此可判断BCD不可能，结合函数周期说明A中图象可能正确，即可得答案. 【详解】结合题意以及各选项可知A可为2， 结合图象可知， 则对于B，，由此可判断B中解析式不可能； 对于C，，由此可判断C中解析式不可能； 对于D，，由此可判断D中解析式不可能； 对于 A，由于，即可取2； 由，则，由于，可取， 此时，A可能， 故选：A 二、多选题 3．（24-25高二上·广东·期中）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上恰有10个零点 【答案】ABD 【分析】先根据图象求出函数的解析式，即可判断AB；再利用整体代入的思想结合正弦函数的性质判断CD. 【详解】由图可知，，，即， 又，则，故A正确； 此时， 又，且，则，故B正确； 此时， 当时，， 因为函数在上不单调， 所以在上不单调，故C错误； 当时，， 因为函数在上有10个零点， 所以在上恰有10个零点，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高二上·湖南·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】BD 【分析】根据图象结合周期性和最值求，即可判断AB；可得、的解析式， 直接代入运算判断对称性，即可判断CD. 【详解】设的最小正周期为， 则，即， 且，则，解得，故B正确； 则， 因为，可得， 又因为，则， 可得，解得，故A错误； 所以， 对于选项C：因为， 所以的图象关于点对称，故C错误； 对于选项D：令， 因为（为最小值），所以的图象关于直线对称，故D正确； 故选：BD. 三、解答题 5．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若将图象上每一点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数，求在的值域． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式. （2）由（1）的结论，求出函数，再利用余弦函数的性质求出值域. 【详解】（1）观察图象知，函数的最小正周期，则， 由，得，而，则， 所以的解析式是. （2）由（1）知，，则， 当，则，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当，即时，；当，即时，， 所以在的值域为. 6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点为图象上的最高点，点，为图象与轴的两个相邻交点，且是边长为的正三角形. (1)求与的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据周期个最大值求解， （2）根据函数图象的平移伸缩变换可得，即可代入得，利用同角关系，以及余弦的差角公式即可求解. 【详解】（1）由已知可得， 故，， ， 由题图可知，正三角形的高即为函数的最大值，则. （2）由（1）可知， 由函数的图象向右平移个单位长度，得到 再把横坐标变为原来的，得图象可知：， 由得，， 由得，， 从而， 故 题型14 y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ的取值和最值问题 一、单选题 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由整体法可得，即可根据正弦函数的单调性求解. 【详解】当时，， 因为，所以，， 所以，解得，即的取值范围为． 故选:B． 2．（2023·山西大同·模拟预测）已知函数且满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由可得函数的图象关于对称，由正弦型函数的对称性列方程求的最小值. 【详解】由已知可得， 即， 所以关于对称， 故，， 所以，又， 所以时，取最小值为． 故选：A． 3．（24-25高三上·辽宁·期中）函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由最大值求得的表达式，再由周期确定范围，从而可得结论． 【详解】由题知，当时取得最大值，即， 所以，即， 又在上有条对称轴，所以， 所以，所以. 故选：B 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且，则当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分析可得或，进而可得的最小值为，代入运算求解即可. 【详解】由，得或， 由，得或， 解得或， 又，所以的最小值为， 代入可得， 又，所以． 故选：C． 5．（2023·四川成都·模拟预测）已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在上单调，可得，再由求得的一条对称轴和一个对称中心，进而求得，再求的值. 【详解】对于函数，， 因为在上单调， 所以，即. 又， 所以为的一条对称轴， 且即为的一个对称中心， 因为， 所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心， 则，即， 所以， 所以， 又为的一个对称中心， 则，， 则，， 当时，. 故选：A. 二、填空题 6．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据已知条件得出上且仅有2个零点，则列不等式组求参即可. 【详解】因为上有且仅有2个零点， 所以， 所以. 故答案为： 7．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为 . 【答案】2 【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值. 【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知是函数的最大值， 当时， 解得，又因，所以最小值为2. 故答案为：2 8．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，若，，使得，则正数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的有界性可得函数在上能取到最大值和最小值，从而利用正弦函数性质得，求解即可. 【详解】若，，使得，则，或， 即函数在上能取到最大值和最小值， 因为，所以，所以，所以， 即正数的最小值为. 故答案为： 题型15 三角函数在生活中的应用 一、单选题 1．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的一个周期，再利用三角函数的性质解不等式即得. 【详解】设的周期为，， 根据， 可知， 所以，，所以， 令，则， 所以，可得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为. 故选：B 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由锐角三角函数的定义可得，，再结合条件，即可求出结果. 【详解】由题可得，，所以， 又，得到， 又，所以，解得m， 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·单元测试）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法设出函数解析式后，由题意可得函数周期、最大最小值等，即可计算出函数中相应系数，即可得解. 【详解】根据题意可设，则．旋转一周， ． 最大值与最小值分别为14，2， ，解得． ． 故选：D． 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲位置对应的时间为，转到乙位置时对应的时间为，则，利用函数关系式为作差可求出结果. 【详解】设甲位置对应的时间为，转到乙位置时对应的时间为， 则， 所以甲､乙两人座舱高度差为 ， 所以甲､乙两人座舱高度差的最大值为. 故选：D. 5．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$