第五章 三角函数（高效培优单元测试·强化卷）数学人教A版2019高一必修第一册

第五章 三角函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 【答案】C 【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：， 则“该环田”的面积为平方步. 故选：C 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，充分性成立， 反过来，当时，或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，平方得：，所以， 所以，所以，所以， 又因为，所以. 故选：A. 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C. 5．已知，函数，则下列各项中，不可能的是（   ） A．既有最大值，又有最小值 B．有最大值，且无最小值 C．有最小值，且无最大值 D．既无最大值，也无最小值 【答案】C 【详解】当时，单调递增，易得：， 当时，，不妨假设易知， 当时，的值域为，既有最大值，也有最小值， 当时，，既无最大值，也无最小值， 当时，，有最大值，无最小值， 当，，既无最大值，也无最小值， 综上可知，ABD可能，C不可能， 不选：C 6．已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. 7．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 8．对于锐角和实数，有两个命题： 命题：存在，对任意，都存在，使得； 命题：存在，对任意，都存在，使得． 则下列判断正确的是（   ） A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 【答案】D 【详解】①假设命题是真命题， 不妨取，则，则， 因且，则， 故存在，对任意，都存在使得成立， 不妨设（不可能同时小于或大于）， 则 ， 因，得，则， 则， 则对于，不成立， 故假设不成立，命题为假命题； ②取，则，因为为锐角，， 同理．所以，． 此时，记 ， 其中，所以可取， ， 所以， 其中， 这就是说，当时，不存在，使得成立，所以是假命题. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】点的初始位置的坐标为，且钝角    设经过s后，Q与P重合，坐标均为， 则，解得， 当为偶数时，Q的坐标为，C正确； 当为奇数时，Q的坐标为，即，B正确； AD均不对， 故选：BC 10．已知函数，则（    ） A．对于任意的均为偶函数 B．当时，的最小正周期为 C．当时， D．当时，在上有12个零点 【答案】ABD 【详解】A项：的定义域为，， 即证明，A选项正确； B项：，因为函数的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，B选项正确； C项：取，，C选项错误； D项：由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知的最小正为周期， 在每个周期内存在2个零点， 因为区间的长度为，又 所以6个周期内为12个零点，D选项正确. 故选：ABD. 11．已知函数，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项，因为，则 ， 所以，，A对； 对于B选项，因为，则， 所以， 所以 ， 为锐角，且，所以，B对； 对于C选项，因为，为锐角，且， 不妨取，， 则，， 此时，但，C错； 对于D选项，因为，即， 所以，， 因为，为锐角，则， 不妨设，则，所以， 所以，故，D对. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，.给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上是增函数； ③函数在区间内恰有3个不同的零点； ④函数的值域为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】函数，， 对于①，，函数是奇函数，①正确； 对于②，，， 而，即，②错误； 对于③，， ， 而，由，得， 当，解得，在内恰有3个不同的零点，③正确； 对于④，当，即时， ，当时，，，即函数的值域为，④正确. 故答案为：①③④ 13．已知函数，若方程在有4个解，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】函数，则的图象关于轴对称，且， 因此有唯一解，则， 即，则， 当时，，当，即时， ， 当，即时，， 即，令， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象，当，即时，直线与函数的图象有4个交点， 所以的取值范围为． 故答案为： 14．如图，矩形中，， 分别为边上的点，若，则的面积的最大值为 .    【答案】 【详解】解：设，    则， 则在中，易知则， 所以； 在中，易知则， 所以； 所以 ， 令， 因为，所以， 所以 ， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，时等号成立， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数，，是的两个零点，且的最小值是π. (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【详解】（1）由题意可得. 由于，是的两个零点， 所以，是的两个零点， 因为的最小值是，且，所以最小正周期，解得. （2）由（1）知. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，. 故在上的值域为. （3）设，，由（2）可知. 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，即. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以a的取值范围是. 16．（1）化简：； （2）求证: 函数的最小正周期为. 【答案】（1）1；（2）证明见解析 【详解】（1）； （2）对于函数，， ， 所以是函数的一个周期， 假设存在，使得对于恒成立， 则对于恒成立， 令，则，此时，， 即，，显然不存在满足的值，与假设矛盾， 所以函数的最小正周期为. 17．设函数与在区间上的图象交于点. (1)求、； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意可得，则， 即，整理可得， 即， 因为，则，解得， 所以，，, （2）因为， 所以， . 18．已知函数部分图象如图所示． (1)求和的值； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值． 【答案】(1)， (2)， (3)最小值为，最大值为 【详解】（1）由图象可知：，所以，则， 又，，得， 又，所以. （2）由（1）知， 令，， 解得：，. 令，得，因，则， 令，得，因，则， 所以在上的单调递增区间为，. （3）由题意，， 则， 由函数在上存在零点， 则在上有解， 令，由，则，即， 则， 所以，即， 故a最小值为，最大值为. 19．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图． (1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，） (2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F． ①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示） ②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？ 【答案】(1)2.8m； (2)①，；②小汽车能够顺利通过直角转弯车道. 【详解】（1）图1中：在中，，，，又， 则(m)，而m，有(m)， 在中，，，， 则(m)， 结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则m， 所以限定高度的值约为2.8m. （2）①图2中：依题意，则，，，， 又，设， ，； ②由①知，设，则，，， 则， 而，函数在上单调递增，则在上是减函数， 于是得当，即时，， 所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．已知，函数，则下列各项中，不可能的是（   ） A．既有最大值，又有最小值 B．有最大值，且无最小值 C．有最小值，且无最大值 D．既无最大值，也无最小值 6．已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 8．对于锐角和实数，有两个命题： 命题：存在，对任意，都存在，使得； 命题：存在，对任意，都存在，使得． 则下列判断正确的是（   ） A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．对于任意的均为偶函数 B．当时，的最小正周期为 C．当时， D．当时，在上有12个零点 11．已知函数，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，.给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上是增函数； ③函数在区间内恰有3个不同的零点； ④函数的值域为. 其中所有正确结论的序号是 . 13．已知函数，若方程在有4个解，则的取值范围为 ． 14．如图，矩形中，， 分别为边上的点，若，则的面积的最大值为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数，，是的两个零点，且的最小值是π. (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 16．（1）化简：； （2）求证: 函数的最小正周期为. 17．设函数与在区间上的图象交于点. (1)求、； (2)若，求的值. 18．已知函数部分图象如图所示． (1)求和的值； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值． 19．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图． (1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，） (2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F． ①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示） ②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $